2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)單元速記·巧練（湘教版）第四章 相交線與平行線（壓軸題專練）（解析版）

第四章相交線與平行線（壓軸題專練）一、選擇題1．（21-22七年級(jí)下·浙江溫州·期末）如圖，在科學(xué)《光的反射》活動(dòng)課中，小麥同學(xué)將支架平面鏡放置在水平桌面MN上，鏡面AB的調(diào)節(jié)角的調(diào)節(jié)范圍為12°~69°，激光筆發(fā)出的光束DG射到平面鏡上，若激光筆與水平天花板（直線EF）的夾角，則反射光束GH與天花板所形成的角不可能取到的度數(shù)為（

）A．129° B．72° C．51° D．18°【答案】C【分析】分當(dāng)時(shí)，如圖1所示，當(dāng)時(shí)，如圖2所示，兩種情況，利用平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，如圖1所示，過(guò)點(diǎn)G作，∵，∴，∴∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∴∠PGB=∠PGQ+∠BGQ=30°+∠ABM，由反射定理可知，∠AGH=∠PGB=30°+∠ABM，∴∠PGH=180°-∠AGH-∠PGB=120°-2∠ABM，∴∠HGQ=∠PGH+∠PGQ=150°-2∠ABM，∴∠PHG=180°-∠HGQ=30°+2∠ABM，∴當(dāng)時(shí)，如圖2所示，過(guò)點(diǎn)G作，同理可得∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∠PHG=∠HGQ，∴∠AGP=∠HGB=∠HGQ+∠QGB=∠PHG+∠ABM，∴∠PGH=180°-∠AGP-∠HGB=180°-2∠PHG-2∠ABM，∴∠HGP=∠PGQ-∠PGH=2∠PHG+2∠ABM-150°，∴∠PHG=150°-2∠ABM，∴，綜上所述，或，故選C．2．（21-22七年級(jí)下·湖北武漢·期中）如圖，E在線段BA的延長(zhǎng)線上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，，連FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K為線段BC上一點(diǎn)，連CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK內(nèi)部有射線GM，GM平分∠FGC．則下列結(jié)論：①；②GK平分∠AGC；③；④∠MGK＝16°．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定定理得到，故①正確；由平行線的性質(zhì)得到∠AGK=∠CKG，等量代換得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正確；根據(jù)平行線同旁內(nèi)角互補(bǔ)得，再根據(jù)題目已知∠CKG＝∠CGK，得，又根據(jù)，得，但根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法證明GD=GC，故③錯(cuò)誤；設(shè)∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，∴∠EAD=∠B，∴，故①正確；∴∠AGK=∠CKG，∵∠CKG=∠CGK，∴∠AGK=∠CGK，∴GK平分∠AGC；故②正確；∵，∴，∵∠CKG＝∠CGK，∴，∴，又∵，∴，∴，要使，就要使且，∴就要GD=GC，但題目沒(méi)給出這個(gè)條件且利用現(xiàn)有條件也無(wú)法證明GD=GC，∴故③錯(cuò)誤；設(shè)∠AGM=α，∠MGK=β，∴∠AGK=α+β，∵GK平分∠AGC，∴∠CGK=∠AGK=α+β，∵GM平分∠FGC，∴∠FGM=∠CGM，∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，∴37°+α=β+α+β，∴β=18.5°，∴∠MGK=18.5°，故④錯(cuò)誤，故選：C．3．（21-22七年級(jí)下·浙江溫州·期中）如圖，已知長(zhǎng)方形紙片ABCD，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊AD和BC上，且∠EFC=37°，點(diǎn)H和點(diǎn)G分別是邊AD和BC上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將點(diǎn)A，B，C，D分別沿EF，GH折疊至點(diǎn)N，M，P，K，若MNPK，則∠KHD的度數(shù)為（）A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106°【答案】D【分析】分兩種情況討論，①當(dāng)在上方時(shí)，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，根據(jù)，推出，得到，求出的度數(shù)，再根據(jù)即可求解；②當(dāng)在下方時(shí)，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，根據(jù)，推出，得到，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：①當(dāng)在上方時(shí)，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，如圖所示∵∴∵∴∵∴∴∴∵，∴∵翻折∴∴∴∵∴②當(dāng)在下方時(shí)，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，如圖所示∵∴∵∴∴∴∵，∴∵翻折∴∴∴∵∴故選D．4．（20-21七年級(jí)下·河北滄州·期中）為了亮化某景點(diǎn)，石家莊市在兩條筆直且互相平行的景觀道MN、QP上分別放置A、B兩盞激光燈，如圖所示．