2025屆山東省泰安市新泰二中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2025屆山東省泰安市新泰二中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A.橢圓 B.直線C.線段 D.圓2．如圖，過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為（）A.y2＝9x B.y2＝6xC.y2＝3x D.y2＝x3．若雙曲線（，）的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.24．已知平面上兩點(diǎn)，則下列向量是直線的方向向量是（）A. B.C. D.5．已知、、、是直線，、是平面，、、是點(diǎn)（、不重合），下列敘述錯(cuò)誤的是（）A.若，，，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，則6．在四面體OABC中，，，，則與AC所成角的大小為（）A.30° B.60°C.120° D.150°7．考試停課復(fù)習(xí)期間，小王同學(xué)計(jì)劃將一天中的7節(jié)課全部用來(lái)復(fù)習(xí)4門(mén)不同的考試科目，每門(mén)科目復(fù)習(xí)1或2節(jié)課，則不同的復(fù)習(xí)安排方法有（）種A.360 B.630C.2520 D.151208．已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則（）A0 B.2C.4 D.69．已知a，b為不相等實(shí)數(shù)，記，則M與N的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.不確定10．與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線的方程為（）A. B.C. D.11．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，一條平行于y軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)B射出，則經(jīng)點(diǎn)B反射后的反射光線必過(guò)點(diǎn)（）A. B.C. D.12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入，那么輸出的a值為（）A.3 B.27C.-9 D.9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上的點(diǎn)P滿足軸，，則該橢圓的離心率為_(kāi)__________14．某公司青年、中年、老年員工的人數(shù)之比為10∶8∶7，從中抽取100名作為樣本，若每人被抽中的概率是0.2，則該公司青年員工的人數(shù)為_(kāi)_________15．已知點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，為圓的任意一條直徑，則的最大值是__________16．已知銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．若，則外接圓面積的最小值為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得恒成立時(shí)的最小正整數(shù).18．（12分）如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，|AB|＝|AD|＝2，|CD|＝4，為的中點(diǎn)（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正切值19．（12分）已知函數(shù)，從下列兩個(gè)條件中選擇一個(gè)使得數(shù)列{an}成等比數(shù)列.條件1：數(shù)列{f（an）}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列；條件2：數(shù)列{f（an）}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）如圖所示，第九屆亞洲機(jī)器人錦標(biāo)賽VEX中國(guó)選拔賽永州賽區(qū)中，主辦方設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形坐標(biāo)場(chǎng)地ABCD（包含邊界和內(nèi)部，A為坐標(biāo)原點(diǎn)），AD長(zhǎng)為10米，在AB邊上距離A點(diǎn)4米的F處放置一只電子狗，在距離A點(diǎn)2米的E處放置一個(gè)機(jī)器人，機(jī)器人行走速度為v，電子狗行走速度為，若電子狗和機(jī)器人在場(chǎng)地內(nèi)沿直線方向同時(shí)到達(dá)場(chǎng)地內(nèi)某點(diǎn)M，那么電子狗將被機(jī)器人捕獲，點(diǎn)M叫成功點(diǎn).（1）求在這個(gè)矩形場(chǎng)地內(nèi)成功點(diǎn)M的軌跡方程；（2）P為矩形場(chǎng)地AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，若存在兩個(gè)成功點(diǎn)到直線FP的距離為，且直線FP與點(diǎn)M的軌跡沒(méi)有公共點(diǎn)，求P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.21．（12分）已知橢圓C：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，P是橢圓上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓C的上頂點(diǎn)，Q為PA的中點(diǎn)，且直線PA與直線OQ的斜率之積恒為-2.（1）求橢圓C的方程；（2）若斜率為k且過(guò)上焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M，N到y(tǒng)軸距離之和最大時(shí)，求直線l的方程.22．（10分）如圖，在直三棱柱中，，E、F分別是、的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求證：平面

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式的幾何意義即可判定出動(dòng)點(diǎn)軌跡.【詳解】由題意可知表示動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和等于，又因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)的距離等于，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段.故選：2、C【解析】過(guò)點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，利用拋物線的定義和平行線的性質(zhì)、直角三角形求解【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，則由已知得|BC|＝2a，由拋物線定義得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因?yàn)閨AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，從而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝|FC|＝，因此拋物線的方程為y2＝3x，故選：C.3、A【解析】先求出漸近線方程，進(jìn)而將點(diǎn)代入直線方程得到a,b關(guān)系，進(jìn)而求出離心率.【詳解】由題意，雙曲線的漸近線方程為：，而一條漸近線過(guò)點(diǎn)，則，.故選：A.4、D【解析】由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和空間向量平行的坐標(biāo)表示，以及直線的方向向量的定義可得選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)閮牲c(diǎn)，則，又因?yàn)榕c向量平行，所以直線的方向向量是，故選：D.5、D【解析】由公理2可判斷A選項(xiàng)；由公理3可判斷B選項(xiàng)；利用平行線的傳遞性可判斷C選項(xiàng)；直接判斷線線位置關(guān)系，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由公理2可知，若，，，，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由公理3可知，若，，，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由空間中平行線的傳遞性可知，若，，則，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，，則與平行、相交或異面，D錯(cuò).