第九章　第六節(jié)　第2課時(shí)　直線和雙曲線

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第2課時(shí)直線和雙曲線【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一直線與雙曲線的位置關(guān)系[例1](1)(一題多法)直線3x-4y=0與雙曲線y29-x2A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選A.方法一:聯(lián)立直線3x-4y=0與雙曲線y29-x216=1的方程,y29方法二:由y29-x216=0,得3x±4y=0,所以雙曲線的漸近線方程為3因?yàn)橹本€3x-4y=0是雙曲線y29-x(2)(2022·全國(guó)甲卷)記雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x與【解析】C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),所以C的漸近線方程為y=±bax,結(jié)合漸近線的特點(diǎn),只需0<ba≤2,即b2a2≤4,可滿足條件“直線y=2x與C無公共點(diǎn)”,所以e=ca=答案:2(答案不唯一,滿足1<e≤5皆可)解題技法直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法(1)聯(lián)立方程,消元化為關(guān)于x(或y)的一元方程;(2)討論最高次數(shù)項(xiàng)系數(shù)是否為零求解;(3)依據(jù)方程解的個(gè)數(shù),判斷交點(diǎn)的個(gè)數(shù).設(shè)直線l:y=kx+m,雙曲線x2a2-y2b聯(lián)立解得:(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.①m=0時(shí),-ba<k<bk≥ba,k≤-ba,或②m≠0時(shí),若b2-a2k2=0,k=±ba若b2-a2k2≠0,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)·(-a2m2-a2b2)=4a2b2(m2+b2-a2k2),Δ>0,m2+b2-a2k2>0,直線與雙曲線相交于2點(diǎn);Δ=0,m2+b2-a2k2=0,直線與雙曲線相切于1點(diǎn);Δ<0,m2+b2-a2k2<0,直線與雙曲線相離.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.(2024·哈爾濱模擬)雙曲線x29-y24=1與直線y=-23x+m(mA.0 B.1 C.0或1 D.0或1或2【解析】選C.因?yàn)殡p曲線x29-y24=1的漸近線方程為y=±23x,所以,當(dāng)m=0時(shí),直線l:y=-23當(dāng)m≠0時(shí),直線l與雙曲線的一條漸近線平行,此時(shí)直線l與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn).2.(2024·南通模擬)已知雙曲線x2-y2a2=1,若過點(diǎn)(2,2)能作該雙曲線的兩條切線,則該雙曲線離心率e【解析】過(2,2)能作兩條切線說明該點(diǎn)在雙曲線外部,故4-4a2<1,故a2<所以e2=1+a2<73,所以e<213,又點(diǎn)不在該雙曲線漸近線上,故a≠1,即e≠綜上,e∈(1,2)∪(2,213)答案:(1,2)∪(2,213【加練備選】(2024·吉林模擬)已知直線L:y=12x+m與曲線C:y=12|4-A.(-2,2) B.(-2,2)C.(1,2) D.(1,3)【解析】選C.由題意得曲線C:y=12|4-x2|,即2y=|4-當(dāng)4-x2≥0時(shí)得到4y2=4-x2即x24+y2=1(y≥0);當(dāng)4-x2<0時(shí)得到x24-y由以上可得曲線C的圖象如圖所示,易知直線L:y=12x+m與雙曲線x24-y2=1的一條漸近線y=把直線y=12x即y=12x+1與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn),此時(shí)m繼續(xù)向上平移至與半橢圓相切前有3個(gè)交點(diǎn).當(dāng)直線與橢圓的上半部分相切時(shí),聯(lián)立直線與橢圓的方程y=12x+mx24+y2=1代入整理得2x2+4mx+4m2-4=0,Δ=16m2-8(4綜上可知1<m<2.考點(diǎn)二直線與雙曲線相交的有關(guān)問題考情提示直線與雙曲線相交問題是近幾年高考命題的熱點(diǎn),它常與函數(shù)、方程、不等式相結(jié)合考查弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦等內(nèi)容.角度1弦長(zhǎng)問題[例2](1)若雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線被圓(x+2)2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為2A.3 B.233 C.2 D【解析】選B.