專題07比大小歸類

專題07比大小歸類目錄TOC\o"11"\h\u題型一：基礎函數(shù)：指數(shù)函數(shù)性質 1題型二：基礎函數(shù)：對數(shù)函數(shù)性質 4題型三：冪指對函數(shù)性質 7題型四：借助0、1分界 12題型五：指數(shù)型同構法 14題型六：借助常數(shù)分界 16題型七：放縮型 18題型八：構造型1：對數(shù)冪型 19題型九：構造型2：指數(shù)冪型 22題型十：構造型3：指數(shù)線性構造 25題型十一：構造型4：對數(shù)線性構造 27題型十二：構造型5：三角函數(shù)線性構造 29題型十三：構造型6：綜合構造 31題型十四：三角函數(shù)型構造比大小 35題型十五：冪指對與三角函數(shù)混合型 37題型十六：泰勒展開 40題型十七：麥克勞林展開 43題型一：基礎函數(shù)：指數(shù)函數(shù)性質指數(shù)函數(shù)比大小易錯點：指數(shù)函數(shù)比大小易錯點：1.利用指數(shù)函數(shù)的單調性時要根據底數(shù)與的大小區(qū)別對待．2.指數(shù)函數(shù)在第一象限圖像，具有“底大圖高”的性質3.指數(shù)函數(shù)圖像性質：一點一線。恒過定點（0，1），x軸是它的水平漸近線4.進行指數(shù)冪的大小比較時，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉化成同底數(shù)，然后再根據指數(shù)函數(shù)的單調性進行判斷．對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準確．1．（2324高三·湖南衡陽·階段練習）設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先比較與的大小，即可得到，再比較與的大小，即可得到，從而得到，即可判斷.【詳解】因為，，所以，則，即，因為，，所以，所以，則，即，又，所以，所以.故選：D2．（2324高三·云南昆明·模擬）已知，（為自然對數(shù)的底數(shù)），比較，，的大小（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由常見的不等式可比較和的大??；利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調性及中間量可比較，和的大小，進而得出答案.【詳解】由三角函數(shù)線可得：不等式，則，又函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)，則，所以，綜上所述：，故選D．【點睛】關鍵點點睛：本題考查比較函數(shù)值的大小.解題關鍵在于利用三角函數(shù)線得到不等式，進而比較和的大小；再利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調性及中間量，比較，和的大小.3．（2324高三·寧夏銀川·階段練習）已知函數(shù)，，且，則（）A．，， B．，，C． D．【答案】D【分析】畫出的圖象，根據以及的大小關系確定正確答案.【詳解】令，解得，畫出的圖象如下圖所示，由于，且，由圖可知：，，的值可正可負也可為，所以AB選項錯誤.當時，，滿足，，所以C選項錯誤.，，所以，D選項正確.故選：D

4．（2023·貴州畢節(jié)·模擬預測）已知實數(shù)滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調性比較大小可得，再結合選項逐項判斷可得答案.【詳解】因為，則，，因為，所以，令，則，所以，又因為，所以，可得，所以，對于A，因為，所以，由得，所以，可得，故A錯誤；

對于B，即證，因為，所以，由得，所以，故B錯誤；對于C，即證，因為，所以，由得，所以，故C錯誤；

對于D，，因為，所以，由得，所以，即，故D正確.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調性得出，考查了學生運算求解能力.5．（2223高三·山東威?！つM）已知函數(shù)，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據對數(shù)函數(shù)的單調性和中間量比較出，再由函數(shù)的單調性得出結果.【詳解】，由于，，，所以，，所以，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，則，所以.故選：A題型二：基礎函數(shù)：對數(shù)函數(shù)性質對數(shù)函數(shù)比大小，主要時通過對數(shù)計算公式轉化為結果相同，利用單調性比大小對數(shù)函數(shù)比大小，主要時通過對數(shù)計算公式轉化為結果相同，利用單調性比大小對數(shù)運算公式1.對數(shù)的運算法則：①loga(MN)＝logaM＋logaN ②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝eq\f(n,m)logaM．