故選：D.6、B【解析】以為空間的一個(gè)基底，求出空間向量求的夾角即可判斷作答.【詳解】在四面體OABC中，不共面，則，令，依題意，，設(shè)與AC所成角的大小為，則，而，解得，所以與AC所成角的大小為.故選：B7、C【解析】，先安排復(fù)習(xí)節(jié)的科目，然后安排其余科目，由此計(jì)算出不同的復(fù)習(xí)安排方法數(shù).【詳解】第步，門(mén)科目選門(mén)，安排節(jié)課，方法數(shù)有種，第步，安排其余科目，每門(mén)科目節(jié)課，方法數(shù)有種，所以不同的復(fù)習(xí)安排方法有種.故選：C8、D【解析】由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求出導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算導(dǎo)數(shù)值【詳解】由題意，，所以故選：D9、A【解析】利用作差法即可比較M與N的大小﹒【詳解】因?yàn)?，又，所以，即故選：A10、D【解析】點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，據(jù)此即可求解.【詳解】設(shè)(x，y)是與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線上任意一點(diǎn)，則(x，－y)在上，故，∴與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線的方程為.故選：D.11、D【解析】求出、坐標(biāo)可得直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出，根據(jù)選項(xiàng)可得答案,【詳解】把代入得，所以，所以直線的方程為即，與拋物線方程聯(lián)立解得，所以，因?yàn)榉瓷涔饩€平行于y軸，根據(jù)選項(xiàng)可得D正確,故選：D12、B【解析】分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)累乘值，并判斷滿足時(shí)輸出的值【詳解】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得，時(shí)，不滿足條件，；不滿足條件，；不滿足條件，；滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為27故選：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意分析為直角三角形，得到關(guān)于a、c的齊次式，即可求出離心率.【詳解】設(shè)，則.由橢圓的定義可知：，所以.所以因軸，所以為直角三角形，由勾股定理得：，即，即，所以離心率.故答案為：14、200【解析】先根據(jù)分層抽樣的方法計(jì)算出該單位青年職工應(yīng)抽取的人數(shù)，進(jìn)而算出青年職工的總?cè)藬?shù).【詳解】由題意，從中抽取100名員工作為樣本，需要從該單位青年職工中抽?。ㄈ耍?因?yàn)槊咳吮怀橹械母怕适?.2，所以青年職工共有（人）.故答案：200.15、【解析】設(shè)點(diǎn)，則且，計(jì)算得出，再利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)即可求得的最大值.【詳解】解：圓的圓心為，半徑長(zhǎng)為，設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，可得：且，由為圓的任意一條直徑可得：，，，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，即.故答案為：.16、【解析】利用二倍角公式求出，即可得到，再利用余弦定理及基本不等式求出的取值范圍，再利用正弦定理求出外接圓的半徑，即可求出外接圓的面積；【詳解】解：因?yàn)?，所以，解得或（舍去）．又為銳角三角形，所以．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以．外接圓的半徑，故外接圓面積的最小值為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)1【解析】（1）先設(shè)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，列出方程組求出首項(xiàng)和公差即可；（2）由(1)先求出，再由裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和即可.【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以解得所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可知∴,∴，∴，∴的最小正整數(shù)為1【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前項(xiàng)和的問(wèn)題，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.18、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】(1)證明BC⊥平面BDE即可；(2)以D為原點(diǎn)，DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，求平面BMD和平面BCD的法向量，利用法向量的求二面角的余弦，再求正切﹒【小問(wèn)1詳解】∵ADEF為正方形∴ED⊥AD又∵正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，且ED?平面ADEF∴ED⊥平面ABCD∵BC?平面ABCD∴ED⊥BC在直角梯形ABCD中，|AB|＝|AD|＝2，|CD|＝4，則，|BD|＝2，在△BCD中，，∴BC⊥BD∵DE∩BD＝D，DE與BD平面BDE，∴BC⊥平面BDE又∵BC?平面BEC∴平面BDE⊥平面BEC；【小問(wèn)2詳解】由(1)知ED⊥平面ABCD∵CD平面ABCD，∴CD⊥ED，∴DA，DC，DE三線兩兩垂直，故以D為原點(diǎn)，DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz：則,則設(shè)為平面BDM的法向量，則，取，取平面BCD的法向量為，設(shè)二面角的大小為θ，則，∴.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)所給的條件分別計(jì)算后即可判斷，再通過(guò)滿足題意的求出通項(xiàng)；（2）由（1）可得，再通過(guò)錯(cuò)位相減法求和即可.【小問(wèn)1詳解】若選擇條件1，則有，可得，不滿足題意；若選擇條件2，則有，可得，滿足題意，故.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，所以………①因此有……….②①②可得，即，化簡(jiǎn)得.20、（1）（2）【解析】（1）分別以為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得答案.(2)由題意可得點(diǎn)的軌跡所在圓的圓心到直線的距離，點(diǎn)的軌跡與軸的交點(diǎn)到直線的距離，從而可得答案.【小問(wèn)1詳解】分別以為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)成功點(diǎn)，可得即,化簡(jiǎn)得因?yàn)辄c(diǎn)需在矩形場(chǎng)地內(nèi)，所以故所求軌跡方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)，直線方程為直線FP與點(diǎn)M軌跡沒(méi)有公共點(diǎn),則圓心到直線的距離大于依題意，動(dòng)點(diǎn)需滿足兩個(gè)條件：點(diǎn)的軌跡所在圓的圓心到直線的距離即,解得②點(diǎn)的軌跡與軸的交點(diǎn)到直線的距離即,解得綜上所述，P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是21、（1）（2）【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，求出直線、直線的斜率相乘可得，結(jié)合可得答案；（2）設(shè)直線l的方程為與橢圓方程聯(lián)立，代入得，設(shè)，再利用基本不等式可得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，，即，則，設(shè)點(diǎn)，∵Q為的中點(diǎn)，∴，∴直線斜率，直線的斜率，∴，又∵，∴，則，解得，∴橢圓C的方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立化簡(jiǎn)得，，設(shè)，則，易知M，