北京市西城區(qū)第四中學2025屆高一上數學期末教學質量檢測試題含解析

北京市西城區(qū)第四中學2025屆高一上數學期末教學質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，若不等式恒成立，則的最大值為（）A.13 B.14C.15 D.162．將函數fx的圖象向右平移φφ>0個單位長度，得到函數gx=sinx+π6的圖象.A.π6 B.C.2π3 D.3．函數的圖象大致為（）A. B.C. D.4．函數的定義域是A.（-1，2] B.[-1,2]C.（-1，2） D.[-1,2)5．已知，，，則()A. B.C. D.6．以下給出的是計算的值的一個程序框圖，其中判斷框內應填入的條件是A.B.C.D.7．若，則的大小關系為.A. B.C. D.8．由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為A. B.C. D.9．設，則A. B.0C.1 D.10．在下列各區(qū)間上，函數是單調遞增的是A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．不等式對于任意的x，y∈R恒成立，則實數k的取值范圍為________12．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F是分別是棱A1B1、A1D1的中點，則A1B與EF所成角的大小為______13．若m，n滿足m2+5m-3=0，n2+5n-3=0，且m≠n，則的值為___________.14．已知函數，為偶函數，則______15．以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德國機械工程專家、機構運動學家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，所以以他的名字命名.一些地方的市政檢修井蓋、方孔轉機等都有應用勒洛三角形.如圖，已知某勒洛三角形的一段弧的長度為，則該勒洛三角形的面積為___________.16．已知f(x)是定義在R上的奇函數且以6為周期，若f(2)=0，則f(x)在區(qū)間(0,10)內至少有________零點.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）計算：（2）若，，求的值.18．從某小學隨機抽取100多學生，將他們的身高（單位：）數據繪制成頻率分布直方圖（如圖）.（1）求直方圖中的值；（2）試估計該小學學生的平均身高；（3）若要從身高在三組內的學生中，用分層抽樣的方法選取24人參加一項活動，則從身高在內的學生中選取的人數應為多少人？19．已知對數函數f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）的圖象經過點（4，2）（1）求實數a的值；（2）如果f（x+1）＜0，求實數x的取值范圍20．已知函數.（Ⅰ）用“五點法”作出該函數在一個周期內的圖象簡圖；（Ⅱ）請描述如何由函數的圖象通過變換得到的圖象.21．已知函數，且.（1）求函數的定義域，并判斷函數的奇偶性.（2）求滿足的實數x的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】用分離參數法轉化為恒成立，只需，再利用基本不等式求出的最小值即可.【詳解】因為，所以，所以恒成立，只需因為，所以，當且僅當時，即時取等號.所以.即的最大值為16.故選：D2、C【解析】根據正弦型函數圖象變換的性質，結合零點的定義和正弦型函數的性質進行求解即可.【詳解】因為函數fx的圖象向右平移φφ>0個單位長度，得到函數gx=sinx+π6的圖象，所以函數因為x=0是函數Fx所以F0=f0所以sinφ+π6=1解得：φ=2kπ(k∈Z)，或φ=2kπ+2π3(k∈Z)當φ=2kπ(k∈Z)時，因為φ>0，所以φ的最小值是2π，當φ=2kπ+2π3(k∈Z)時，因為φ>0，所以φ綜上所述φ的最小值是2π3故選：C3、D【解析】根據函數的奇偶性可排除選項A，B；根據函數在上的單調性可排除選項C，進而可得正確選項.【詳解】函數的定義域為且，關于原點對稱，因為，所以是偶函數，圖象關于軸對稱，故排除選項A，B，當時，，由在上單調遞增，在上單調遞減，可得在上單調遞增，排除選項C，故選：D.4、A【解析】根據二次根式的性質求出函數的定義域即可【詳解】由題意得：解得：﹣1＜x≤2，故函數的定義域是（﹣1，2]，故選A【點睛】本題考查了求函數的定義域問題，考查二次根式的性質，是一道基礎題．常見的求定義域的類型有：對數，要求真數大于0即可；偶次根式，要求被開方數大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次冪，要求底數不為0;多項式要求每一部分的定義域取交集.5、A【解析】比較a、b、c與中間值0和1的大小即可﹒【詳解】，，，∴﹒故選：A﹒6、A【解析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出S的值【詳解】程序運行過程中，各變量值如下表所示：第一圈：S=1，k=2，第二圈：S=1+，k=3，第三圈：S=1++，k=4，…依此類推，第十圈：S＝1+，k=11退出循環(huán)其中判斷框內應填入的條件是：k≤10，故選A【點睛】算法是新課程中的新增加的內容，也必然是新高考中的一個熱點，應高度重視．