連續(xù)函數(shù)市公開課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第五章連續(xù)函數(shù)郇中丹-年第一學(xué)期1第1頁第1頁基本內(nèi)容§1函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)性§2初等函數(shù)連續(xù)性§3主要函數(shù)極限§4在集合上連續(xù)函數(shù)§5閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)§6 一致連續(xù)性§7閉集和開集及緊性概念2第2頁第2頁§1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)性函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)定義函數(shù)在一點(diǎn)左連續(xù)和右連續(xù)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)性質(zhì)連續(xù)函數(shù)例子3第3頁第3頁函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)定義定義:設(shè)IR為區(qū)間,:IR.說在x0I處連續(xù),假如e>0,d=d(e)>0,xI:|x-x0|<d,|(x)-(x0)|<e.在一點(diǎn)連續(xù)等價(jià)說法:4第4頁第4頁函數(shù)在一點(diǎn)左連續(xù)和右連續(xù)左連續(xù)和右連續(xù):設(shè):IR,x0I不是端點(diǎn).假如就說在x0處右連續(xù)；假如就說在x0處左連續(xù).和分別叫做在x0處右極限和左極限.命題:設(shè):IR,x0I.則在x0處連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng):(1)x0不是端點(diǎn)時(shí),在x0處左右都連續(xù);(2)x0為左(右)端點(diǎn)時(shí),在x0處右(左)都連續(xù).#5第5頁第5頁函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)性質(zhì)設(shè),g:IR在x0I處連續(xù),c,dR.則算術(shù)性質(zhì):c+dg,g,和/g(若g(x0)0)在x0處連續(xù);復(fù)合性質(zhì):若函數(shù)u在(x0)處連續(xù),則h=u在x0處連續(xù);保號(hào)性:若(x0)0,則d>0,xI(x0-d,x0+d),(x)(x0)>0有界性:C>0,d>0,xI(x0-d,x0+d),|(x)|C.6第6頁第6頁連續(xù)函數(shù)例子1.常值函數(shù)(x)=c是連續(xù);2.恒等函數(shù)(x)=x是連續(xù);3.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)=Sakx^k是連續(xù);4.有理函數(shù)(x)=P(x)/Q(x)在Q(x)0處(自然定義域上)是連續(xù),其中P(x)和Q(x)是多項(xiàng)式;(3和4是連續(xù)函數(shù)性質(zhì)推論)5.n根函數(shù)(x)=x^{1/n}在其定義域上是連續(xù);6.整數(shù)部分函數(shù)(x)=[x]在非整數(shù)點(diǎn)連續(xù),宰整數(shù)點(diǎn)右連續(xù)但不左連續(xù);7第7頁第7頁書上62頁例子設(shè)在閉區(qū)間[a,b]每個(gè)點(diǎn)連續(xù).則函數(shù)

在閉區(qū)間[a,b]每個(gè)點(diǎn)同樣連續(xù).其中n為整數(shù).討論:(1)通過討論在整數(shù)點(diǎn)左右極限.(2)注意當(dāng)求和下限不小于上限時(shí),商定和式為零.#8第8頁第8頁習(xí)題十一(I)1.設(shè):RR,x0R.證實(shí):(x)l(xx0)當(dāng)且僅當(dāng)(x)l(xx0+)和(x)l(xx0-).2.設(shè):RR.討論函數(shù)g(x)=([x])連續(xù)性.3.討論下列函數(shù)連續(xù)性:9第9頁第9頁習(xí)題十一(II)4.計(jì)算下列極限:5.設(shè)和g是定義在(a,+)函數(shù).假設(shè)和g在任何有界區(qū)間(a,b)上都有界,x>y>a,g(x)>g(y)且g(x)+(x+).證實(shí):10第10頁第10頁§2初等函數(shù)連續(xù)性冪定義指數(shù)函數(shù)性質(zhì)指數(shù)函數(shù)連續(xù)性指數(shù)函數(shù)極限和值域性質(zhì)自然對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)三角函數(shù)11第11頁第11頁冪定義(I)正整多次冪:設(shè)aR.nN+.an次冪定義下列正整多次冪基本性質(zhì):冪推廣到整數(shù)并且保留冪性質(zhì):要把冪推廣到有理數(shù),首先需要確保n次算術(shù)根存在性,為此要求a>0.定義下列

