高一數(shù)學(xué)一隅三反系列(人教A版必修第一冊)第5章三角函數(shù)章末重難點歸納總結(jié)(原卷版+解析)

第5章三角函數(shù)章末重難點歸納總結(jié)重點一扇形的弧長與面積【例1-1】(2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知扇形的周長為，面積為，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．或【例1-2】（2023·全國·專題練習(xí)）已知扇形的圓心角是，半徑是，弧長為.(1)若，求扇形的面積；(2)若扇形的周長為，求扇形面積的最大值，并求此時扇形圓心角的弧度數(shù)．【一隅三反】1．(2023·四川）折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，如圖1．其平面圖如圖2的扇形，其中，，則扇面（曲邊四邊形ABDC）的面積是______．2．(2023·安徽·亳州二中高一期末）屏風(fēng)文化在我國源遠流長，可追溯到漢代某屏風(fēng)工藝廠設(shè)計了一款造型優(yōu)美的扇環(huán)形屏風(fēng)，如圖，扇環(huán)外環(huán)弧長為3.6m，內(nèi)環(huán)弧長為1.2m，徑長（外環(huán)半徑與內(nèi)環(huán)半徑之差）為1.2m，則該扇環(huán)形屏風(fēng)的面積為__________．3．(2023·陜西榆林）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章給出了弧田（由圓弧和其所對弦所圍成）面積的計算公式：弧田面積（弦矢矢）．公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于圓弧的最高點到弦的距離．如圖，弧田是由圓弧和其所對弦圍成的圖形，若弧田的弧長為，弧所在的圓的半徑為4，則利用九章算術(shù)中的弧田面積公式計算出來的面積與實際面積之差為______．4．(2023·全國·高一課時練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，周長為，面積為，所在圓的半徑為.（1）若，，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；（2）若，，求的值.重點二三角函數(shù)的定義【例2-1】(2023·全國·高三專題練習(xí)）如果角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．【例2-2】(2023·江西省銅鼓中學(xué)）已知角的終邊經(jīng)過點，且，則（

）A． B．1 C．2 D．【一隅三反】1．(2023·全國·高一課時練習(xí)）已知是角終邊上一點，且，則的值是（

）A． B． C． D．2(2023·重慶）角的終邊經(jīng)過點，且，則的值為______．3．（2023·全國·專題練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過點，且，則____．重點三三角函數(shù)值的正負【例3-1】(2023·全國·高一課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點在原點，始邊在軸的非負半軸上，終邊在第二象限，則下列三角函數(shù)中值大于零的是（

）A． B． C． D．【例3-2】（2023·全國·專題練習(xí)）已知角θ在第二象限，且，則角在（

）A．第一象限或第三象限B．第二象限或第四象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【一隅三反】1．(2023·全國·高一課時練習(xí)）已知為第二象限角，則（

）A． B． C． D．2．(2023·全國·高一課時練習(xí)）已知且，則是（

）A．第一象限的角 B．第二象限的角C．第三象限的角 D．第四象限的角3．(2023·全國·高一課時練習(xí)）（多選）已知點在第一象限，則在內(nèi)的取值范圍是（

）A． B． C． D．重難點四同角三角函數(shù)【例4-1】(2023·成都）已知?，且?為第四象限角，則?（

）A．? B．?C．? D．?【例4-2】(2023·遼寧實驗中學(xué)）已知，則的值為（

）A． B．18 C． D．15【例4-3】（2023·云南）已知，且，給出下列結(jié)論：①；②；③；④.其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①②④ B．②③④C．①②③ D．①③④【一隅三反】1．（2023·廣東）已知，則的值為（）A． B． C． D．2．(2023·遼寧·沈陽二十中一模）（多選）已知，，則（

）A． B．C． D．3．(2023·安徽）已知，則___________.4．(2023·河南信陽·高一期中）如果，且，那么的值是_________.重難點五誘導(dǎo)公式及恒等變化【例5-1】(2023·湖北黃岡）（多選）下列各式中，值為的是（

）A． B．C． D．【例5-2】(2023·廣東深圳·高三階段練習(xí)）已知為第一象限角，，則（

）A． B． C． D．【例5-3】(2023·吉林）已知，則（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·遼寧實驗中學(xué)）（多選）下列等式成立的是（

）A． B．C． D．2．（貴州省2023屆高三上學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)（文）試題）若，則________.3．(2023·重慶）已知，則___________.重難點六三角函數(shù)性質(zhì)【例6】(2023·陜西）已知函數(shù)．則關(guān)于說法錯誤的是(

)A．的圖象向右平移個單位長度后所得的函數(shù)為B．的圖象與的圖象關(guān)于y軸對稱C．的單調(diào)遞減區(qū)間為D．在上有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是【一隅三反】1．(2023·成都）已知函數(shù)?，下列說法正確的是（

