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文檔簡介
§1.2充分條件與必要條件1.2.1充分條件與必要條件學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解充分條件、必要條件的意義.2.會求(判定)某些簡單命題的條件關(guān)系.3.通過對充分條件、必要條件的概念的理解和運用,培養(yǎng)分析、判斷和歸納的邏輯思維能力.知識點充分條件與必要條件
一般地,“若p,則q”為真命題,是指由p通過推理可以得出q.這時,我們就說,由p可推出q,記作p?q,并且說p是q的_________,q是p的_________. (1)p是q的充分條件與q是p的必要條件表述的是同一個邏輯關(guān)系,只是說法不同.p是q的充分條件只反映了p?q,與q能否推出p沒有任何關(guān)系.充分條件必要條件(2)注意以下等價的表述形式:①p?q;②p是q的充分條件;③q的充分條件是p;④q是p的必要條件;⑤p的必要條件是q.(3)“若p,則q”為假命題時,記作“p
q”,則p不是q的充分條件,q不是p的必要條件.【預(yù)習(xí)評價】思考(1)數(shù)學(xué)中的判定定理給出了結(jié)論成立的什么條件? (2)性質(zhì)定理給出了結(jié)論成立的什么條件?
答案(1)充分條件(2)必要條件題型一充分條件、必要條件【例1】給出下列四組命題: (1)p:兩個三角形相似,q:兩個三角形全等; (2)p:一個四邊形是矩形,q:四邊形的對角線相等; (3)p:A?B,q:A∩B=A; (4)p:a>b,q:ac>bc.
試分別指出p是q的什么條件.解(1)∵兩個三角形相似?/兩個三角形全等,但兩個三角形全等?兩個三角形相似,∴p是q的必要不充分條件.(2)∵矩形的對角線相等,∴p?q,而對角線相等的四邊形不一定是矩形,∴q?/p.∴p是q的充分不必要條件.(3)∵p?q,且q?p,∴p既是q的充分條件,又是q的必要條件.(4)∵p?/q,且q?/p,∴p是q的既不充分也不必要條件.規(guī)律方法本例分別體現(xiàn)了定義法、集合法、等價法.一般地,定義法主要用于較簡單的命題判斷,集合法一般需對命題進行化簡,等價法主要用于否定性命題.要判斷p是不是q的充分條件,就要看p能否推出q,要判斷p是不是q的必要條件,就要看q能否推出p.【訓(xùn)練1】指出下列哪些命題中p是q的充分條件? (1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC. (2)對于實數(shù)x,y,p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6. (3)在△ABC中,p:sinA>sinB,q:tanA>tanB. (4)已知x,y∈R,p:x=1,q:(x-1)·(x-2)=0.解(1)在△ABC中,由大角對大邊知,∠A>∠B?BC>AC,所以p是q的充分條件.(2)對于實數(shù)x,y,因為x=2且y=6?x+y=8,所以由x+y≠8?x≠2或x≠6,故p是q的充分條件.(3)在△ABC中,取∠A=120°,∠B=30°,則sinA>sinB,但tanA<tanB,故p?/q,故p不是q的充分條件.(4)由x=1?(x-1)(x-2)=0,故p是q的充分條件.故(1)(2)(4)命題中p是q的充分條件.題型二充分條件、必要條件與集合的關(guān)系【例2】
是否存在實數(shù)p,使4x+p<0是x2-x-2>0的充分條件?如果存在,求出p的取值范圍;否則,說明理由.規(guī)律方法(1)設(shè)集合A={x|x滿足p},B={x|x滿足q},則p?q可得A?B;q?p可得B?A;若p是q的充分不必要條件,則AB.(2)利用充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍的關(guān)鍵就是找出集合間的包含關(guān)系,要注意范圍的臨界值.【訓(xùn)練2】已知M={x|(x-a)2<1},N={x|x2-5x-24<0},若M是N的充分條件,求a的取值范圍.
解由(x-a)2<1得x2-2ax+(a-1)(a+1)<0, ∴a-1<x<a+1.
又由x2-5x-24<0得-3<x<8. ∵M是N的充分條件,∴M?N,課堂達標(biāo)1.“-2<x<1”是“x>1或x<-1”的(
) A.充分條件但不是必要條件 B.必要條件但不是充分條件 C.既不是充分條件,也不是必要條件 D.既是充分條件,也是必要條件解析∵-2<x<1
x>1或x<-1,且x>1或x<-1
-2<x<1,∴“-2<x<1”是“x>1或x<-1”的既不充分也不必要條件.答案C2.“a>b”是“a>|b|”的(
) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.既是充分條件,也是必要條件 D.既不充分也不必要條件
解析由a>|b|?a>b,而a>b推不出a>|b|.
答案B3.若a∈R,則“a=1”是“|a|=1”的(
) A.充分條件 B.必要條件 C.既不是充分條件也不是必要條件 D.無法判斷
解析當(dāng)a=1時,|a|=1成立,
但|a|=1時,a=±1,所以a=1不一定成立. ∴“a=1”是“|a|=1”的充分條件.
答案A4.“a≤0”是“函數(shù)f(x)=|(ax-1)x|在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增”的(
) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.既充分也必要條件 D.既不充分也不必要條件答案C5.若“x<m”是“(x-1)(x-2)>0”的充分不必要條件,求m的取值范圍.
解由(x-1)(x-2)>0可得x>2或x<1,
由已知條件,知{x|x<m}
{x|x>2或x<1}. ∴m≤1.課堂小結(jié)1.充分條件、必要條件的判斷方法: (1)定義法:直接利用定義進行判斷. (2)等價法:利用逆否命題的等價性判斷,即要證p?q,只需證它的逆否命題綈q?綈p即可;同理要證q?p,只需證
綈p?綈q即可
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