2023-2024學(xué)年福建省泉州一中普高招生全國統(tǒng)考（一）數(shù)學(xué)試題模擬試卷

2022-2023學(xué)年福建省泉州一中普高招生全國統(tǒng)考（一）數(shù)學(xué)試題模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象()A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度2．已知集合，則（）A． B．C． D．3．已知數(shù)列的前項和為，且，，則()A． B． C． D．4．設(shè)分別是雙曲線的左右焦點若雙曲線上存在點，使，且，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．5．函數(shù)的定義域為（）A．或 B．或C． D．6．函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．7．若，則下列不等式不能成立的是（）A． B． C． D．8．已知拋物線的焦點為，對稱軸與準(zhǔn)線的交點為，為上任意一點，若，則（）A．30° B．45° C．60° D．75°9．已知平面向量，滿足，，且，則（）A．3 B． C． D．510．已知F是雙曲線（k為常數(shù)）的一個焦點，則點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為（）A．2k B．4k C．4 D．211．己知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，點分別在拋物線上，且，直線交于點，，垂足為，若的面積為，則到的距離為（）A． B． C．8 D．612．函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．展開式的第5項的系數(shù)為_____.14．已知，滿足不等式組，則的取值范圍為________．15．已知，則的值為______.16．展開式中的系數(shù)的和大于8而小于32，則______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）購買一輛某品牌新能源汽車，在行駛?cè)旰?，政府將給予適當(dāng)金額的購車補貼.某調(diào)研機構(gòu)對擬購買該品牌汽車的消費者，就購車補貼金額的心理預(yù)期值進行了抽樣調(diào)查，其樣本頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計擬購買該品牌汽車的消費群體對購車補貼金額的心理預(yù)期值的方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）將頻率視為概率，從擬購買該品牌汽車的消費群體中隨機抽取人，記對購車補貼金額的心理預(yù)期值高于萬元的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）統(tǒng)計最近個月該品牌汽車的市場銷售量，得其頻數(shù)分布表如下：月份銷售量（萬輛）試預(yù)計該品牌汽車在年月份的銷售量約為多少萬輛？附：對于一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.18．（12分）為了實現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興之夢，把我國建設(shè)成為富強民主文明和諧美麗的社會主義現(xiàn)代化強國，黨和國家為勞動者開拓了寬廣的創(chuàng)造性勞動的舞臺.借此“東風(fēng)”，某大型現(xiàn)代化農(nóng)場在種植某種大棚有機無公害的蔬菜時，為創(chuàng)造更大價值，提高畝產(chǎn)量，積極開展技術(shù)創(chuàng)新活動.該農(nóng)場采用了延長光照時間和降低夜間溫度兩種不同方案.為比較兩種方案下產(chǎn)量的區(qū)別，該農(nóng)場選取了40間大棚（每間一畝），分成兩組，每組20間進行試點.第一組采用延長光照時間的方案，第二組采用降低夜間溫度的方案.同時種植該蔬菜一季，得到各間大棚產(chǎn)量數(shù)據(jù)信息如下圖：（1）如果你是該農(nóng)場的負(fù)責(zé)人，在只考慮畝產(chǎn)量的情況下，請根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)信息，對于下一季大棚蔬菜的種植，說出你的決策方案并說明理由；（2）已知種植該蔬菜每年固定的成本為6千元/畝.若采用延長光照時間的方案，光照設(shè)備每年的成本為0.22千元/畝；若采用夜間降溫的方案，降溫設(shè)備的每年成本為0.2千元/畝.已知該農(nóng)場共有大棚100間（每間1畝），農(nóng)場種植的該蔬菜每年產(chǎn)出兩次，且該蔬菜市場的收購均價為1千元/千斤.根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，用樣本估計總體，請計算在兩種不同的方案下，種植該蔬菜一年的平均利潤；（3）農(nóng)場根據(jù)以往該蔬菜的種植經(jīng)驗，認(rèn)為一間大棚畝產(chǎn)量超過5.25千斤為增產(chǎn)明顯.在進行夜間降溫試點的20間大棚中隨機抽取3間，記增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為，求的分布列及期望.19．（12分）已知函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)的極值；(Ⅱ)若,且,求證：．20．（12分）中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《數(shù)書九章》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”.在如圖所示的陽馬中，底面ABCD是矩形.平面，，，以的中點O為球心，AC為直徑的球面交PD于M（異于點D），交PC于N（異于點C）.（1）證明：平面，并判斷四面體MCDA是否是鱉臑，若是，寫出它每個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請說明理由；（2）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）如圖，底面ABCD是邊長為2的菱形，，平面ABCD，，，BE與平面ABCD所成的角為.（1）求證：平面平面BDE；（2）求二面角B-EF-D的余弦值.22．（10分）已知函數(shù)有兩個極值點，.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像平移原則，即可容易求得結(jié)果.【詳解】因為，故要得到，只需將向左平移個單位長度.故選：A.【點睛】本題考查函數(shù)圖像平移前后解析式的變化，屬基礎(chǔ)題.2．C【解析】

