2025中考數(shù)學(xué)二輪專題-瓜豆原理軌跡最值問題（直線型）-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025中考數(shù)學(xué)二輪專題-瓜豆原理軌跡最值問題（直線型）-專項(xiàng)訓(xùn)練1．如圖，已知正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC上，連接AE，DF．若AB＝，DE＝BF，則AE+DF的最小值為2．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得AE，連接CE，則線段CE長(zhǎng)的最小值為3．如圖，AD是等邊三角形ABC的BC邊上的高，點(diǎn)E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合），連接CE．將線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到EF，連接DF、CF，若AB＝6，則線段DF長(zhǎng)度的最小值是4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣4，0），點(diǎn)B是y軸正半軸一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊在AB的下方作等腰直角△ABP，且∠ABP＝90°．點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP的最小值為．5．如圖，∠AOB＝60°，點(diǎn)C，D在射線OA上，且OC＝4，CD＝2，P是射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，Q是線段DP的中點(diǎn)，則線段CQ長(zhǎng)的最小值為．6．如圖，∠AOB＝60°，點(diǎn)C，D在射線OA上，且OC＝2CD＝4，P是射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，Q是線段DP的中點(diǎn)，則線段CQ長(zhǎng)的最小值為．7．如圖，已知正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC上，連接AE，DF．若，DE＝BF，則AE+DF的最小值為．8．如圖，AD是等邊△ABC的BC邊上的高，點(diǎn)E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合），連接CE，以CE為邊構(gòu)造等邊△CEF．若AB＝6，則線段DF+CF長(zhǎng)度的最小值是．9．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝8，E、F分別為AD、BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠EFC＝60°，連接AF，CE，當(dāng)AF+EF+CE最小時(shí)，BF的長(zhǎng)為．10．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為．11．如圖，腰長(zhǎng)為8的等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到線段AE，連接CE，則線段CE長(zhǎng)的最小值是．12．如圖，在等邊△ABC中，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E是AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，將線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段FE，連接AF，若AB＝4，，則CF的長(zhǎng)為．13．如圖，邊長(zhǎng)為12的等邊三角形ABC中，E是高AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CE，將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF，連結(jié)DF．則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，線段DF長(zhǎng)度的最小值是．14．如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中，E是對(duì)稱軸AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF，連接DF，則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，DF的最小值是．15．如圖，邊長(zhǎng)為6的等邊三角形ABC中，AD⊥BC，E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE，將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF，連接EF，則△CEF面積的最大值與最小值之比為．16．如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點(diǎn)E為AD所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接CE，將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后得到對(duì)應(yīng)的線段CF，連接DF，則線段DF的最小值為．17．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)D在邊AB上，AD＝2，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，連接DE，將DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得DF，連接CF，則CF的最小值是．18．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為，∠ABC＝60°，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．點(diǎn)E為直線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE，將線段EC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BCD的角度后得到對(duì)應(yīng)的線段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF長(zhǎng)度的最小值為．