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2025屆河北省邢臺三中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知a>b>0,c>1,則下列各式成立的是()A.sina>sinb B.ca>cb C.a(chǎn)c<bc D.2.如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E為AD的中點(diǎn),若,則λ+μ的值為()A. B. C. D.3.三棱錐中,側(cè)棱底面,,,,,則該三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.4.在中,角、、的對邊分別為、、,若,,,則()A. B. C. D.5.已知為一條直線,為兩個(gè)不同的平面,則下列說法正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則6.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A. B. C. D.847.已知實(shí)數(shù)滿足不等式組,則的最小值為()A. B. C. D.8.己知四棱錐中,四邊形為等腰梯形,,,是等邊三角形,且;若點(diǎn)在四棱錐的外接球面上運(yùn)動(dòng),記點(diǎn)到平面的距離為,若平面平面,則的最大值為()A. B.C. D.9.生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個(gè)人才識技藝過人,這里的“六藝”其實(shí)源于中國周朝的貴族教育體系,具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化,某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動(dòng)中開展了“六藝”知識講座,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié),“禮”和“樂”必須分開安排的概率為()A. B. C. D.10.若(),,則()A.0或2 B.0 C.1或2 D.111.設(shè)則以線段為直徑的圓的方程是()A. B.C. D.12.若集合,則=()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上,,則球的表面積為__________.14.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,則______.15.在中,角的平分線交于,,,則面積的最大值為__________.16.?dāng)?shù)學(xué)家狄里克雷對數(shù)論,數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn),是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一.函數(shù),稱為狄里克雷函數(shù).則關(guān)于有以下結(jié)論:①的值域?yàn)?②;③;④其中正確的結(jié)論是_______(寫出所有正確的結(jié)論的序號)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)我們稱n()元有序?qū)崝?shù)組(,,…,)為n維向量,為該向量的范數(shù).已知n維向量,其中,,2,…,n.記范數(shù)為奇數(shù)的n維向量的個(gè)數(shù)為,這個(gè)向量的范數(shù)之和為.(1)求和的值;(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),求,(用n表示).18.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,求m的值.19.(12分)設(shè)橢圓,直線經(jīng)過點(diǎn),直線經(jīng)過點(diǎn),直線直線,且直線分別與橢圓相交于兩點(diǎn)和兩點(diǎn).(Ⅰ)若分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),且直線軸,求四邊形的面積;(Ⅱ)若直線的斜率存在且不為0,四邊形為平行四邊形,求證:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,判斷四邊形能否為矩形,說明理由.20.(12分)已知首項(xiàng)為2的數(shù)列滿足.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列.(2)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.(12分)設(shè),,,.(1)若的最小值為4,求的值;(2)若,證明:或.22.(10分)某貧困地區(qū)幾個(gè)丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路,以及鐵路線上的一條應(yīng)開鑿的直線穿山隧道,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路,以所在的直線分別為軸,軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,山區(qū)邊界曲線為,設(shè)公路與曲線相切于點(diǎn),的橫坐標(biāo)為.(1)當(dāng)為何值時(shí),公路的長度最短?求出最短長度;(2)當(dāng)公路的長度最短時(shí),設(shè)公路交軸,軸分別為,兩點(diǎn),并測得四邊形中,,,千米,千米,求應(yīng)開鑿的隧道的長度.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可【詳解】對A,由正弦函數(shù)的單調(diào)性知sina與sinb大小不確定,故錯(cuò)誤;對B,因?yàn)閥=cx為增函數(shù),且a>b,所以ca>cb,正確對C,因?yàn)閥=xc為增函數(shù),故,錯(cuò)誤;對D,因?yàn)樵跒闇p函數(shù),故,錯(cuò)誤故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,屬基礎(chǔ)題.2、B【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示,利用,列出方程組求解即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則D(0,0).不妨設(shè)AB=1,則CD=AD=2,所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),解得則.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了由平面向量線性運(yùn)算的結(jié)果求參數(shù),屬于中檔題.3、B【解析】由題,側(cè)棱底面,,,,則根據(jù)余弦定理可得,的外接圓圓心三棱錐的外接球的球心到面的距離則外接球的半徑,則該三棱錐的外接球的表面積為點(diǎn)睛:本題考查的知識點(diǎn)是球內(nèi)接多面體,熟練掌握球的半徑公式是解答的關(guān)鍵.4、B【解析】