12第12頁第12頁冪定義(II)有理指數(shù)冪仍然保留了冪基本性質(zhì)(驗(yàn)證關(guān)鍵是用到n次算術(shù)根惟一性).無理次冪:先考慮a>1,對(duì)于rR,定義ar次冪為這里利用了有理次冪遞增性.由對(duì)于有理次冪性質(zhì),能夠自然定義當(dāng)0<a<1時(shí),13第13頁第13頁指數(shù)函數(shù)性質(zhì)設(shè)a>0,a0.定義以a為底指數(shù)函數(shù)為討論a>1情形就夠了.此時(shí)(x)由下列性質(zhì):(1)正性:xR,(x)>0;(2)嚴(yán)格單調(diào)遞增性:x<y,(x)<(y);(3)x,yR,(x+y)=(x)(y).證實(shí):(1)和(2)直接由定義.(3)由14第14頁第14頁指數(shù)函數(shù)連續(xù)性指數(shù)函數(shù)在R每一點(diǎn)都連續(xù).證實(shí):取定x0R.則對(duì)于xR,因此只要證實(shí)在x0=0點(diǎn)連續(xù)就行了.任取e>0,由則存在N,有因此由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性,當(dāng)|x|<1/N時(shí),15第15頁第15頁指數(shù)函數(shù)極限和值域性質(zhì)指數(shù)函數(shù)(x)極限性質(zhì)(a>1):(1)(x)+(x+);(2)(x)0(x-)證實(shí):由單調(diào)性和(-x)=1/(x),只要證實(shí)(n)+(n+)就夠了,這是相關(guān)a^n極限推論.#指數(shù)函數(shù)值域(R)=(0,+).證實(shí):由指數(shù)函數(shù)正性(R)(0,+).假設(shè)r>0,r(R),記a=sup{x|(x)<r},b=inf{x|(x)>r}.必有a=b.因此在a點(diǎn)不連續(xù),矛盾.#16第16頁第16頁自然對(duì)數(shù)函數(shù)考慮a=e情形,此時(shí)指數(shù)函數(shù)記作exp(x).記其在(0,+)上反函數(shù)為ln(x),叫作自然對(duì)數(shù)函數(shù).1.ln(x)嚴(yán)格單調(diào),ln(0+)=-,ln(+)=+.#2.ln(x)在(0,+)每一點(diǎn)都連續(xù).證實(shí):取x0(0,+).任取e>0,令d=min{exp(ln(x0)+e)-x0,x0-exp(ln(x0)-e)}.當(dāng)|x-x0|<d時(shí),exp(ln(x0)-e)<x<exp(ln(x0)+e)也就是ln(x0)-e<ln(x)<ln(x0)+e.#17第17頁第17頁對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)對(duì)于a>0,a1,指數(shù)函數(shù)和相應(yīng)對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)運(yùn)算規(guī)則:冪函數(shù):設(shè)aR,指數(shù)為a冪函數(shù)能夠?qū)憺楦胀ǖ?利用復(fù)合函數(shù)能夠討論它們定義域和連續(xù)性.18第18頁第18頁三角函數(shù)三角函數(shù)連續(xù)性討論是基于下面利用三角函數(shù)單位圓描述得得到幾何事實(shí):xR,|sinx||x|.以及|sinx|,|cosx|1.正弦函數(shù):利用sinx-siny=2sin(x-y)/2cos(x+y)/2;余弦函數(shù):利用cosx-cosy=2sin(y-x)/2sin(x+y)/2;tanx,cotx,secx和cscx利用其與正弦和余弦關(guān)系及連續(xù)函數(shù)算術(shù)性質(zhì).19第19頁第19頁習(xí)題十二1.用定義驗(yàn)證下列函數(shù)再起定義域上是連續(xù).2.證實(shí):(1)x(0,1),lnx<0;(2)x>1,lnx>0;3.