2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊單元速記·巧練（湘教版）第五章 軸對稱與旋轉(zhuǎn)（知識歸納+題型突破）（解析版）

第五章軸對稱與旋轉(zhuǎn)（知識歸納+題型突破）1、通過具體實例理解軸對稱的概念，探索它的基本性質(zhì)：成軸對稱的兩個圖形中對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分．2、能畫出簡單平面圖形（點、線段、直線、三角形等）關(guān)于給定對稱軸的對稱圖形．3、理解軸對稱圖形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓的軸對稱性質(zhì)．4、認(rèn)識并欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的軸對稱圖形．5、通過具體實例認(rèn)識平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn).探索它的基本性質(zhì)：一個圖形和旋轉(zhuǎn)得到的圖形中，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對應(yīng)點分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等.6、了解中心對稱、中心對稱圖形的概念，探索它們的基本性質(zhì)：成中心對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連線經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分.7、探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對稱性質(zhì).8、認(rèn)識并欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的中心對稱圖形.1.對稱軸：如果一個圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形；這條直線叫做對稱軸。2.性質(zhì)：（1）軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線。（2）軸對稱圖形上對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等。3.旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個圖形按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。（圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點在平面上繞著某個固定點旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動，其中對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段的長度、對應(yīng)角的大小相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變。）4.旋轉(zhuǎn)對稱中心：把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角（旋轉(zhuǎn)角小于0°，大于360°）。5．中心對稱圖形與中心對稱：中心對稱圖形：如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重合，那么我們就說，這個圖形成中心對稱圖形。中心對稱：如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度后能與另一個圖形重合，那么我們就說，這兩個圖形成中心對稱。6.中心對稱的性質(zhì)：關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形。關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行（或者在同一直線上）且相等。

題型一軸對稱【例1】（2024·湖南永州·一模）下列圖標(biāo)是第十九屆杭州亞運會上常見的運動圖標(biāo)，其中是軸對稱圖形的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本題考查了軸對稱圖形的概念，熟練掌握軸對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對稱概念可知，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱，據(jù)此分析解答．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；B、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；C、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；D、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：A．【例2】（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，與關(guān)于直線對稱，交于點O，則下列結(jié)論不一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，（1）軸對稱的兩個圖形是全等圖形；軸對稱圖形的兩個部分也是全等圖形；（2）如果兩個圖形成軸對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線；（3）兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點一定在對稱軸上．利用軸對稱的性質(zhì)對各選項進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵與關(guān)于直線對稱，∴，，，與不一定平行，故A、B、C項一定正確，不符合題意，D項不一定正確，符合題意．故選：D．【例3】（23-24七年級上·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，若最外面大圓的面積為，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、圓的認(rèn)識等，能夠結(jié)合圖形得出陰影部分的面積和大圓面積之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖形可以看出陰影部分的面積是總面積的一半，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，得陰影部分的面積為，故選：B．【例4】（2023八年級上·江蘇·專題練習(xí)）如圖是一個臺球桌面的示意圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示四個入球孔．若一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過多次反射），則該球最后將落入的球袋是（

）

A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋【答案】B【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，由軸對稱的性質(zhì)判定正確選項．【詳解】解：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知，臺球走過的路徑為：

該球最后落入2號袋．故選：B．【例5】（23-24七年級下·浙江湖州·階段練習(xí)）如圖，為一條長方形紙帶，，將沿折疊，A，D兩點分別與，對應(yīng)，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，熟知折疊的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．如圖，由折疊的性質(zhì)可知，已知，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，從而可得答案．【詳解】解：如圖，由折疊的性質(zhì)可知，∵，，∴，∴，∴，即；故選C．【例6】（22-23八年級上·山東濰坊·階段練習(xí)）如圖所示，點P為內(nèi)一點，分別作出P點關(guān)于、的對稱點，，連接交于M，交于N，，則的周長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得，，則的周長為：，即可得．【詳解】解：∵P點關(guān)于、的對稱點，，∴，，則的周長為：，故選：C．【例7】（23-24八年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）作圖題：(1)如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為，網(wǎng)格中有一個格點（即三角形的頂點都在格點上）．在圖中畫出關(guān)于直線對稱的．（要求：與，與，與相對應(yīng)）(2)如圖是由個相同的小正方形拼成的正方形網(wǎng)格，現(xiàn)將其中個小正方形涂黑，請用種不同的方法分別在圖中再將個小正方形涂黑，使圖案成為軸對稱圖形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查軸對稱變換作圖，熟練掌握軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．（1）把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形完全重合，稱這兩個圖形為軸對稱圖形；以直線為對稱軸，分別作點的對稱點，的對稱點，的對稱點，順次連接，即可解答；（2）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)先確定一個對稱軸，再找出已涂黑小正方形的關(guān)鍵點的對稱點，畫出圖形即可，因為對稱軸有很多種，所以圖形就有很多種．【詳解】（1）解：如圖，先在格點上找出點，，的對稱點，，，分別連結(jié)，，，就是關(guān)于直線的對稱圖形．（2）解：再將個空白的小正方形涂黑，使圖案同時也成軸對稱的關(guān)系，如下圖所示．