19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣3，0），點(diǎn)B是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP的最小值為．三．解答題（共5小題）20．同學(xué)們準(zhǔn)備研究“最值問題”，回顧已有知識(shí)，發(fā)現(xiàn)涉及到“最值”的有“兩點(diǎn)之間，線段最短”“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短”．在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們進(jìn)行了如下探究：（1）最值初體驗(yàn)如圖1，∠AOC＝60°，D是∠AOC角平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在OC上，EO＝ED＝2．P為射線OA上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，則線段DP的最小值為；（2）探究與遷移如圖2，小明發(fā)現(xiàn)如果△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)O是AC邊上的中點(diǎn)，P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，C重合），連接AP，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，連接OP′，此時(shí)線段OP′的長(zhǎng)度有一個(gè)最小值，請(qǐng)你畫出圖形并幫助小明同學(xué)求出此最小值；（3）拓展與應(yīng)用如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5．點(diǎn)P是射線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BP′，連接CP′，請(qǐng)直接寫出線段CP′的最小值．21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸上，OA＝4，OC＝3．點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，以AD為一邊在與點(diǎn)B的同側(cè)作正方形ADEF，連接OE，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OE的長(zhǎng)度的最小值是多少？22．問題提出（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)M為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AM繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠BAC的度數(shù)得到AN，連接NC，BM，則∠NCA與∠MBA的數(shù)量關(guān)系為，MB與CN的數(shù)量關(guān)系為．問題解決（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC＝75°，AB＝AC＝8，過B點(diǎn)的射線BD交AC邊于點(diǎn)D，且∠ABD＝45°，M為射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM，將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°，得到AN，連接NC，當(dāng)△ANC為直角三角形時(shí)，求BM的長(zhǎng)．拓展探究（3）如圖3，矩形ABCD中，CD＝2，∠DAC＝30°，E為直線AC上一動(dòng)點(diǎn)．將DE繞D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到DF，連接BF，則BF的最小值為．（直接寫出結(jié)果）23．如圖，∠AOB＝60°，點(diǎn)C、D分別在射線OA、OB上，且滿足OC＝4．將線段DC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DE．過點(diǎn)E作OC的平行線，交OB反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）根據(jù)題意完成作圖；（2）猜想DF的長(zhǎng)并證明；（3）若點(diǎn)M在射線OC上，且滿足OM＝3，直接寫出線段ME的最小值．24．如圖，AD是等邊三角形ABC的高，點(diǎn)E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合），連接CE，將線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到EF，連接BF、CF．（1）猜想：△CEF是三角形；（2）求證：AE＝BF；（3）若AB＝4，連接DF，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中，請(qǐng)直接寫出DF的最小值．

參考答案與試題解析一．選擇題（共3小題）1．如圖，已知正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC上，連接AE，DF．若AB＝，DE＝BF，則AE+DF的最小值為（）A．4 B．5 C．4 D．4【解答】解：如圖，延長(zhǎng)DC到P使CD＝CP，連接AP，交BC于F，在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS），∴AE＝AF，∵∠BCD＝90°，CD＝CP，∴DF＝PF，∴AE+DF＝AF+PF＝AP，∵點(diǎn)A、F、P在一條直線上，∴AP的長(zhǎng)為AE+DF的最小值，∵AB＝，∴AD＝CD＝，DP＝2AC＝2，∴AP＝＝5，即AE+DF的最小值為5，故選：B．2．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得AE，連接CE，則線段CE長(zhǎng)的最小值為（）A． B． C．﹣1 D．2﹣【解答】解：如圖，在AB上截取AF＝AC＝2，∵旋轉(zhuǎn)∴AD＝AE∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°∴AB＝2，∠B＝∠BAC＝45°，∴BF＝2﹣2∵∠DAE＝45°＝∠BAC∴∠DAF＝∠CAE，且AD＝AE，AC＝AF∴△ACE≌△AFD（SAS）∴CE＝DF，當(dāng)DF⊥BC時(shí)，DF值最小，即CE的值最小，∴DF最小值為＝2﹣故選：D．