2.對數(shù)的性質：①a＝N； ②logaaN＝N(a>0且a≠1)．3.對數(shù)的重要公式①換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)； ②換底推廣：logab＝eq\f(1,logba)，logab·logbc·logcd＝logad.1．（2223高三下·河南·階段練習）已知，，，，則(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】首先判斷a、b、c范圍均為，d>1，則d最大；用作商法可判斷a、b大?。挥米魃谭ú⒔Y合基本不等式可判斷a、c大??；從而可得四個數(shù)的大小關系．【詳解】，，，，，．故選：D．2．（2324高三·江蘇泰州·模擬）已知三個互不相等的正數(shù)滿足，（其中是一個無理數(shù)），則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由對數(shù)函數(shù)和指冪函數(shù)的單調性和運算性質放縮，再加上基本不等式求解即可.【詳解】因為，所以所以根據冪函數(shù)的性質可得，因為都是正數(shù)，，，因為是遞增函數(shù)，又因為，作出和的圖像，如圖可得，當時，兩函數(shù)值相等；時，圖像一直在的上方，所以

故，故選：B【點睛】將利用冪函數(shù)的單調性進行放縮；把用指數(shù)函數(shù)的運算性質和基本不等式放縮；再把用對數(shù)函數(shù)的性質放縮，最終得到結果.3．（2024·重慶·模擬預測）設，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質得到最大，再利用作差法，結合基本不等式得到，從而得解.【詳解】由對數(shù)函數(shù)的性質知，，，所以，，；當時，，所以，取，則，所以，即，綜上，.故選：C.【點睛】結論點睛：對數(shù)比大小常用結論：.4．（2024·遼寧·一模）設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得，，，即可得，，再比較與的大小關系，借助對數(shù)運算轉化為比較與的大小關系，結合放縮計算即可得.【詳解】，，，故，，要比較與的大小，即比較與的大小，等價于比較與的大小，等價于比較與的大小，又，故，即，即，故.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于比較與的大小關系，可借助對數(shù)運算轉化為比較與的大小關系，再借助放縮幫助運算即可得.5．（2324高三·廣東佛山·模擬）已知，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據指數(shù)式和對數(shù)式的轉化，將表示為對數(shù)形式，結合對數(shù)的運算性質以及對數(shù)函數(shù)的性質比較大小，即可得答案.【詳解】由題意知，，則，，因為，故，又因為，故，即故，即得，同理可得，故，即，故，故選：D題型三：冪指對函數(shù)性質有關指數(shù)有關指數(shù)冪和對數(shù)值的比較大小問題，在解題的過程中，注意應用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性，確定其對應值的范圍.比較指對冪形式的數(shù)的大小關系，常用方法：（1）利用指數(shù)函數(shù)的單調性：，當時，函數(shù)遞增；當時，函數(shù)遞減；（2）利用對數(shù)函數(shù)的單調性：，當時，函數(shù)遞增；當時，函數(shù)遞減；（3）借助于中間值，例如：0或1等.1．（2324高三·遼寧朝陽·階段練習）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據函數(shù)的上凸和下凸性質得到，，結合得到，設，求導得到在上單調遞減，得到，同理可得，，相加后求出，得到答案.【詳解】設，畫出的圖象，故為下凸函數(shù)，當時，所以，.設，畫出圖象，故為上凸函數(shù)，當時，所以，同一坐標系內畫出和的圖象，又在R上單調遞減，故，所以.設，則，在上單調遞減，所以時，所以，，所以，同理可得，，相加得，，所以.故選：A【點睛】結合函數(shù)圖象得到函數(shù)的凹凸性，進而可根據此性質得到以下結論，若函數(shù)為上凸函數(shù)，則有，若函數(shù)為下凸函數(shù)，則有，本題中可以此性質比較出的大小.2．（2324高三江蘇泰州·模擬）已知三個互不相等的正數(shù)滿足，（其中是一個無理數(shù)），則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由對數(shù)函數(shù)和指冪函數(shù)的單調性和運算性質放縮，再加上基本不等式求解即可.【詳解】因為，所以所以根據冪函數(shù)的性質可得，因為都是正數(shù)，，，因為是遞增函數(shù)，又因為，作出和的圖像，如圖可得，當時，兩函數(shù)值相等；時，圖像一直在的上方，所以

