專題322雙曲線的簡單幾何性質(zhì)-

專題3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)【基本知識梳理】知識點1：雙曲線的幾何性質(zhì)焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點坐標A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)【特別注意】(1)雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的“張口”大小，e越大，開口越大．(2)等軸雙曲線（實軸與虛軸等長的雙曲線）的離心率為eq\r(2)，漸近線方程為y＝±x.(3)雙曲線的漸近線方程要注意焦點所在軸的位置．(4)焦點到漸近線的距離為b.知識點2：由雙曲線的幾何性質(zhì)求標準方程(1)根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注意焦點的位置，從而正確選擇方程的形式．(2)巧設(shè)雙曲線方程的技巧①與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1具有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．②漸近線方程為ax±by＝0的雙曲線方程可設(shè)為a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．知識點3：求雙曲線的離心率(1)直接法：若可求得a，c，則直接利用e＝eq\f(c,a)得解．(2)齊次式法：若得到的是關(guān)于a，c的齊次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r為常數(shù)，且p≠0)，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．知識點4：雙曲線定義的應(yīng)用雙曲線的第二定義：當點M與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)e＝eq\f(c,a)(e>1)時，這個點的軌跡是雙曲線．【題型1雙曲線的焦點、焦距、長軸、短軸的求解】【例1】（20232024?高二上?山東淄博?期中A． B． C． D．【答案】A【分析】由雙曲線方程確定參數(shù)，即可得焦距.【詳解】由題設(shè)，故焦距為.故選：A【變式11】（20232024?高二上?貴州黔東南州?期末）【答案】6【分析】利用雙曲線的標準方程求解.【詳解】解：因為b2=9，所以所以該雙曲線的虛軸長為6．故答案為：6【變式12】（20232024?高二上?天津市河東區(qū)?期末）A．16 B．8 C．4 D．3【答案】C【分析】根據(jù)題意，化簡雙曲線的方程為標準方程，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由雙曲線C:9x2?16y2=144，可化為所以雙曲線的實半軸長為4.故選：C.【變式13】（20232024?高二上?江蘇揚州?期末）（多選）橢圓CA．有相同的焦點 B．有相等的焦距C．有相同的對稱中心 D．可能存在相同的頂點【答案】BCD【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線方程分別寫出焦點坐標，求出焦距，對稱中心以及可能的頂點坐標，即可得出結(jié)論.【詳解】由橢圓方程可知其焦點坐標為0,4,0,?4，焦距為8，關(guān)于原點成中心對稱，左、右頂點坐標為由雙曲線方程C2:x因此兩曲線焦點不同，即A錯誤；焦距為8，可得B正確；雙曲線也關(guān)于原點成中心對稱，即C正確；當k=0時，雙曲線的左、右頂點坐標為3,0,故選：BCD【題型2利用雙曲線的幾何性質(zhì)求標準方程】【例2】（20232024?高二上?廣東佛山?期末）已知雙曲線C的虛軸長為8，兩個頂點分別為橢圓E:A．x29?C．x225?【答案】A【分析】設(shè)雙曲線C的標準方程為x2a2?y2b【詳解】由題，設(shè)雙曲線C的標準方程為x2a2?y又因為雙曲線C的兩個頂點分別為橢圓E:x225因此，雙曲線C的標準方程為x2故選：A.【變式21】（20232024?高二上?安徽?月考）已知等軸雙曲線C的對稱軸為坐標軸，且經(jīng)過點AA．x236?y236=1 B．【答案】C【分析】設(shè)出等軸雙曲線的標準方程，將A4【詳解】設(shè)等軸雙曲線C的方程為x2將點A42,2代入得32所以雙曲線C的標準方程為x2故選:C.【變式22】（20232024?高二上?黑龍江鶴崗市?月考）（多選）已知雙曲線C：x2a2?y2b2A．離心率為54 B．雙曲線過點C．漸近線方程為3x±4y=0 D．實軸長為4【答案】ABC【分析】根據(jù)雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)【詳解】因為雙曲線C：x2a2?y所以焦點在x軸上，且c=5；A選項，若離心率為54，則a=4，所以b=3，此時雙曲線的方程為：xB選項，若雙曲線過點P5,94，則2a=PF1?PFC選項，若雙曲線的漸近線方程為3x±4y=0，則ba=34，又c2D選項，若2a=4，則a=2，所以b2故選：ABC.【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.【變式23】（20232024?高二上?山東泰安?月考）已知雙曲線C漸近線方程為，兩頂點間的距離為6，則該雙曲線【答案】或【分析】分焦點位置討論，設(shè)出雙曲線方程，然后根據(jù)條件列式求解即可.