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文檔簡介
2024屆湖北省武漢市青山區(qū)高三一輪收官考試(二)數(shù)學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.a為正實數(shù),i為虛數(shù)單位,,則a=()A.2 B. C. D.12.已知集合,集合,那么等于()A. B. C. D.3.已知橢圓內有一條以點為中點的弦,則直線的方程為()A. B.C. D.4.已知向量,,則與共線的單位向量為()A. B.C.或 D.或5.下列四個圖象可能是函數(shù)圖象的是()A. B. C. D.6.函數(shù)(),當時,的值域為,則的范圍為()A. B. C. D.7.復數(shù)滿足,則復數(shù)等于()A. B. C.2 D.-28.已知,函數(shù),若函數(shù)恰有三個零點,則()A. B.C. D.9.高斯是德國著名的數(shù)學家,近代數(shù)學奠基者之一,享有“數(shù)學王子”的稱號,用其名字命名的“高斯函數(shù)”為:設,用表示不超過的最大整數(shù),則稱為高斯函數(shù),例如:,,已知函數(shù)(),則函數(shù)的值域為()A. B. C. D.10.已知為銳角,且,則等于()A. B. C. D.11.已知雙曲線C:()的左、右焦點分別為,過的直線l與雙曲線C的左支交于A、B兩點.若,則雙曲線C的漸近線方程為()A. B. C. D.12.若(),,則()A.0或2 B.0 C.1或2 D.1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知矩形ABCD,AB=4,BC=3,以A,B為焦點,且過C,D兩點的雙曲線的離心率為____________.14.已知復數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則復數(shù)的實部為____________.15.設雙曲線的一條漸近線方程為,則該雙曲線的離心率為____________.16.等差數(shù)列(公差不為0),其中,,成等比數(shù)列,則這個等比數(shù)列的公比為_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當時,求曲線在點的切線方程;(2)討論函數(shù)的單調性.18.(12分)如圖,已知三棱柱中,與是全等的等邊三角形.(1)求證:;(2)若,求二面角的余弦值.19.(12分)已知數(shù)列滿足,,數(shù)列滿足.(Ⅰ)求證數(shù)列是等比數(shù)列;(Ⅱ)求數(shù)列的前項和.20.(12分)在中,,是邊上一點,且,.(1)求的長;(2)若的面積為14,求的長.21.(12分)如圖,在直三棱柱中,,點P,Q分別為,的中點.求證:(1)PQ平面;(2)平面.22.(10分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).在以為極點,軸正半軸為極軸的極坐標中,曲線:.(1)當時,求與的交點的極坐標;(2)直線與曲線交于,兩點,線段中點為,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
,選B.2、A【解析】
求出集合,然后進行并集的運算即可.【詳解】∵,,∴.故選:A.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查集合并集的概念和運算,屬于基礎題.3、C【解析】
設,,則,,相減得到,解得答案.【詳解】設,,設直線斜率為,則,,相減得到:,的中點為,即,故,直線的方程為:.故選:.【點睛】本題考查了橢圓內點差法求直線方程,意在考查學生的計算能力和應用能力.4、D【解析】
根據題意得,設與共線的單位向量為,利用向量共線和單位向量模為1,列式求出即可得出答案.【詳解】因為,,則,所以,設與共線的單位向量為,則,解得或所以與共線的單位向量為或.故選:D.【點睛】本題考查向量的坐標運算以及共線定理和單位向量的定義.5、C【解析】
首先求出函數(shù)的定義域,其函數(shù)圖象可由的圖象沿軸向左平移1個單位而得到,因為為奇函數(shù),即可得到函數(shù)圖象關于對稱,即可排除A、D,再根據時函數(shù)值,排除B,即可得解.【詳解】∵的定義域為,其圖象可由的圖象沿軸向左平移1個單位而得到,∵為奇函數(shù),圖象關于原點對稱,∴的圖象關于點成中心對稱.可排除A、D項.當時,,∴B項不正確.故選:C【點睛】本題考查函數(shù)的性質與識圖能力,一般根據四個選擇項來判斷對應的函數(shù)性質,即可排除三個不符的選項,屬于中檔題.6、B【解析】
首先由,可得的范圍,結合函數(shù)的值域和正弦函數(shù)的圖像,可求的關于實數(shù)的不等式,解不等式即可求得范圍.【詳解】因為,所以,若值域為,所以只需,∴.故選:B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的值域,熟悉正弦函數(shù)的單調性和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵,側重考查數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).7、B【解析】
通過復數(shù)的模以及復數(shù)的代數(shù)形式混合運算,化簡求解即可.【詳解】復數(shù)滿足,∴,故選B.【點睛】本題主要考查復數(shù)的基本運算,復數(shù)模長的概念,屬于基礎題.8、C【解析】
當時,最多一個零點;當時,,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,根據單調性畫函數(shù)草圖,根據草圖可得.【詳解】當時,,得;最多一個零點;當時,,,當,即時,,在,上遞增,最多一個零點.不合題意;當,即時,令得,,函數(shù)遞增,令得,,函數(shù)遞減;函數(shù)最多有2個零點;根據題意函數(shù)恰有3個零點函數(shù)在上有一個零點,在,上有2個零點,如圖:且,解得,,.故選.【點睛】遇到此類問題,不少考生會一籌莫展.由于方程中涉及兩個參數(shù),故按“一元化”想法,逐步分類討論,這一過程中有可能分類不全面、不徹底.9、B【解析】