故，故選：B【點睛】將利用冪函數(shù)的單調性進行放縮；把用指數(shù)函數(shù)的運算性質和基本不等式放縮；再把用對數(shù)函數(shù)的性質放縮，最終得到結果.3．（2023·河南·模擬預測）已知，則的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的性質求解.【詳解】，，即，，下面比較與的大小，構造函數(shù)與，由指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的圖像與單調性可知，

當時，；當時，由，故，故，即，所以，故選：A4．（2223高三·河北唐山·階段練習）設，，，則a，b，c的大小順序是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調性即可得解.【詳解】因為，，，又因為在上單調遞增，所以，即，因為，所以，又因為在上單調遞增，所以，即，綜上：.故選：D.5．（2022·河南·一模）已知，則這三個數(shù)的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構造函數(shù)，利用導數(shù)法研究單調性，并利用單調性可比較，在同一坐標系中作出與的圖象，結合圖象與冪函數(shù)的性質可比較，即可求解【詳解】令，則，由，解得，由，解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減；因為，所以，即，所以，所以，又遞增，所以，即；，在同一坐標系中作出與的圖象，如圖：由圖象可知在中恒有，又，所以，又在上單調遞增，且所以，即；綜上可知：，故選：A6.（2024年高考天津卷）若，則的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性分析判斷即可.【詳解】因為在上遞增，且，所以，所以，即，因為在上遞增，且，所以，即，所以，故選：B題型四：借助0、1分界解答比較函數(shù)值大小問題，常見的解答比較函數(shù)值大小問題，常見的基礎思路之一是判斷各個數(shù)值所在的區(qū)間，這樣的區(qū)間劃分，最基礎的是以正負劃分，正數(shù)則以1為區(qū)間端點劃分。指、對、冪大小比較的常用方法：（1）底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如和，利用指數(shù)函數(shù)的單調性；（2）指數(shù)相同，底數(shù)不同，如和利用冪函數(shù)單調性比較大小；（3）底數(shù)相同，真數(shù)不同，如和利用指數(shù)函數(shù)單調性比較大??；（4）底數(shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同，尋找中間變量0，1或者其它能判斷大小關系的中間量，借助中間量進行大小關系的判定.1.（2324高三·遼寧朝陽·階段練習）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據函數(shù)的上凸和下凸性質得到，，結合得到，設，求導得到在上單調遞減，得到，同理可得，，相加后求出，得到答案.【詳解】設，畫出的圖象，故為下凸函數(shù)，當時，所以，.設，畫出圖象，故為上凸函數(shù)，當時，所以，同一坐標系內畫出和的圖象，又在R上單調遞減，故，所以.設，則，在上單調遞減，所以時，所以，，所以，同理可得，，相加得，，所以.故選：A【點睛】結合函數(shù)圖象得到函數(shù)的凹凸性，進而可根據此性質得到以下結論，若函數(shù)為上凸函數(shù)，則有，若函數(shù)為下凸函數(shù)，則有，本題中可以此性質比較出的大小.2.（黑龍江省樺南縣第一中學20212022學年高三上學期）已知，，，則a，b，c的大小關系為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據對數(shù)函數(shù)的單調性，結合指數(shù)函數(shù)的性質進行判斷即可.【詳解】因為，，，，所以，故選：D3.（廣東省陸豐市林啟恩紀念中學20212022學年高三學期（12月）數(shù)學試題）已知，，，則，，三者的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質比較即可【詳解】因為在上為減函數(shù)，且，所以，即，因為在上為增函數(shù)，且，所以，所以，所以故選：C．4.（陜西省西安市第一中學20212022學年高三上學期期中）已知定義在R上的函數(shù)滿足當時，不等式恒成立，若，，，則a，b，c大小關系為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可得函數(shù)在R上為減函數(shù)，再根據指數(shù)、對數(shù)的性質比較自變量的大小即可；【詳解】解：根據題意，函數(shù)滿足當時，不等式恒成立，所以函數(shù)在R上為減函數(shù)，因為，，即，又所以，即，故選：D.題型五：指數(shù)型同構法指數(shù)指數(shù)冪同構性比較大小①同底冪比較，構造指數(shù)函數(shù)，用單調性比較； ②同指數(shù)冪比較，構造冪函數(shù)，用單調性比較；③不同底也不同指冪比較，借助媒介“1”.1.