甘肅省武威市第二中學(xué) 2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

甘肅省武威市第二中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列的公差為，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2．雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左右兩支分別交于P、Q兩點(diǎn)，若，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)，若，則（）A. B.0C.1 D.24．已知，設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為（）A. B.C. D.5．“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．下列數(shù)列是遞增數(shù)列的是（）A. B.C. D.7．如圖，在四棱錐中，平面，，，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為（）A. B.C. D.28．在四棱錐中，分別為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.9．函數(shù)在上的最小值為（）A. B.4C. D.10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（）A. B.C. D.11．等差數(shù)列的首項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為.現(xiàn)有下列命題，其中是假命題的有（）A.若有最大值，則數(shù)列的公差小于0B.若，則使的最大的n為18C.若，，則中最大D.若，，則數(shù)列中的最小項(xiàng)是第9項(xiàng)12．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，是上一點(diǎn)，是直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)，若，則（）A. B.3C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，在平行六面體中，，若，則___________.14．已知，且，則_____________15．一支車(chē)隊(duì)有10輛車(chē)，某天下午依次出發(fā)執(zhí)行運(yùn)輸任務(wù)．第一輛車(chē)于14時(shí)出發(fā)，以后每間隔10分鐘發(fā)出一輛車(chē)．假設(shè)所有的司機(jī)都連續(xù)開(kāi)車(chē)，并都在18時(shí)停下來(lái)休息．截止到18時(shí)，最后一輛車(chē)行駛了____小時(shí)，如果每輛車(chē)行駛的速度都是60km/h，這個(gè)車(chē)隊(duì)各輛車(chē)行駛路程之和為_(kāi)_____千米16．圓與x軸相切于點(diǎn)A．點(diǎn)B在圓C上運(yùn)動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)_____（當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到與A重合時(shí)，規(guī)定點(diǎn)M與點(diǎn)A重合）；點(diǎn)N是直線(xiàn)上一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上.（1）當(dāng)直線(xiàn)與平面所成角最大時(shí)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)度；（2）是否存在這樣的點(diǎn)，使平面與平面所成的二面角的余弦值為，若存在，試確定點(diǎn)的位置，若不存在，說(shuō)明理由.18．（12分）已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)C：上的點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且，直線(xiàn)l：與拋物線(xiàn)C相交于不同的兩點(diǎn)A，B.（1）求拋物線(xiàn)C的方程；（2）若，求k的值.19．（12分）已知的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為46，（1）求n；（2）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)20．（12分）已知橢圓的下焦點(diǎn)為、上焦點(diǎn)為，其離心率．過(guò)焦點(diǎn)且與x軸不垂直的直線(xiàn)l交橢圓于A、B兩點(diǎn)（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）求△ABO(O為原點(diǎn))面積的最大值21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，直線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)為，求的值.22．（10分）在2021年“雙11”網(wǎng)上購(gòu)物節(jié)期間，某電商平臺(tái)銷(xiāo)售了一款新手機(jī)，現(xiàn)在該電商為調(diào)查這款手機(jī)使用后的“滿(mǎn)意度”，從購(gòu)買(mǎi)了該款手機(jī)的顧客中抽取1000人，每人在規(guī)定區(qū)間內(nèi)給出一個(gè)“滿(mǎn)意度”分?jǐn)?shù)，評(píng)分在60分以下的視為“不滿(mǎn)意”，在60分到80分之間（含60分但不含80分）的視為“基本滿(mǎn)意”，在80分及以上的視為“非常滿(mǎn)意”.現(xiàn)將他們的評(píng)分按，，，，分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求這1000人中對(duì)該款手機(jī)“非常滿(mǎn)意”的人數(shù)和“滿(mǎn)意度”評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值.（2）若按“滿(mǎn)意度”采用分層抽樣的方法從這1000名被調(diào)查者中抽取20人，再?gòu)倪@20人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中對(duì)該款手機(jī)“非常滿(mǎn)意”的人數(shù)為X.