3.3.1 拋物線及其標準方程-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)《考點•題型 •技巧》精講與精練高分突破（人教A版2019選擇性必修第一冊）

高二數(shù)學(xué)《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版選擇性必修第一冊)第三章：圓錐曲線的方程3.3拋物線3.3.1拋物線及其標準方程【考點梳理】考點一拋物線的定義1．定義：平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l(不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡．2．焦點：定點F.3．準線：定直線l.考點二拋物線的標準方程圖形標準方程焦點坐標準線方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)重難點技巧：p的幾何意義是焦點到準線的距離．【題型歸納】題型一：拋物線的定義（方程、最值）1．（2021·全國高二課時練習）若拋物線上一點到該拋物線的焦點的距離，則點到軸的距離（）．A． B． C． D．2．（2021·東城·北京二中高二月考）拋物線上一點到其焦點的距離為3，則拋物線的方程為（）A． B．C． D．3．（2021·全國高二課時練習）已知A（3，2），點F為拋物線的焦點，點P在拋物線上移動，為使取得最小值，則點P的坐標為（）A．（0，0） B．（2，2） C． D．題型二：拋物線的四種標準方程4．（2021·全國高二課時練習）以軸為對稱軸，頂點為坐標原點，焦點與原點之間的距離為2的拋物線方程是（）A． B．C．或 D．或5．（2021·吉林農(nóng)安·高二期末（理））已知拋物線C：（）的準線為l，圓M：與l相切，則（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2021·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)（理））已知拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，則（）A． B． C． D．題型三：拋物線焦半徑的公式7．（2021·全國）已知拋物線的焦點為，，是拋物線上兩個不同的點，若，則線段的中點到軸的距離為（）A．3 B． C．5 D．8．（2021·全國高二課時練習）過拋物線的焦點的直線交于，兩點，若，則（）A．3 B．2 C． D．19．（2021·全國高二課時練習）已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，設(shè)A和B是C上的兩點，且M是線段AB的中點，若|AB|＝6，則M到y(tǒng)軸的距離的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8題型四：拋物線的方程常見求法10．（2021·東城·北京二中高二月考）己知過點的拋物線方程為，過此拋物線的焦點的直線與拋物線交于，兩點，且.（1）求拋物線的方程、焦點坐標、準線方程；（2）求所在的直線方程.11．（2021·哈密市第十五中學(xué)（理））根據(jù)條件求下列方程.（1）頂點在原點，準線方程是的拋物線方程；（2）已知雙曲線過點并且與有共同的漸近線，求雙曲線的標準方程.12．（2021·全國高二專題練習）根據(jù)下列條件求拋物線的標準方程.（1）拋物線的焦點是雙曲線16x2-9y2=144的左頂點；（2）過點P(2，-4)；（3）拋物線的焦點在x軸上，直線y=-3與拋物線交于點A，|AF|=5.【雙基達標】一、單選題13．（2021·山西平城·大同一中高二月考）若拋物線x2=8y上一點P到焦點的距離為8，則點P的縱坐標為（）A．6 B． C．7 D．14．（2021·全國高二課時練習）在拋物線上，橫坐標為4的點到焦點的距離為5，則p的值為（）A． B．2 C．1 D．415．（2021·全國高二課時練習）如果拋物線的準線是直線，那么它的焦點坐標為（）A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．16．（2021·綏德中學(xué)高二月考（文））已知拋物線上一點到焦點的距離與到軸的距離之差為1，則＝（）A．1 B．2 C．3 D．417．（2021·全國高二課時練習）若拋物線上一點到準線及對稱軸的距離分別為10和6，則點的橫坐標和的值分別為（）A．9，2 B．1，18 C．9，2或1，18 D．9，18或1，218．（2021·全國高二課時練習）已知拋物線的焦點到其準線的距離為2，過點的直線與拋物線交于，兩點，則的最小值為（）A． B． C． D．919．（2021·全國高二課時練習）已知是拋物線上一點，是拋物線的焦點，過作拋物線的準線的垂線，垂足為，若（為坐標原點），的周長為12，則（）A．