【詳解】當雙曲線的焦點在軸上時，設(shè)雙曲線C的方程為，則，解得，雙曲線C的方程為；當雙曲線的焦點在軸上時，設(shè)雙曲線C的方程為，則，解得，雙曲線C的方程為；綜上：該雙曲線C的方程是或.故答案為：或【變式24】（20232024?高二上?浙江嘉興?期中）由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線??下支的一部分，且此雙曲線的下焦點到漸近線的距離為2，離心率為2，則該雙曲線的方程為（A.? B.?C? D.?【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可.【詳解】設(shè)雙曲線的一個焦點為，一條漸近線方程為，則焦點到漸近線的距離，所以，即雙曲線方程為：.故選：B【變式25】（20232024?高二上?湖北孝感?月考）已知雙曲線M(1)若M經(jīng)過拋物線y=?x2+8x?14(2)若雙曲線M的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為M上的一點，且PF【答案】(1)x(2)x225【分析】（1）首先利用共漸近線方程，設(shè)出曲線M，再代入頂點坐標，即可求解；（2）根據(jù)雙曲線的定義求2a，再分焦點的位置，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）依題意可設(shè)M的方程為x2拋物線y=?x2+8x?14=?將4,2代入M的方程，得λ=43，則M的方程為（2）由題意易知PF1?當焦點在x軸上時，λ>0，可設(shè)雙曲線M的方程為x26λ?y2則雙曲線M的方程為x2當焦點在y軸上時，λ<0，可設(shè)雙曲線M的方程為y2?3λ?x2則雙曲線M的方程為y2綜上所述，雙曲線M的方程為x225?【題型3雙曲線的漸近線方程】【例3】（20232024?高二下?浙江?期中）雙曲線A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由雙曲線，可得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：C．【變式31】（20232024?高二上?湖南?期中）已知雙曲線的實軸長為6，焦點為，則A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意可得的焦點為，易知實半軸長為3，則虛半軸長為，雙曲線的方程為，所以的漸近線方程為.故選A.【變式32】（20232024?高二上?上海?期中）雙曲線x2?y2=1在左支上一點P(a,b)【答案】?12【分析】由點到直線距離公式及a<b得到b?a=2，結(jié)合a2?b【詳解】由于雙曲線x2?y2=1因為a?b1+1=b?a又a2?b故答案為：?【變式33】（20232024?高二下?吉林?期中）若圓M：x?22+y2A．1 B．2 C．2 D．2【答案】A【分析】根據(jù)漸近線的公式寫出直線方程，根據(jù)直線與圓相切則圓心到直線的距離等于半徑列出方程求解.【詳解】雙曲線C的漸近線方程為y=±x，不妨取y=x，點M2,0到直線y=x的距離為2因為圓M與雙曲線C的漸近線相切，所以m=1．故選：A【變式34】（20232024?高二上?山東菏澤?期中）（多選）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：A.C的離心率為2 B.C的漸近線方程為C.C的實軸長為2 D.C的右焦點到漸近線的距離為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程可得，即可根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)即可判斷ABC，根據(jù)點到直線的距離公式即可求解D.【詳解】由雙曲線C：可得，所以，故離心率為長軸長為，故A正確，C錯誤，漸近線方程為，故B正確，右焦點為，到漸近線的距離為，故D正確，故選：ABD【題型4求雙曲線的離心率的值】【例4】（20232024?高三上?山東日照?期末）已知雙曲線C:x2a【答案】5【分析】由條件可得ba【詳解】設(shè)C的半焦距為c，由題意知ba所以e=c故答案為：5.【變式41】（20232024?高二上?山東菏澤?期中）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),F,AA．3 B．62 C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到a+c=3和4a2?9b【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為2cc>0由題設(shè)知，AF=a+c，則S所以a+c=3，且c>a，易知0<a<3又因為點P2,3在C上，所以4a2

因為a2所以4c則a4化簡得a3解得a=1或a=1±7所以a=1，c=2，故C的離心率為ca故選：C【變式42】（20222023?高二上?山東菏澤?期中）設(shè)雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2【答案】4【分析】首先利用雙曲線的定義表示△PF1F【詳解】由條件可知，PF2=F1F2=2c，根據(jù)雙曲線的定義可知，即2a+2c2+4c則雙曲線的離心率e=c【變式43】（20232024?高二上?山東青島?期中）過雙曲線的左焦點作圓的切線，切點為，延長交雙曲線右支于點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)右焦點為，通過雙曲線的特點知原點為兩焦點的中點，利用中位線的性質(zhì)，求出的長度及判斷出垂直于，通過勾股定理得到的關(guān)系，進而求出雙曲線的離心率.