2024-2025學(xué)年湖南省岳陽(yáng)市岳陽(yáng)縣一中高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南省岳陽(yáng)市岳陽(yáng)縣一中高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線y=?3x+3的傾斜角為A.30° B.60° C.120° D.150°2.若復(fù)數(shù)z滿足：(1?i)z?3+i=0，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.設(shè)點(diǎn)A(3,?3)，B(?2,?2)，直線l過點(diǎn)P(1,1)且與線段AB相交，則l的斜率k的取值范圍是(

)A.k≥1或k≤?4 B.k≥1或k≤?2 C.?4≤k≤1 D.?2≤k≤14.在三棱錐P?ABC中，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，則該三棱錐的外接球的表面積為(

)A.43π B.12π C.48π5.過點(diǎn)A(1,4)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為(

)A.x?y+3=0 B.x+y?5=0

C.4x?y=0或x+y?5=0 D.4x?y=0或x?y+3=06.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若bsinB?asinA=5csinC，cosA=12，則bcA.6 B.5 C.4 D.37.如圖是某零件結(jié)構(gòu)模型，中間大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，小球與大球和正四面體三個(gè)面均相切，若AB=12，則該模型中一個(gè)小球的體積為(

)A.3π

B.3π2

C.6π

8.已知平面α與β所成銳二面角的平面角為70°，P為空間內(nèi)一定點(diǎn)，過點(diǎn)P作與平面α，β所成的角都是35°的直線l，則這樣的直線l有且僅有(

)A.1條 B.2條 C.3條 D.4條二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知a，b是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是(

)A.若a//b，b//α，則a//α B.若a⊥α，α//β，則a⊥β

C.若α⊥γ，β⊥γ，則α//β D.若α⊥β，β//γ，則α⊥γ10.已知a>0，b>0，且2a+b=ab，則(

)A.ab≥8 B.a+b≤3+22 C.b>2 11.若Ox，Oy是平面內(nèi)兩條相交成60°角的數(shù)軸，e1和e2是x軸、y軸正方向上的單位向量，若向量f=xe1+ye2，則規(guī)定有序數(shù)對(duì)(x,y)為向量f在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)，記作fA.|a|=2 B.a/?/c12.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨(dú)特的幾何體，“勒洛四面體”就是其中之一.勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分，且其體積小于正四面體外接球體積.如圖，在勒洛四面體中，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為4，則下列結(jié)論正確的是(

)A.勒洛四面體最大的截面是正三角形

B.若P、Q是勒洛四面體ABCD表面上的任意兩點(diǎn)，則PQ的最大值可能大于4

C.勒洛四面體ABCD的體積是86π

D.勒洛四面體三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.sin160°cos40°?sin250°cos50°=

．14.直線mx+(m+2)y?1=0與直線(m?1)x+my=0互相垂直，則m=

．15.正四棱錐P?ABCD中，PA=AB=4，E，F(xiàn)為棱PB，PD的中點(diǎn)，則異面直線AE，BF所成角的余弦值為

．16.命題p：“?x∈[2,8]，mlog2x+1≥0”是真命題，則實(shí)數(shù)m四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(1,2)，B(?2,?1)，C(3,?2).求：

(1)邊AC上的中線BD所在直線方程；

(2)邊AC上的高BE所在直線方程．18.(本小題12分)

如圖，在△ABC中，AB=3,AC=4,∠BAC=2π3,AE=1,AF=2，D為BC的中點(diǎn)，AD與EF交于G點(diǎn).設(shè)AB=a，AC=b．

(1)試用a,b表示BG19.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形．

(1)若點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，證明：PB//平面ACE；

(2)若PA=PD=AD，∠BAD=120°，且平面PAD⊥平面ABCD，求二面角P?AC?D的正弦值．20.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AB=3,AD=2,PC=11,PA=2，E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱PB上．

(1)若PF=13PB，求三棱錐P?FAC的體積；

(2)在線段PB上是否存在點(diǎn)F，使得EF/?/平面PCD？若存在，求21.(本小題12分)

甲、乙、丙、丁4名棋手進(jìn)行象棋比賽，賽程如下面的框圖所示，其中編號(hào)為i的方框表示第i場(chǎng)比賽，方框中是進(jìn)行該場(chǎng)比賽的兩名棋手，第i場(chǎng)比賽的勝者稱為“勝者i”，負(fù)者稱為“負(fù)者i”，第6場(chǎng)為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場(chǎng)比賽獲勝的概率均為34(1)求乙僅參加兩場(chǎng)比賽且連負(fù)兩場(chǎng)的概率；

(2)求甲獲得冠軍的概率；

(3)求乙進(jìn)入決賽，且乙與其決賽對(duì)手是第二次相遇的概率．22.(本小題12分)