利用換元法化簡解析式為二次函數(shù)的形式,根據二次函數(shù)的性質求得的取值范圍,由此求得的值域.【詳解】因為(),所以,令(),則(),函數(shù)的對稱軸方程為,所以,,所以,所以的值域為.故選:B【點睛】本小題考查函數(shù)的定義域與值域等基礎知識,考查學生分析問題,解決問題的能力,運算求解能力,轉化與化歸思想,換元思想,分類討論和應用意識.10、C【解析】
由可得,再利用計算即可.【詳解】因為,,所以,所以.故選:C.【點睛】本題考查二倍角公式的應用,考查學生對三角函數(shù)式化簡求值公式的靈活運用的能力,屬于基礎題.11、D【解析】
設,利用余弦定理,結合雙曲線的定義進行求解即可.【詳解】設,由雙曲線的定義可知:因此再由雙曲線的定義可知:,在三角形中,由余弦定理可知:,因此雙曲線的漸近線方程為:.故選:D【點睛】本題考查了雙曲線的定義的應用,考查了余弦定理的應用,考查了雙曲線的漸近線方程,考查了數(shù)學運算能力.12、A【解析】
利用復數(shù)的模的運算列方程,解方程求得的值.【詳解】由于(),,所以,解得或.故選:A【點睛】本小題主要考查復數(shù)模的運算,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】
根據為焦點,得;又求得,從而得到離心率.【詳解】為焦點在雙曲線上,則又本題正確結果:【點睛】本題考查利用雙曲線的定義求解雙曲線的離心率問題,屬于基礎題.14、【解析】
利用復數(shù)的概念與復數(shù)的除法運算計算即可得到答案.【詳解】,所以復數(shù)的實部為2.故答案為:2【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算,考查學生的基本計算能力,是一道基礎題.15、【解析】
根據漸近線得到,,計算得到離心率.【詳解】,一條漸近線方程為:,故,,.故答案為:.【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率,意在考查學生的計算能力.16、4【解析】
根據等差數(shù)列關系,用首項和公差表示出,解出首項和公差的關系,即可得解.【詳解】設等差數(shù)列的公差為,由題意得:,則整理得,,所以故答案為:4【點睛】此題考查等差數(shù)列基本量的計算,涉及等比中項,考查基本計算能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)當時,在上單調遞增,在上單調遞減;當時,在和上單調遞增,在上單調遞減;當時,在上單調遞增;當時,在和上單調遞增,在上單調遞減.【解析】
(1)根據導數(shù)的幾何意義求解即可.(2)易得函數(shù)定義域是,且.故分,和與四種情況,分別分析得極值點的關系進而求得原函數(shù)的單調性即可.【詳解】(1)當時,,則切線的斜率為.又,則曲線在點的切線方程是,即.(2)的定義域是..①當時,,所以當時,;當時,,所以在上單調遞增,在上單調遞減;②當時,,所以當和時,;當時,,所以在和上單調遞增,在上單調遞減;③當時,,所以在上恒成立.所以在上單調遞增;④當時,,所以和時,;時,.所以在和上單調遞增,在上單調遞減.綜上所述,當時,在上單調遞增,在上單調遞減;當時,在和上單調遞增,在上單調遞減;當時,在上單調遞增;當時,在和上單調遞增,在上單調遞減.【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義以及含參數(shù)的函數(shù)單調性討論,需要根據題意求函數(shù)的極值點,再根據極值點的大小關系分類討論即可.屬于??碱}.18、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)取BC的中點O,則,由是等邊三角形,得,從而得到平面,由此能證明(2)以,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,利用向量法求得二面角的余弦值,得到結果.【詳解】(1)取BC的中點O,連接,,由于與是等邊三角形,所以有,,且,所以平面,平面,所以.(2)設,是全等的等邊三角形,所以,又,由余弦定理可得,在中,有,所以以,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示,則,,,設平面的一個法向量為,則,令,則,又平面的一個法向量為,所以二面角的余弦值為,即二面角的余弦值為.【點睛】該題考查的是有關立體幾何的問題,涉及到的知識點有利用線面垂直證明線性垂直,利用向量法求二面角的余弦值,屬于中檔題目.19、(Ⅰ)見證明;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)利用等比數(shù)列的定義結合得出數(shù)列是等比數(shù)列(Ⅱ)數(shù)列是“等比-等差”的類型,利用分組求和即可得出前項和.【詳解】解:(Ⅰ)當時,,故.當時,,則,,數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列.(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,,.【點睛】(Ⅰ)證明數(shù)列是等比數(shù)列可利用定義法得出(Ⅱ)采用分組求和:把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列.20、(1)1;(2)5.【解析】
(1)由同角三角函數(shù)關系求得,再由兩角差的正弦公式求得,最后由正弦定理構建方程,求得答案.(2)在中,由正弦定理構建方程求得AB,再由任意三角形的面積公式構建方程求得BC,最后由余弦定理構建方程求得AC.【詳解】(1)據題意,,且,所以.所以.在中,據正弦定理可知,,所以.(2)在中,據正弦定理可知,所以.因為的面積為14,所以,即,得.在中,據余弦定理可知,,所以.【點睛】本題考查由正弦定理與余弦定理解三角形,還考查了由同角三角函數(shù)關系和兩角差的正弦公式化簡求值,屬于簡單題.21、(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)取的中點D,連結,.根據線面平行的判定定理即得;(2)先證,,和都是平面內的直線且交于點,由(1)得,再結合線面垂直的判定定理即得.【詳解】(1)取的中點D,連結,.在中,P,D分別為,中點,,且.在直三棱柱中,,.Q為棱的中點,,且.,.四邊形為平行四邊形,從而.又平面,平面,平面.(2)在直三棱柱中,平面.又平面,.,D為中點,.由(1)知,,.又,平面,平面,平面.【點睛】本題考查線面平行的判定定理,以及線面垂直的判定定理,難度不大.22、(1),
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