討論冪函數(shù) 在區(qū)間(0,+)單調(diào)性,即,對(duì)于那些a,有x>y>0,(x)>(y);對(duì)于那些a,有x>y>0,(x)<(y).20第20頁第20頁§3主要函數(shù)極限指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)主要極限三角函數(shù)主要極限應(yīng)用主要極限例子21第21頁第21頁指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)主要極限(I)指數(shù)對(duì)數(shù)主要極限:證實(shí):1.先考慮x+情形:由數(shù)列情形結(jié)論得到利用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)單調(diào)性:夾逼性質(zhì)就給出相應(yīng)結(jié)論.22第22頁第22頁指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)主要極限(II)2.考慮x-情形:作代換(把問題當(dāng)作是復(fù)合函數(shù))y=-x,就得到3.結(jié)合前兩部分結(jié)果就得到結(jié)論.#主要極限推論:23第23頁第23頁三角函數(shù)主要極限正弦主要極限:證實(shí):只要考慮0<|x|<p/2.先考慮0<x<p/2情形.利用單位圓中面積比較得到:sinx<x<tanx.因此,cosx<sinx/x<1.由cosx和sinx/x都是偶函數(shù),這個(gè)不等式對(duì)于0>x>-p/2也是成立.利用cosx連續(xù)性和夾逼性質(zhì)就得到了結(jié)論.#24第24頁第24頁應(yīng)用主要極限例子(I)1.2.(1-cosx)/x^21/2(x0);或1-cosx=x^2/2+o(x^2)(x0);或(1-cosx)/x^2=1/2+o(1)(x0);或cosx=1-x^2/2+o(x^2)(x0);或1-cosx~x^2/2(x0).25第25頁第25頁應(yīng)用主要極限例子(II)3.(1+x/n)^n=exp(nln(1+x/n))=exp(xln[(1+x/n)^{n/x}])exp(x)(x0);或(1+x/n)^n=exp(x)+o(1)(x0).26第26頁第26頁習(xí)題十三(I)1.計(jì)算下列極限2.利用小o記號(hào)表述上述極限.27第27頁第27頁習(xí)題十三(II)3.計(jì)算下列極限:若28第28頁第28頁§4在集合上連續(xù)函數(shù)描述函數(shù)性質(zhì)若干定義間斷點(diǎn)及其分類單調(diào)收斂原理單調(diào)函數(shù)間斷點(diǎn)和連續(xù)性區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)反函數(shù)初等函數(shù)反函數(shù)及其性質(zhì)29第29頁第29頁描述函數(shù)性質(zhì)若干定義在集合上連續(xù):若函數(shù)在集合A每一點(diǎn)都連續(xù),就說在集合A上連續(xù).單調(diào)函數(shù):設(shè)AR,:AR.下面四類函數(shù)稱作單調(diào):1)遞增函數(shù):x,yA,x<y,(x)(y);2)遞減函數(shù):x,yA,x<y,(x)(y);3)嚴(yán)格遞增函數(shù):x,yA,x<y,(x)<(y);4)嚴(yán)格遞減函數(shù):x,yA,x<y,(x)>(y).30第30頁第30頁間斷點(diǎn)及其分類間斷點(diǎn):設(shè):AR,xA.若在x點(diǎn)不連續(xù)就說在x點(diǎn)間斷.間斷點(diǎn)分類:1)第一類間斷點(diǎn):左右極限存在且有限,其中之一與函數(shù)在該點(diǎn)值不相等;2)第二類間斷點(diǎn):不是第一類間斷點(diǎn)叫第二類間斷點(diǎn).可去間斷點(diǎn):左右極限相等第一類間斷點(diǎn).例子:1)(x)=[x];2)(x)={x};3)(x)=sin1/x,若x0,定義(0)=0.31第31頁第31頁單調(diào)收斂原理引理:設(shè)在(a,b)上單調(diào),則在a點(diǎn)右極限和在b點(diǎn)左極限存在.證實(shí):只討論遞增時(shí)在b點(diǎn)左極限,其它情形類似.記b=sup{(x)|x(a,b)}.情形1.b<+.任取e>0,z(a,b),(z)>b-e.則當(dāng)z<x<b時(shí),b-e<(x)b.因此(x)b(xb).