如圖，在△ABC中，AB=2AC，∠BAC的角平分線交BC于D，AD=kAC．

(1)求k的取值范圍；

(2)已知△ABC面積為1，當(dāng)線段BC最短時(shí)，求實(shí)數(shù)k．

參考答案1.C

2.A

3.B

4.B

5.D

6.A

7.C

8.C

9.BD

10.ACD

11.BCD

12.BD

13.314.0或?115.1516.[?1,+∞)

17.解：(1)由題知AC的中點(diǎn)D(2,0)，所以直線BD的斜率kBD=?1?0?2?2=14，

則邊AC上的中線BD所在直線的方程為y=14(x?2)，化簡(jiǎn)得x?4y?2=0．

(2)由題意得直線AC的斜率kAC=?2?23?1=?2，且18.解：(1)由題意，AD=12AB+12AC，

AG=λAD=λ2AB+λ2AC=3λ2AE+λAF，

由于E，G，F(xiàn)三點(diǎn)共線，19.解：(1)證明：連接BD交AC于M，連接EM，

因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，

所以M為BD的中點(diǎn)，

又點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，

故ME為△DPB的中位線，

故EM//PB，

而ME?平面ACE，PB?平面ACE，

故PB//平面ACE；

(2)設(shè)O為AD的中點(diǎn)，連接PO，因?yàn)镻A=PD=AD，

故PO⊥AD，

因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD，

而AC?平面ABCD，

故PO⊥AC，

又底面ABCD是菱形，

故AC⊥BD，

作ON//BD交AM于N，

則ON⊥AC，且N為AM的中點(diǎn)，

連接PN，因?yàn)镻O?ON=O，PO，ON?平面PON，

故AC⊥平面PON，

則∠PNO即為二面角P?AC?D的平面角，

設(shè)PA=PD=AD=2，則PO=3，

∠BAD=120°，則∠DAC=60°，

則DM=2×sin60°=3，

由于O為AD的中點(diǎn)，N為AM的中點(diǎn)，

故ON=12DM=32，

而PO⊥平面ABCD，ON?平面ABCD，

故PO⊥ON，

所以20.解：(1)因?yàn)?/p>

PF=13PB，S△ABC=12AB?BC=12×3×2=3，

所以VP?FAC=VF?PAC=13VB?PAC=13VP?ABC=19dP?ABCS△ABC=13dP?ABC，

又因?yàn)槊鍼AD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，AD⊥CD，AD?面ABCD，

所以CD⊥面PAD，而PD?面PAD，故CD⊥PD，

由于AB=3,AD=2,PC=11,PA=2，

故PE=2?1=1，PD=PE2+DE2=1+1=2，

又因?yàn)锳D=2,PA=2,E為AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD，PE=1，

又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，PE⊥AD，PE?面PAD，

所以PE⊥平面ABCD，

即故dP?ABC=PE=1，所以三棱錐P?FAC的體積為13．

(2)存在，PF：PB=1：2，即F為PB的中點(diǎn)．

證明：當(dāng)F為PB的中點(diǎn)時(shí)，取BC的中點(diǎn)M，連接FM，EM21.解：(1)甲、乙、丙、丁4名棋手進(jìn)行象棋比賽，賽程如下面的框圖所示，

其中編號(hào)為i的方框表示第i場(chǎng)比賽，方框中是進(jìn)行該場(chǎng)比賽的兩名棋手，第i場(chǎng)比賽的勝者稱為“勝者i”，負(fù)者稱為“負(fù)者i”，

第6場(chǎng)為決賽，獲勝的人是冠軍．已知甲每場(chǎng)比賽獲勝的概率均為34，而乙、丙、丁相互之間勝負(fù)的可能性相同．

乙獲連負(fù)兩場(chǎng)，所以1、4均負(fù)，

所以乙獲連負(fù)兩場(chǎng)的概率為P=34×12=38．

(2)甲獲得冠軍，則甲參加的比賽結(jié)果有三種情況：

1勝3勝6勝；1負(fù)4勝5勝6勝；1勝3負(fù)5勝6勝，

所以甲獲得冠軍的概率為：P=(34)3+2×(34)3×14=81128．

(3)若乙的決賽對(duì)手是甲，則兩人參加的比賽結(jié)果有兩種情況：

甲1勝3勝，乙1負(fù)4勝5勝；甲1負(fù)4勝5勝，乙1勝3勝，

所以甲與乙在決賽相遇的概率為：P=34×34×12×12+14×34×34×12=22.解：(1)設(shè)∠BAD=∠CAD=α，AC=b，則AB=2b，AD=kb，

由角平分線