福建省莆田市仙游縣楓亭中學2025屆高二上數學期末聯(lián)考試題含解析

福建省莆田市仙游縣楓亭中學2025屆高二上數學期末聯(lián)考試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知各項均為正數的等比數列{}，=5，=10，則=A. B.7C.6 D.2．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3．若，則的虛部為（）A. B.C. D.4．已知長方體的底面ABCD是邊長為8的正方形，長方體的高為，則與對角面夾角的正弦值等于（）A. B.C. D.5．圓和圓的位置關系是（）A.內含 B.內切C.相交 D.外離6．某企業(yè)甲車間有200人，乙車間有300人，現(xiàn)用分層抽樣的方法在這兩個車間中抽取25人進行技能考核，則從甲車間抽取的人數應為（）A.5 B.10C.8 D.97．已知對任意實數，有，且時，則時A. B.C. D.8．接種疫苗是預防控制新冠疫情最有效的方法，我國自2021年1月9日起實施全民免費接種新冠疫苗并持續(xù)加快推進接種工作．某地為方便居民接種，共設置了A、B、C三個新冠疫苗接種點，每位接種者可去任一個接種點接種．若甲、乙兩人去接種新冠疫苗，則兩人不在同一接種點接種疫苗的概率為（）A. B.C. D.9．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A. B.C. D.10．如圖，在平行六面體中，（）A. B.C. D.11．已知關于的不等式的解集是，則的值是（）A. B.5C. D.712．已知雙曲線的方程為，則下列關于雙曲線說法正確的是（）A.虛軸長為4 B.焦距為C.焦點到漸近線的距離為4 D.漸近線方程為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在下列三個問題中：①甲乙二人玩勝負游戲：每人一次拋擲兩枚質地均勻的硬幣，如果規(guī)定：同時出現(xiàn)正面或反面算甲勝，一個正面、一個反面算乙勝，那么這個游戲是公平的；②擲一枚骰子，估計事件“出現(xiàn)三點”的概率，當拋擲次數很大時，此事件發(fā)生的頻率接近其概率；③如果氣象預報1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日中就有6天是下雨的；其中，正確的是___________.（用序號表示）14．已知是橢圓的兩個焦點，分別是該橢圓的左頂點和上頂點，點在線段上，則的最小值為__________.15．將車行的30輛大巴車編號為01，02，…，30，采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為3的樣本，且在某組隨機抽得的一個號碼為08，則剩下的兩個號碼依次是__________（按號碼從小到大排列）16．已知直線與雙曲線無公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，（1）證明：；（2）若點E是棱的中點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值18．（12分）某中學共有名學生，其中高一年級有名學生，為了解學生的睡眠情況，用分層抽樣的方法，在三個年級中抽取了名學生，依據每名學生的睡眠時間（單位：小時），繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求樣本中高一年級學生的人數及圖中的值；（2）估計樣本數據的中位數（保留兩位小數）；（3）估計全校睡眠時間超過個小時的學生人數.19．（12分）求適合下列條件的曲線的標準方程：（1），焦點在軸上的雙曲線的標準方程；（2）焦點在軸上，且焦點到準線的距離是2的拋物線的標準方程20．（12分）已知函數，其中常數，（1）求單調區(qū)間；（2）若且對任意，都有，證明：方程有且只有兩個實根21．（12分）如圖，四邊形是某半圓柱的軸截面（過上下底面圓心連線的截面），線段是該半圓柱的一條母線，點為線的中點（1）證明：；（2）若，且點到平面的距離為1，求線段的長22．（10分）已知圓C經過點，，且圓心C在直線上（1）求圓C的標準方程；（2）過點向圓C引兩條切線PD，PE，切點分別為D，E，求切線PD，PE的方程，并求弦DE的長

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由等比數列的性質知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數列，所以a4a5a6＝故答案為考點：等比數列的性質、指數冪的運算、根式與指數式的互化等知識，轉化與化歸的數學思想2、B【解析】求得中的取值范圍，由此確定充分、必要條件.【詳解】，，所以“”是“”的充要條件.故選：B3、A【解析】根據復數的運算化簡，由復數概念即可求解.【詳解】因為，所以的虛部為，故選：A4、A【解析】建立空間直角坐標系，結合空間向量的夾角坐標公式即可求出線面角的正弦值.【詳解】連接，建立如圖所示的空間直角坐標系∵底面是邊長為8的正方形，，∴，，，因為,且，所以平面，∴，平面的法向量，∴與對角面所成角的正弦值為故選：A.5、C【解析】根據兩圓圓心的距離與兩圓半徑和差的大小關系即可判斷.【詳解】解：因為圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以兩圓圓心的距離為，因為，即，所以圓和圓的位置關系是相交，故選：C.6、B【解析】根據分層抽樣的定義即可求解.【詳解】從甲車間抽取的人數為人故選：B7、B【解析】，所以是奇函數，關于原點對稱，是偶函數，關于y軸對稱，時則都是增函數，由對稱性可知時遞增，遞減，所以考點：函數奇偶性單調性8、C【解析】利用古典概型的概率公式可求出結果【詳解】由題知,基本事件總數為甲、乙兩人不在同一接種點接種疫苗的基本事件數為由古典概型概率計算公式可得所求概率故選:9、D【解析】分析：根據等比數列的定義可知每一個單音的頻率成等比數列，利用等比數列的相關性質可解.詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為，所以，又，則故選D.點睛：此題考查等比數列的實際應用，解決本題的關鍵是能夠判斷單音成等比數列.等比數列的判斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（），數列等比數列；（2）等比中項公式法，若數列中，且（），則數列是等比數列.10、B【解析】由空間向量的加法的平行四邊形法則和三角形法則，可得所求向量【詳解】連接，可得，又，所以故選：B.11、D【解析】由題意可得的根為，然后利用根與系數的關系列方程組可求得結果【詳解】因為關于的不等式的解集是，所以方程的根為，所以，得，所以，故選：D12、D【解析】根據雙曲線的性質逐一判斷即可.【詳解】在雙曲線中，焦點在軸上，，，，所以虛軸長為6，故A錯誤；焦距為，故B錯誤；漸近線方程為，故D正確；焦點到漸近線的距離為，故C錯誤；故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②【解析】以甲乙獲勝概率是否均為來判斷游戲是否公平，并以此來判斷①的正確性；以頻率和概率的關系來判斷②③的正確性.【詳解】①中：甲乙二人玩勝負游戲：每人一次拋擲兩枚質地均勻的硬幣，可得4種可能的結果：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）則“同時出現(xiàn)正面或反面”的概率為，“一個正面、一個反面”的概率為即甲乙二人獲勝的概率均為，那么這個游戲是公平的.判斷正確；②中：“擲一枚骰子出現(xiàn)三點”是一個隨機事件，當拋擲次數很大時，此事件發(fā)生的頻率會穩(wěn)定于其概率值，故此事件發(fā)生的頻率接近其概率.判斷正確；③中：氣象預報1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日每天下雨的概率均是，每天都有可能下雨也可能不下雨，故1日—30日中出現(xiàn)下雨的天數是隨機的，可能是0天，也可能是1天、2天、3天……，不一定是6天.判斷錯誤.故答案為：①②14、【解析】由題可設，則，然后利用數量積坐標表示及二次函數的性質即得.【詳解】由題可得，，設，因為點P在線段AB上，所以，∴，∴當時，的最小值為.故答案為：.15、18，28【解析】根據等距抽樣的性質確定剩下的兩個號碼即可.【詳解】由于從30輛大巴車中抽取3輛車，故分組間距為10，又第一組的號碼為08，所以其它兩個號碼依次是18，28故答案為：18，28.16、【解析】聯(lián)立直線得，由無公共點得，進而得，即可求出離心率的取值范圍.【詳解】聯(lián)立直線與雙曲線可得，整理得，顯然，由方程無解可得，即，則，，又離心率大于1，故離心率的取值范圍是.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據線面垂直的判定定理證出平面，即可證得；（2）以A為原點，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，根據二面角的向量公式即可求出【小問1詳解】如圖，連接，由已知可得四邊形是正方形，所以在直三棱柱中，平面平面，交線為，在中，可知，所以平面，于因為，所以平面，而平面，所以【小問2詳解】如圖所示，以A為原點，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，于是設平面的法向量為，則，可取而平面的一個法向量為，所以故平面與平面所成銳二面角的余弦值為18、（1）樣本中高一年級學生的人數為，；（2）；（3）【解析】（1）利用分層抽樣可求得樣本中高一年級學生的人數，利用頻率直方圖中所有矩形的面積之和為可求得的值；（2）利用中位數左邊的矩形面積之和為可求得中位數的值；（3）利用頻率分布直方圖可計算出全校睡眠時間超過個小時的學生人數.【小問1詳解】解：樣本中高一年級學生的人數為.，解得.【小問2詳解】解：設中位數為，前兩個矩形的面積之和為，前三個矩形的面積之和為，所以，則，得，故樣本數據的中位數約為.【小問3詳解】解：由圖可知，樣本數據落在的頻率為，故全校睡眠時間超過個小時的學生人數約為.19、（1）；（2）或【解析】（1）設方程為（，），即得解；（2）由題得，即得解.【詳解】（1）解：由題意，設方程為（，），，，，，所以雙曲線的標準方程是（2）焦點到準線的距離是2，，∴當焦點在軸上時，拋物線的標準方程為或20、（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析【解析】（1）求出函數的導數，談論參數的范圍，根據導數的正負，可得單調區(qū)間；（2）由已知可解得，構造函數，再根據（1）的結論，可知函數的單調性，結合零點存在定理，可證明結論.【小問1詳解】定義域為，因為，若，，所以單調遞減區(qū)間為，若，,當時，，當時，，所以單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為【小問2詳解】證明：若且對任意，都有，則在處取得最小值，由（1）得在取得最小值，得，令，則單調性相同，單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，且，，，所以在(1e2，所以在和各有且僅有一個零點，即方程有且只有兩個實根21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）先證明，，利用判定定理證明平面，從而得到；（2）設，利用等體積法，由由，解出a.【詳解】（1）證明：由題意可知平面，平面∴∵所對為半圓直徑∴∴和是平面內兩條相交直線∴平面平面∴（2）設，因為，且所以，設，在等腰直角三角形中，取BC的中點E,連結AE,則，取BC1的中點為P，連結DP，∵，∴，又為的中點，∴,∴，即的高為∴，∵，且∴平面，∵平面，且即到平面的距離為1，而由，即解得：，即.【點睛】立體幾何解答題(1)第一問一般是幾何關系的證明，用判定定理；(2)第二問是計算，求角或求距離（求體積通常需要先求距離）.如果求體積，常用的方法有：(1)直接法；(2)等體積法；(3)補形法；(4)向量法.22、（1）（2）或，【解析】（1