4 B． C． D．520．（2021·富寧縣第一中學(xué)高二月考（文））已知拋物線第一象限內(nèi)一點到焦點的距離等于，則直線的斜率為（）A． B． C． D．21．（2021·云南省楚雄天人中學(xué)高二月考（理））為坐標原點，為拋物線的焦點，為上一點，若，則的面積為（）A． B． C． D．22．（2021·全國高二課時練習）如圖，過拋物線的焦點的直線交拋物線于點，，交其準線于點，準線與對稱軸交于點，若，且，則此拋物線的方程為（）A． B． C． D．【高分突破】一：單選題23．（2021·全國高二單元測試）若拋物線y2=2px（p>0）的焦點是橢圓的一個焦點，則p=A．2 B．3C．4 D．824．（2020·河北易縣中學(xué)高二月考）為坐標原點，為拋物線的焦點，為上一點，若，則的面積為A． B． C． D．25．（2021·全國高二課時練習）已知點是拋物線上的一動點，為拋物線的焦點，是圓：上一動點，則的最小值為A．3 B．4 C．5 D．626．（2021·全國高二專題練習）已知為拋物線的焦點，是該拋物線上的兩點，，則線段的中點到軸的距離為A． B． C． D．27．（2021·泉州鯉城北大培文學(xué)校高二期中）等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于兩點，；則的實軸長為A． B． C． D．28．（2020·高臺縣第一中學(xué)高二期中（文））已知點是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為拋物線的焦點，點在拋物線上且滿足，若取最大值時，點恰好在以為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．29．（2020·福建省南安市柳城中學(xué)高二期中）已知橢圓與拋物線有相同的焦點為原點，點是拋物線準線上一動點，點在拋物線上，且，則的最小值為A． B． C． D．30．（2019·河南宛城·南陽中學(xué)高二月考（理））拋物線的焦點為,過點的直線交拋物線于、兩點，點為軸正半軸上任意一點，則A． B． C． D．二、多選題31．（2021·全國高二專題練習）已知拋物線上一點到其準線及對稱軸的距離分別為3和，則的值可以是A．2 B．6 C．4 D．832．（2020·如皋市第一中學(xué)高二月考）泰戈爾說過一句話：世界上最遠的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星，卻沒有交會的軌跡；世界上最遠的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交會，卻在轉(zhuǎn)瞬間無處尋覓．已知點，直線l：，若某直線上存在點P，使得點P到點M的距離比到直線l的距離小1，則稱該直線為“最遠距離直線”，則下列結(jié)論正確的是（）A．點P的軌跡曲線是一條線段B．點P的軌跡與直線：是沒有交會的軌跡即兩個軌跡沒有交點C．不是“最遠距離直線”D．是“最遠距離直線”33．（2021·全國高二期中）已知雙曲線：的實軸長是2，右焦點與拋物線：的焦點重合，雙曲線與拋物線交于、兩點，則下列結(jié)論正確的是（）A．雙曲線的離心率為 B．拋物線的準線方程是C．雙曲線的漸近線方程為 D．34．（2020·廣東實驗中學(xué)越秀學(xué)校高二期中）設(shè)拋物線的焦點為，為其上一動點，當運動到時，，直線與拋物線相交于兩點，點，下列結(jié)論正確的是（）A．拋物線的方程為B．的最小值為6C．存在直線，使得、兩點關(guān)于對稱D．當直線過焦點時，以為直徑的圓與軸相切35．（2020·江蘇高二專題練習）設(shè)拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，準線為l，A為C上一點，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點．若∠ABD＝90°，且△ABF的面積為9，則（）A．|BF|＝3 B．△ABF是等邊三角形C．點F到準線的距離為3 D．拋物線C的方程為y2＝6x36．（2021·全國高二課時練習）已知拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于點，且，.下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．△的面積為三、解答題37．（2021·全國高三專題練習（文））已知點，直線，動點P到點F與到直線l的距離相等，求動點P的軌跡C的方程.38．（2021·全國高二課時練習）已知拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為軸，且與圓相交的公共弦長為，求拋物線的方程．39．（2021·全國高二課時練習）已知橢圓的左?右焦點分別為，，拋物線與橢圓在第一象限的交點為Q，若.