鞏固訓(xùn)練：1．（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）如圖所示的四幅圖案中，軸對稱圖形的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了軸對稱圖形的識別；如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：所給圖案中，第1、2、4個圖形是軸對稱圖形，有3個，故選：C．2．（23-24八年級上·廣東湛江·期中）下列的圖形中，左邊圖形與右邊圖形成軸對稱的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本題考查軸對稱的定義，根據(jù)軸對稱的定義（如果兩個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，則這兩個圖形成軸對稱）進(jìn)行逐一判斷即可：【詳解】解：根據(jù)軸對稱的概念，A、B、C都不成軸對稱，不符合題意；只有D成軸對稱，符合題意．故選：D．3．（2024八年級·全國·競賽）下列說法正確的是（

）A．兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，它們的對稱點一定在這條直線的兩側(cè)B．兩個全等的三角形一定關(guān)于某條直線對稱C．線段是軸對稱圖形，它的對稱軸只有它的垂直平分線D．在平面內(nèi)任意的兩條直線所組成的圖形一定是軸對稱圖形【答案】D【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形和全等圖形的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握對稱軸的性質(zhì)，學(xué)會利用軸對稱解決問題．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和定義，對選項進(jìn)行逐一分析，選擇正確答案即可．【詳解】解：A.兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，它們的對稱點不一定在這條直線的兩側(cè)，原說法錯誤，故此選項不符合題意；B.兩個全等的三角形不一定關(guān)于某條直線對稱，原說法錯誤，故此選項不符合題意；C.線段是軸對稱圖形，它的對稱軸有兩條，分別是線段的垂直平分線和線段本身所在的直線，原說法錯誤，故此選項不符合題意；D.在平面內(nèi)任意的兩條直線所組成的圖形一定是軸對稱圖形，原說法正確，故此選項符合題意；故選：D．4．（23-24八年級上·陜西商洛·期中）如圖，和關(guān)于直線l對稱，連接，在直線l上任取一點O，連接，，下列結(jié)論中，不一定正確的是（

）

A． B．C．l垂直平分 D．【答案】A【分析】本題主要考查軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)軸對稱的性質(zhì)及全等三角形的概念進(jìn)行求解．【詳解】解：∵和關(guān)于直線l對稱，∴，l垂直平分，，∴只有A選項不一定成立；故選A．5．（23-24八年級上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）如圖，中，點在邊上，點關(guān)于，對稱的對稱點分別為，，連接，．如圖所示，的度數(shù)是（）度

A．113 B．124 C．129 D．134【答案】D【分析】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟知關(guān)于軸對稱的兩個圖形對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分是解題的關(guān)鍵．由點和點分別是點關(guān)于和的對稱點，得，，再根據(jù)，求出的度數(shù)，進(jìn)而可求出答案．【詳解】解：如圖，連接，，，

點和點分別是點關(guān)于和的對稱點，，，，，，，故選：D6．（23-24八年級上·廣西玉林·期末）如圖，兩條平行直線，，從點光源射出的光線射到直線上的點，入射角為，然后反射光線射到直線上的點，當(dāng)這束光線繼續(xù)從點反射出去后，反射光線與直線的夾角度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查軸對稱的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，根據(jù)“入射光線與直線的夾角始終與反射光線與該直線的夾角相等”得到，由平行線的性質(zhì)可得，即可得出結(jié)論．熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，∵從點光源射出的光線射到直線上的點，入射角為，然后反射光線射到直線上的點，∴，∵，∴，∴當(dāng)這束光線繼續(xù)從點反射出去后，反射光線與直線的夾角度數(shù)為．故選：A．7．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測）如圖，光線自點P射入，經(jīng)鏡面EF反射后經(jīng)過的點是（

）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【答案】B【分析】利用軸對稱變換的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：如圖，過點P，點B的射線交于一點O，故選：B．8．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）下列軸對稱圖形中，對稱軸條數(shù)最多的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查圖形對稱軸的識別，根據(jù)軸對稱圖形的定義，圖形結(jié)合，即可求解．【詳解】解：A、圓是軸對稱圖形，有無數(shù)條對稱軸；B、有兩條對稱軸；C、有兩條對稱軸；D、有四條對稱軸；∴圓的對稱軸條數(shù)最多，故選：A．9．（23-24八年級上·吉林白山·階段練習(xí)）下列圖形中，是軸對稱圖形且只有一條對稱軸的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題主要考查軸對稱圖形的概念及對稱軸的數(shù)量．圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．根據(jù)軸對稱圖形的概念及對稱軸的數(shù)量逐一進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A選項中，圖形是軸對稱圖形，但是有4條對稱軸，故該選項不符合題意；B選項中，圖形是軸對稱圖形，但是有8條對稱軸，故該選項不符合題意；C選項中，圖形是軸對稱圖形，且只有一條對稱軸，故該選項符合題意；D選項中，圖形不是軸對稱圖形，故該選項不符合題意；故選：C．10．（23-24八年級上·河南信陽·期中）小明在鏡中看到對面電子時鐘的示數(shù)如圖所示，則現(xiàn)在的實際時間為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了鏡面對稱，得到相應(yīng)的對稱軸是解決本題的關(guān)鍵；若是豎直方向的對稱軸，數(shù)的順序正好相反．根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)求解，在平面鏡中的像與現(xiàn)實中事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱．【詳解】解：∵是從鏡子中看，∴對稱軸為豎直方向的直線，∵2的對稱數(shù)字是5，鏡子中數(shù)字的順序與實際數(shù)字順序相反，∴這時的時刻應(yīng)是．故選：C．11．（23-24八年級上·山東菏澤·期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，與成軸對稱的三角形可以畫出個．【答案】3【分析】本題考查了軸對稱，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)題意，畫圖如下：有，，，共3個三角形，故答案為：3．12．（23-24七年級上·山東泰安·期末）如圖，在Rt紙片中，，，，將Rt紙片按圖示方式折疊，使點A恰好落在斜邊上的點E處，為折痕，則下列四個結(jié)論：①平分；②；③；④的周長為4．其中正確的有．