（江蘇省鎮(zhèn)江市20212022學年高三上學期期中數(shù)學試題）已知，，，，則下列大小關系正確的為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質進行比較即可．【詳解】?！郺＞d＞b＞c，故選：D2..（四川省宜賓市普通高中2022屆高三上學期第一次診斷測試文科數(shù)學試題）若，則的大小關系是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調性分別比較和的大小，即可比較，再根據，即可得出答案.【詳解】解：因為函數(shù)是減函數(shù)，所以，又函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，所以，即，，所以.故選：B.3.（陜西省西安中學20212022學年上學期數(shù)學試題）若，則三者大小關系為（）A．B．C．D．【答案】D【分析】先借助中間量“2”比較出間的大小關系和間的大小關系，再將a、b分別化為，進而化為根式即可比較出a、b的大小關系，最后得到答案.【詳解】因為，所以，又因為，所以a>b，綜上：.故選：D.4..已知三個實數(shù)a，，，其中，則這三個數(shù)的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調性判斷．【詳解】∵，∴由指數(shù)函數(shù)的性質，有，∴．再由指數(shù)函數(shù)的性質得，即．故選：A題型六：借助常數(shù)分界尋找非尋找非0、1的中間變量是難點。中間變量的選擇首先要估算要比較大小的兩個值所在的大致區(qū)間。然后可以對區(qū)間使用二分法（或者利用區(qū)間內特殊值，或者利用指對互化）尋找合適的中間值。1.估算要比較大小的兩個值所在的大致區(qū)間2.可以對區(qū)間使用二分法（或者利用指對轉化）尋找合適的中間值3.利用冪指對等函數(shù)計算公式進行適當?shù)姆趴s轉化1.（陜西省西安市第一中學2024屆高三下學期高考模擬押題文科數(shù)學試題（一））若，則有（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意首先得，進一步，從而我們只需要比較的大小關系即可求解，兩式作商結合基本不等式、換底公式即可比較.【詳解】，所以，，又因為，所以，即.故選：B.2.（2024年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學理科猜題卷（四））已知，，，則的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意利用指、對數(shù)函數(shù)單調性以及指、對數(shù)運算分析判斷.【詳解】因為，，所以；又因為，則，即，所以，即；所以．故選：A．3.（2022年全國著名重點中學領航高考沖刺試卷（九））若，，，則，，的大小關系為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據對數(shù)函數(shù)的單調性，分別計算，，的范圍即可比較大小.【詳解】因為，所以，即，可得，即，因為，所以，即，所以，又，可得，因為，故所以，即，所以，即，所以。故選：D．4.（廣西師大附屬外國語學校2021屆高三5月高考考前模擬考試數(shù)學（理）試題）已知，，，，則、、、的大小關系是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調性比較、、與的大小關系，利用中間值法判斷出、的大小關系，綜合可得出、、、的大小關系.【詳解】，，，，，則，，，則，因此，.故選：D.題型七：放縮型放縮：1.借助冪指對函數(shù)的單調性進行放縮。2.常用一些放縮公式：;當時取等;,當時取等,1.（湖北省恩施州咸豐春暉學校20222023學年高二上學期11月月考數(shù)學試題）若，，，則它們的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判斷大小，再分別判斷和的大小即可【詳解】因為，故.又，，故.再分析和的大小，因為，，故，又，故，故.綜上有故選：D2.（山東省棗莊市第三中學20212022學年高三質量檢測數(shù)學試題）已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先把a，b，c的化成同底的對數(shù)值，再把真數(shù)化成同指數(shù)冪的形式進行大小比較即可.【詳解】，，由，，可得，又為上增函數(shù)，則，即故選：B3.若，，，則a，b，c的大小關系為（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】利用對數(shù)運算的性質將化簡為，從而和c比較大小，同理比較a,c的大小關系，再根據兩個指數(shù)冪的大小結合對數(shù)的運算性質可比較a,b大小，即可得答案.【詳解】由題意：，，故．又，即，所以，即，因為，所以．