由題意和交集的運算直接求出.【詳解】∵集合，∴.故選:C.【點睛】本題考查了集合的交集運算.集合進行交并補運算時，常借助數(shù)軸求解.注意端點處是實心圓還是空心圓.3．C【解析】

根據(jù)已知條件判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，求得其通項公式，由此求得.【詳解】由于，所以數(shù)列是等比數(shù)列，其首項為，第二項為，所以公比為.所以，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的證明，考查等比數(shù)列通項公式，屬于基礎(chǔ)題.4．A【解析】

由及雙曲線定義得和（用表示），然后由余弦定理得出的齊次等式后可得離心率．【詳解】由題意∵，∴由雙曲線定義得，從而得，，在中，由余弦定理得，化簡得．故選：A．【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線定義用表示出到兩焦點的距離，再由余弦定理得出的齊次式．5．A【解析】

根據(jù)偶次根式被開方數(shù)非負(fù)可得出關(guān)于的不等式，即可解得函數(shù)的定義域.【詳解】由題意可得，解得或.因此，函數(shù)的定義域為或.故選：A.【點睛】本題考查具體函數(shù)定義域的求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.6．A【解析】

用排除B，C；用排除；可得正確答案.【詳解】解：當(dāng)時，，，所以，故可排除B，C；當(dāng)時，，故可排除D．故選：A．【點睛】本題考查了函數(shù)圖象，屬基礎(chǔ)題．7．B【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)對選項逐一判斷即可.【詳解】選項A：由于，即，，所以，所以，所以成立；選項B：由于，即，所以，所以，所以不成立；選項C：由于，所以，所以，所以成立；選項D：由于，所以，所以，所以，所以成立.故選：B.【點睛】本題考查不等關(guān)系和不等式，屬于基礎(chǔ)題.8．C【解析】

如圖所示：作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，則，故，得到答案.【詳解】如圖所示：作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，則，在中，，故，即.故選：.【點睛】本題考查了拋物線中角度的計算，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.9．B【解析】

先求出，再利用求出，再求.【詳解】解：由，所以，，，故選：B【點睛】考查向量的數(shù)量積及向量模的運算，是基礎(chǔ)題.10．D【解析】

分析可得,再去絕對值化簡成標(biāo)準(zhǔn)形式,進而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】當(dāng)時,等式不是雙曲線的方程；當(dāng)時,,可化為,可得虛半軸長,所以點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選：D【點睛】本題考查雙曲線的方程與點到直線的距離.屬于基礎(chǔ)題.11．D【解析】

作，垂足為，過點N作，垂足為G，設(shè)，則，結(jié)合圖形可得，，從而可求出，進而可求得，，由的面積即可求出，再結(jié)合為線段的中點，即可求出到的距離．【詳解】如圖所示，作，垂足為，設(shè)，由，得，則，.過點N作，垂足為G，則，，所以在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以，，所以．解得，因為，所以為線段的中點，所以F到l的距離為．故選：D【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)及平面幾何的有關(guān)知識，屬于中檔題．12．C【解析】

顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),由的一個零點在區(qū)間內(nèi),則,即可求解.【詳解】由題,顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),因為的一個零點在區(qū)間內(nèi),所以,即,解得,故選:C【點睛】本題考查零點存在性定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．70【解析】

根據(jù)二項式定理的通項公式，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：第5項為故第5項的的系數(shù)為故答案為：70.【點睛】本題考查的是二項式定理，屬基礎(chǔ)題。14．【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，易知在點處取得最小值，即，所以由圖可知的取值范圍為．15．【解析】

先求，再根據(jù)的范圍求出即可.【詳解】由題可知，故.故答案為：.【點睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解，涉及對數(shù)的運算，屬基礎(chǔ)題.16．4【解析】

由題意可得項的系數(shù)與二項式系數(shù)是相等的，利用題意，得出不等式組，求得結(jié)果.【詳解】觀察式子可知，，故答案為：4.【點睛】該題考查的是有關(guān)二項式定理的問題，涉及到的知識點有展開式中項的系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）1.7；（2），見解析；（2）2.【解析】