情形2.b=+.任取c>0,z(a,b),(z)>c.則當(dāng)z<x<b時(shí),(x)>c.因此(x)b(xb).#32第32頁第32頁單調(diào)函數(shù)間斷點(diǎn)和連續(xù)性單調(diào)函數(shù)值由第一類間斷點(diǎn):設(shè)是[a,b]上單調(diào)函數(shù),則在各點(diǎn)單側(cè)極限都存在.因而值也許有第一類間斷點(diǎn).證實(shí):利用單調(diào)收斂原理.#區(qū)間上單調(diào)函數(shù)連續(xù)性準(zhǔn)則:設(shè)在區(qū)間I上單調(diào).則在I上連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)(I)是區(qū)間.(要討論什么是區(qū)間)證實(shí):1.I是區(qū)間當(dāng)且僅當(dāng)x,yI,x<y,則[x,y]I.這由區(qū)間定義得到.33第33頁第33頁區(qū)間上單調(diào)函數(shù)連續(xù)性準(zhǔn)則2.不妨假設(shè)是遞增.3.若是在I上連續(xù).任取a,b(I),a=(a)<b=(b),則a<b.任取g(a,b),令c=sup{x[a,b]|(x)<g}.不難證實(shí)必有c=inf{x[a,b]|(x)>g}.這樣就有(c^-)g.由連續(xù)性(c)=g.4.假設(shè)(I)是個(gè)區(qū)間.任取cI,則(c^-)(c)(c^+).若(c^-)<(c)或(c)<(c^+)成立,則取不到((a),(c))中或((c),(b))中所有值,其中a,bI,a<c<b.因此在c點(diǎn)連續(xù).#34第34頁第34頁區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)反函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)反函數(shù)定理:假如是區(qū)間I上嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),則有定義在(I)上反函數(shù),記為g.若在I上連續(xù),則g在(I)上也連續(xù).證實(shí):由嚴(yán)格單調(diào),是I到(I)雙射,因而有定義在(I)上反函數(shù),記為g.若在I上連續(xù),則直接利用區(qū)間上單調(diào)函數(shù)連續(xù)性準(zhǔn)則就得到g在(I)上也連續(xù).例子:Kepler方程x-esinx=y(0<e<1)在R上有嚴(yán)格增連續(xù)函數(shù)解x=x(y).35第35頁第35頁初等函數(shù)反函數(shù)及其性質(zhì)(I)1.指數(shù)函數(shù)exp(x)和對(duì)數(shù)函數(shù)ln(x):x>0,exp(ln(x))=x;xR,ln(exp(x))=x;x,yR,exp(x+y)=exp(x)exp(y);x,y>0,ln(xy)=ln(x)+ln(y);x>0,yR,ln(x^y)=yln(x);2.冪函數(shù)(x)=x^a(aR)反函數(shù)仍是冪函數(shù)g(x)=x^{1/a},x(0,+).(奇延拓和偶延拓)3.反三角函數(shù)定義:y=arcsinx,x[-1,1],y[-p/2,p/2];y=arccosx,x[-1,1],y[0,p];36第36頁第36頁初等函數(shù)反函數(shù)及其性質(zhì)(II)反三角函數(shù)y=arctanx,x(-,+),y(-p/2,p/2);y=arccotx,x(-,+),y(0,p);y=arcsecx,x(-,-1][1,+),y(0,p/2)(p/2,p);y=arccscx,x(-,-1][1,+),y(-p/2,0)(0,p/2).反三角函數(shù)之間關(guān)系arcsecx=arccos1/x;arccscx=arcsin1/x;x[-1,1],arcsin(-x)=-arcsinx,arccos(-x)=p-arccosx;x[-1,1],arcsinx+arccosx=p/2.37第37頁第37頁習(xí)題十四(I)1.研究下列函數(shù)連續(xù)性:2.a取什么值時(shí),下列函數(shù)處處連續(xù):38第38頁第38頁習(xí)題十四(II)3.設(shè)函數(shù)f,g在x=a處不連續(xù),f+g和fg在x=a處一定不連續(xù)嗎?4.設(shè)函數(shù)f在x=a處連續(xù),g在x=a處不連續(xù),f+g和fg在x=a處一定不連續(xù)嗎?5.