因為，故，即，所以，所以，所以，所以，故選：B.4.設，，，則a，b，c的大小關系為______.（用“<”連接）江蘇省南京師范大學附屬中學20222023學年高一上學期12月階段性測試數(shù)學試題【答案】【分析】易知，的大小借助指數(shù)和對數(shù)的運算性質放縮可得，詳見解析.【詳解】，，再比較與的大小，同時四次方：，則.故答案為：.題型八：構造型1：對數(shù)冪型常見的構造函數(shù)求導思維：在于轉化過程中，“分參”常見的構造函數(shù)求導思維：在于轉化過程中，“分參”→“構造”，得新函數(shù)，求導函數(shù)尋找單調性對數(shù)冪常見的構造：構造對數(shù)冪型：比較常見的對數(shù)冪型函數(shù)圖像1.（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考一模）設，，（e為自然對數(shù)底數(shù)），則a，b，c大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由，，，且，構造利用導數(shù)研究單調性比較大小，即可得結果.【詳解】由題設，，，顯然，對于，的大小，只需比較大小，令且，則，即在上遞減，所以，故，綜上，，故.故選：B2.（2023上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題設有，構造且研究單調性比較大小，進而確定，再構造且研究單調性比較參數(shù)大小.【詳解】由，得.令且，則且在上單調遞減，而，所以在上恒成立，故在上單調遞減，所以，即，所以，令且，則，所以在上單調遞減，故.故選：B【點睛】關鍵點點睛：由，構造研究單調性比較等式右側大小確定大小，構造并利用單調性確定參數(shù)大小.3.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構建函數(shù)，求導判斷其單調性，利用單調性比較大小，注意.【詳解】由題意可得，，，設，，則，故當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；因為，，，且，可得，，所以.故選：D.4.（2023·遼寧撫順·?？寄M預測）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據結構構造函數(shù)，求導，利用單調性比較大小即可；再根據結構構造函數(shù)，求導，利用單調性比較大小即可，即可判斷選項.【詳解】令，，則，當時，，單調遞增，所以，即，所以，即.令，，當時，，單調遞增，又，所以在上恒成立，所以，即，所以，即，所以.故選：D題型九：構造型2：指數(shù)冪型構造對數(shù)構造對數(shù)冪型：比較常見的對數(shù)冪型函數(shù)圖像1.（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預測）已知實數(shù)，且，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得，，，故考慮構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，結合單調性可得，由此比較的大小.【詳解】由，，，可得，，．令，則，當時，，則在上單調遞減，當時，，則在上單調遞增，所以，所以，又，．故選：D．2.（2023·遼寧大連·校聯(lián)考模擬預測）已知，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用中間值法比較a與c，b與c大小關系，再通過構造函數(shù)，然后通過的單調性比較a與b的大小關系.【詳解】∵，∴，∴，又∵，∴，令，則，又∵中，，∴，∴在R上恒成立，∴在R上單調遞增，∴，即：，∴，即：，∴.故選：A.3.（2023下·江蘇南京·高三南京師范大學附屬中學江寧分校校聯(lián)考階段練習）設，則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設，，，構造函數(shù)研究其單調性來比較m與n，構造函數(shù)研究其單調性來比較m與t即可.【詳解】解：設，則，，，比較，，的大小，，令，，∴，∴在上單調遞減，∴，∴，即，則，∵，，∴，令，∴，當時，，∴在上單調遞減，∵，∴，∴，∴，則，∴，故選：D.4.（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學?？家荒＃┮阎?，，（其中為自然常數(shù)），則、、的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將變形，得，，，構造函數(shù)，利用導數(shù)得在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，根據單調性可得，，再根據可得答案.【詳解】，，，設，則，令，得，令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因為，所以，即，因為，所以，所以，所以，所以，即，因為，所以，綜上所述：.