A燈發(fā)出的光束自AM逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，B燈發(fā)出的光束自BP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉(zhuǎn)動(dòng)30°，B燈每秒轉(zhuǎn)動(dòng)10°，B燈先轉(zhuǎn)動(dòng)2秒，A燈才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)B燈光束第一次到達(dá)BQ之前，兩燈的光束互相平行時(shí)A燈旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是（）A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒【答案】C【分析】設(shè)燈旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒，求出的取值范圍為，再分①，②和③三種情況，先分別求出和的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由此建立方程，解方程即可得．【詳解】解：設(shè)燈旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒，燈光束第一次到達(dá)所需時(shí)間為秒，燈光束第一次到達(dá)所需時(shí)間為秒，燈先轉(zhuǎn)動(dòng)2秒，燈才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，，即，由題意，分以下三種情況：①如圖，當(dāng)時(shí)，，，，，，即，解得，符合題設(shè)；②如圖，當(dāng)時(shí)，，，，，，即，解得符合題設(shè)；③如圖，當(dāng)時(shí)，，，同理可得：，即，解得，不符題設(shè)，舍去；綜上，燈旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為1秒或秒，故選：C．5．（20-21七年級(jí)下·重慶北碚·期末）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E，P在直線AB上（P在E的右側(cè)），點(diǎn)G在直線CD上，EF⊥FG，垂足為F，M為線段EF上的一動(dòng)點(diǎn)，連接GP，GM，∠FGP與∠APG的角平分線交與點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q在直線AB，CD之間的區(qū)域，下列結(jié)論：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，則3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，則∠AEF∠MGC＝90°．正確的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】①過(guò)點(diǎn)F作FH∥AB，利用平行線的性質(zhì)以及已知即可證明；②利用角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，結(jié)合①的結(jié)論即可證明；③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，結(jié)合①的結(jié)論即可證明；④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，結(jié)合①的結(jié)論即可證明．【詳解】解：①過(guò)點(diǎn)F作FH∥AB，如圖：∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正確；②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，即2∠1=180°-2∠2-∠CGF，∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF，∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)，∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)=360°-(180°-∠CGF)=180°+∠CGF，∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正確；③∵∠MGF＝2∠CGF，∴∠MGC＝3∠CGF，∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)=390°＝270°；3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正確；④∵∠MGF＝n∠CGF，∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC，∵∠AEF+∠CGF=90°，∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正確．綜上，①②③④都正確，共4個(gè)，故選：A．6．（23-24八年級(jí)上·浙江寧波·期中）如圖，點(diǎn)為長(zhǎng)方形邊上的一點(diǎn)，連接，，與分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，四邊形的面積為，的面積為，的面積為，圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了平行線間距問(wèn)題，三角形的面積等，根據(jù)平行線間間距處處相等結(jié)合三角形面積公式證明是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，，∴，∵，∴，∴，∴，∴∴．故選：．7．（23-24七年級(jí)上·四川宜賓·階段練習(xí)）如圖，已知：，，平分，，有下列結(jié)論：①；②；③；④.結(jié)論正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】①根據(jù)平行線的傳遞性可以判斷出來(lái)；②所以，然后根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得，即，聯(lián)立可求得結(jié)果；③根據(jù)以及，可求得結(jié)果；④根據(jù)即以及，可求得結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，即，①∵，，∴，故①正確；②∵，∴，∴，即，∵，∴，即，故②正確；③由①可得，∴，∴，即，又，∴，即，將代入，化簡(jiǎn)可得：，故③正確；④∵，，∴，∵，∴，故④正確；正確的個(gè)數(shù)共有4個(gè)，故選：D．8．（22-23七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，直線，．其中，，則的最大整數(shù)值是（）

