第07講尺規(guī)作圖（7種題型）（原卷版）

第07講尺規(guī)作圖（7種題型）【知識(shí)梳理】一、線段垂直平分線的尺規(guī)作圖求做線段AB的垂直平分線作法：（1）分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點(diǎn)；（2）作直線CD，CD即為所求直線．要點(diǎn)詮釋：作弧時(shí)的半徑必須大于AB的長(zhǎng)，否則就不能得到交點(diǎn)了．二、角的平分線的尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖

（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.二、用尺規(guī)作三角形1、已知三角形的兩邊及其夾角，求作這個(gè)三角形已知：線段a，c和∠α，如圖4－4－16所示．圖4－4－16求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.作法：(1)作一條線段BC＝a(如圖4－4－17)；圖4－4－17(2)以B為頂點(diǎn)，以BC為一邊，作∠DBC＝∠α(如圖4－4－18)；圖4－4－18(3)在射線BD上截取線段BA＝c(如圖4－4－19)；圖4－4－19圖4－4－20(4)連接AC(如圖4－4－20)．△ABC就是所求作的三角形．[點(diǎn)析]我們這樣作出的三角形是唯一的，依據(jù)是兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等．2、已知三角形的兩角及其夾邊，求作這個(gè)三角形已知：∠α，∠β和線段c，如圖4－4－21所示．圖4－4－21求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c.作法：(1)作∠DAF＝∠α；圖4－4－22圖4－4－23(2)在射線AF上截取線段AB＝c；圖4－4－24(3)以B為頂點(diǎn)，以BA為一邊，在AB的同側(cè)作∠ABE＝∠β，BE交AD于點(diǎn)C.△ABC就是所求作的三角形．[點(diǎn)析]我們這樣作出的三角形是唯一的，依據(jù)是兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等．3、已知三角形的三條邊，求作這個(gè)三角形已知：線段a，b，c，如圖4－4－25所示．圖4－4－25求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a.作法：(1)作一條線段BC＝a；圖4－4－26(2)分別以B，C為圓心，以c，b為半徑在BC的同側(cè)畫弧，兩弧交于A點(diǎn)；圖4－4－27(3)連接AB，AC，則△ABC就是所求作的三角形．圖4－4－28[點(diǎn)析]我們這樣作出的三角形是唯一的，依據(jù)是三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等【考點(diǎn)剖析】題型一：作線段例1.使用直尺與圓規(guī)完成下面作圖，（不寫作法，保留作圖痕跡，用水筆描黑）(1)在AB上找一點(diǎn)P使得P到AC和BC的距離相等；(2)在射線CP上找一點(diǎn)Q，使得QB＝QC；(3)若BC＝10，則點(diǎn)Q到邊AC的距離為．【變式1】按要求作圖(1)如圖（1），在平行四邊形ABCD中，AC為對(duì)角線，，AE是的中線，①在AD取一點(diǎn)F使得；②畫出的高CH．（僅使用無刻度的直尺畫圖）．(2)如圖（2），四邊形ABCD是平行四邊形，畫線段BE，使得BE平分，并且點(diǎn)E在CD上（用直尺和圓規(guī)畫圖）【變式2】如圖，在正方形中，點(diǎn)是邊上的定點(diǎn)．(1)如圖1中僅用圓規(guī)分別在、上作點(diǎn)、，使，且，保留作圖痕跡，不寫作法；(2)根據(jù)你的作圖步驟，利用圖2證明：，且．題型二：作一個(gè)角等于已知角或角的和與差例2．如圖，已知．用三種不同的方法作等于．要求：尺規(guī)作圖；保留作圖痕跡，不寫作法．【變式1】如圖，已知，求作：，使．（要求：在指定作圖區(qū)域用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

題型三：過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線例3.題目：（1）下圖是小明所作的圖，根據(jù)作圖痕跡，可以知道他作圖的依據(jù)是“的四邊形是平行四邊形”；（2）請(qǐng)你以“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”為依據(jù)完成題目中的作圖．【變式】已知直線及外一點(diǎn)，分別按下列要求寫出畫法，并保留兩圖痕跡．（1）在圖1中，只用圓規(guī)在直線上畫出兩點(diǎn)，使得點(diǎn)是一個(gè)等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)；（2）在圖2中，只用圓規(guī)在直線外畫出一點(diǎn)，使得點(diǎn)所在直線與直線平行．題型四：作三角形例4.已知：線段c和求作：，使得（不寫作法，但保留作圖痕跡）【變式1】已知線段及銳角，用直尺和圓規(guī)作，使，．【變式2】如圖，線段，利用直尺和圓規(guī)按照下列要求作出圖形．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（1）作一個(gè)等邊三角形，邊長(zhǎng)為；（2）在第（1）題的圖中，作一個(gè)，使．【變式3】已知：角α，β和線段a，如圖4－4－29所示，求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a.圖4－4－29題型五：作角平分線例5.如圖，已知，用三種不同的方法畫出的平分線．要求：（1）畫圖工具：帶有刻度的直角三角板；（2）保留畫圖痕跡，簡(jiǎn)要寫出畫法．【變式1】如圖，在△ABC中，AB=AC，過頂點(diǎn)A作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在AD邊上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到AB的距離等于PD的長(zhǎng)．（保留作圖痕跡，不寫作法）【變式2】如圖，已知△ABC，∠A＝100°，∠C＝30°，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在AC上求作一點(diǎn)D，使得∠ABD＝25°．（保留作圖痕跡，不寫作法）題型六：作垂線例6.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6．作圖：作AB邊的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；【變式1】如圖，已知線段AB和射線AC，用不帶刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖．（不寫作法，保留作圖痕跡）(1)在圖①中，在射線AC上求作一點(diǎn)D，使得DA＝DB；(2)在圖②中，在射線AC上求作一點(diǎn)E，使得∠BAC＝2∠EBA．【變式2】已知：如圖，線段AC和射線AB有公共端點(diǎn)A．(1)①在射線AB取一點(diǎn)P，使△APC是以AC為底邊的等腰三角形；②過P作射線PD，使PDAC；（以上按要求尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡）(2)若∠BPD＝32°，連接PC，則∠ACP＝°．題型七：作等腰三角形例7.尺規(guī)作圖：如圖，射線OM⊥射線ON，A為OM上一點(diǎn)，請(qǐng)以O(shè)A為一邊作等腰直角三角形．保留作圖痕跡，標(biāo)上頂點(diǎn)字母，并寫出所畫的三角形．【變式1】已知：如圖，線段AC和射線AB有公共端點(diǎn)A．（1）①在射線AB取一點(diǎn)P，使△APC是以AC為底邊的等腰三角形；②過P作射線PD，使PDAC；（以上按要求尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡）（2）若∠BPD＝40°，則∠ACP＝°．【變式2】（1）已知：如圖（甲），等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為銳角，腰為a，求作這個(gè)等腰三角形；（2）在（1）中，把銳角變成鈍角，其他條件不變，求作這個(gè)等腰三角形．【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，中，，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖痕跡，的度數(shù)為（