故選：D題型十：構造型3：指數(shù)線性構造指數(shù)線性型構造特征：指數(shù)線性型構造特征：多以e為底數(shù)，構造+kx+b等形式函數(shù)，求導，判斷單調性比大小1.（2022·全國·模擬預測）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，，利用其單調性判斷的關系，令，得到，取，判斷即可．【詳解】解：令，，則，則在上單調遞增，且，因此，即，則．令，當時，，則在上單調遞減，即，即，取，得，則，即．綜上，，故選：C．2.（2022下·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學?？迹┰O，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構造函數(shù)利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，即可得到，即可判斷；【詳解】解：令，則，所以當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，即恒成立，即（當時取等號），所以，∴，又（當時取等號），所以當且時，有，∴，∴．故選：A3.（2023·河南平頂山·校聯(lián)考模擬預測）已知，，，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構造函數(shù)，利用導數(shù)分析函數(shù)在上的單調性，即可得出、、的大小關系.【詳解】依題意，，構造函數(shù)，定義域為，求導得，所以，函數(shù)在上單調遞增，因為，，又，則，則，即，即，因為，，，故.故選：A.4.已知，則a，b，c的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先設，利用導數(shù)得到，從而得到，設，利用導數(shù)得到，從而得到和，即可得到答案.【詳解】設，，令，解得.，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù).所以，即，當且僅當時取等號.所以.故，即.設，，令，解得.，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù).所以，即，當且僅當時取等號.所以.所以，又因為，所以.又因為，所以，即，綜上.故選：B關鍵點點睛：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性來解決比較大小問題，解決本題的關鍵為構造函數(shù)和，屬于難題.題型十一：構造型4：對數(shù)線性構造對數(shù)線性型構造特征：對數(shù)線性型構造特征：多以e為底數(shù)，構造lnx+kx+b等形式函數(shù)，求導，判斷單調性比大小1.（2022上·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？计谥校┮阎?，，其中，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構造函數(shù)，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，可知，即可得出、、的大小關系.【詳解】解：令，其中，則，當時，，此時函數(shù)單調遞減，當時，，此時函數(shù)單調遞增，由，可得，即，同理可得，，因為函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞減，且，，，則、、，由，可得，故.故選：A.2.（2022·全國·高三專題練習）已知則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據指對函數(shù)的性質比較與0的關系，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性即可比較的大小.【詳解】因為，所以，所以，設，則，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，所以，所以，所以，故選：D3.（2022上·河南·高三校聯(lián)考開學考試）設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構造，并利用導數(shù)、對數(shù)的性質研究大小關系即可.【詳解】設函數(shù)，則，所以為減函數(shù)，則，即，又，所以．故選：D4.（2022下·貴州貴陽·高三校聯(lián)考）設，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可得，，，令，利用導數(shù)可得的單調性，根據函數(shù)單調性，可比較和的大小，即可得答案.【詳解】由題意得，，，令，則，所以在為減函數(shù)，所以，即，所以，則，即.故選：D題型十二：構造型5：三角函數(shù)線性構造三角線性型構造特征：三角線性型構造特征：構造sinx+kx+b或cosx+kx+等形式函數(shù)，求導，判斷單調性比大小1.