）A．?的最小正周期是?B．?的圖像關(guān)于直線?對稱C．?在區(qū)間?上單調(diào)遞增D．?的圖像可由?的圖像向左平移?個單位得到2．(2023·陜西師大附中高一期中）函數(shù)，給出下列四個命題：①在區(qū)間上是減函數(shù)；②直線是函數(shù)圖像的一條對稱軸；③函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像向左平移個單位得到；④若，則的值域是其中，正確的命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．(2023·江蘇省如皋中學(xué)）（多選）函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，則（

）．A．該函數(shù)的解析式為B．該函數(shù)圖象的對稱中心為，C．該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，D．把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，可得到該函數(shù)圖象4．(2023·福建省福州屏東中學(xué)）（多選）已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則（

）A．函數(shù)為奇函數(shù)B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖像向右平移個單位長度得到的函數(shù)圖像關(guān)于對稱，則的最小值是D．若方程在上有個不同實根，則的最大值為第5章三角函數(shù)章末重難點歸納總結(jié)重點一扇形的弧長與面積【例1-1】(2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知扇形的周長為，面積為，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．或答案:C解析：設(shè)扇形的弧長為，半徑為，則，，則，解得：或，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，故舍去，扇形的圓心角的弧度數(shù)是．故選:C．【例1-2】（2023·全國·專題練習(xí)）已知扇形的圓心角是，半徑是，弧長為.(1)若，求扇形的面積；(2)若扇形的周長為，求扇形面積的最大值，并求此時扇形圓心角的弧度數(shù)．答案:(1)(2)最大值為25；解析：(1)因為，所以扇形的面積為；(2)由題意可知：，即，所以扇形的面積為，當(dāng)時，扇形面積的最大值為，此時，【一隅三反】1．(2023·四川）折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，如圖1．其平面圖如圖2的扇形，其中，，則扇面（曲邊四邊形ABDC）的面積是______．答案:解析：由題意可得，扇形AOB的面積是，扇形COD的面積是．則扇面（曲邊四邊形ABDC）的面積是．故答案為：2．(2023·安徽·亳州二中高一期末）屏風(fēng)文化在我國源遠流長，可追溯到漢代某屏風(fēng)工藝廠設(shè)計了一款造型優(yōu)美的扇環(huán)形屏風(fēng)，如圖，扇環(huán)外環(huán)弧長為3.6m，內(nèi)環(huán)弧長為1.2m，徑長（外環(huán)半徑與內(nèi)環(huán)半徑之差）為1.2m，則該扇環(huán)形屏風(fēng)的面積為__________．答案:2.88解析：設(shè)扇形的圓心角為，內(nèi)環(huán)半徑為，外環(huán)半徑為，則，由題意可知，所以，所以該扇環(huán)形屏風(fēng)的面積為：.故答案為：2.88.3．(2023·陜西榆林）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章給出了弧田（由圓弧和其所對弦所圍成）面積的計算公式：弧田面積（弦矢矢）．公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于圓弧的最高點到弦的距離．如圖，弧田是由圓弧和其所對弦圍成的圖形，若弧田的弧長為，弧所在的圓的半徑為4，則利用九章算術(shù)中的弧田面積公式計算出來的面積與實際面積之差為______．答案:解析：設(shè)圓弧所對圓心角的弧度為，由題可知，解得．故扇形的面積為，三角形的面積為，故弧田實際的面積為．作分別交，于點，，則，，所以利用九章算術(shù)中的弧田面積公式計算出來的面積為，則所求差值為．故答案為：.4．(2023·全國·高一課時練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，周長為，面積為，所在圓的半徑為.（1）若，，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；（2）若，，求的值.答案:（1）5π（cm），25π–50（cm2）；（2）或.解析：（1）設(shè)弧長為，弓形面積為，則，，，；（2）由已知得，解得或，或重點二三角函數(shù)的定義【例2-1】(2023·全國·高三專題練習(xí)）如果角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．答案:D解析：由題可得，因為所以.故選：D【例2-2】(2023·江西省銅鼓中學(xué)）已知角的終邊經(jīng)過點，且，則（

）A． B．1 C．2 D．答案:C解析：由題意，解得．故選：C．【一隅三反】1．(2023·全國·高一課時練習(xí)）已知是角終邊上一點，且，則的值是（

）A． B． C． D．答案:D解析：因為是角終邊上一點，，故點位于第二象限，所以，，整理得：，因為，所以.故選：D.2(2023·重慶）角的終邊經(jīng)過點，且，則的值為______．答案:解析：由題意角的終邊經(jīng)過點，且，可知，則，解得，所以，故答案為：3．（2023·全國·專題練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過點，且，則____．答案:解析：因為角的終邊經(jīng)過點，且，所以，解得或，因為點的縱坐標(biāo)為，且，所以角的終邊落在第三象限，所以，即，所以，所以.故答案為：重點三三角函數(shù)值的正負【例3-1】(2023·全國·高一課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點在原點，始邊在軸的非負半軸上，終邊在第二象限，則下列三角函數(shù)中值大于零的是（