由題意,雙曲線C的一條漸近線方程為bx-ay=0,又由圓(x+2)2+y2=4的圓心為(-2,0),半徑為r=2,因?yàn)橐粭l漸近線被圓(x+2)2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為23,可得(|-2b|a2+b2)2+(3)2=4,所以a2=3b2,即a所以e=ca=2(2)(2024·寶雞模擬)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與點(diǎn)F(10,0)之間的距離和點(diǎn)P到直線l:x=102的距離的比值為2,記點(diǎn)P的軌跡為曲線①求曲線C的方程;【解析】①由動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與點(diǎn)F(10,0)之間的距離和點(diǎn)P到直線l:x=102的距離的比值為2可得(x-10)2+y即曲線C的方程為x25-y②若O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線y=12x+1交曲線C于A,B兩點(diǎn),求△OAB的面積【解析】②聯(lián)立方程組y=12x+1x設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1+x2=43,x1x2所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+14×又由點(diǎn)O到直線y=12x+1的距離d=11+14=25=12|AB|·d=12×2953×角度2中點(diǎn)弦問題[例3]已知雙曲線方程為2x2-y2=2,則以點(diǎn)A(2,3)為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在的直線方程為()A.4x-3y+1=0 B.2x-y-1=0C.3x-4y+6=0 D.x-y+1=0【解析】選A.設(shè)以點(diǎn)A(2,3)為中點(diǎn)的雙曲線的弦的端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),可得2x12-y12=2,2x22-y22=2,相減可得2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),且x1+x則弦所在直線的斜率k=y1-y2x1-x2=2(x1+x2)解題技法1.解決直線與雙曲線相交有關(guān)問題的解題策略(1)解決弦長(zhǎng)問題,可聯(lián)立直線與雙曲線方程,消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的一元方程,利用弦長(zhǎng)公式即可求解;(2)解決中點(diǎn)弦問題,常常采用點(diǎn)差法求解,但一定要注意直線是否與雙曲線相交的判斷.2.相交弦AB的弦長(zhǎng)公式AB=1+k2x或AB=1+1k2對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.(2023·全國(guó)乙卷)設(shè)A,B為雙曲線x2-y29=1上兩點(diǎn),下列四個(gè)點(diǎn)中,可為線段AB中點(diǎn)的是(A.(1,1) B.(-1,2)C.(1,3) D.(-1,-4)【解析】選D.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則AB的中點(diǎn)M(x1+x可得kAB=y1-y2x1-因?yàn)锳,B在雙曲線上,則x1兩式相減得(x12-x22)-y12-y2對(duì)于選項(xiàng)A:可得k=1,kAB=9,則AB:y=9x-8,聯(lián)立方程y=9消去y得72x2-2×72x+73=0,此時(shí)Δ=(-2×72)2-4×72×73=-288<0,所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn),故A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B:可得k=-2,kAB=-92則AB:y=-92x-52,聯(lián)立得方程組消去y得45x2+2×45x+61=0,此時(shí)Δ=(2×45)2-4×45×61=-2880<0,所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn),故B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C:可得k=3,kAB=3,則AB:y=3x,由雙曲線方程可得a=1,b=3,則AB:y=3x為雙曲線的漸近線,所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn),故C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D:k=4,kAB=94,則AB:y=94x-聯(lián)立得方程組y=94x-74x2-y29=1,消去2.已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線Γ經(jīng)過點(diǎn)M(6,2),N(-23,-6).(1)求雙曲線Γ的離心率e;【解析】(1)設(shè)雙曲線Γ的方程為x2a2-y2b2=1(解得b2=2a2=3,所以c2=a2+b2=5,e(2)若直線l:y=33x-1與雙曲線Γ交于A,B兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)|AB|【解析】(2)由(1)得雙曲線Γ的方程為x23-設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由x23-y22=1y=33x-1,得x2+23x-9=0,|AB|=(1+k2故弦長(zhǎng)|AB|為8.