A．109° B．110° C． D．【答案】A【分析】先添加輔助線，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，求出與的關(guān)系式，最后由，即可求出范圍，得出答案．【詳解】如圖，延長(zhǎng)，分別交和于點(diǎn)，，

∵，，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，整理得：，∴，解得：，∴的最大整數(shù)值是．故選：．9．（21-22七年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）方形紙帶中∠DEF=25°，將紙帶沿EF折疊成圖2，再沿BF折疊成圖3，則圖3中∠CFE度數(shù)是（

）A．105° B．120° C．130° D．145°【答案】A【分析】由矩形的性質(zhì)可知，由此可得出∠BFE=∠DEF=25°，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可知每翻折一次減少一個(gè)∠BFE的度數(shù)，由此即可算出∠CFE度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，∴，∴∠BFE＝∠DEF＝25°．由翻折的性質(zhì)可知：圖2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°，∴圖3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°．故選：A．二、填空題10．（2024七年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）如圖，已知，，，則．

【答案】/360度【分析】本題考查了平行公理的推理，平行線的性質(zhì)等知識(shí)．過(guò)作，再證明，先證明，，再證明，，分別代入原式即可得到一個(gè)周角，問(wèn)題得解．【詳解】解：如圖，過(guò)作．

∵，∴．∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴．故答案為：．11．（23-24七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，已知，點(diǎn)是上方一點(diǎn)，點(diǎn)分別在直線、上，連結(jié)、，平分，交的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，且，則度數(shù)為．

【答案】/52度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)作，設(shè)，，利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義即可得出結(jié)論，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，利用平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系進(jìn)行推算．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)作，

設(shè)，，∵，交于，平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，平分，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，故答案為：．12．（22-23七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，，點(diǎn)，在直線上（在的左側(cè)），點(diǎn)在直線上，，垂足為，為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，，與的角平分線交于點(diǎn)，且點(diǎn)在直線，之間的區(qū)域，下列結(jié)論：①；

②；③若，則；④若，則，其中為正整數(shù)．上述說(shuō)法正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．

【答案】①③④【分析】過(guò)點(diǎn)H作，利用平行線的性質(zhì)可得，即可判斷①；根據(jù)角平分的定義可得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)，利用平行線的性質(zhì)即可判斷②；設(shè)，則，利用①的結(jié)論即可判斷③，同上可判斷④．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)H作，

，，，，，，，故①正確；與的角平分線交于點(diǎn)，，，根據(jù)①中的結(jié)論，可得,，，，，，，故②錯(cuò)誤；設(shè)，則，，根據(jù)①中結(jié)論可得，，故③正確；設(shè)，則，，，根據(jù)①中結(jié)論可得，故④正確．故答案為：①③④．13．（22-23七年級(jí)下·福建寧德·期中）如圖，，E為上一點(diǎn)，且垂足為F，，平分，且，則下列結(jié)論：①；②平分；③；④；其中正確的有．（請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào)）【答案】①②③④【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線和垂線的定義逐個(gè)分析計(jì)算即可．【詳解】∵，，∴，∴，∵平分，∴，故①正確；∵，∴，∴，即平分，故②正確；∵，，∴,∴，∴，∵，∴，故③正確；∵，，∴，故④正確；綜上所述，正確的有①②③④，故答案為：①②③④．14．（20-21七年級(jí)下·貴州銅仁·期末）如圖①，已知，，的交點(diǎn)為，現(xiàn)作如下操作：第一次操作，分別作和的平分線，交點(diǎn)為；第二次操作，分別作和的平分線，交點(diǎn)為；第三次操作，分別作和的平分線，交點(diǎn)為第次操作，分別作和的平分線，交點(diǎn)為．如圖②，若，則的度數(shù)是．【答案】【分析】先過(guò)作，根據(jù)，得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，進(jìn)而得到；先根據(jù)和的平分線交點(diǎn)為，運(yùn)用（1）中的結(jié)論，得出；同理可得；根據(jù)和的平分線，交點(diǎn)為，得出；據(jù)此得到規(guī)律，最后求得的度數(shù)．【詳解】解：如圖①，過(guò)作，，，，，，；如圖②，和的平分線交點(diǎn)為，．和的平分線交點(diǎn)為，；如圖②，和的平分線，交點(diǎn)為，；以此類推，，當(dāng)時(shí)，等于．故答案為：15．（22-23七年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）已知直線，點(diǎn)、分別在、上，如圖所示，射線按順時(shí)針?lè)较蛞悦棵氲乃俣刃D(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；射線按順時(shí)針?lè)较蛎棵胄D(zhuǎn)至停止．此時(shí)射線也停止旋轉(zhuǎn)，若射線先轉(zhuǎn)秒，射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒時(shí)，．