3．如圖，AD是等邊三角形ABC的BC邊上的高，點(diǎn)E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合），連接CE．將線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到EF，連接DF、CF，若AB＝6，則線段DF長(zhǎng)度的最小值是（）A．3 B． C．1.5 D．1【解答】解：如圖，連接BF，∵AD是等邊三角形ABC的BC邊上的高，AB＝6，∴BD＝CD＝3，∠CAD＝∠BAD＝30°，∵將線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到EF，∴CE＝EF，∠CEF＝60°，∴△EFC是等邊三角形，∴CE＝CF，∠ECF＝60°＝∠ACB，∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE和△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴∠CBF＝∠CAE＝30°，∴點(diǎn)F在射線BF上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)DF⊥BF時(shí)，DF有最小值，此時(shí)，∵DF⊥BF，∠CBF＝30°，∴DF＝BD＝1.5，∴線段DF長(zhǎng)度的最小值是1.5，故選：C．二．填空題（共16小題）4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣4，0），點(diǎn)B是y軸正半軸一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊在AB的下方作等腰直角△ABP，且∠ABP＝90°．點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP的最小值為2．【解答】解：過P作PC⊥y軸于C，如圖：∵∠ABP＝90°，∴∠ABC+∠PBC＝90°，又∵∠PBC+∠BPC＝90°，∴∠ABC＝∠BPC，又∵AP＝BP，∴△AOB≌△BCP（AAS），∴PC＝OB，BC＝OA＝4，設(shè)OB＝PC＝x，由勾股定理得：OP2＝x2+（4﹣x）2＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，∴當(dāng)x＝2時(shí)，OP最小，OP＝2．故答案為：2．5．如圖，∠AOB＝60°，點(diǎn)C，D在射線OA上，且OC＝4，CD＝2，P是射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，Q是線段DP的中點(diǎn)，則線段CQ長(zhǎng)的最小值為．【解答】解：如圖所示，取OD的中點(diǎn)E，連接EQ，又∵Q是DP的中點(diǎn)，∴EQ是△DOP的中位線，∴EQ∥OP，∴∠CEQ＝∠AOB＝60°，即點(diǎn)Q在過點(diǎn)E且平行于OB的直線上運(yùn)動(dòng)，如圖，當(dāng)∠CQE＝90°時(shí)，CQ⊥EQ，依據(jù)垂線段最短可知，此時(shí)CQ最短，∵OC＝4，CD＝2，E是OD的中點(diǎn)，∴CE＝OC﹣OE＝4﹣OD＝4﹣3＝1，∴Rt△CEQ中，CQ＝CE×sin∠CEQ＝1×＝，故答案為：．6．如圖，∠AOB＝60°，點(diǎn)C，D在射線OA上，且OC＝2CD＝4，P是射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，Q是線段DP的中點(diǎn)，則線段CQ長(zhǎng)的最小值為．【解答】解：取OD的中點(diǎn)E，連接EQ，∵Q是DP的中點(diǎn)，∴EQ是△DOP的中位線，∴EQ∥OP，∴∠CEQ＝∠AOB＝60°，即點(diǎn)Q在過點(diǎn)E且平行于OB的直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)∠CQE＝90°時(shí)，CQ⊥EQ，由垂線段最短可知，此時(shí)CQ最短，∵OC＝2CD＝4，∴CD＝2，∴OD＝OC+CD＝6，∵E是OD的中點(diǎn)，∴OE＝OD＝3，∴CE＝OC﹣OE＝4﹣3＝，在Rt△CEQ中，∠ECQ＝90°﹣∠CEQ＝90°﹣60°＝30°，∴EQ＝CE＝，∴CQ＝＝＝，即線段CQ長(zhǎng)的最小值為，故答案為：．7．如圖，已知正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC上，連接AE，DF．若，DE＝BF，則AE+DF的最小值為5．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)DC到P使CD＝CP，連接AP，交BC于F，在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS），∴AE＝AF，∵∠BCD＝90°，CD＝CP，∴DF＝PF，∴AE+DF＝AF+PF＝AP，∵點(diǎn)A、F、P在一條直線上，∴AP的長(zhǎng)為AE+DF的最小值，∵AB＝，∴AD＝CD＝，DP＝2DC＝2，∴AP＝，即AE+DF的最小值為5．故答案為：5．8．如圖，AD是等邊△ABC的BC邊上的高，點(diǎn)E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合），連接CE，以CE為邊構(gòu)造等邊△CEF．若AB＝6，則線段DF+CF長(zhǎng)度的最小值是．【解答】解：如圖，連接BF，∵AD是等邊三角形ABC的BC邊上的高，AB＝6，∴BD＝CD＝3，∠CAD＝∠BAD＝30°，∵△CEF是等邊三角形，∴CE＝CF，∠ECF＝60°＝∠ACB，∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE和△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴∠CBF＝∠CAE＝30°，∴點(diǎn)F在射線BF上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)C關(guān)于直線BF的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接C'F，C'D，C'B，則C'F＝CF，△BCC'是等邊三角形，且C'D是邊BC上的高，C'D＝，∵DF+CF＝DF+C'F≥C'D，∴DF+CF長(zhǎng)度的最小值是C'D的長(zhǎng)，∴線段DF長(zhǎng)度的最小值是，故答案為：．9．