考點(diǎn)三雙曲線的綜合問題[例4](多選題)(2024·南昌模擬)已知F1,F2分別是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),以F2為圓心,4為半徑的圓與C的一條漸近線切于點(diǎn)P,過F1的直線l與C交于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn),若C的離心率A.|PF1|=213B.|AB|的最小值為32C.若|AF2|=7,則|AF1|=13D.若A,B同在C的左支上,則直線l的斜率k∈(-∞,-43)∪(4【解析】選ACD.對(duì)于A選項(xiàng),設(shè)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線為y=bax,即bx-ay=0,則F2(c,0)到直線bx因?yàn)橐訤2為圓心的圓與l相切于點(diǎn)P,所以|PF2|=b=4,因?yàn)閑=53,即ca=53,則c=53a,又a2+b2=c2,即a2+16=259a2,所以在Rt△PF2O中,cos∠PF2F1=bc=4在△PF2F1中,|F1F2|=2c=10,|PF2|=4,|PF1|2=|F1F2|2+|PF2|2-2|所以|PF1|=213,故A正確;對(duì)于B選項(xiàng),當(dāng)直線l的斜率為0時(shí),A,B兩點(diǎn)分別為雙曲線的頂點(diǎn),則|AB|=2a=6,又因?yàn)?<323,即|AB|的最小值不可能為32對(duì)于C選項(xiàng),因?yàn)閨AF2|=7,又a+c=8,且|AF2|<a+c,所以A在C的右支上,所以|AF1|-|AF2|=2a=6,所以|AF1|=|AF2|+6=7+6=13,故C正確;對(duì)于D選項(xiàng),當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x+5),設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y=k(x+5)x29-y216=1,可得(16-9k2)所以16-解得k<-43或k>43解題技法雙曲線的綜合問題(1)當(dāng)與圓、橢圓有關(guān)時(shí),常常結(jié)合圓、橢圓的方程或性質(zhì),構(gòu)造函數(shù)解決問題;(2)當(dāng)與直線有關(guān)時(shí),常常聯(lián)立直線與雙曲線的方程,消元后利用一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造相關(guān)數(shù)量關(guān)系求解.(3)當(dāng)與向量知識(shí)結(jié)合時(shí),注意運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,將向量間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)問題,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,將所求問題與條件建立聯(lián)系求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(多選題)(2024·玉溪模擬)已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)與橢圓x29+y25=1的焦點(diǎn)相同,雙曲線E的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過點(diǎn)F2的直線與雙曲線E的右支交于P,Q兩點(diǎn),PF1與y軸相交于點(diǎn)A,△PAF2A.雙曲線E的離心率為2B.雙曲線E的方程為x2-y2C.若PF1⊥PF2,則△PAF2的內(nèi)切圓面積為3πD.過點(diǎn)(1,1)與雙曲線E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)的直線有3條【解析】選ACD.如圖,設(shè)PF1,PF2與△PAF2的內(nèi)切圓分別相切于M,N兩點(diǎn),所以|PM|=|PN|,|AM|=|AB|=1,|F2N|=|F2B|,且|AF1|=|AF2|,因?yàn)?a=|PF1|-|PF2|=|PM|+|AM|+|AB|+|F2B|-|PN|-|F2N|=2,可得a=1,雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)與橢圓x29+y25=1的焦點(diǎn)相同,所以c2=b2+所以雙曲線E的方程為x2-y2對(duì)于C,若PF1⊥PF2,設(shè)|PF2|=m,則|PF1|=m+2,|F1F2|=4,由|PF1|2+|PF2|2=|F1可得|PA|=|PM|+1,|AF2|=1+|F2B|=1+|F2N|=1+7-1-|PN|=7-|PN|,由|PA|2+|PF2|2=|AF2|2得(|解得|PM|=4-73,即內(nèi)切圓的半徑為r則△PAF2的內(nèi)切圓面積為4-對(duì)于D,當(dāng)過點(diǎn)(1,1)的直線與x軸垂