【答案】或或【分析】分三種情況：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出角的關(guān)系，列出的方程便可求得旋轉(zhuǎn)時(shí)間．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，如圖，則，∵，∴，即，解得，（）；

②當(dāng)時(shí)，如圖，則，∵，∴，即，解得，（）；

③當(dāng)時(shí)，如圖，則，

∵，∴，即，解得，（）；綜上，當(dāng)射線旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒或秒或秒時(shí)，．故答案為：或或．16．（22-23七年級(jí)下·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，直線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線，上，點(diǎn)P為直線與間一動(dòng)點(diǎn)，連接，，且，的平分線與的平分線交于點(diǎn)Q，則的度數(shù)為．

【答案】或【分析】分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)，在同側(cè)或異側(cè)時(shí)，利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，分別求解即可．【詳解】解：分兩種情況討論：①如圖1，過(guò)點(diǎn)，分別作，，，．，．．的平分線與的平分線交于點(diǎn)，，．，，同理可得；②如圖2，過(guò)點(diǎn)，分別作，，，．，．，．的平分線與的平分線交于點(diǎn)，，．．，同①可得．

綜上所述，的度數(shù)為或．故答案為：或17．（22-23七年級(jí)下·浙江寧波·期末）如圖，直線，一副三角板按如圖1擺放，其中，，．保持三角板不動(dòng)，現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，且，則經(jīng)過(guò)秒邊與三角板的一條直角邊（邊，）平行．

【答案】或或或【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可求，進(jìn)行分類討論，畫圖可得在各個(gè)不同位置或時(shí)，所旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，即可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

，，，，，①如圖，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為，()；②如圖

當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為，()；③如圖

當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為，()；④如圖

當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為，()；綜上所述：或或或．三、解答題18．（22-23七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）將一副三角板中的兩塊直角三角板如圖1放置，已知，，，，．

(1)若三角板如圖1擺放時(shí)，則__________，__________(2)現(xiàn)固定位置不變，將沿方向平移至點(diǎn)正好落在上，如圖2所示，作和的角平分線交于點(diǎn)，求的度數(shù)；(3)將（2）中的固定，在繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與直線首次重合的過(guò)程中，請(qǐng)畫出當(dāng)和時(shí)的圖形，并求此時(shí)的值．【答案】(1)15，150(2)(3)8，11【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出正確的輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì)，拐點(diǎn)模型．（1）過(guò)E作，證明，進(jìn)而求解即可；（2）根據(jù)（1）證明，利用角平分線的定義求出，，可得結(jié)論；（3）當(dāng)時(shí)，由平行的性質(zhì)得，進(jìn)而求解即可；當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）解：過(guò)E作，如圖1，