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝8，E、F分別為AD、BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠EFC＝60°，連接AF，CE，當(dāng)AF+EF+CE最小時(shí)，BF的長(zhǎng)為3．【解答】解：如圖，過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，則四邊形ABHE是矩形，∴EH＝AB＝2，∵∠EHF＝90°，∠EFH＝60°，∴∠FEH＝30°，∴EF＝2FH，∴FH＝2，EF＝4，設(shè)BF＝x，則CH＝8﹣x﹣2＝6﹣x，∴AF+EC＝+，欲求AF+EC的最小值，相當(dāng)于在x軸上尋找一點(diǎn)P（x，0），使得P到M（0，2），N（6，2）的距離和最?。ㄈ鐖D1中），作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F，連接FN，∵F（0，﹣2），N（6，2），∴直線FN的解析式為y＝x﹣2，令y＝0，可得x＝3，∴x＝3時(shí)，PM+PN的值最小，此時(shí)BF＝3，故答案為：3．10．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為．【解答】解：由題意可知，點(diǎn)F是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是從動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G也一定在直線軌跡上運(yùn)動(dòng)將△EFB繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)60°，使EF與EG重合，得到△EFB≌△EHG從而可知△EBH為等邊三角形，點(diǎn)G在垂直于HE的直線HN上作CM⊥HN，則CM即為CG的最小值作EP⊥CM，可知四邊形HEPM為矩形，則CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝故答案為．11．如圖，腰長(zhǎng)為8的等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到線段AE，連接CE，則線段CE長(zhǎng)的最小值是．【解答】解：∵腰長(zhǎng)為8的等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝45°，如圖，在AB上截取AH＝AC，連接HD，∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到線段AE，∴AD＝AE，∵∠DAE＝BAC＝45°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC即∠HAD＝∠CAE，在△HAD與△CAE中，，∴△HAD≌△CAE（SAS），∴HD＝CE，∴當(dāng)HD⊥BC時(shí)，HD有最小值，即CE有最小值，∵AC＝BC＝AH＝8，∠ACB＝90°，∴，∠ABC＝∠BAC＝45°，∴，∵DH⊥BC，∴∠BHD＝∠DBH＝45°，∴，故答案為：．12．如圖，在等邊△ABC中，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E是AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，將線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段FE，連接AF，若AB＝4，，則CF的長(zhǎng)為．【解答】解：∵將線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段FE，∴CE＝FE，∠CEF＝60°，∴△CEF是等邊三角形，∴∠ECF＝60°，CE＝CF，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，AB＝4，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC＝4，∠ADB＝∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，，∴，∠ACE+∠ECB＝∠ACB＝60°，∠BCF+∠ECB＝∠ECF＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE和△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠CAE＝∠CBF＝30°，∴∠ABF＝∠ABC+∠CAE＝60°+30°＝90°，又∵，∴，∴，∴，在Rt△CDE中，CD＝2，∴，∴．故答案為：．13．如圖，邊長(zhǎng)為12的等邊三角形ABC中，E是高AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CE，將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF，連結(jié)DF．則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，線段DF長(zhǎng)度的最小值是3．【解答】解：CD繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CM，連接BM，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝∠BCM＝60°，∵AC＝BC，∴△ACD≌△BCM（SAS），∴BM＝AD，∠ADC＝90°，當(dāng)DF⊥BM時(shí)，DF有最小值，∵D是BC的中點(diǎn)，∴DF＝CM，∵BC＝12，∴DF＝3，∴線段DF長(zhǎng)度的最小值為3，故答案為：3．14．如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中，E是對(duì)稱軸AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF，連接DF，則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，DF的最小值是．【解答】解：取AC的中點(diǎn)G，則CG＝CD，∵將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF，∴CE＝CF，∠ECF＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠DCE＝∠ACF，∴△CDE≌△CGF（SAS），∴∠FGC＝∠EDC＝90°，∴點(diǎn)F在直線BG上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)D作DH⊥BG，此時(shí)DF的最小值即為DH，∵BD＝BC＝1，∴DH＝，故答案為：．