利用兩角差的正弦公式和邊角互化思想可求得,可得出,然后利用余弦定理求出的值,最后利用正弦定理可求出的值.【詳解】,即,即,,,得,,.由余弦定理得,由正弦定理,因此,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形中角的正弦值的計(jì)算,考查兩角差的正弦公式、邊角互化思想、余弦定理與正弦定理的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.5、D【解析】A.若,則或,故A錯(cuò)誤;B.若,則或故B錯(cuò)誤;C.若,則或,或與相交;D.若,則,正確.故選D.6、B【解析】
畫出幾何體的直觀圖,計(jì)算表面積得到答案.【詳解】該幾何體的直觀圖如圖所示:故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.7、B【解析】
作出約束條件的可行域,在可行域內(nèi)求的最小值即為的最小值,作,平移直線即可求解.【詳解】作出實(shí)數(shù)滿足不等式組的可行域,如圖(陰影部分)令,則,作出,平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),截距最小,故,即的最小值為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題,解題的關(guān)鍵是作出可行域、理解目標(biāo)函數(shù)的意義,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
根據(jù)平面平面,四邊形為等腰梯形,則球心在過的中點(diǎn)的面的垂線上,又是等邊三角形,所以球心也在過的外心面的垂線上,從而找到球心,再根據(jù)已知量求解即可.【詳解】依題意如圖所示:取的中點(diǎn),則是等腰梯形外接圓的圓心,取是的外心,作平面平面,則是四棱錐的外接球球心,且,設(shè)四棱錐的外接球半徑為,則,而,所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查組合體、球,還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合的思想,屬于難題.9、C【解析】
分情況討論,由間接法得到“數(shù)”必須排在前兩節(jié),“禮”和“樂”必須分開的事件個(gè)數(shù),不考慮限制因素,總數(shù)有種,進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)“數(shù)”位于第一位時(shí),禮和樂相鄰有4種情況,禮和樂順序有2種,其它剩下的有種情況,由間接法得到滿足條件的情況有當(dāng)“數(shù)”在第二位時(shí),禮和樂相鄰有3種情況,禮和樂順序有2種,其它剩下的有種,由間接法得到滿足條件的情況有共有:種情況,不考慮限制因素,總數(shù)有種,故滿足條件的事件的概率為:故答案為:C.【點(diǎn)睛】解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則:①按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類;②按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.具體地說,解排列組合問題常以元素(或位置)為主體,即先滿足特殊元素(或位置),再考慮其他元素(或位置).10、A【解析】
利用復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算列方程,解方程求得的值.【詳解】由于(),,所以,解得或.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
計(jì)算的中點(diǎn)坐標(biāo)為,圓半徑為,得到圓方程.【詳解】的中點(diǎn)坐標(biāo)為:,圓半徑為,圓方程為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12、C【解析】
求出集合,然后與集合取交集即可.【詳解】由題意,,,則,故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
如圖所示,將三棱錐補(bǔ)成長方體,球?yàn)殚L方體的外接球,長、寬、高分別為,計(jì)算得到,得到答案.【詳解】如圖所示,將三棱錐補(bǔ)成長方體,球?yàn)殚L方體的外接球,長、寬、高分別為,則,所以,所以球的半徑,則球的表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力,將三棱錐補(bǔ)成長方體是解題的關(guān)鍵.14、【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得,結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求得的值.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列,所以,解得,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題考查等差數(shù)列的性質(zhì),前項(xiàng)和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識;考查運(yùn)算求解能力,應(yīng)用意識.15、15【解析】
由角平分線定理得,利用余弦定理和三角形面積公式,借助三角恒等變化求出面積的最大值.【詳解】畫出圖形:因?yàn)?,,由角平分線定理得,設(shè),則由余弦定理得:即當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號所以面積的最大值為15故答案為:15【點(diǎn)睛】此題考查解三角形面積的最值問題,通過三角恒等變形后利用均值不等式處理,屬于一般性題目.16、②【解析】