【答案】①②④【分析】本題主要考查了折疊問題，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵解答此題先由折疊的性質(zhì)得出，，和三角形的周長計算方法，再由此對結(jié)論進(jìn)行判斷即可．．【詳解】解：①由折疊的性質(zhì)得：，則平分，故①正確；②由折疊的性質(zhì)得：，故②正確；③由于在中，，，，所以不等于，和不相等，故③不正確；④的周長，由折疊的性質(zhì)得，，所以，的周長，故④正確；故答案為：①②④．13．（23-24八年級上·湖北襄陽·期末）如圖所示，有一個英語單詞，四個字母都關(guān)于直線對稱，請依據(jù)軸對稱知識分析后，拼寫出這個單詞．【答案】【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，即可解題．【詳解】解：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得出這四個字母分別是“”“”“”“”，拼寫的單詞為，故答案為：．14．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，與關(guān)于直線l對稱，連結(jié)交直線l于點O，若，，則四邊形的周長為．【答案】7【分析】本題考查軸對稱的性質(zhì)，四邊形的周長等知識，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：與關(guān)于直線l對稱，，，四邊形的周長，故答案為7．15．（23-24八年級下·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，在中，．在、上分別截取、，使．再分別以點P，Q為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點R，作射線，交于點D．已知，．若點M、N分別是線段和線段上的動點，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查作圖復(fù)雜作圖，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是讀懂圖形信息，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．過點作于點，交于點，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，然后根據(jù)，可得．作點關(guān)于的對稱點交于點，連接，可得，進(jìn)而可以解決問題．【詳解】解：如圖，過點作于點，交于點，由作圖可知，平分，，，，．，，，．，，作點關(guān)于的對稱點交于點，連接，當(dāng)M與重合時，此時最小，，，則的最小值為．故答案為：16．（21-22七年級下·廣東深圳·期末）已知，如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一點，F(xiàn)是腰AB上任一點，腰AC＝10，BD＝6，AD＝8，那么線段BE＋EF的最小值是．【答案】9.6【分析】作CG⊥AB于G點，由等腰三角形的性質(zhì)可得BE=CE，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)C、E、F三點共線時，BE+EF的長為最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】解：過C點作CG⊥AB于點G，連接CE；∵AB=AC，且AC=10，∴AB=10，∵E是高AD上任一點，∴AD⊥BC，AD是BC的垂直平分線，∴BE=CE，BD=CD=6，∵BE+EF=CE+EF，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)C、E、F三點共線，且F點與G點重合時，CE+EF的值最小，最小值就是線段CG的長，∵，∴CG==9.6，∴BE＋EF的最小值為9.6，故答案為：9.6．17．（23-24八年級上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·階段練習(xí)）如圖，已知點是內(nèi)任意一點，點、關(guān)于對稱，點、關(guān)于對稱，連接，分別交，于，，連接，．若，則的周長是．【答案】10【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握對稱軸上的點到對應(yīng)點的距離相等．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出，，即可解答．【詳解】解：∵點、關(guān)于對稱，點、關(guān)于對稱，∴，，∵，∴的周長，故答案為：10．18．（23-24八年級上·山東德州·期中）如圖，桌球的桌面上有，兩個球，若要將球射向桌面的一邊，反彈一次后擊中球，則，，，，4個點中，可以反彈擊中球的是點．【答案】D【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找到使入射角等于反射角相等的點．【詳解】解：如圖，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知，可以反彈擊中球的是D點，故選：D．19．（2022·浙江臺州·一模）根據(jù)光學(xué)中平面鏡光線反射原理，入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等．如圖，是兩面互相平行的平面鏡，一束光線m通過鏡面反射后的光線為n，再通過鏡面β反射后的光線為k．光線m與鏡面的夾角的度數(shù)為，光線n與光線k的夾角的度數(shù)為．則x與y之間的數(shù)量關(guān)系是．【答案】【分析】根據(jù)平面鏡光線反射原理和平行線性質(zhì)即可求得．【詳解】解：∵入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等，∴反射后的光線n與鏡面夾角度數(shù)為，∵是兩面互相平行的平面鏡，∴反射后的光線n與鏡面夾角度數(shù)也為，又由入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等，∴反射后的光線k與鏡面的夾角度數(shù)也為，，．故答案為：．20．（23-24六年級下·山東青島·階段練習(xí)）如圖所示，長方形沿折疊，使點落在邊上的點處，如果，那么等于．【答案】/度【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，先求出，再由折疊的性質(zhì)即可得到．【詳解】解：由長方形的性質(zhì)可得，∵，∴，∴由折疊的性質(zhì)可得，故答案為；．21．（23-24七年級下·浙江金華·階段練習(xí)）已知長方形紙片，點和點分別在邊和上，且，點和點分別是邊和上的動點，現(xiàn)將點，，，分別沿，折疊至點，，，，若，則的度數(shù)為．

【答案】或【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，圖形的折疊，分兩種情況討論：當(dāng)在上方時，延長、交于點，證明，則；當(dāng)在下方時，延長、交于點，證明，則．熟練掌握圖形折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，能夠畫出圖形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)在上方時，延長、交于點，由折疊可知：，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；

當(dāng)在下方時，延長、交于點，由折疊可知：，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵；綜上所述：的度數(shù)為或．故答案為：或．