，，，，，，，故答案為：15；150．（2）利用（1）可證，，，，，，，分別平分和，，．（3）當(dāng)時(shí)，如圖2，

延長(zhǎng)，交于點(diǎn)J，，，，，，過(guò)點(diǎn)A作，則，，，，，；當(dāng)時(shí)，如圖3，

，，，，，綜上所述，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．19．（22-23七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知：如圖1，直線、被直線所截，；(1)求證：(2)如圖2，點(diǎn)E在直線上，且在直線、之間，P、Q分別在直線、上，且均在直線右側(cè)，連接、，平分，平分，則和之間有什么數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論(3)如圖3，在（2）的條件下，過(guò)P點(diǎn)作交于點(diǎn)H，連接．若平分，，求的度數(shù)【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，證明見(jiàn)解析；(3)【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，角平分線的定義等知識(shí)．能正確作出輔助線，找到角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）首先證明，易證得；（2）如圖，作．利用平行線的性質(zhì)即可證明；（3）如圖，設(shè)，．，則，想辦法構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；【詳解】（1）解：如圖，∵，，∴，∴．（2）結(jié)論：如圖，．理由：作．∵，，∴，∴，，∴，∴，同法可證：，∵平分，平分，∴，，∵，，∴，即，∴．（3）如圖，∵設(shè)，．，則，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，∴．20．（22-23七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知，點(diǎn)M，N分別為和上兩點(diǎn)，點(diǎn)E在直線和之間．(1)點(diǎn)G為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，平分平分．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，試判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；②當(dāng)點(diǎn)E不在線段上時(shí)，直線，交于點(diǎn)P．直接寫出與的數(shù)量關(guān)系為；(2)如圖2，以每秒30°的速度繞E點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到，同時(shí)以每秒20°的速度繞N點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到，經(jīng)過(guò)多少秒，？（旋轉(zhuǎn)360°時(shí)，和同時(shí)停止）【答案】(1)①，理由見(jiàn)詳解；②(2)；；【分析】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)與判定，平行線探究角的關(guān)系，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義、即可作答．（2）先由角平分線的定義得，結(jié)合平行線的性質(zhì)，得，結(jié)合三角形的外角性質(zhì)，得，再進(jìn)行角的等量代換，即可作答．（3）先表示，，再分別作圖，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合平行線的性質(zhì)，列式計(jì)算，即可作答．【詳解】（1）解：①，理由如下：如圖：∵∴∵平分平分∴∴∴；②如圖：過(guò)點(diǎn)作直線∵平分平分∴∵，∴∴即∵∴則∴則（2）解：過(guò)點(diǎn)E作∵∴∵∴如圖：設(shè)時(shí)間為，則，當(dāng)時(shí)，如圖∴即解得；如圖：∵，∴解得如圖：∵，∴解得如圖：∵，∴解得，故舍去綜上：；；21．（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）已知，如圖，平分，平分，(1)如圖1，探究與的數(shù)量關(guān)系并證明．(2)如圖2，在（1）的條件下，過(guò)A作交于點(diǎn)H，平分，延長(zhǎng)交于G，，求的度數(shù)．【答案】(1)，見(jiàn)解析(2)40°【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，熟練掌握基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)F作，過(guò)點(diǎn)E作，根據(jù)角平分線的定義結(jié)合，計(jì)算即可求解；（2）設(shè)，，求得，推出，利用平行線的性質(zhì)列方程，即可求解．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)F作，過(guò)點(diǎn)E作，∵，∴，∴，，，，∵平分，平分，∴，，∴∴∴；（2）解：∵，∴設(shè)，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，解得，∴．22．（23-24七年級(jí)上·四川眉山·期末）（1）【問(wèn)題解決】如圖1，已知，，，求的度數(shù)；（2）【問(wèn)題遷移】如圖2，若，點(diǎn)P在的上方，則，，之間有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；（3）【聯(lián)想拓展】如圖3，在（2）的條件下，已知，的平分線和的平分線交于點(diǎn)G，求的度數(shù)（結(jié)果用含的式子表示）．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，即可得，結(jié)合可求解；（3）過(guò)點(diǎn)作．由平行線的性質(zhì)可得，，結(jié)合角平分線的定義，利用角的和差可求解．【詳解】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作，∵，∴，∵，∴．，而，∴，，（2），理由：如圖2，過(guò)點(diǎn)作，∵，，∴，，，，∵，，；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)作．∵，，∴，，，又的平分線和的平分線交于點(diǎn)，，，由（2）得，，∵，，．23．（23-24七年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期末）如圖1，，為之間任意一點(diǎn)．(1)若平分平分．求證：；(2)如圖2，若，且的延長(zhǎng)線交的角平分線于點(diǎn)的延長(zhǎng)線交的角平分線于點(diǎn)，猜想的運(yùn)算結(jié)果并且證明你的結(jié)論；(3)如圖3，若點(diǎn)是射線之間一動(dòng)點(diǎn)，平分平分，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，請(qǐng)猜想與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)，理由見(jiàn)解析；(3)，理由見(jiàn)解析．【分析】（）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再利用角平分線的定義可求解，進(jìn)而證明結(jié)論；（）分別過(guò),作，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和，即可求解；（）根據(jù)垂線的定義可求得，再根據(jù)角平分線的定義可求解；本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂線的定義，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)及角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵，∴，∵平分,平分，∴，，∴，即；（2）如圖，分別過(guò),作，，∵，∴，∴，，，，∴，，同理：，∴，∵平分，平分，∴，，∴∵，∴，（3），理由：∵，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∴．24．（23-24八年級(jí)下·江西九江·期末）如圖1，直線，將一把直角三角尺的直角頂點(diǎn)P放在兩平行線之間，兩直角邊分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)請(qǐng)你判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，若和的平分線相交于點(diǎn)G，求的度數(shù)；(3)如圖2，若，請(qǐng)用含n的式子表示∠G．【答案】(1)，理由見(jiàn)詳解；(2)(3)【分析】(1)過(guò)P點(diǎn)作，利用平行線的性質(zhì)定理可得結(jié)論；(2)由(1)的計(jì)算可得出(2)的結(jié)論；(3)探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題即可．【詳解】（1）解：，理由：過(guò)點(diǎn)P作，如圖所示：，，，，，，故答案為：；（2）解：如下圖中，和的平分線相交于點(diǎn)G，，，∴同理可得．（3）解：，，由（2）可知，25．（23-24七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）已知：直線平行直線，點(diǎn)N、點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)H、點(diǎn)M在直線上，，直線交直線于點(diǎn)P．(1)如圖，求證：．