15．如圖，邊長(zhǎng)為6的等邊三角形ABC中，AD⊥BC，E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE，將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF，連接EF，則△CEF面積的最大值與最小值之比為4：1．【解答】解：∵等邊三角形ABC中，AD⊥BC，∴∠CAD＝30°，∴AC＝2CD．∵E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE，將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF，連接EF，∴點(diǎn)E與A重合時(shí)，△CEF面積最大；點(diǎn)E與D重合時(shí)，△CEF面積最?。逤E＝CF，∠ECF＝60°，∴△CEF是等邊三角形，而所有的等邊三角形都相似，∴△CEF面積的最大值與最小值之比＝（AC：CD）2＝4：1．故答案為4：1．16．如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點(diǎn)E為AD所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接CE，將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后得到對(duì)應(yīng)的線段CF，連接DF，則線段DF的最小值為3．【解答】解：連接BE，作BH⊥AD交DA的延長(zhǎng)線于H，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°．∵∠ECF＝120°，∴∠1＝∠2．由旋轉(zhuǎn)可得：EC＝FC，在△BEC和△DFC中，，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF＝BE，即求DF的最小值轉(zhuǎn)化為求BE的最小值．∵在Rt△AHB中，∠BAH＝60°，AB＝2，∴BH＝2×sin60°＝3，當(dāng)E與H重合時(shí)，BE最小值是3，∴DF的最小值是3．故答案為：3．17．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)D在邊AB上，AD＝2，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，連接DE，將DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得DF，連接CF，則CF的最小值是．【解答】解：如圖，把△CDB繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△C′DB′，∵∠B＝∠BDB′＝60°，∴B′在BC上，BB′＝BD＝4．∵∠C′B′D＝60°，∴∠CB′C′＝60°，∴B′C′∥AB，過點(diǎn)C作CF′⊥B′C′時(shí)，此時(shí)的CF′就是CF最小值的情況．∵B'C＝BC﹣BB'＝2，∴CF'＝B'C×cos∠CB'C'＝2×＝∴CF最小值為．故答案為：18．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為，∠ABC＝60°，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．點(diǎn)E為直線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE，將線段EC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BCD的角度后得到對(duì)應(yīng)的線段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF長(zhǎng)度的最小值為3．【解答】解：連接BE，作BH⊥AD交DA的延長(zhǎng)線于H，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°．∵∠ECF＝120°，∴∠BCD＝∠ECF，∴∠BCE＝∠DCF由旋轉(zhuǎn)可得：EC＝FC，在△BEC和△DFC中，，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF＝BE，即求DF的最小值轉(zhuǎn)化為求BE的最小值．∵在Rt△AHB中，∠BAH＝60°，AB＝2，∴BH＝2×sin60°＝3，當(dāng)E與H重合時(shí)，BE最小值是3，∴DF的最小值是3．故答案為：3．19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣3，0），點(diǎn)B是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP的最小值為．【解答】解：如圖，以O(shè)A為對(duì)稱軸作等邊△ADE，連接EP，并延長(zhǎng)EP交x軸于點(diǎn)F，∴∠AED＝60°，∴AO＝OE＝3，∴OE＝，∵△ADE和△ABP是等邊三角形，∴AB＝AP，AD＝AE，∠BAP＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠PAE，在△ADB和△AEP中，，∴△AEP≌△ADB（SAS），∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OE＝3，∠OFE＝30°，∴點(diǎn)P在直線EF上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)OP⊥EF時(shí)，OP最小，∴OP＝OF＝，則OP的最小值為，故答案為：．三．解答題（共5小題）20．同學(xué)們準(zhǔn)備研究“最值問題”，回顧已有知識(shí)，發(fā)現(xiàn)涉及到“最值”的有“兩點(diǎn)之間，線段最短”“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短”．在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們進(jìn)行了如下探究：（1）最值初體驗(yàn)如圖1，∠AOC＝60°，D是∠AOC角平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在OC上，EO＝ED＝2．