（2022上·浙江·高三紹興魯迅中學校聯(lián)考階段練習）設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構造函數(shù)并利用導函數(shù)判斷函數(shù)的單調性，進一步得到，根據基本不等式化簡求出c的范圍以及b的范圍，進一步求出答案.【詳解】設，∴，∴在的范圍內單調遞增，，∴由此可得，設，∴，∴在的范圍內單調遞減，，∴由此可得，，顯然，，所以，綜合可得.故選：D.2.（2022·四川內江·統(tǒng)考二模）設，，，則a，b，c的大小關系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別構造函數(shù)，，，利用其單調性判斷.【詳解】解：設，則，所以在上遞減，所以，即，設，則，遞增，則，即，所以，令，則，，當時，，則遞減，又，所以當時，，遞減，則，即，因為，則，所以，即，故，故選：D3.（2021上·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)的單調性結合已知條件求解即可【詳解】由題意可知，，即，又，且當時，令，則，所以在遞減，又，所以，即所以，即，又因為，而，所以，即，故選：D.4.（2023下·湖南株洲·高三株洲二中?？奸_學考試），，，則的大小關系為（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】分別構造函數(shù)證明與，利用這兩個不等式可判斷；構造函數(shù)，可證得，即可判斷，從而得出答案.【詳解】令，則，則在上單調遞增，故，則．令，則，則在上單調遞增，故，則．所以，即；令，則，因為，所以，則，故，所以在上單調遞增，則，即，易知，所以，則，即；綜上：.故選：B.題型十三：構造型6：綜合構造在構造函數(shù)時首先把要比較的值變形為含有一個共同的數(shù)值，將這個數(shù)值換成變量在構造函數(shù)時首先把要比較的值變形為含有一個共同的數(shù)值，將這個數(shù)值換成變量就有了函數(shù)的形式，如在第一題中，將視為，將視為函數(shù)與的函數(shù)值，從而只需比較與這兩個函數(shù)大小關系即可.相對是先慢后快，相對是先快后慢，解題過程中可先畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，根據圖象來確定大小關系.1.（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）設，則大小關系（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過證明確定的大小關系；通過證明確定的大小關系.【詳解】令，，所以在上單調遞增，所以，即，，，所以.令，，令，，，令，則，所以在上單調遞減，，，所以存在唯一，使得，即當時，，當時，，即在上單調遞增，在上單調遞減，所以的最小值為中一個，而，，所以，即，所以在上單調遞增，所以，即，，所以，即.所以.故選：B.2.（2023·山東·模擬預測）已知，，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則，，的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構造的結構特征，構造，，求導后得到其單調性，得到，再構造，和，，求導得到其單調性，得到，即，從而得到.【詳解】，令，，令，則，當時，，所以在上單調遞增，又，所以，又，所以在上恒成立，所以，即，即，令，，所以，因為，所以，所以在上單調遞減，所以，即在恒成立，所以，令，，所以，因為，所以，故在上單調遞減，所以，即在恒成立，當時，，故，即，綜上，故選：B【點睛】構造函數(shù)比較大小是高考熱點和難點，結合代數(shù)式的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，通過導函數(shù)研究出函數(shù)的單調性，從而比較出代數(shù)式的大小.3.（2122高三上·江西景德鎮(zhèn)·階段練習）已知，，，則，，的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】觀察a,b,c的結構，進而變形為，，，然后通過構造函數(shù)，利用導數(shù)得出函數(shù)的單調性，最后比較出大小.【詳解】由題意，，，，構造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調遞減，所以，即.故選：C.【點睛】比較大小通常會用到函數(shù)的單調性，本題首先需要觀察a,b,c的結構，對式子進行恰當?shù)淖兓?，找到共性，進而構造函數(shù)，通過函數(shù)的單調性進行解決.4.（2324高三·山東·階段練習）已知實數(shù)滿足，，，則，，的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】構造，根據函數(shù)的單調性得到，構造，確定函數(shù)單調遞增得到，結合時，得到答案.