貴州省部分校2025屆高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1貴州省部分校2025屆高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題可知，，所以，故選：A．2.若向量，的夾角為，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題可知，，故選：C．3.已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（）A.2 B.3 C.6 D.4〖答案〗D〖解析〗因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線過(guò)圓心，即，則因?yàn)?，且，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，則的最小值是4.故選：D.4.的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由二項(xiàng)式定理得的展開式的通項(xiàng)為，化簡(jiǎn)得，令，解得，所以項(xiàng)的系數(shù)為，故B正確.故選：B.5.已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)橛腥齻€(gè)零點(diǎn)，所以有三個(gè)根，所以和有三個(gè)交點(diǎn)，而，令，，令，，所以在上分別單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以極小值為，極大值為，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以，故B正確.故選：B.6.如圖所示，為測(cè)量一座古塔的高度，工作人員從塔底同一水平面的處測(cè)得塔頂C的仰角為，然后從處出發(fā)朝古塔方向走了60米到達(dá)處，在處測(cè)得塔頂C的仰角為，把塔頂正下方的一點(diǎn)記為點(diǎn)，則該古塔的高度為（）A.米 B.米C.米 D.米〖答案〗C〖解析〗由題意得，，，，所以，且設(shè)，得到即為所求古塔高度，而，由銳角三角函數(shù)的定義得，解得，故C正確.故選：C.7.已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是，，線段的中點(diǎn)為，則的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)Ax1,y1則，所以，即，解得，所以，則，所以，故選：B．8.已知函數(shù)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，都有成立，且．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；③若，則；④，．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①③ B.③④ C.②③ D.②④〖答案〗C〖解析〗對(duì)于①，令，則，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于②，令，則，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故正確；對(duì)于③，因?yàn)椋?，則，故正確；對(duì)于④，令，則，可得，令，則，故錯(cuò)誤.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若z為純虛數(shù)，則B.若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則C.若，則D若，則〖答案〗BCD〖解析〗由，若z為純虛數(shù)，即且，則，故A錯(cuò)誤；若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則，得，即，故B正確；若，則，則，故C正確；若，則，解得，故D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，若將的圖象平移后能與函數(shù)的圖象完全重合，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.在上單調(diào)遞增〖答案〗BC〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，而將的圖象平移后能與函數(shù)的圖象完全重合，所以，解得，故A錯(cuò)誤，此時(shí)，向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，設(shè)得到的新函數(shù)為，，由正弦函數(shù)性質(zhì)得是奇函數(shù)，故B正確，令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C正確，由題意得，，，所以在上不單調(diào)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知拋物線的準(zhǔn)線l與圓相切，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，N是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作l的垂線，垂足為Q，C的焦點(diǎn)為F，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)F的坐標(biāo)為B.的最小值為C.存在兩個(gè)P點(diǎn)，使得D.若為正三角形，則圓M與直線PQ相交〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)A，準(zhǔn)線與圓相切，可知，可得，所以F1,0，故A正確；對(duì)B，根據(jù)可得，可確定最小值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若，則PM=PF，做中垂線，根據(jù)題意知，設(shè)為中點(diǎn)，則可得，直線斜率為，根據(jù)點(diǎn)斜式可確定為，與拋物線聯(lián)立得，，所以可知有兩個(gè)解，所以存在兩個(gè)P點(diǎn)，使得，故C正確；對(duì)D，根據(jù)為正三角形，所以，則，且，所以可得，和圓與軸交點(diǎn)為0,3，，所以可知圓M與直線PQ相交，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以.13.已知一組樣本數(shù)據(jù)1，2，m，6的極差為6，若，則______，這組數(shù)據(jù)的方差為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)橐唤M樣本數(shù)據(jù)1，2，m，6的極差為6，且，所以,解得，則，所以方差為.14.在三棱錐中，，，D為AC的中點(diǎn)，平面ABC，且，則三棱錐外接球的表面積為______．〖答案〗〖解析〗在中，，，由余弦定理得，所以，設(shè)的外接圓的半徑為，則由正弦定理得，解得，結(jié)合圖形分析：因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，平面ABC，且，在中，，，又，則圓心到點(diǎn)的距離為，另設(shè)三棱錐的外接球球心到平面的距離為，設(shè)外接球的半徑為，則中，，即，直角梯形中，，即，解得，，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極小值．解：（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?,+∞，所以，，則，又，所以曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為，即，令得，令得，故所求三角形的面積為．（2）因?yàn)?，，令得或，令得或，令得，又函?shù)的定義域?yàn)?,+∞，所以的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，所以的極小值為．16.甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，每局勝者得1分，負(fù)者得0分，約定一方比另一方多3分或比賽滿7局時(shí)結(jié)束，并規(guī)定：當(dāng)一方比另一方多3分或比賽滿7局時(shí)，得分多的一方才算贏．假設(shè)在每局比賽中不存在平局，且甲每局獲勝的概率為，各局比賽相互獨(dú)立．已知前3局中，甲勝1局，乙勝2局，兩人又打了局后比賽結(jié)束．（1）求甲獲得這次比賽勝利的概率；（2）求的分布列及期望．解：（1）情況1：在接下來(lái)的比賽中，甲連贏局，則甲獲勝，概率為；情況2：在接下來(lái)的比賽中，前局甲贏局，負(fù)局，第局甲贏，則甲獲勝，概率為.所以甲獲得這次比賽勝利的概率為.（2）的可能取值為，時(shí)，在接下來(lái)的比賽中，乙連贏局，所以，則，所以的分布列為：數(shù)學(xué)期望.17.在三棱錐中，，，，為線段的中點(diǎn)．（1）證明：．（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：作面，，如圖，以中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如下空間直角坐標(biāo)系，所以，因?yàn)椋?，是等邊三角形，設(shè)，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，，故，所以，，得到，因?yàn)?，所以，而，，所以，解得，所以，，所以，設(shè)，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，故，而，，所以，解得，所以，因?yàn)?，所以，，故，由兩點(diǎn)間距離公式得，解得，所以，故，而，可得，故得證.（2）解：由上問(wèn)得，，設(shè)面的法向量為，所以，故得到，令，解得，，所以，而，，設(shè)面的法向量為，所以，故得到，令，解得，，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知雙曲線的離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為6，A為雙曲線C的左頂點(diǎn)，設(shè)直線l過(guò)定點(diǎn)，且與雙曲線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．（1）求雙曲線C的方程；（2）證明：直線AE與AF的斜率之積為定值．（1）解：因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為6，所以，因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，解得，由，得，則C的方程為．（2）證明：設(shè)，，因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)B-2,0，顯然直線l不垂直于軸，則設(shè)直線，聯(lián)立方程組，消去x得，由，得，則，，因?yàn)锳為雙曲線C的左頂點(diǎn)，所以，直線AE的斜率，直線AF的斜率，所以，即直線AE與AF的斜率之積為定值．19.若n項(xiàng)有窮數(shù)列滿足，，…，，即，則稱有窮數(shù)列為“對(duì)稱數(shù)列”．（1）設(shè)數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為7的“對(duì)稱數(shù)列”，，若成等差數(shù)列，且，試寫出所有可能的數(shù)列．（2）已知遞增數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．①求的通項(xiàng)公式；②組合數(shù)具有對(duì)稱性，恰好構(gòu)成一個(gè)“對(duì)稱數(shù)列”，記，求．解：（1）因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，又，所以，則，①當(dāng)時(shí)，，