（1）平均數(shù)的估計值為每個小矩形組中值乘以小矩形面積的和；（2）易得，由二項分布列的期望公式計算；（3）利用所給公式計算出回歸直線即可解決.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，消費群體對購車補貼金額的心理預(yù)期值的平均數(shù)的估計值為，所以方差的估計值為；（2）由頻率分布直方圖可知，消費群體對購車補貼金額的心理預(yù)期值高于3萬元的頻率為，則，所以的分布列為，數(shù)學(xué)期望；（3）將2018年11月至2019年3月的月份數(shù)依次編號為1，2，3，4，5，記，，，，，，由散點圖可知，5組樣本數(shù)據(jù)呈線性相關(guān)關(guān)系，因為，，，，則，，所以回歸直線方程為，當(dāng)時，，預(yù)計該品牌汽車在年月份的銷售量約為2萬輛.【點睛】本題考查平均數(shù)、方差的估計值、二項分布列及其期望、線性回歸直線方程及其應(yīng)用，是一個概率與統(tǒng)計的綜合題，本題是一道中檔題.18．（1）見解析；（2）（i）該農(nóng)場若采用延長光照時間的方法，預(yù)計每年的利潤為426千元；（ii）若采用降低夜間溫度的方法，預(yù)計每年的利潤為424千元；（3）分布列見解析，.【解析】

（1）估計第一組數(shù)據(jù)平均數(shù)和第二組數(shù)據(jù)平均數(shù)來選擇.（2）對于兩種方法，先計算出每畝平均產(chǎn)量，再算農(nóng)場一年的利潤.（3）估計頻率分布直方圖可知，增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為5間，由題意可知，的可能取值有0，1，2，3，再算出相應(yīng)的概率，寫出分布列，再求期望.【詳解】（1）第一組數(shù)據(jù)平均數(shù)為千斤/畝，第二組數(shù)據(jù)平均數(shù)為千斤/畝，可知第一組方法較好，所以采用延長光照時間的方法；（（2）（i）對于采用延長光照時間的方法：每畝平均產(chǎn)量為千斤.∴該農(nóng)場一年的利潤為千元.（ii）對于采用降低夜間溫度的方法：每畝平均產(chǎn)量為千斤，∴該農(nóng)場一年的利潤為千元.因此，該農(nóng)場若采用延長光照時間的方法，預(yù)計每年的利潤為426千元；若采用降低夜間溫度的方法，預(yù)計每年的利潤為424千元.（3）由圖可知，增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為5間，由題意可知，的可能取值有0，1，2，3，；；；.所以的分布列為0123所以.【點睛】本題主要考查樣本估計總體和離散型隨機變量的分布列，還考查了數(shù)據(jù)處理和運算求解的能力，屬于中檔題.19．(Ⅰ)極大值為：，無極小值；(Ⅱ)見解析.【解析】

(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出函數(shù)的極值；(Ⅱ)得到,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為證明，即證,令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【詳解】(Ⅰ)的定義域為且令，得；令，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減函數(shù)的極大值為，無極小值(Ⅱ)，，即由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減且，則要證，即證，即證，即證即證由于，即，即證令則恒成立在遞增在恒成立【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查不等式的證明，考查運算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出合適的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題，屬于難題．20．（1）證明見解析，是，，，，；（2）【解析】

（1）根據(jù)是球的直徑，則，又平面，得到，再由線面垂直的判定定理得到平面，，進而得到，再利用線面垂直的判定定理得到平面.（2）以A為原點，，，所在直線為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，解得，得到，從而得到，然后求得平面的一個法向量，代入公式求解.【詳解】（1）因為是球的直徑，則，又平面，∴，.∴平面，∴，∴平面.根據(jù)證明可知，四面體是鱉臑.它的每個面的直角分別是，，，.（2）如圖，以A為原點，，，所在直線為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，則，，，，.M為中點，從而.所以，設(shè)，則.由，得.由得，即.所以.設(shè)平面的一個法向量為.由.取，，，得到.記與平面所成角為θ，則.所以直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理和線面角的向量求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.21．（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）要證明平面平面BDE，只需在平面內(nèi)找一條直線垂直平面BDE即可；（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OB，OG所在直線分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BEF的法向量，平面的法向量，算出即可.【詳解】（1）∵平面ABCD，平面ABCD.∴.又∵底面ABCD是菱形，∴.∵，∴平面BDE，設(shè)AC，BD交于O，取BE的中點G，連FG，OG，，，四邊形OCFG是平行四邊形，平面BDE∴平面BDE，又因平面BEF，∴平面平面BDE.（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OB，OG所在直線分別為x、y、z