①寫(xiě)出X的分布列，并求數(shù)學(xué)期望；②若被抽取的這3人中對(duì)該款手機(jī)“非常滿(mǎn)意”的被調(diào)查者將獲得100元話(huà)費(fèi)補(bǔ)貼，其他被調(diào)查者將獲得50元話(huà)費(fèi)補(bǔ)貼，請(qǐng)求出這3人將獲得的話(huà)費(fèi)補(bǔ)貼總額的期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用等差數(shù)列的定義和數(shù)列單調(diào)性的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，則，即，此時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即“”“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”；若等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則，即“”“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”.因此，“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的充分必要條件.故選：C.2、C【解析】由，且，可得，再結(jié)合，可得，進(jìn)而在△中，由余弦定理可得到齊次方程，求出即可.【詳解】由題意，可得，因?yàn)?，所以，又，所以，在△中，，即，由余弦定理，可得，整理得，則，即，解得，因?yàn)?，所?故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求雙曲線(xiàn)的離心率，屬于中檔題.雙曲線(xiàn)離心率的求法：（1）由條件直接求出（或或），或者尋找（或或）所滿(mǎn)足的關(guān)系，利用求解；（2）根據(jù)條件列出的齊次方程，利用轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，解方程即可，注意根據(jù)對(duì)所得解進(jìn)行取舍.3、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，直接代入即可求值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故選：D.4、D【解析】由題設(shè)易知上恒成立，而在上，討論、，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的最值，由不等式恒成立求的取值范圍.【詳解】由時(shí)，在上；由時(shí)，在上遞減，值域?yàn)?；令且，則，當(dāng)時(shí)，，即遞增，值域?yàn)?，滿(mǎn)足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，在上，即遞減，在上，即遞增，此時(shí)值域?yàn)?；?dāng)，即時(shí)存在，而在中，此時(shí)，不合題設(shè)；所以，此時(shí)要使的不等式恒成立，只需，即，可得；綜上，關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由題設(shè)易知上，只需在上恒有即可.5、A【解析】求出兩直線(xiàn)垂直的充要條件后再根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】由,得,即或所以,反之,則不然所以“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”的充分不必要條件.故選:A6、C【解析】分別判斷的符號(hào)，從而可得出答案.【詳解】解：對(duì)于A，，則，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故A不符合題意；對(duì)于B，，則，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故B不符合題意；對(duì)于C，，則，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，故C符合題意；對(duì)于D，，則，所以數(shù)列遞減數(shù)列，故D不符合題意.故選：C.7、A【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解即可【詳解】因?yàn)槠矫妫矫?，平面，所以，，因?yàn)樗匀鐖D，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，即.在上的投影向量的長(zhǎng)度為，故點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.故選：A8、A【解析】結(jié)合空間幾何體以及空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則,,,故選：A.9、D【解析】求出導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)在上的單調(diào)性與極值，可得最小值【詳解】，所以時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以是在上的唯一極值點(diǎn)，極小值也是最小值．故選：D10、C【解析】按照程序框圖的流程進(jìn)行計(jì)算.【詳解】，故輸出S的值為.故選：C11、B【解析】由有最大值可判斷A；由，可得，，利用可判斷BC；，得，，可判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，∵有最大值，∴等差數(shù)列一定有負(fù)數(shù)項(xiàng)，∴等差數(shù)列為遞減數(shù)列，故公差小于0，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，∵，且，∴，，∴，，則使的最大的n為17，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，∵，，∴，，故中最大，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，∵，，∴，，故數(shù)列中的最小項(xiàng)是第9項(xiàng)，故選項(xiàng)D正確.故選：B.12、D【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)的定義求得，由此求得的長(zhǎng).【詳解】過(guò)作，垂足為，設(shè)與軸交點(diǎn)為.根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知.由于，所以，所以，所以，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線(xiàn)定義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】題中幾何體為平行六面體，就要充分利用幾何體的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，,再將轉(zhuǎn)化為，以及將轉(zhuǎn)化為,,總之等式右邊為，，,從而得出，.【詳解】解：因?yàn)?，又，所以，，則.故答案為：2.