【詳解】設，函數(shù)單調遞減，且，，即，即，，；設，，取，，，，，故，函數(shù)單調遞增，，在上恒成立，在上恒成立，且函數(shù)單調遞減，故在上單調遞增，，即，當時，，即，綜上所述：，即.故選：C.【點睛】關鍵點睛：本題考查了利用導數(shù)比較數(shù)值的大小問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中構造新函數(shù)，根據新函數(shù)的單調性來比較數(shù)值的大小關系是解題的關鍵.題型十四：三角函數(shù)型構造比大小三角函數(shù)與三角函數(shù)值比較大?。喝呛瘮?shù)與三角函數(shù)值比較大?。?.借助于三角函數(shù)的周期性，對稱性，誘導公式等，轉化為一個單調區(qū)間內比大小2.借助一些三角函數(shù)不等式進行放縮轉化：如當(0，)時，3.構造含有三角函數(shù)式的函數(shù)，求導后借助單調性比大小1.已知，則的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據比較b，c的大小關系，構造函數(shù)比較a，b的大小關系，即可得解.【詳解】，所以，構造函數(shù)，，，所以，，必有，，所以所以，即所以單調遞減，所以即，所以故選：A【點睛】此題考查比較三角函數(shù)值的大小，常利用中間值比較，或構造函數(shù)利用函數(shù)單調性比較大小.2.（安徽省安慶市第一中學2022屆高三熱身考試數(shù)學試題）已知函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間都為減函數(shù)，設，且，，，則的大小關系是A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵，∴,即，又∴，又函數(shù)在區(qū)間都為減函數(shù)，∴；∵，∴，即，∴，又函數(shù)在區(qū)間都為減函數(shù)，∴綜上：點睛：本題重點考查了函數(shù)的單調性的應用，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間都為減函數(shù)，同時注意重要結論的應用，x，利用這個橋梁搭起了三個變量間的關系.3.（2023·全國·高三專題練習）已知，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據的取值范圍，明確三角函數(shù)的取值范圍，利用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調性，可得答案.【詳解】解：已知，則，因為在上是減函數(shù)，故；因為冪函數(shù)在上是增函數(shù)，故，故．故選：A.4.已知則的大小關系是__________．【答案】【分析】構造函數(shù),求導分析單調性即可比較出a與b的大小，結合三角函數(shù)線可得出b與c的大小.【詳解】令，則當0<x<1時，x<tanx,所以所以f(x)在（0，1）上單調遞減，所以，即<b；又由三角函數(shù)線可知，所以<,即.故答案為.題型十五：冪指對與三角函數(shù)混合型函數(shù)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象三角函數(shù)基礎圖像1.（廣東省中山市中山紀念中學20212022學年高三上學期第二次段考數(shù)學試題）在必修第一冊教材幾個函數(shù)模型的比較”一節(jié)的例2中，我們得到如下結論：當或時，；當時，，請比較，，的大小關系A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意化簡得，能得出，化為指數(shù)根據當或時，判定，將兩邊同時取底數(shù)為4的指數(shù)，通過放縮比較的進而得出答案.【詳解】解：因為，，所以，對于，令，則故當或時，，所以，即所以，將兩邊同時取底數(shù)為4的指數(shù)得因為所以故選：B.2.已知，，，則，，的大小關系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作差法比較出，構造函數(shù)，利用函數(shù)單調性比較出，從而得出.【詳解】，所以，故，又，則在上單調遞減，又，，所以存在，使得，且在時，，在時，，即在上單調遞增，在單調遞減，且，所以，又因為，所以當時，，其中因為，所以，所以，故，即.故選：B3.若，則下列命題中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，取可判斷AB選項；構造函數(shù)，其中，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，推導出，再結合不等式的性質可判斷CD選項.【詳解】對于AB選項，設，，因為，故AB均錯；對于CD選項，設，其中，則，因為，，故存在，使得，且當時，，此時函數(shù)單調遞增，當時，，此時函數(shù)單調遞減，因為，所以，對任意的，，當時，，所以，，C錯D對.故選：D.4.（福建省龍巖第一中學2023