）A． B． C． D．答案:D解析：由已知得是第二象限角，所以是第三象限角，是第四象限角，所以，，，,故選:D．【例3-2】（2023·全國·專題練習(xí)）已知角θ在第二象限，且，則角在（

）A．第一象限或第三象限B．第二象限或第四象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限答案:C解析：∵角θ是第二象限角，∴θ∈，∴，，∴角在第一或第三象限，∵，∴，∴角在第三象限.故選：C.【一隅三反】1．(2023·全國·高一課時練習(xí)）已知為第二象限角，則（

）A． B． C． D．答案:C解析：因為為第二象限角，所以，故ABD錯誤，C正確.故選：C2．(2023·全國·高一課時練習(xí)）已知且，則是（

）A．第一象限的角 B．第二象限的角C．第三象限的角 D．第四象限的角答案:D解析：，則是第三、四象限的角，則是第二、四象限的角∴是第四象限的角故選：D．3．(2023·全國·高一課時練習(xí)）（多選）已知點在第一象限，則在內(nèi)的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案:AB解析：因為點在第一象限，所以，即位于第一象限或者第三象限且，且滿足，所以，當(dāng)位于第一象限時，時，；當(dāng)位于第三象限時，時，.故選：AB重難點四同角三角函數(shù)【例4-1】(2023·成都）已知?，且?為第四象限角，則?（

）A．? B．?C．? D．?答案:A解析：?為第四象限，?，故選：A【例4-2】(2023·遼寧實驗中學(xué)）已知，則的值為（

）A． B．18 C． D．15答案:A解析：，代入可算得原式的值為.故選：A【例4-3】（2023·云南）已知，且，給出下列結(jié)論：①；②；③；④.其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①②④ B．②③④C．①②③ D．①③④答案:A解析：∵,，等式兩邊平方得，解得，故②正確；∵，，∴，,故①正確，③錯誤；由可知，，且，解得，故④正確，故選：A【一隅三反】1．（2023·廣東）已知，則的值為（）A． B． C． D．答案:C解析：因，則，所以.故選：C2．(2023·遼寧·沈陽二十中一模）（多選）已知，，則（

）A． B．C． D．答案:ABD解析：因為①，所以，所以．又，所以，所以，即，故A正確．，所以②，故D正確．由①②，得，，故B正確．，故C錯誤．故選：ABD．3．(2023·安徽）已知，則___________.答案:解析：因為，所以，因為，則，所以.故答案為:4．(2023·河南信陽·高一期中）如果，且，那么的值是_________.答案:解析：由，得代入整理得：，或又，，，，則．故答案為：．重難點五誘導(dǎo)公式及恒等變化【例5-1】(2023·湖北黃岡）（多選）下列各式中，值為的是（

）A． B．C． D．答案:ABD解析：對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確；故選：ABD.【例5-2】(2023·廣東深圳·高三階段練習(xí)）已知為第一象限角，，則（

）A． B． C． D．答案:A解析：由為第一象限角，，得，故，故.故選：A.【例5-3】(2023·吉林）已知，則（

）A． B． C． D．答案:D解析：因為，所以，故選：D【一隅三反】1．(2023·遼寧實驗中學(xué)）（多選）下列等式成立的是（

）A． B．C． D．答案:BCD解析：對于A：，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：，故C正確；因為，故D正確；故選：BCD2．（貴州省2023屆高三上學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)（文）試題）若，則________.答案:解析：，故答案為：3．(2023·重慶）已知，則___________.答案:解析：，而.故答案為：重難點六三角函數(shù)性質(zhì)【例6】(2023·陜西）已知函數(shù)．則關(guān)于說法錯誤的是(

)A．的圖象向右平移個單位長度后所得的函數(shù)為B．的圖象與的圖象關(guān)于y軸對稱C．的單調(diào)遞減區(qū)間為D．在上有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是答案:D解析：﹒對于選項A，將的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，∴選項A正確；對于選項B，∵，∴與圖象關(guān)于y軸對稱，∴選項B正確；對于C，由得，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，∴選項C正確；對于D，如圖為的圖象，由圖可知，在上有3個零點，則，解得，∴選項D錯誤．故選：D．【一隅三反】1．(2023·成都）已知函數(shù)?，下列說法正確的是（

）A．?的最小正周期是?B．?的圖像關(guān)于直線?對稱C．?在區(qū)間?上單調(diào)遞增D．?的圖像可由?的圖像向左平移?個單位得到答案:D解析：，得，故A選項錯誤；令，直線不為其對稱軸，故B選項錯誤；當(dāng)，時，單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減，故C選項錯誤；將的圖像向左移個單位得.故D選項正確.故選：D.2．(2023·陜西師大附中高一期中）函數(shù)，給出下列四個命題：①在區(qū)間上是減函數(shù)；②直線是函數(shù)圖像的一條對稱軸；③函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像向左平移個單位得到；④若，則的值域是其中，正確的命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案:B解析：，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)