【點(diǎn)睛】要充分利用幾何體的幾何特征，以及將作為轉(zhuǎn)化的目標(biāo)，從而得解.14、2【解析】由共線(xiàn)向量得，解方程即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故答案為：215、①.2.5####②.1950【解析】通過(guò)分析，求出最后一輛車(chē)的出發(fā)時(shí)間，從而求出最后一輛車(chē)的行駛時(shí)間，這10輛車(chē)的行駛路程可以看作等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，所以最后一輛車(chē)出發(fā)時(shí)間為15時(shí)30分，則最后一輛車(chē)行駛時(shí)間為18-15.5=2.5小時(shí)，第一輛車(chē)行程為km，且從第二輛車(chē)開(kāi)始，每輛車(chē)都比前一輛少走km，這10輛車(chē)的行駛路程可以看作首項(xiàng)為240，公差為-10的等差數(shù)列，則10輛車(chē)的行程路程之和為（km）.故答案為：2.5,195016、①.②.【解析】將點(diǎn)M的軌跡轉(zhuǎn)化為以AC為直徑的圓，再確定圓心及半徑即可求解，將的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離再減去半徑可求解.【詳解】依題意得，，因?yàn)镸為AB中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)M的軌跡是以AC為直徑的圓，又AC中點(diǎn)為，，所以點(diǎn)M的軌跡方程為，圓心，設(shè)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則有，解得，所以，所以由對(duì)稱(chēng)性可知的最小值為故答案為：，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）存在，A1P=【解析】（1）作出線(xiàn)面角，因?yàn)閷?duì)邊為定值，所以鄰邊最小時(shí)線(xiàn)面角最大；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求二面角列方程可得.【小問(wèn)1詳解】直線(xiàn)PN與平面A1B1C1所成的角即為直線(xiàn)PN與平面ABC所成角，過(guò)P作,即PN與面ABC所成的角，因?yàn)镻H為定值，所以當(dāng)NH最小時(shí)線(xiàn)面角最大，因?yàn)楫?dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，,此時(shí)NH最小，即PN與平面ABC所成角最大，此時(shí).【小問(wèn)2詳解】以AB,AC,AA1為x,y,z軸建立空間坐標(biāo)系，則：A（0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1)設(shè)=，，，設(shè)平面PMN的法向量為，則，即，解得，平面AC1C的法向量為,.所以P點(diǎn)為A1B1的四等分點(diǎn)，且A1P=.18、（1）；（2）1或.【解析】(1)根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，即可求得p值；(2)由過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合拋物線(xiàn)的定義，即可求出弦長(zhǎng)AB【詳解】（1）拋物線(xiàn)C：的準(zhǔn)線(xiàn)為，由得：，得.所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為.（2）設(shè)，，由，，∴，∵直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F，∴解得：，所以k的值為1或.【點(diǎn)睛】考核拋物線(xiàn)的定義及過(guò)焦點(diǎn)弦的求法19、（1）9（2）【解析】（1）根據(jù)要求列出方程，求出的值；（2）求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，列出不等式組，求出的取值范圍，從而求出，得到系數(shù)最大項(xiàng).【小問(wèn)1詳解】由題意得：，解得：或，因?yàn)椋裕ㄉ崛ィ?，從而【小?wèn)2詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式通項(xiàng)為：，則系數(shù)為，要求其最大值，則只要滿(mǎn)足，即9!r!9-r!?2r≥9!r-1!10-r20、（1）2；（2）﹒【解析】(1)根據(jù)已知條件得，，結(jié)合離心率，即可解得答案(2)設(shè)直線(xiàn)的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式以及三角形的面積公式，基本不等式即可得出答案【小問(wèn)1詳解】由題意可得，，，∵離心率，∴，∵，∴，解得【小問(wèn)2詳解】由(1)知，橢圓，上焦點(diǎn)，設(shè)，，，，直線(xiàn)的方程為：，聯(lián)立，得，∴，，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴為原點(diǎn))面積的最大值為21、（1）；（2）3.【解析】（1）把展開(kāi)得，兩邊同乘得,再代極坐標(biāo)公式得曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程.（2）將代入曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程得，再利用直線(xiàn)參數(shù)方程t的幾何意義和韋達(dá)定理求解.【詳解】（1）把展開(kāi)得，兩邊同乘得①將代入①，即得曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為②（2）將代入②式，得，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（0，3），設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為t1，t2，則∴t1＜0，t2＜0則由參數(shù)t的幾何意義即得.【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化、直線(xiàn)參數(shù)方程t的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.22、（1）65分（2）①分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：；②172.5元【解析】（1）由圖可知中位數(shù)在第二組，則設(shè)中位數(shù)為，從而得，解方程可得答案，（2）①由題意可求得“不滿(mǎn)意”與“基本滿(mǎn)意”的用戶(hù)應(yīng)抽取17人，“非常滿(mǎn)意”的用戶(hù)應(yīng)抽取3人，則X的可能取值分別為0，1，2，3，然后求出對(duì)應(yīng)的概