22．（23-24七年級上·湖南長沙·期末）要用一張長方形紙折成一個紙袋，兩條折痕的夾角為70°（即），將折過來的重疊部分抹上膠水，即可做成一個紙袋，則粘膠水部分所構(gòu)成的角，°．【答案】40【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，掌握折痕是角平分線，是解題的關(guān)鍵，根據(jù)折疊的性質(zhì)以及角度之間的和差關(guān)系，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：40．23．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）如圖，長方形紙片，點在邊上，點、在邊上，連接、．將對折，點落在直線上的點處，得折痕；將對折，點落在直線上的點處，得折痕．，則．【答案】95度或85度【分析】本題考查角的計算，翻折變換，角平分線的定義，角的和差定義等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題．分兩種情形：當(dāng)點在點的右側(cè)；當(dāng)點在點的左側(cè)，根據(jù)或，求出即可解決問題．【詳解】解：當(dāng)點在點的右側(cè)，平分，平分，，，，，，，；當(dāng)點在點的左側(cè)，平分，平分，，，，，，，，綜上，的度數(shù)為或，故答案為：或．24．（23-24八年級上·湖南湘西·階段練習(xí)）《西游記》第三十二回寫道：“金角大王、銀角大王派巴山虎、倚海龍去請母親來吃唐僧肉，讓她帶著幌金繩來拿孫行者．”話說兩個小妖在A點接到老妖婆后，來到小河邊P點喝水，隨后回到B點的洞府去見兩位大王．小妖智商有限，請各位同學(xué)幫忙規(guī)劃一下，當(dāng)P點在哪時，路程最近呢？請大家作出路線圖并簡要說明理由．

【答案】見詳解【分析】本題主要考查了最短路線問題．根據(jù)“兩點之間，線段最短”，即可求解．【詳解】解：如圖，作A點關(guān)于小河的對稱點，連接交小河所在直線于P點；

理由：根據(jù)作法得：，∴（兩點之間，線段最短），即為最短路徑．25．（22-23七年級下·陜西咸陽·階段練習(xí)）下列正方形網(wǎng)格圖中，部分方格涂上了顏色，請按照不同要求作圖．(1)作出圖①的所有對稱軸；(2)將圖②中的某一個方格涂上顏色，使整個圖形為軸對稱圖形．（涂出三種即可）【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】此題考查了軸對稱圖形的作圖和性質(zhì)，準(zhǔn)確作圖和找到對稱軸是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖形的特征畫出所有對稱軸即可；（2）根據(jù)正方形網(wǎng)格的特點在某一個方格涂上顏色，使整個圖形為軸對稱圖形即可．【詳解】（1）解：作圖如下：（2）作圖如下：或或26．（23-24八年級上·寧夏固原·期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，，，．(1)在圖中作出關(guān)于y軸對稱的圖形；(2)寫出點的坐標(biāo)；(3)求的面積．【答案】(1)見解析(2)(3)9【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，作軸對稱圖形，割補法求面積，解題關(guān)鍵是掌握關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．（1）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)特征，分別找出、、，依次連接即可；（2）根據(jù)（1）中圖形，即可得到點的坐標(biāo)；（3）利用割補法即可求出的面積．【詳解】（1）解：如圖，即為所求作；（2）解：由圖形可知，點的坐標(biāo)為；（3）解：的面積．27．（2023·浙江杭州·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個小正方形的邊長都是1．的頂點坐標(biāo)分別為，，．

(1)畫出關(guān)于y軸對稱的；(2)將點A先向上平移3個單位長度，再向左平移5個單位長度得到點，則點的坐標(biāo)為；(3)的面積為；【答案】(1)見解析(2)(3)8【分析】本題考查了作圖-軸對稱變換，作圖-平移變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可畫出關(guān)于y軸對稱的；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)即可將點A先向上平移3個單位長度，再向左平移5個單位長度得到點，進(jìn)而可得點的坐標(biāo)；（3）根據(jù)割補法即可求出的面積；【詳解】（1）解：由題意知，的點坐標(biāo)分別為，在坐標(biāo)系中描點，然后依次連接，如圖，即為所求；

（2）如上圖，點即為所求；點的坐標(biāo)為；故答案為：；（3）如上圖所示，作出矩形，則，即，故答案為：8；題型二旋轉(zhuǎn)【例1】（23-24九年級上·寧夏吳忠·期中）下列現(xiàn)象中屬于旋轉(zhuǎn)的有（