程序填空也是重要的考試題型，這種題考試的重點有：①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出．其中前兩點考試的概率更大．此種題型的易忽略點是：不能準確理解流程圖的含義而導致錯誤7、D【解析】由指數函數，對數函數的單調性，求出的大致范圍即可得解.【詳解】解：因為，，即，故選D.【點睛】本題考查了比較指數值，對數值的大小關系，屬基礎題.8、B【解析】過圓心作直線的垂線，垂線與直線的交點向圓引切線，切線長最小【詳解】圓心,半徑，圓心到直線的距離則切線長的最小值【點睛】本題考查圓的切線長，考查數形結合思想，屬于基礎題9、B【解析】詳解】故選10、C【解析】根據選項的自變量范圍判斷函數的單調區(qū)間即可.【詳解】當時，，由正弦函數單調性知，函數單增區(qū)間應滿足，即，觀察選項可知，是函數的單增區(qū)間，其余均不是，故選：C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】根據給定條件將命題轉化為關于x的一元二次不等式恒成立，再利用關于y的不等式恒成立即可計算作答.【詳解】因為對于任意的x，y∈R恒成立，于是得關于x的一元二次不等式對于任意的x，y∈R恒成立，因此，對于任意的y∈R恒成立，故有，解得，所以實數k的取值范圍為.故答案為：12、【解析】解：如圖，將EF平移到A1B1，再平移到AC，則∠B1AC為異面直線AB1與EF所成的角三角形B1AC為等邊三角形，故異面直線AB1與EF所成的角60°，13、【解析】由題可知是方程的兩個不同實根，根據韋達定理可求出.【詳解】由題可知是方程的兩個不同實根，則，.故答案為：.14、4【解析】利用二次函數為偶函數的性質得一次項系數為0，定義域關于原點對稱，即可求得的值.【詳解】由題意得：解得：故答案為：.【點睛】本題考查二次函數的性質，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意隱含條件的挖掘.15、【解析】計算出等邊的邊長，計算出由弧與所圍成的弓形的面積，進而可求得勒洛三角形的面積.【詳解】設等邊三角形的邊長為，則，解得，所以，由弧與所圍成的弓形的面積為，所以該勒洛三角形的面積.故答案為：.16、6【解析】直接利用f(x)的奇偶性和周期性求解.【詳解】因為f(x)是定義在R上奇函數且以6為周期，所以f(x)=-f即f-x所以f(x)的圖象關于3,0對稱，且f3則f9又f(0)=0,f(6)=0，又f(2)=0，所以f(8)=0,f(-2)=0,f(4)=0，所以f(x)在區(qū)間(0,10)內至少有6個零點.故答案為：6個零點三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用分數指數冪運算法則分別對每一項進行化簡，然后合并求解;（2）先利用已知條件，把m、n表示出來，代入要求解的式子中，利用對數的運算法則化簡即可.【詳解】（1）原式（2）因為，，所以，，所以18、（1）（2）（3）4人【解析】（1）根據頻率和為1，求出的值；（2）根據頻率分布直方圖，計算平均數即可（3）根據分層抽樣方法特點，計算出總人數以及應抽取的人數比即可；【小問1詳解】解：因為直方圖中的各個矩形的面積之和為1，所以有，解得；【小問2詳解】解：根據頻率分布直方圖，計算平均數為【小問3詳解】解：由直方圖知，三個區(qū)域內的學生總數為人，其中身高在內的學生人數為人，所以從身高在范圍內抽取的學生人數為人；19、(1)a＝2．(2){x|﹣1＜x＜0}【解析】（1）將點（4，2）代入函數計算得到答案.（2）解不等式log2（x+1）＜log21得到答案【詳解】（1）因為loga4＝2，所以a2＝4，因為a＞0，所以a＝2（2）因為f（x+1）＜0，也就是log2（x+1）＜0，所以log2（x+1）＜log21，所以，即﹣1＜x＜0，所以實數x的取值范圍是{x|﹣1＜x＜0}【點睛】本題考查了對數函數解析式，解不等式，忽略定義域是容易發(fā)生的錯誤.20、（Ⅰ）圖象見解析；（Ⅱ）答案不唯一，見解析.【解析】（Ⅰ）分別令取、、、、，列表、描點、連線可作出函數在一個周期內的圖象簡圖；（Ⅱ）根據三角函數圖象的變換原則可得出函數的圖象通過變換得到的圖象的變換過程.【詳解】（Ⅰ）列表如下：函數在一個周期內的圖象簡圖如下圖所示：（Ⅱ）總共有種變換方式，如下所示：方法一：先將函數的圖象向左平移個單位，將所得圖象上每個點的橫坐標縮短為原來的倍，再將所得圖象上每個點的縱坐標伸長為原來的倍，可得到函數的圖象；方法二：先將函數的圖象向左平移個單位，將所得圖象上每個點的縱坐標伸長為原來的倍，再將所得圖象上每個點的橫坐標縮短為原來的倍，可得到函數的圖象；方法三：先將函數的圖象上每個點的橫坐標縮短為原來的倍，將所得圖象向左平移個單位，再將所得圖象上每個點的縱坐標伸長為原來的倍，可得到函數的圖象；方法四：先將函數的圖象上每個點的橫坐標縮短為原來的倍，將所得圖象上每個點的縱坐標伸長為原來的倍，再將所得圖象向左平移個單位，可得到函數的圖象；方法五：先將函數的圖象上每個點的縱坐標伸長為原來的倍，將所得圖象上每個點的橫坐標縮短為原來的倍，再將所得圖象向左平移個單位，可得到函數的圖象；方法六：先將函數的圖象上每個點的縱坐標伸長為原來的倍，將所得圖象向左平移個單位，再將所得圖象上每個點的橫坐標縮短為原來的倍，可得到函數的圖象.【點睛】本題考查利用五點作圖法作出正弦型函數在一個周期內的簡圖，同時也考查了三角函數圖象變換，考查推理能