設(shè)函數(shù)f,g是[a,b]上連續(xù)函數(shù),證實(shí):|f|,max{f,g},min{f,g}也是[a,b]上連續(xù)函數(shù).6.設(shè)f是[0,1]上連續(xù)函數(shù),并且滿足條件證實(shí):f常值函數(shù).39第39頁第39頁習(xí)題十四(III)7.設(shè)是R上單調(diào)函數(shù)并且滿足:x,yR,(x+y)=(x)+(y).證實(shí)是R上連續(xù)函數(shù),并給出表示式.8.設(shè)是R上單調(diào)函數(shù)并且滿足:x,yR,(x+y)=(x)(y).證實(shí)是R上連續(xù)函數(shù),并給出表示式.9.設(shè)是R上至多只有第一類間斷點(diǎn)函數(shù).假設(shè)

證實(shí):在R上連續(xù).40第40頁第40頁習(xí)題十四(IV)10.設(shè)在[0,+)上連續(xù).假設(shè)x0,0(x)x.任取a00,n0定義an+1=(an).證實(shí):{an}收斂并且其極限l滿足l=(l).尤其若x>0,0(x)<x,l=0.若41第41頁第41頁§5閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理連續(xù)函數(shù)介值(中間值)定理連續(xù)函數(shù)有界性定理連續(xù)函數(shù)確實(shí)界定理42第42頁第42頁連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理:設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).假如在兩點(diǎn)a,b值異號(hào),即(a)(b)<0,則c(a,b),(c)=0.證實(shí):設(shè)(a)<0,不然考慮-.考慮集合A={x(a,b)|y(a,x],(y)<0}由在a處連續(xù)和在一點(diǎn)連續(xù)保號(hào)性得到A.再由(b)>0及b處連續(xù)和連續(xù)保號(hào)性可知:c=supA(a,b).由連續(xù)性(c)0,若(c)<0,則d>0,x[c-d,c+d](a,b),(x)<0,這與c=supA矛盾.因此(c)=0.#43第43頁第43頁連續(xù)函數(shù)介值(中間值)定理介值定理:設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).g介于(a)與(b)之間,則c(a,b),(c)=g.換句話說,區(qū)間在連續(xù)函數(shù)下像還是區(qū)間.證實(shí):由g介于(a)與(b)之間,考慮函數(shù)g(x)=(x)-g,則,g在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)并且g(a)g(b)<0.由零點(diǎn)定理c(a,b),g(c)=0,即(c)=g.#44第44頁第44頁連續(xù)函數(shù)有界性定理有界性定理:有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必有界.證實(shí):設(shè)是有界閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù).考慮集合A={x(a,b]|在[a,x]上有界}.由在a處連續(xù)和在一點(diǎn)連續(xù)有界性得到A.記c=supA(a,b).由A有界c(a,b].若c<b,由在c點(diǎn)連續(xù),d>0,在[c-d,c+d](a,b)上有界,因此在[a,c+d]上有界,即c+dA,這與c=supA矛盾.因此在[a,b]上有界.#45第45頁第45頁連續(xù)函數(shù)確界定理確界定理:有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必能達(dá)到值域上確界和下確界,換句話說,閉區(qū)間在連續(xù)函數(shù)下像仍然是閉區(qū)間.(相應(yīng)地叫最大(小)值)證實(shí):設(shè)在有界閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).先討論上確界情形,記b=sup{(x)|x[a,b]}.若b([a,b]),則x[a,b],b-(x)>0,因而g(x)=1/(b-(x))在有界閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),因此g(x)在[a,b]上有正上界a,即x[a,b],g(x)=1/(b-(x))<a,也就是(x)<b-1/a.