）個．①地下水位逐年下降；②傳送帶的移動；③方向盤的轉(zhuǎn)動；④水龍頭的轉(zhuǎn)動；⑤鐘擺的運動；⑥蕩秋千．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本題考查了生活中的平移．根據(jù)平移和旋轉(zhuǎn)的定義對各小題分析判斷即可．【詳解】解：屬于旋轉(zhuǎn)的有③④⑤⑥，共4個．故選：C【例2】（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，是由繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到的圖形，若點恰好落在上，且的度數(shù)為，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角度的和差計算，掌握對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角是解題關(guān)鍵．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，故選：D．【例3】（22-23八年級上·山東青島·期中）如圖所示，和是等邊三角形，B、C、E在一條直線上，則繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)度可得到．【答案】60【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的定義和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，運用證明，再由旋轉(zhuǎn)的定義即可求解．【詳解】解：∵和是等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴E繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)度可得到．故答案為．【例4】（23-24九年級下·河北石家莊·開學(xué)考試）如圖，繞點旋轉(zhuǎn)得到，且點在邊上，為與的交點．若，則下列各角：①；②；③；④．其中角的度數(shù)一定等于的是（）A．①② B．只有① C．③④ D．②③【答案】A【分析】①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，通過等量代換，即可得證，②在應(yīng)用外角定理，通過等量代換，即可得證，③不是的角平分線，即可證否，④題目已知條件對除構(gòu)成三角形外，無特殊要求，即可正否，本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，①符合題意，在中，，即：，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，②符合題意，不是的角平分線，③不符合題意，題目已知條件對除構(gòu)成三角形外，無特殊要求，④不符合題意，綜上所述，①②符合題意，故選：．【例5】（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，如果把鐘表的指針看作四邊形，它繞點O旋轉(zhuǎn)得到四邊形，在這個旋轉(zhuǎn)過程中．(1)旋轉(zhuǎn)角是什么？旋轉(zhuǎn)中心是什么？(2)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，分別轉(zhuǎn)到什么位置？(3)與的長有什么關(guān)系？與呢？(4)與有什么關(guān)系？【答案】(1)或，旋轉(zhuǎn)中心是點O(2)(3)(4)【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的定義和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．旋轉(zhuǎn)的定義：把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點O轉(zhuǎn)動一個角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn)．點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角等于旋轉(zhuǎn)角．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義和旋轉(zhuǎn)中心的定義回答；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義回答；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)回答；（4）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)回答．【詳解】（1）旋轉(zhuǎn)角是或，旋轉(zhuǎn)中心是點O；（2）經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，分別轉(zhuǎn)到D、E、F的位置；（3）與長的關(guān)系，，與長的關(guān)系，；（4）與的關(guān)系：．【例6】（20-21七年級上·重慶·階段練習(xí)）等邊三角形（三條邊都相等的三角形是等邊三角形）紙板ABC在數(shù)軸上的位置如圖所示，點A、B對應(yīng)的數(shù)分別為2和1，若△ABC繞著頂點逆時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)第1次后，點C所對應(yīng)的數(shù)為0，則翻轉(zhuǎn)2023次后，點C所對應(yīng)的數(shù)是（）A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024【答案】B【分析】作出草圖，不難發(fā)現(xiàn)，每3次翻轉(zhuǎn)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2023除以3，根據(jù)余數(shù)為1可知點C在數(shù)軸上，然后進(jìn)行計算即可得解．【詳解】解：如圖，每3次翻轉(zhuǎn)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，∵2023÷3＝674…1，，∴翻轉(zhuǎn)2023次后點C在數(shù)軸上，∴點C對應(yīng)的數(shù)是0﹣674×3＝﹣2022．故選：B．【例7】【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA＝∠BOC，則稱射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．如圖1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，則∠AOC＝∠BOC，所以射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．【解決問題】（1）在圖1中，若作∠BOC的平分線OD，則射線OD射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”；（填“是”或“不是”）（2）如圖2，∠AOB的度數(shù)為n，射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，ON平分∠AOB，則∠MON的度數(shù)為；（用含n的代數(shù)式表示）（3）如圖3，射線OB從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點O以每秒3°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)；同時，射線OC從與射線OA的反向延長線重合的位置出發(fā)，繞點O以每秒5°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OC與射線OA重合時，運動停止．問：當(dāng)運動時間為多少秒時，射線OA、OB、OC中恰好有一條射線是余下兩條射線中某條射線在余下兩條射線所組成的角內(nèi)的一條“友好線”？【答案】（1）是；（2）n；（3）或或或30秒【分析】（1）根據(jù)“友好線”定義即可作出判斷；（2）根據(jù)“友好線”定義即可求解；（3）利用分類討論思想，分四種情況進(jìn)行計算即可．【詳解】解：（1）∵OB是∠BOC的平分線，∴∠BOD＝∠COD，∵∠COA＝∠BOC，∴∠BOD＝∠AOD，∴射線OD是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．（2）∵射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，∠AOB的度數(shù)為n，∴∠BOM＝∠AOB＝n，∵ON平分∠AOB，∴∠BON＝∠AOB＝n，∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝n﹣n＝n；（3）設(shè)運動時間為x（x≤36）秒時，射線OA、OB、OC中恰好有一條射線是其余兩條射線中某條射線的“友好線”．當(dāng)射線OB是射線OA在∠AOC內(nèi)的一條“友好線”時，則∠AOB＝∠COB，所以3x＝（180﹣5x﹣3x），解得x＝（符合題意），即運動時間為秒時，射線OB是射線OA的“友好線”．當(dāng)射線OB是射線OC在∠AOC內(nèi)的一條“友好線”時，則∠COB＝∠AOB，所以180﹣5x﹣3x＝×3x，解得x＝（符合題意），即運動時間為秒時，射線OB是射線OC的“友好線”．當(dāng)射線OC是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”時，則∠COB＝∠AOC，所以3x+5x﹣180＝（180﹣5x），解得x＝（符合題意），即運動時間為秒時，射線OC是射線OB的“友好線”．當(dāng)射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”時，則∠AOC＝∠COB，所以180﹣5x＝（5x+3x﹣180），解得x＝30（符合題意），即運動時間為30秒時，射線OC是射線OA的“友好線”．綜上所述，當(dāng)運動時間為或或或30秒時，符合題意要求．【例8】（22-23七年級上·湖北武漢·期末）已知，為內(nèi)部的一條射線，；(1)如圖1，若平分，為內(nèi)部的一條射線，，求的度數(shù)；(2)如圖2，若射線繞著O點從開始以12度/秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)至結(jié)束，在旋轉(zhuǎn)過程中，平分，試問是否為定值，若不是，請說明理由；若是，請求出其值．(3)如圖3，若射線繞著O點從開始以15度/秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)至結(jié)束、同時繞著O點從開始以3度/秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)至結(jié)束，運動時間為t秒，當(dāng)時，求t的值；【答案】(1)(2)是定值，(3)5秒或秒或秒【分析】（1）首先根據(jù)，，可求得，再根據(jù)角平分線的定義，可求得，據(jù)此即可得出答案；（2）設(shè)運動t秒，則，，根據(jù)角平分線的定義，可得，，據(jù)此即可得出答案；（3）用含有t的代數(shù)式分別表示出和，分三種情況分別列出方程，即可求出t的值．【詳解】（1）解：，，，又，平分，，；（2）解：是定值；如圖：設(shè)運動t秒，則，，平分，，，，為定值，為；（3）解：，，，當(dāng)在內(nèi)部時，繞著O點從開始以15度/秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時繞著O點從開始以3度/秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，，，，，，，解得；當(dāng)與重合時，，解得；當(dāng)與重合，即停止運動時，，解得，綜上所述，當(dāng)時，秒或秒或秒．鞏固訓(xùn)練1．（23-24九年級上·廣東韶關(guān)·期中）下列現(xiàn)象屬于旋轉(zhuǎn)的是（