(2)如圖，以點(diǎn)N為圓心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)直線交直線于點(diǎn)G，以點(diǎn)M為圓心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)直線交直線于點(diǎn)F，，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．

(3)在（2）的條件下，如圖，直線交直線于點(diǎn)R，直線交直線于點(diǎn)S，的平分線所在直線與的平分線所在直線交于點(diǎn)K，若，當(dāng)點(diǎn)N在線段上移動(dòng)時(shí)，求的度數(shù)．

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)30°(3)或【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合，即可得出結(jié)論；（2），得到，推出，，得到，推出，設(shè)，推出，，根據(jù)，求解即可；（3）分點(diǎn)在直線的上方和下方，兩種情況進(jìn)行討論求解．【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)作，

∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴，由（1）知：，又，∴，∵，∴，∴，設(shè)：，則：，∴，∴，∵，∵，∴，∴，∴；（3）①當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，如圖：

∵，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴，過(guò)點(diǎn)作，則：，∴，∴；②當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，如圖：

同理可得：，過(guò)點(diǎn)作，則：，∴，∴，∴；綜上：或．26．（22-23七年級(jí)下·貴州遵義·階段練習(xí)）“一帶一路”讓中國(guó)和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見(jiàn)，在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈，如圖，燈A射線自開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射線自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，且、滿足，假定主道路是平行的，即，且．

(1)求和的值，并求的度數(shù)．(2)若燈先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈到達(dá)之前，燈A轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束第一次互相平行？(3)如圖，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A到達(dá)之前，若射出的光束交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，，(2)秒時(shí)，兩燈的光束互相平行(3)和關(guān)系不會(huì)變化，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)的非負(fù)性求a，b；根據(jù)，，即可得到的度數(shù)；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，易證，即可列出，可得；（3）設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，根據(jù)，，即可得出，據(jù)此可得和關(guān)系不會(huì)變