）

A．100° B．115° C．125° D．135°2．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，直線，直線分別與相交于點(diǎn)A，B．小宇用尺規(guī)作圖法按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)C，交于點(diǎn)D；②分別以C，D為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)E；③作射線交于點(diǎn)F．若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．3．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)C、A在上，小明利用尺規(guī)作出了如圖所示的圖形，根據(jù)作圖可知的根據(jù)是(

)A．兩直線平行，同位角相等 B．同位角相等，兩直線平行C．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 D．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行4．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)浙江省鄞州區(qū)宋詔橋中學(xué)?？计谀┫铝兴o條件中，能畫出唯一的的是（

）A． B．C． D．5．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）已知直線，小明和小亮想畫出的平行線，他們的方法如下：

下列說法正確的是(

)A．小明的方法正確，小亮的方法不正確 B．小明的方法不正確，小亮的方法正確C．小明、小亮的方法都正確 D．小明、小亮的方法都不正確6．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，平分，點(diǎn)是射線，上的點(diǎn)，連接．按以下步驟作圖：

①以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)；②分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)；③作射線，交于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，中，，，分別以A，B為圓心，為半徑畫弧交于兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)的直線交于點(diǎn)D，連接，則的周長(zhǎng)為．

8．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，，的面積為24，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡判斷，的長(zhǎng)為．

9．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，，則根據(jù)作圖痕跡，可知的度數(shù)為，的度數(shù)為．

10．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交邊，于點(diǎn)，，分別以點(diǎn)，為圓心，以大于為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，射線交于點(diǎn)，若，，則的面積為．

11．（2021春·浙江·八年級(jí)期末）如圖，利用尺規(guī)作圖：作的平分線的原理是．三、解答題12．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知，點(diǎn)為上一點(diǎn)．(1)畫，垂足為；(2)畫的平分線，交于；(3)過點(diǎn)畫，交于點(diǎn)．（注：不需要寫出作法，只需保留作圖痕跡）13．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）已知：如圖，和上的一點(diǎn)P．(1)求作直線，使直線過點(diǎn)P且；(2)寫出一對(duì)相等的同位角和一對(duì)互補(bǔ)的同旁內(nèi)角．14．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線，請(qǐng)保留作圖痕跡，不寫作法．15．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）已知，D為上一點(diǎn)，．(1)尺規(guī)作圖：在邊上求作一點(diǎn)F，使得；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)求的度數(shù)．16．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，

(1)利用尺規(guī)，作邊的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）中，連接，若，，求的周長(zhǎng)17．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在直線l上求作一點(diǎn)C，使得（保留作圖痕跡）．

18．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是的中線，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到線段、的距離相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）

19．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）在如圖所示的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、C在小正方形的頂點(diǎn)上．

(1)畫出中邊上的高線．(2)用直尺和圓規(guī)，作出的角平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）．(3)求的面積．20．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知和線段a，求作，使，

21．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知線段m，n和∠α，求作△ABC，使AB＝m，AC＝n，∠B＝∠α．22．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知線段a，b和，用直尺和圓規(guī)作，使，，．23．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）已知：線段，，如圖所示，作，使，，．保留作圖痕跡，不必寫畫法和證明)

24．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，OD平分∠AOB，點(diǎn)P為OA上一點(diǎn)．(1)尺規(guī)作圖：以P為頂點(diǎn)，作∠APQ=∠AOB，交OD于點(diǎn)Q（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若∠AOB=60°，求∠DQP的度數(shù)．25．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖：

(1)在的內(nèi)部利用尺規(guī)作（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)判斷直線的位置關(guān)系26．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示,已知∠α和∠β(∠α>∠β)，求作：（1）∠α+∠β（2）∠α∠β.27．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知∠α，∠β，線段a，完成下面的尺規(guī)作圖：（1）∠α+∠β；（2）△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a．28．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，請(qǐng)按下列要求作圖：（1）作邊上的中線．（2）用直尺和圓規(guī)作的角平分線．（3）用直尺和圓規(guī)作，使（使點(diǎn)D與A對(duì)應(yīng)，點(diǎn)E與B對(duì)應(yīng)，點(diǎn)F與C對(duì)應(yīng)）．29．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知點(diǎn)D是射線OA上一點(diǎn)且(1)過點(diǎn)E作OA的平行線EF；(2)若，求的度