）A．摩托車在急剎車時向前滑動 B．飛機起飛后沖向空中的時候C．筆直的鐵軌上飛馳而過的火車 D．幸運大轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的過程【答案】D【分析】此題主要考查了生活的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的定義．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某一個點O旋轉(zhuǎn)一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)可得答案．【詳解】解：A、摩托車在急剎車時向前滑動不是旋轉(zhuǎn)，故此選項錯誤；B、飛機起飛后沖向空中的時候不是旋轉(zhuǎn)，故此選項錯誤；C、筆直的鐵軌上飛馳而過的火車不是旋轉(zhuǎn)，故此選項錯誤；D、幸運大轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的過程屬于旋轉(zhuǎn)，故此選項正確．故選：D．2．（23-24九年級上·甘肅武威·期末）下列圖案中，不能由其中一個圖形通過旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和軸對稱的定義：（1）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．要注意旋轉(zhuǎn)的三要素：①定點﹣旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度．（2）軸對稱的定義：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形．能否構(gòu)成旋轉(zhuǎn)，關(guān)鍵是看有沒有旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度．【詳解】解：選項A，B，D都是可以由一個基本圖形旋轉(zhuǎn)得到．選項C是軸對稱圖形，不能旋轉(zhuǎn)得到．故選：C3．（2020·浙江·模擬預(yù)測）如圖，邊長為1的正方形，沿數(shù)軸順時針連續(xù)滾動，起點和重合，則數(shù)軸上數(shù)2020所對應(yīng)的字母是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先確定0由于那個字母對應(yīng)，然后每轉(zhuǎn)一周走4個，看2020÷5商數(shù)與余數(shù)，再確定余數(shù)與哪點對應(yīng)即可．【詳解】先確定0與C相對，每轉(zhuǎn)4次一循環(huán)回到C，2020÷4=505回到C．故選擇：C．

4．（2023·四川綿陽·一模）如圖，在中，．在同一平面內(nèi)，將繞點A旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線的夾角為旋轉(zhuǎn)角．同時考查了平行線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)中心為點A，B與，C與分別是對應(yīng)點，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)角，，再利用平行線的性質(zhì)得，把問題轉(zhuǎn)化到等腰中，根據(jù)內(nèi)角和定理求．【詳解】解：∵，，∴，又∵C、為對應(yīng)點，點A為旋轉(zhuǎn)中心，∴，即為等腰三角形，∴，故選：D．5．（23-24九年級上·北京東城·期中）如圖，是繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到的圖形．若點恰好落在上，且的度數(shù)為，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出，再計算出的度數(shù)即可．【詳解】解：由題意得：．又∵，∴．故選B．6．（22-23八年級下·陜西西安·期末）如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，若點共線，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，且點共線，∴，∴，∴，∴，故選：A．7．（2022·江蘇常州·二模）如圖，一個機器人最初面向北站立，按程序：每次移動都向前直走，然后逆時針轉(zhuǎn)動一個角度，每次轉(zhuǎn)動的角度增加．第一次直走后轉(zhuǎn)動，第二次直走后轉(zhuǎn)動，第三次直走后轉(zhuǎn)動，如此下去．那么它在移動過程中第二次面向西方時一共走了米．【答案】45【分析】根據(jù)走路規(guī)律，求出走的次數(shù)即可解得．【詳解】解：設(shè)第n次轉(zhuǎn)動面向西方，第二次面向西方時一共轉(zhuǎn)了，當(dāng)時第二次面向西方，一共走了（米）；故答案為：45．8．（七年級上·浙江湖州·期中）一個長方形ABCD在數(shù)軸上的位置如圖所示，AB=3，AD=2，若此長方形繞著頂點按照順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點A所對應(yīng)的數(shù)為1，求翻轉(zhuǎn)2018次后，點B所對應(yīng)的數(shù)．【答案】5044【分析】翻轉(zhuǎn)兩次后點B落在數(shù)軸上，根據(jù)翻轉(zhuǎn)4次為一個周期循環(huán)，依據(jù)翻轉(zhuǎn)總次數(shù)得出翻轉(zhuǎn)幾個周期循環(huán)，確定點B落在數(shù)軸上推算出移動的距離得出結(jié)果.【詳解】如圖，翻轉(zhuǎn)兩次后點B落在數(shù)軸上，以后翻轉(zhuǎn)4次為一個周期，且長方形的周長=2（2+3）=10，∴一個周期后右邊的點移動10個單位長度，∵，∴翻轉(zhuǎn)2018次后，點B落在數(shù)軸上，點B所對應(yīng)的數(shù)是，故答案為：5044.9．（23-24九年級下·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在中，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，點恰好落在上，交于點，則°．