與b定義矛盾.對(duì)-應(yīng)用上面結(jié)論,得到下確界結(jié)論.#46第46頁第46頁平均值例題例:設(shè)在有界閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).xi[a,b],i=1,…,n.則c[a,b]:(c)=((x1)+…+(xn))/n.AA若bR47第47頁第47頁習(xí)題十五(I)1.證實(shí)ax^3+bx+c=0(ab>0)只有一個(gè)實(shí)根.2.設(shè)a<0,證實(shí)x^a=lnx只有一個(gè)實(shí)根.3.設(shè)C[a,b].證實(shí)函數(shù).假如知道,能夠推出C[a,b]嗎？4.設(shè)C(a,b).假如存在(a,b)中點(diǎn)列{xn}和{yn},xnb,ynb(n+)滿足.證實(shí):c(A,B),存在(a,b)中點(diǎn)列{zn}:znb(n+)滿足:n,(zn)=c.5.設(shè)在[0,+)上連續(xù)有界.證實(shí):T>0,xn+使得(xn+T)-(xn)0.48第48頁第48頁習(xí)題十五(II)6.假設(shè)C(R)且存在常數(shù)L>0使得:x,yR,|(x)-(y)|L|x-y|.證實(shí):(1)函數(shù)g(x)=(x)-Lx在R上單調(diào)遞減;(2)M>L,cR,(c)=Mc;M=L時(shí),結(jié)論如何？7.設(shè)C(a,b).假設(shè)其絕對(duì)值函數(shù)||在(a,b)單調(diào).證實(shí):在(a,b)單調(diào).8.設(shè)和g是R上連續(xù)周期函數(shù)滿足(x)-g(x)0(x+).證實(shí):g.9.設(shè)C[a,+)并且(x)lR(x+).證實(shí):在[a,+)上有界.49第49頁第49頁習(xí)題十五(III)10.設(shè)C(R)并且(x)+(x).證實(shí):在R上能取到其下確界(最小值).11.設(shè)C[0,1]且恒為正.記M(x)=sup{(y)|y[0,x]}.證實(shí):當(dāng)且僅當(dāng)在[0,1]上單調(diào)遞增.12.設(shè)C[a,b]滿足x[a,b],y[a,b],使得|(x)||(y)|/2.證實(shí)c[a,b],(c)=0.13.設(shè)C(R).證實(shí):(1)若((x))(x),則(x)(x);(2)若((x))+(x),則(x)+(x).50第50頁第50頁§6 一致連續(xù)性一致連續(xù)概念Heine-Cantor定理51第51頁第51頁一致連續(xù)概念一致連續(xù)討論是函數(shù)在一個(gè)集合上整體連續(xù)性問題.而不但僅要求在集合上各點(diǎn)都連續(xù).這是在使用連續(xù)函數(shù)過程中發(fā)展起來概念.定義:設(shè)是定義在集合X上函數(shù).假如對(duì)于任何e>0,d>0,x,yX,|x-y|<d,|(x)-(y)|<e,就說在X上一致連續(xù).在R上一致連續(xù)函數(shù)例子:(x)=|x|,sinx,cosx在R上不一致連續(xù)函數(shù)例子:(x)=x^2.在(0,1]上不一致連續(xù)函數(shù)例子:(x)=sin1/x.52第52頁第52頁Heine-Cantor定理Heine-Cantor定理:有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必在此區(qū)間上一致連續(xù).證實(shí)1:設(shè)是[a,b]上連續(xù)函數(shù).任取e>0,考慮集合A={z(a,b]|d>0,x,y[a,z],|x-y|<d,|(x)-(y)|<e}.由在a點(diǎn)連續(xù),A.記c=supA.若c<b.由在c點(diǎn)連續(xù)性,存在d>0當(dāng)|x-c|<d時(shí),|(x)-(c)|<e/2,由c定義c<c,c-c<d/3有d>0,x,y[a,c],|x-y|<d,|(x)-(y)|<e.則d=min{d/3,d}在[a,c+d/3]給出同類結(jié)論,這與c定義矛盾.因此c=b并且bA.#53第53頁第53頁Heine-Cantor定理Heine-Cantor定理:有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必在此區(qū)間上一致連續(xù).證實(shí)2:反證:設(shè)存在有界區(qū)間上[a,b]連續(xù)函數(shù)在[a,b]上不一致連續(xù).則e>0,d>0x,y[a,b],|x-y|<d,|(x)-(y)|e.