江西省宜春市靖安縣2025屆高二上數學期末綜合測試試題含解析

江西省宜春市靖安縣2025屆高二上數學期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，已知直線AO垂直于平面，垂足為O，BC在平面內，AB與平面所成角的大小為，，，則異面直線AB與OC所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．如圖，在四面體OABC中，，，，點在線段上，且，為的中點，則等于（）A. B.C. D.3．已知拋物線，，點在拋物線上，記點到直線的距離為，則的最小值是（）A.5 B.6C.7 D.84．某種疾病的患病率為0.5%，通過驗血診斷該病的誤診率為2%，即非患者中有2%的人驗血結果為陽性，患者中有2%的人驗血結果為陰性，隨機抽取一人進行驗血，則其驗血結果為陽性的概率為（）A.0.0689 B.0.049C.0.0248 D.0.025．設拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，點坐標為，則的最小值為（）A. B.C. D.6．已知函數的導函數為，若的圖象如圖所示，則函數的圖象可能是（）A B.C. D.7．設，，，則，，大小關系是A. B.C. D.8．已知空間向量，，則（）A. B.19C.17 D.9．曲線的離心率為（）A. B.C. D.10．若：，：，則為q的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件11．已知數列是首項為，公差為1的等差數列，數列滿足．若對任意的，都有成立，則實數的取值范圍是（）A.， B.C.， D.12．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（）A.24種 B.6種C.4種 D.12種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若雙曲線的左、右焦點為，，直線與雙曲線交于兩點，且，為坐標原點，又，則該雙曲線的離心率為__________.14．某學校為了獲得該校全體高中學生的體有鍛煉情況，按照男、女生的比例分別抽樣調查了55名男生和45名女生的每周鍛煉時間，通過計算得到男生每周鍛煉時間的平均數為8小時，方差為6；女生每周鍛煉時間的平均數為6小時，方差為8．根據所有樣本的方差來估計該校學生每周鍛煉時間的方差為________15．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標是__________16．已知直線與垂直，則m的值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：的長軸長為，P是橢圓上異于頂點的一個動點，O為坐標原點，A為橢圓C的上頂點，Q為PA的中點，且直線PA與直線OQ的斜率之積恒為-2.（1）求橢圓C的方程；（2）若斜率為k且過上焦點F的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，當點M，N到y(tǒng)軸距離之和最大時，求直線l的方程.18．（12分）已知函數.（1）當時，求的最大值和最小值；（2）說明的圖象由函數的圖象經過怎樣的變換得到？19．（12分）設函數.（1）求在處的切線方程；（2）求的極小值點和極大值點.20．（12分）已知橢圓的離心率為，點是橢圓E上一點.（1）求E的方程；（2）設過點的動直線與橢圓E相交于兩點，O為坐標原點，求面積的取值范圍.21．（12分）已知橢圓C：的離心率為，短軸的一個端點到右焦點的距離為2.（1）橢圓C的方程；（2）設直線l：交橢圓C于A，B兩點，且，求m的值.22．（10分）已知為坐標原點，橢圓：的左、右焦點分別為，，右頂點為，上頂點為，若，，成等比數列，橢圓上的點到焦點的距離的最大值為求橢圓的標準方程；過該橢圓的右焦點作兩條互相垂直的弦與，求的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，求出向量的坐標，再利用向量的夾角公式計算即可.【詳解】如圖，以O為坐標原點，過點O作OB的垂線為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，設，則，，則，，，，，設的夾角為，則，所以異面直線AB與OC所成角的余弦值為，故選：B.2、D【解析】利用空間向量的加法與減法可得出關于、、的表達式.【詳解】.故選：D.3、D【解析】先求出拋物線的焦點和準線，利用拋物線的定義將轉化為的距離，即可求解.【詳解】由已知得拋物線的焦點為，準線方程為，設點到準線的距離為，則，則由拋物線的定義可知∵，當點、、三點共線時等號成立，∴，故選：.4、C【解析】根據全概率公式即可求出【詳解】隨機抽取一人進行驗血，則其驗血結果為陽性的概率為0.0248故選：C5、B【解析】設點P在準線上的射影為D，則根據拋物線的定義可知|PF|＝|PD|，進而把問題轉化為求|PM|+|PD|的最小值，即可求解【詳解】解：由題意，設點P在準線上的射影為D，則根據拋物線的定義可知|PF|＝|PD|，所以要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，當D，P，M三點共線時，|PM|+|PD|取得最小值為故選：B6、D【解析】根據導函數大于，原函數單調遞增；導函數小于，原函數單調遞減；即可得出正確答案.【詳解】由導函數得圖象可得：時，，所以在單調遞減，排除選項A、B，當時，先正后負，所以在先增后減，因選項C是先減后增再減，故排除選項C，故選：D.7、A【解析】構造函數，根據的單調性可得（3），從而得到，，的大小關系【詳解】考查函數，則，在上單調遞增，，（3），即，，故選：【點睛】本題考查了利用函數的單調性比較大小，考查了構造法和轉化思想，屬基礎題8、D【解析】先求出的坐標，再求出其?！