【答案】【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得是等腰三角形，再根據(jù)其性質(zhì)求出，再由三角形內(nèi)角和定理即可求．【詳解】將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，∴，，，∴，∴，∵，∴，∴．10．（2024·吉林松原·一模）如圖，該圖形繞其中心旋轉(zhuǎn)能與其自身完全重合，則其旋轉(zhuǎn)角最小為度．【答案】72【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形，根據(jù)已知圖形得出最小旋轉(zhuǎn)角度數(shù)是解題關(guān)鍵．觀察圖形可得，圖形由五個形狀相同的部分組成，從而能計算出旋轉(zhuǎn)角度．【詳解】解：圖形可看作由一個基本圖形旋轉(zhuǎn)5次所組成，故最小旋轉(zhuǎn)角為．故答案為：72．11．（22-23七年級上·河北邯鄲·期末）如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，此時點在邊上，若，，則的長是．

【答案】3【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，即可求解．【詳解】解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，，，，故答案為：3．12．（23-24九年級上·吉林白山·階段練習(xí)）如圖，該圖形繞其中心旋轉(zhuǎn)能與自身完全重合，則其旋轉(zhuǎn)角最小為度．

【答案】72【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對稱圖形的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：由題意，該圖形被平分為5部分，因而每部分被分為圓心角為根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)不變性，旋轉(zhuǎn)的整數(shù)倍就可以與自身重合故該圖形繞其中心旋轉(zhuǎn)與自身重合旋轉(zhuǎn)最小角度為故答案為：7213．（2024九年級·全國·競賽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個頂點的坐標(biāo)分別為．(1)將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，點的對應(yīng)點分別為點，在圖中畫出，并寫出點的坐標(biāo)；(2)將向右平移4個單位長度后，得到，點的對應(yīng)點分別為點，在圖中畫出，并寫出點的坐標(biāo)；(3)從變化到能否看作是將繞某一個點作旋轉(zhuǎn)變換？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)中心；若不能，說明理由．【答案】(1)圖見解析，、(2)圖見解析，(3)能，旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為【分析】本題考查了畫旋轉(zhuǎn)圖形、平移圖形、旋轉(zhuǎn)圖形，熟練掌握旋轉(zhuǎn)、平移和旋轉(zhuǎn)中心的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別畫出點，再順次連接即可得，根據(jù)點的位置寫出它們的坐標(biāo)即可得；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)分別畫出點，再順次連接即可得，根據(jù)點的位置寫出它們的坐標(biāo)即可得；（3）連接，線段的垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心，結(jié)合正方形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】（1）解：如圖，畫出如下：則、．（2）解：如圖，畫出如下：則．（3）解：如圖，連接，線段的垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心，由正方形的性質(zhì)可知，垂直平分，垂直平分，則點即為旋轉(zhuǎn)中心，點的坐標(biāo)為．14．（2024·安徽合肥·一模）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，已知格點和格點O（格點為網(wǎng)格線的交點）．

(1)將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，畫出；(2)將先向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到，畫出．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【分析】本題考查了畫旋轉(zhuǎn)圖形、平移作圖：（1）以點O為對稱點得到旋轉(zhuǎn)后的點，連接即可；（2）先根據(jù)平移的方式得到點，連接即可；正確得到圖形是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：以點O為對稱點得到旋轉(zhuǎn)后的點，然后再連接，如圖所示：

（2）解：按照平移的方式，先向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到三個點，連接即可，如圖所示：