根據(jù)新定義,結(jié)合實(shí)數(shù)的性質(zhì)即可判斷①②③,由定義求得比小的有理數(shù)個(gè)數(shù),即可確定④.【詳解】對于①,由定義可知,當(dāng)為有理數(shù)時(shí);當(dāng)為無理數(shù)時(shí),則值域?yàn)?,所以①錯(cuò)誤;對于②,因?yàn)橛欣頂?shù)的相反數(shù)還是有理數(shù),無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù),所以滿足,所以②正確;對于③,因?yàn)?,?dāng)為無理數(shù)時(shí),可以是有理數(shù),也可以是無理數(shù),所以③錯(cuò)誤;對于④,由定義可知,所以④錯(cuò)誤;綜上可知,正確的為②.故答案為:②.【點(diǎn)睛】本題考查了新定義函數(shù)的綜合應(yīng)用,正確理解題意是解決此類問題的關(guān)鍵,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),.(2),【解析】
(1)利用枚舉法將范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對都寫出來,再做和;(2)用組合數(shù)表示和,再由公式或?qū)⒔M合數(shù)進(jìn)行化簡,得出最終結(jié)果.【詳解】解:(1)范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對有:,,,,它們的范數(shù)依次為1,1,1,1,故,.(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),在向量的n個(gè)坐標(biāo)中,要使得范數(shù)為奇數(shù),則0的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù),所以可按照含0個(gè)數(shù)為:1,3,…,進(jìn)行討論:的n個(gè)坐標(biāo)中含1個(gè)0,其余坐標(biāo)為1或,共有個(gè),每個(gè)的范數(shù)為;的n個(gè)坐標(biāo)中含3個(gè)0,其余坐標(biāo)為1或,共有個(gè),每個(gè)的范數(shù)為;的n個(gè)坐標(biāo)中含個(gè)0,其余坐標(biāo)為1或,共有個(gè),每個(gè)的范數(shù)為1;所以,.因?yàn)?,①,②得,,所?解法1:因?yàn)?,所?.解法2:得,.又因?yàn)?,所?【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列和組合,是一道較難的綜合題.18、(1)見解析(2)【解析】
(1)先求導(dǎo),再對m分類討論,求出的單調(diào)性;(2)對m分三種情況討論求函數(shù)在區(qū)間上的最小值即得解.【詳解】(1)若,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí).,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減若.在R上單調(diào)遞增若,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí).,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(2)由(1)可知,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,則.則不合題意當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.則,即又因?yàn)閱握{(diào)遞增,且,故綜上,【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.19、(Ⅰ);(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ)不能,證明見解析【解析】
(Ⅰ)計(jì)算得到故,,,,計(jì)算得到面積.(Ⅱ)設(shè)為,聯(lián)立方程得到,計(jì)算,同理,根據(jù)得到,得到證明.(Ⅲ)設(shè)中點(diǎn)為,根據(jù)點(diǎn)差法得到,同理,故,得到結(jié)論.【詳解】(Ⅰ),,故,,,.故四邊形的面積為.(Ⅱ)設(shè)為,則,故,設(shè),,故,,同理可得,,故,即,,故.(Ⅲ)設(shè)中點(diǎn)為,則,,相減得到,即,同理可得:的中點(diǎn),滿足,故,故四邊形不能為矩形.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)四邊形的面積,形狀,根據(jù)四邊形形狀求參數(shù),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.20、(1)見解析;(2)【解析】
(1)由原式可得,等式兩端同時(shí)除以,可得到,即可證明結(jié)論;(2)由(1)可求得的表達(dá)式,進(jìn)而可求得的表達(dá)式,然后求出的前項(xiàng)和即可.【詳解】(1)證明:因?yàn)?所以,所以,從而,因?yàn)?所以,故數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.(2)由(1)可知,則,因?yàn)?所以,則.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的證明,考查了等差數(shù)列及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用,考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.21、(1)2;(2)見解析【解析】
(1)將化簡為,再利用基本不等式即可求出最小值為4,便可得出的值;(2)根據(jù),即,得出,利用基本不等式求出最值,便可得出的取值范圍.【詳解】解:(1)由題可知,,,,,∴.(2)∵,∴,∴,∴,即:或.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用,利用基本不等式和放縮法求最值,考查化簡計(jì)算能力.22、(1)當(dāng)時(shí),公路的長度最短為千米;(2)(千米).【解析】
(1)設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程為,根據(jù)兩點(diǎn)間距離得出,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性,從而得出極值和最值,即可得出結(jié)果;(2)在中,由余弦定理得出,利用正弦定理,
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