驹斀狻恳驗椋?，所以，故，故選：D.9、C【解析】由曲線方程直接求離心率即可.【詳解】由題設，，，∴離心率.故選：C.10、D【解析】根據充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：因為：，：，所以，所以為q的既不充分又不必要條件.故選：D.11、D【解析】由等差數列通項公式得，再結合題意得數列單調遞增，且滿足，，即，再解不等式即可得答案.【詳解】解：根據題意：數列是首項為，公差為1的等差數列，所以，由于數列滿足，所以對任意的都成立，故數列單調遞增，且滿足，，所以，解得故選：12、B【解析】由已知可得只需對剩下3人全排即可【詳解】解：甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則只需對剩下3人全排即可，則不同的排法共有，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據直線和雙曲線的對稱性，結合圓的性質、雙曲線的定義、三角形面積公式、雙曲線離心率公式進行求解即可.【詳解】由直線與雙曲線的對稱性可知，點與點關于原點對稱，在三角形中，，所以，是以為直徑的圓與雙曲線的交點，不妨設在第一象限，，因為圓是以為直徑，所以圓的半徑為，因為點在圓上，也在雙曲線上，所以有，聯立化簡可得，整理得，，所以，由所以，又因為，聯立可得，，因為為圓的直徑，所以，即，，所以離心率.故答案為：【點睛】關鍵點睛：利用直線和雙曲線的對稱性，結合圓的性質進行求解是解題的關鍵.14、【解析】先求出100名學生每周鍛煉的平均時間，然后再求這100名學生每周鍛煉時間的方差，從而可估計該校學生每周鍛煉時間的方差【詳解】由題意可得55名男生和45名女生的每周鍛煉時間的平均數為小時，因為55名男生每周鍛煉時間的方差為6；45名女生每周鍛煉時間的方差為8，所以這100名學生每周鍛煉時間的方差為，所以該校學生每周鍛煉時間的方差約為，故答案為：15、【解析】根據投影向量概念求解即可.【詳解】因為空間向量，，所以，，所以向量在向量上投影向量為：，故答案為：.16、0或-9##-9或0【解析】根據給定條件利用兩直線互相垂直的性質列式計算即得.【詳解】因直線與垂直，則有，解得或，所以m的值為0或-9.故答案為：0或-9三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設點，求出直線、直線的斜率相乘可得，結合可得答案；（2）設直線l的方程為與橢圓方程聯立，代入得，設，再利用基本不等式可得答案.【小問1詳解】由題意可得，，即，則，設點，∵Q為的中點，∴，∴直線斜率，直線的斜率，∴，又∵，∴，則，解得，∴橢圓C的方程為.【小問2詳解】由（1）知，設直線l的方程為，聯立化簡得，，設，則，易知M，N到y(tǒng)軸的距離之和為，，設，∴，當且僅當即時等號成立，所以當時取得最大值，此時直線l的方程為.18、（1）2，；（2）答案見解析.【解析】(1)根據，求出范圍，再根據正弦函數的圖像即可求值域；(2)根據正弦函數圖像變換對解析式的影響即可求解.【小問1詳解】當時，有，可得，故，則的最大值為2，最小值為.【小問2詳解】先將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象；然后把所得圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數的圖象；最后把所得圖象上各點的橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的2倍，這時得到的就是函數的圖象.19、（1）；（2）極大值點，極小值點.【解析】（1）求函數的導數，利用函數的導數求出切線的斜率，結合切點坐標，然后求解切線方程；（2）利用導數研究f(x)的單調性，判斷函數的極值點即可【小問1詳解】函數，函數的導數為，，在處的切線方程：，即【小問2詳解】令，，解得，當時，可得，即的單調遞減區(qū)間，或，可得，∴函數單調遞增區(qū)間，，的極大值點，極小值點20、（1）；（2）.【解析】(1)列出關于a、b、c的方程組即可求解；(2)根據題意，直線l斜率存在，設其方程為，代入橢圓方程消去y得到關于x的二次方程，根據韋達定理得到根與系數的關系，求出PQ長度，求出原點到l的距離，根據三角形面積公式表示出△OPQ的面積，利用基本不等式求解其范圍即可.【小問1詳解】由題設知，解得.∴橢圓E的方程為；【小問2詳解】當軸時不合題意，故可設，則，得.由題意知，即，得.從而.又點O到直線的距離，∴，令，則，，，所求面積的取值范圍為.21、（1）；（2）.【解析】（1）通過短軸的一個端點到右焦點的距離可知，進而利用離心率的值計算即得結論；（2）設，聯立直線與橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程，得到根與系數的關系，再利用弦長公式即可得出.【詳解】解：（1）由題意可得，解得：，，橢圓C的方程為；（2）設，聯立，得，，，，解得.【點睛】本題考查了橢圓的標準方程及其性質、韋達定理、弦長公式，屬于中檔題.22、（1）（2）【解析】根據，，成等比數列，橢圓上的點到焦點的距離的最大值為．列出關于、、的方程組，求出、的值，即可得出橢圓的方程；對直線和分兩種情況討論：一種是兩條直線與坐標軸垂直，可求出兩條弦長度之和；二是當兩條直線斜率都存在時，設直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯立，列出韋達定理，利用弦長公式可計算出的長度的表達式，然后利用相應的代換可求出的長度表達式，將兩線段長度表達式相加，利用函數思想可求出兩條弦長的取值范圍最后將兩種情況的取值范圍進行合并即可得出答案【詳解】易知，得，則，而，又，得，，因此，橢圓C的標準方程為；當兩條直線中有一條斜率為0時，另一條直線的斜率不存在，由題意易得；當兩條直線斜率都存在