15．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，正五邊形的邊長等于2，分別以正五邊形各邊為直徑，向外作半圓．(1)這個圖形________（填“是”或“不是”）旋轉(zhuǎn)對稱圖形，若是，則旋轉(zhuǎn)中心是點________，最小旋轉(zhuǎn)角為________；(2)求陰影部分的周長和面積（用含π的式子表示）．【答案】(1)是，O，(2)周長為，陰影部分的面積為【分析】此題考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形，熟練掌握旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念以及最小旋轉(zhuǎn)角的求法是解答此題的關(guān)鍵．旋轉(zhuǎn)對稱圖形：把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心．根據(jù)定義可知，最小旋轉(zhuǎn)角等于周角除以正多邊形的邊數(shù)．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可知這個圖案是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，點是旋轉(zhuǎn)對稱中心，這個圖案的最小旋轉(zhuǎn)角為；故答案為：是，O，（2）由題意得，陰影部分的周長為，陰影部分的面積為．16．（23-24七年級上·重慶沙坪壩·期末）如圖1，點O為直線上一點，將兩個含角的三角板和三角板如圖擺放，使三角板的一條直角邊在直線上，其中．(1)將圖1中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得邊在的內(nèi)部且平分，此時三角板旋轉(zhuǎn)的角度為度；(2)三角板在繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，若在的內(nèi)部．試探究與之間滿足什么等量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，將圖1中的三角板繞點O以每秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)，同時將三角板繞點O以每秒的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，將射線繞點O以每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的射線記為，射線平分，射線平分，當(dāng)射線重合時，射線改為繞點O以原速按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在第二次相遇前，當(dāng)時，直接寫出旋轉(zhuǎn)時間t的值．【答案】(1)(2)當(dāng)在外部時，，當(dāng)在內(nèi)部時，，理由見解析(3)或或或【分析】（1）先根據(jù)平分得到，即可求出；（2）根據(jù)題意可得，作差即可求解；（3）先求出旋轉(zhuǎn)前的夾角，然后再求出第一次和第二次相遇所需要的時間，再設(shè)在第二次相遇前，當(dāng)時，需要旋轉(zhuǎn)時間為t，再分在的左側(cè)和在的右側(cè)兩種情況討論解答即可．【詳解】（1）解：平分，，三角板旋轉(zhuǎn)的角∶，故答案為：．（2）當(dāng)在外部時，，理由如下∶，，，當(dāng)在內(nèi)部時，，理由如下∶，；（3）射線平分，射線平分，，旋轉(zhuǎn)前，旋轉(zhuǎn)前與的夾角為：，與第一次相遇的時間為：秒，此時旋轉(zhuǎn)的角度為：此時OC與的夾角為：與OD第二次相遇的時間為：(秒)，設(shè)在與第二次相遇前，當(dāng)時，需要旋轉(zhuǎn)時間為，①，解得∶，②，解得∶，③，解得∶，，④，解得∶，．在OC與OD第二次相遇前，當(dāng)時，旋轉(zhuǎn)時間為或或或．17．（23-24七年級上·陜西西安·期末）問題提出（）如圖所示，將含有和角的一副直角三角板與在直線，的頂點和角的頂點重合于點，點在直線上，為平分線，則．問題探究（）如圖，若將三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，平分，請你探究度數(shù)是否會發(fā)生變化？若不變，求出其角度；若變化，請說明理由；問題解決（）如圖，從圖位置開始，將三角板繞點以每秒速度逆時針旋轉(zhuǎn)，同時三角板以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)首次與重合或當(dāng)與首次重合時，兩個三角板都停止旋轉(zhuǎn)．設(shè)兩三角板的旋轉(zhuǎn)時間為，在整個旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)滿足，求的值．

【答案】（）；（）度數(shù)不會發(fā)生變化，為；（）或．【分析】（）利用角的和差關(guān)系及角平分線的定義即可求解；（）利用角的和差關(guān)系及角平分線的定義即可求解；（）由，可判斷出與重合前（含重合）和與重合后這兩個階段不存在滿足條件的值，由此得到滿足條件的值在與重合后到與重合時這個階段，根據(jù)角的和差關(guān)系列出方程即可求解；本題考查了角的旋轉(zhuǎn)，角的計算及角平分線的定義，能通過圖形找到所求角的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（）∵點在直線上，，，∴，∵為平分線，∴，故答案為：；（）∵將三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，∴，，∵平分，為平分線，∴，，∴，∴度數(shù)不會發(fā)生變化，為；（）由圖可知，當(dāng)與重合前（含重合）和與重合后，，∴在這兩個階段不存在滿足條件的值，當(dāng)與重合后到與重合時，，，∴，∵，∴，∴或，解得或，∴當(dāng)時，的值為或．18．（22-23七年級上·云南·期末）如圖，兩個形狀、大小完全相同的含有、的直角三角板如圖①放置，、與直線重合，且三角板、三角板均可繞點逆時針旋轉(zhuǎn)．

(1)如圖①，則°．(2)如圖②，若三角板保持不動，三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，平分，平分，求；(3)如圖③，在圖①基礎(chǔ)上，若三角板開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為，同時三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為，（當(dāng)轉(zhuǎn)到與重合時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動），在旋轉(zhuǎn)過程中，三條射線中，當(dāng)其中一條射線平分另兩條射線的夾角時，請求出旋轉(zhuǎn)的時間．【答案】(1)(2)(3)秒或秒【分析】（1）根據(jù)平角是計算；（2）根據(jù)角平分線的定義得到，，分別用表示出、，計算即可；（3）設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為秒，的取值范圍是，再分三種情況討論即可．【詳解】（1）解：，，，；故答案為：；（2）解：設(shè)三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)，平分，平分，，，，，，，；（3）解：設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為秒，當(dāng)轉(zhuǎn)到與重合時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動，，故的取值范圍是，當(dāng)平分時，如圖所示，

，，；當(dāng)平分時，如圖，

，，解得：；當(dāng)平分時，如圖

，，解得：（不符合題意，舍去），綜上所述：旋轉(zhuǎn)的時間為秒或秒．19．（22-23七年級上·湖北黃石·期末）已知，，平分，平分．（本題中的角均為大于且小于等于的角）．(1)如圖，當(dāng)、重合時，求的度數(shù)；(2)當(dāng)從如圖所示位置繞點O沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，且時，直接寫出n的取值范圍．(3)當(dāng)從如圖所示位置繞點O沿順時針方向旋轉(zhuǎn)時，的值是否為定值？若是定值，求出的值；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)不是定值，見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義知、，再根據(jù)可得答案；（2）分三種情況討論：當(dāng)時，，為定值；當(dāng)時，，為定值；當(dāng)時，，由，解得：（不符合題意，舍去）；即可確定n的取值范圍．（3）分兩種情況討論：；．【詳解】（1）如圖