P為射線OA上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，則線段DP的最小值為；（2）探究與遷移如圖2，小明發(fā)現(xiàn)如果△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)O是AC邊上的中點(diǎn)，P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，C重合），連接AP，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，連接OP′，此時(shí)線段OP′的長(zhǎng)度有一個(gè)最小值，請(qǐng)你畫出圖形并幫助小明同學(xué)求出此最小值；（3）拓展與應(yīng)用如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5．點(diǎn)P是射線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BP′，連接CP′，請(qǐng)直接寫出線段CP′的最小值．【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)D作DF⊥OA于F，EH⊥OD于H，∵∠AOC＝60°，OB平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD＝30°，又∵EO＝ED＝2．EH⊥OD，∴OH＝HD，HE＝OE＝1，OH＝HE＝，∴OD＝2OH＝2，∵∠AOD＝30°，DF⊥OA，∴DF＝OD＝，故答案為：；（2）如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC＝4，∠ABC＝∠BAC＝60°，∵點(diǎn)O是AC邊上的中點(diǎn)，∴CO＝2，∵將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，∴∠ACP'＝60°，∴當(dāng)P'O⊥AB時(shí)，OP'有最小值，此時(shí)，OP'⊥CA，∠ACP'＝60°，∴∠COP'＝30°，∴CP'＝1，OP'＝CP'＝；（3）取AB的中點(diǎn)H，連接PH，CH，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，∴AB＝2BC，∠ABC＝60°，∵點(diǎn)H是AB的中點(diǎn)，∴AB＝2BH＝2AH，∴BH＝BC，AH＝BH＝，∵將線段PB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BP′，∴BP＝BP'，∠PBP'＝60°＝∠ABC，∴∠P'BC＝∠PBH，∴△BCP'≌△BHP（SAS），∴CP'＝PH，∴當(dāng)PH有最小值時(shí)，CP'有最小值，當(dāng)PH⊥AC時(shí)，PH有最小值為AH＝，∴CP′的最小值為．21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸上，OA＝4，OC＝3．點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，以AD為一邊在與點(diǎn)B的同側(cè)作正方形ADEF，連接OE，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OE的長(zhǎng)度的最小值是多少？【解答】解：如圖所示：過點(diǎn)D作DG⊥OA，過點(diǎn)E作HE⊥DG．∵DG⊥OA，HE⊥DG，∴∠EHD＝∠DGA＝90°．∴∠GDA+∠DAG＝90°．∵四邊形ADEF為正方形，∴DE＝AD，∠HDE+∠GDA＝90°．∴∠HDE＝∠GAD．在△HED和△GDA中，∴△HED≌△GDA．∴HE＝DG＝3，HD＝AG．設(shè)D（a，3），則DC＝a，DH＝AG＝4﹣a．∴E（a+3，7﹣a）．∴OE＝＝．當(dāng)a＝2時(shí)，OE有最小值，最小值為5．22．問題提出（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)M為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AM繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠BAC的度數(shù)得到AN，連接NC，BM，則∠NCA與∠MBA的數(shù)量關(guān)系為∠NCA＝∠MBA，MB與CN的數(shù)量關(guān)系為MB＝CN．問題解決（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC＝75°，AB＝AC＝8，過B點(diǎn)的射線BD交AC邊于點(diǎn)D，且∠ABD＝45°，M為射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM，將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°，得到AN，連接NC，當(dāng)△ANC為直角三角形時(shí)，求BM的長(zhǎng)．拓展探究（3）如圖3，矩形ABCD中，CD＝2，∠DAC＝30°，E為直線AC上一動(dòng)點(diǎn)．將DE繞D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到DF，連接BF，則BF的最小值為+2．（直接寫出結(jié)果）【解答】解：（1）由旋轉(zhuǎn)知，AM＝AN，∠BAC＝∠NAM，∴∠BAC﹣∠CAM＝∠NAM﹣∠CAM，即：∠MAB＝∠NAC，∵AB＝AC，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴MB＝CN，∠NCA＝∠MBA，故答案為：∠NCA＝∠MBA，MB＝CN；（2）由旋轉(zhuǎn)知，AM＝AN，∠BAC＝∠NAM，∴∠BAC﹣∠CAM＝∠NAM﹣∠CAM，即：∠MAB＝∠NAC，∵AB＝AC，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠AMB＝∠ANC，①當(dāng)△ANC為直角三角形，∠ANC＝90°時(shí)，∴∠AMB＝∠ANC＝90°，∵∠ABD＝45°，∴△ABM為等腰直角三角形，∵AB＝AC＝8，∴BM＝AB＝4；②當(dāng)△ANC為直角三角形，∠CAN＝90°時(shí)，∴∠BAM＝∠CAN＝90°，∵∠ABD＝45°，∴△ABM為等腰直角三角形，∵AB＝AC＝8，∴BM＝AB＝8；綜上，BM的長(zhǎng)為4或8；（3）如圖，作DM⊥AC于M，F(xiàn)H⊥AC于H．DN⊥FH于N，∴四邊形DMHN是矩形，∴∠DME＝∠DEF＝∠MDN＝90°，∵∠EDF＝90°，∴∠MDE＝∠NDF，∵DE＝DF，