（1）求三角形的面積；（2）求此拋物線方程.40．（2021·江西科技學(xué)院附屬中學(xué)高二月考（理））已知拋物線的頂點是坐標原點，焦點在軸的正半軸上，是拋物線上的點，點到焦點的距離為1，且到軸的距離是．（1）求拋物線的標準方程；（2）假設(shè)直線通過點，與拋物線相交于，兩點，且，求直線的方程．41．（2021·上海市新場中學(xué)高二期中）已知一條曲線在軸右邊，上每一點到點的距離等于它到x=-1的距離.（1）求曲線的方程；（2）求直線被曲線截得線段長.42．（2021·浙江湖州·）已知拋物線，圓，是拋物線的焦點，過點的直線與拋物線交于?兩點，與圓交于點，點是線段的中點.（1）求拋物線的準線方程；（2）求的面積.43．（2021·廣西河池·（文））已知橢圓的一個焦點與拋物線：的焦點重合，點是拋物線的準線與軸的交點．（1）求拋物線的方程；（2）過點的直線與曲線交于，，若的面積為72，求直線的方程．【答案詳解】1．D【詳解】因為拋物線所以拋物線焦點，準線方程，點到準線距離為，到軸距離，故選：D2．B【詳解】因拋物線上一點到其焦點的距離為3，則p>0，拋物線準線方程為，由拋物線定義得：，解得，所以拋物線的方程為：.故選：B3．B【詳解】如圖所示：設(shè)點P到準線的距離為，準線方程為，所以，當且僅當點為與拋物線的交點時，取得最小值，此時點P的坐標為．故選：B．4．C【詳解】依題意設(shè)拋物線方程為．因為焦點與原點之間的距離為2，所以，所以，所以拋物線方程為或．故選：C．5．B【詳解】解：拋物線的準線與圓相切，可得，解得．故選：B．6．C【詳解】拋物線的焦點坐標為，所以橢圓中，，．故選：C．7．B【詳解】由拋物線方程，得其準線方程為.設(shè)，，由拋物線的定義，得，即，所以線段中點的橫坐標為，線段的中點到軸的距離為．故選：B.8．C【詳解】方法一：如圖，分別過點，作準線的垂線，，垂足分別為，，過點作于點，交軸于點．由已知條件及拋物線的定義，得，，所以．在中，因為，，所以，所以，所以焦點到準線的距離為，即．方法二：依題意，直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，將其代入拋物線的方程，得．設(shè)，，則．因為，所以，即，，所以，解得．故選：C.9．A解：因為C的方程為y2＝4x，所以F（1，0），過A作準線x＝﹣1的垂線，垂足為E，過B作準線的垂線，垂足為D，過M作準線的垂線，垂足為K，根據(jù)拋物線定義可得：|AF|+|BF|＝|AE|+|BD|≥|AB|＝6，則|MK|＝（|AE|+|BD|）≥3，所以，線段MN的中點M到C的準線x＝﹣1的距離最小值為3，故點M到y(tǒng)軸的距離最小值為3﹣1＝2.故選：A.10．(1)拋物線的方程為，焦點，準線方程為；(2)或.【詳解】(1)因點在拋物線方程上，則，所以拋物線的方程為，焦點，準線方程為：；(2)顯然，直線不垂直y軸，設(shè)直線方程為：，由消去x得：，設(shè)，則有，于是得，解得，即直線AB：，所以所在的直線方程：或.11．（1）；（2）.【詳解】(1)∵拋物線的頂點在原點，準線方程是，∴可設(shè)拋物線的方程為，且p=4，∴拋物線的標準方程為，(2)∵雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，∴可設(shè)雙曲線方程為，又雙曲線過點，∴，∴，故雙曲線的標準方程.12．（1）y2=-12x；（2）y2=8x或x2=-y；（3）y2=±2x或y2=±18x.【詳解】（1）雙曲線方程為，其左頂點為(-3，0)，由題意設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p>0)，則拋物線焦點為，，解得p=6，所以所求拋物線方程為為y2=-12x；（2）由于P(2，-4)在第四象限且拋物線的對稱軸為坐標軸，可設(shè)方程為y2=mx或x2=ny，將P點坐標代入方程求得m=8，n=-1，所以所求拋物線方程為y2=8x或x2=-y；（3）設(shè)所求焦點在x軸上的拋物線方程為：y2=2px(p≠0)，A(m，-3)，則拋物線準線為，由拋物線定義得，又(-3)2=2pm，顯然p，m同號，從而得或，解得p=±1或p=±9，所以所求拋物線方程為y2=±2x或y2=±18x.13．A【詳解】設(shè)點，因為拋物線方程為x2=8y，所以其準線方程為，又因為拋物線上點P到焦點的距離為8，由拋物線的定義得：，交點，所以點P的縱坐標為6，故選：A14．B解：由題意可得拋物線開口向右，焦點坐標，，準線方程，由拋物線的定義可得拋物線上橫坐標為4的點到準線的距離等于5，即，解之可得.故選：B.15．D【詳解】由于拋物線的準線是直線，所以它的焦點為.故選：D16．B【詳解】由題意到準線的距離減去到軸距離等于1，所以，．故選：B．17．C【詳解】因為點到對稱軸的距離為6，所以不妨設(shè)．因為點到準線的距離為10，所以，解得或，故選：C．