因而xn,yn[a,b],|xn-yn|<1/n,|(xn)-(yn)|e.Bolzano-Weierstrass定理,{xn}有收斂子列,仍然記作{xn},xnc[a,b].而|xn-yn|<1/n0,就有ync.由于在c點(diǎn)連續(xù)就有|(xn)-(yn)||(c)-(c)|=0,矛盾.#(其此引伸出哪種集合有上述性質(zhì)問題)54第54頁第54頁例子直接由定義證實(shí):(1)(x)=sqrt(x),x[0,+);(2)(x)=arctanx:由基本不等式|x||tanx|(|x|<p/2),因此,當(dāng)|x|<p/2,|arctanx||x|,再由|arctanx|<p/2,xR,|arctanx||x|.先考慮0x<y,記b=arctany>0,a=arctanx0.則|arctanx-arctany|=arctany-arctanx=b-a.tan(b-a)=(y-x)/(1+yx).因此,b-a=arctan[(y-x)/(1+yx)](y-x)/(1+yx)y-x.若x<y0,也會(huì)有同樣結(jié)論.當(dāng)x<0<y時(shí),b-a=arctany+arctan(-x)y+(-x).#55第55頁第55頁習(xí)題十六1.用一致連續(xù)定義證實(shí)下列函數(shù)在R上一致連續(xù):2.證實(shí)用一致連續(xù)定義下列函數(shù)在R上一致連續(xù):(1)(x)=xsinx;(2)(x)=sinx^2.3.設(shè)和g在(a,b)上一致連續(xù).證實(shí)+g和g在(a,b)上一致連續(xù).4.設(shè)在(a,b)上一致連續(xù)且((a,b))(c,d),g在(c,d)上一致連續(xù).證實(shí)h(x)=g((x))在(a,b)上一致連續(xù).56第56頁第56頁§7閉集和開集及緊性概念實(shí)直線上點(diǎn)關(guān)于給定集合分類開集和閉集開集和閉集性質(zhì)開覆蓋和緊集有界閉集是緊集緊集上Heine-Cantor定理例子57第57頁第57頁實(shí)直線上點(diǎn)關(guān)于給定集合分類設(shè)AR.對(duì)于xR,下列三種情形必有一個(gè)出現(xiàn):1)d>0,Od(x)=(x-d,x+d)A(稱x為A內(nèi)點(diǎn))2)d>0,Od(x)A=(稱x為A外點(diǎn))3)d>0,Od(x)A,Od(x)\A(稱x為A邊點(diǎn))A內(nèi)部(int(A)),邊界(A),閉包(A)和外部.對(duì)于R中滿足Od(x)A點(diǎn)x有下面分類:1)d>0,Od(x)A={x}(稱x為A孤立點(diǎn))2)d>0,Od(x)A{x}(稱x為A極限點(diǎn))A導(dǎo)集(A),A孤立點(diǎn)集(A\A).開集和閉集例子:,R,[a,b],(a,b).不開不閉58第58頁第58頁開集和閉集閉集:若AA,就稱A是閉集.也就是閉集是包括其所有極限點(diǎn)集合.開集:若int(A)=A,就稱A是開集.也就是開集是其所有點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)集合.開集和閉集關(guān)系:AR是閉集當(dāng)且僅當(dāng)R\A是開集.同樣地,AR是開集當(dāng)且僅當(dāng)R\A是閉集.證實(shí):設(shè)A是閉集,任取xA,則xA,因此d>0,Od(x)A=,不然由Od(x)A{x},xAA.因此R\Aint(R\A),即R\A是開集.設(shè)R\A是開集,xA,若xR\A,則d>0,Od(x)A=,因而xA,矛盾.#59第59頁第59頁開集和閉集性質(zhì)1.任意多個(gè)開集并集是開集;2.有限多個(gè)開集交集是開集;3.任意多個(gè)閉集交集是閉集;4.有限多個(gè)閉集并集是閉集.證實(shí):留作習(xí)題.#例1:設(shè)An=(0,1+1/n),nN+.An=(0,1];例2:設(shè)An=[0,1-1/n],nN+.An=[0,1).定理:R中任何開集是至多可數(shù)個(gè)開區(qū)間并.60第60頁第60頁開覆蓋和緊集定義(集合開覆蓋).設(shè)AR,O={Oa|aI}是R一個(gè)開集族.假如AO,就稱O是A開覆蓋;假如子族O1O仍然是A覆蓋就稱O1為O子覆蓋;若O1為有限子族,稱O1為O有限子覆蓋,也稱A能被O有限覆蓋.定義(緊集).設(shè)AR.假如A任何開覆蓋都有有限子覆蓋,就說A是緊集.定理:緊集是有界閉集.證實(shí):設(shè)A是緊集.有界:開覆蓋{(-n,n)|nN}.閉:若xA,開覆蓋{R\(x-1/n,x+1/n)