18．B【詳解】因為拋物線的焦點到其準線的距離為2，所以，拋物線的方程為．設(shè)直線的方程為，將此方程代入，整理得．設(shè)，，則，所以，當且僅當，即時等號成立．故選：B．19．A【詳解】因為，所以.又是拋物線上一點，所以，則是等邊三角形.又的周長為12，所以，故選：A20．A【詳解】拋物線焦點為，因為點到拋物線的焦點的距離為，所以點到拋物線的準線的距離為，則點的橫坐標為，將代入拋物線方程得，即，所以直線的斜率為.故選：A21．A【詳解】因為拋物線，所以，由拋物線的定義得：，解得，則，所以的面積為，故選：A22．B【詳解】由拋物線定義，等于到準線的距離，因為，所以，又，從而，又因為在拋物線上，代入拋物線方程，解得．故拋物線方程為．故選：B23．D【詳解】因為拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，所以，解得，故選D．24．B【詳解】由可得拋物線的焦點F(1,0),準線方程為,如圖:過點P作準線的垂線,垂足為,根據(jù)拋物線的定義可知PM=PF=4,設(shè),則,解得,將代入可得,所以△的面積為=.故選B.25．B【詳解】如圖所示，利用拋物線的定義知：當三點共線時，的值最小，且最小值為拋物線的準線方程：，本題正確選項：26．C【詳解】拋物線的準線為，過作準線的垂線，垂足為，的中點為，過作準線的垂線，垂足為，因為是該拋物線上的兩點，故，所以，又為梯形的中位線，所以，故到軸的距離為，故選C.27．C【詳解】設(shè)C：－＝1．∵拋物線y2＝16x的準線為x＝－4，聯(lián)立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，∴|AB|＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4．∴C的實軸長為4．28．B【詳解】過P作準線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|∴，設(shè)PA的傾斜角為，則，當m取得最大值時，最小，此時直線PA與拋物線相切，設(shè)直線PA的方程為y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴雙曲線的實軸長為PA﹣PB=2（﹣1），∴雙曲線的離心率為．故選B．29．A【詳解】由題意，橢圓，即，則橢圓的焦點為，不妨取焦點拋物線，拋物線的焦點坐標為，橢圓與拋物線有相同的焦點，，即，則拋物線方程為，準線方程為，，由拋物線的定義得：到準線的距離為，即點的縱坐標，又點在拋物線上，，不妨取點坐標，關(guān)于準線的對稱點的坐標為，則，即三點共線時，有最小值，最小值為，故選A.30．B【詳解】分析：設(shè)，則，由利用韋達定理求解即可.詳解：設(shè)，的焦點，設(shè)過點的直線為，，，，，故選B.31．AC【詳解】設(shè)的橫坐標為，由題意，，，解得或.故選：AC32．BCD【詳解】由題意可得，點P到點M的距離比到直線l的距離小1，即等價于“點P到點M的距離等于到直線：的距離”故P點軌跡是以為焦點，直線：為準線的拋物線，其方程是，故A錯誤點P的軌跡方程是拋物線，它與直線沒交點，即兩者是沒有交會的軌跡，故B正確要滿足“最遠距離直線”則必須滿足與上述拋物線有交點，把代入拋物線，消去y并整理得因為，無解，所以不是“最遠距離直線”，故C正確；把代入拋物線，消去y并整理得，因為，有解，所以是“最遠距離直線”，故D正確．故選：BCD．33．BC【詳解】由雙曲線：的實軸長為2，可得，又由拋物線：的焦點重合，可得雙曲線的右焦點為，即，則，可知雙曲線：，所以雙曲線的離心率為，拋物線的準線方程是，雙曲線的漸近線方程為，所以A不正確；B、C正確，聯(lián)立方程組，解得，所以，所以D不正確.故選：BC.34．BD【詳解】，故，，故，錯誤；過作垂直于準線于，則，當共線時等號成立，故正確；設(shè)，，設(shè)中點則，，相減得到，即，故，故，點在拋物線上，不成立，故不存在，錯誤；如圖所示：為中點，故，故為直徑的圓與軸相切，故正確；故選：.35．BCD【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：因為|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點，所以，又，所以為等邊三角形，B正確；∠ABD＝90°，，過F作FC⊥AB交于C，則C為AB的中點，C的橫坐標為，B的橫坐標為，所以A的橫坐標為，，，所以A不正確，焦點到準線的距離為，所以C正確；拋物線的方程為：y2＝6x，所以D正確.故選：BCD．36．BCD【詳解】選項A.由拋物線的定義可得，解得，所以A不正確.選項B.所以，，拋物線方程為將點坐標代入拋物線方程，得，所以，所以B正確選項C.當時，則，則直線的方程為：則，得，解得或所以，則，同理當時，可得，所以C正確.選項D.由上可知當時，同理當時，，所以D正確.故