【詳解】如圖，設(shè)右焦點為，則為的中點，因為，所以為的中點，所以為的中位線，所以，，因為為圓的切點，所以，所以，因為點在雙曲線右支上，所以，所以，在中，，所以，即，所以離心率，故選：C【變式44】（20232024?高二上?山東菏澤?期中）（多選）已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，橢圓的上頂點為，且，雙曲線和橢圓有相同的焦點，且雙曲線的離心率為，為曲線與的一個公共點．若，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】結(jié)合橢圓和雙曲線的定義即可求解.【詳解】設(shè)焦距為，橢圓的長軸長為，短軸長為，雙曲線的長軸長為，短軸長為，則在中，，根據(jù)對稱性，設(shè)橢圓與雙曲線的交點在第二象限，由雙曲線的定義知：，由橢圓的定義知：，則，又，，則，則，又，解得，則，A錯誤；，B正確；，C正確；，D錯誤.故選：BC【題型5求雙曲線的離心率的取值范圍】【例5】（20232024?高二上?山東濟南?期中）已知雙曲線的左?右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義求得，利用可得離心率范圍．【詳解】因為，又，所以，，又，即，，所以離心率．故選：C．【變式51】（20232024?高二上?山東泰安?期末）（多選）已知曲線（為實數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（A.若，則該曲線為雙曲線B.若該曲線是橢圓，則C.若該曲線離心率為，則D.若該曲線為焦點在軸上的雙曲線，則離心率【答案】AD【解析】【分析】利用橢圓以及雙曲線的標準方程的特征可逐一判斷各選項.【詳解】A選項，若，則，則曲線為焦點在軸上的雙曲線，故A正確；B選項，曲線是橢圓等價于，解得且，故B錯誤；C選項，若該曲線離心率為，則曲線為橢圓，由B可知且，當時，焦點在軸，，，解得,當時，焦點在軸，，，解得,故C錯誤；D選項，若曲線是焦點在軸上的雙曲線，則，解得，此時，，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，故D正確.故選：AD.【變式52】（20232024?高三下?山東菏澤?校級月考）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2a2?y【答案】[【分析】由題意畫出圖形，求得tan∠F1AF【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為2c，如圖，F(xiàn)

由題意，A(c,bac)則tan∠由π6≤∠F即2≤b∴e=c故答案為：[【變式53】（20232024?高三下?山東菏澤?模擬）已知e1,e2分別為橢圓x2A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，求出e2e1=a【詳解】由橢圓x2a2雙曲線x2a2?y令k=ba，因為雙曲線的漸近線的斜率不超過25則0<k2≤45則e2e1故選：B.【題型6根據(jù)雙曲線的離心率求值或取值范圍】【例6】（20232024?高二上?山東棗莊?期末）若離心率為的雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線離心率求得，再根據(jù)雙曲線的一條漸近線與直線垂直列出，求解.【詳解】，所以，得漸近線為，因為其中一條漸近線與直線垂直，則，得．故選：C【變式61】（20232024?高二上?安徽?期中）已知雙曲線的離心率是分別為雙曲線的左?右焦點，過點且垂直于軸的垂線在軸上方交雙曲線于點，則的值為__________.【答案】##【解析】【分析】首先求出點坐標，再由銳角三角函數(shù)及離心率計算可得.【詳解】由題意得，，點的橫坐標為，將代入雙曲線的方程，得，所以，又，所以，所以.故答案為：【變式62】（20232024?高二上?重慶?期中）（多選）已知雙曲線的離心率為，該雙曲線的漸近線與圓交于、兩點，則的可能取值為（）A.4 B. C. D.8【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的離心率求出漸近線方程，再借助點到直線距離公式求出弦心距，進而求出弦長作答.【詳解】由雙曲線的離心率為，得，解得，于是該雙曲線的漸近線方程為，而圓的圓心為，半徑，點到直線的距離，即圓與直線相交，弦長為，點到直線的距離，即圓與直線相交，弦長為，所以的可能取值為.故選：BC【變式63】（20232024?高二上?廣東東莞?月考）已知雙曲線x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的離心率為2，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，點M?a,0，N【答案】4【分析】先利用雙曲線的離心率得到ba=3，寫出直線MN【詳解】由于雙曲線的離心率為ca=1+所以直線MN的方程為y=3設(shè)Pt,3t+3a則PF1=(?c?t,?所以PF1?P=4由于t∈?a,0，故當t=?34當t=0時取得最大值，此時yP=3a，則故答案為：4【題型7雙曲線的實際應(yīng)用問題】【例7】（20232024?高二下?浙江?月考）江南水鄉(xiāng)多石拱橋，現(xiàn)有等軸雙曲線形的石拱橋（如圖），拱頂離水面10米，水面寬米，若水面上升5A.米 B.米 C.米 D.30米【答案】D【解析】【分析】設(shè)雙曲線方程為，如圖建立直角坐標系，水面上升5米后，設(shè)水面寬為CD，設(shè)D.由題可得，代入方程可得，后可得x，即可得答案.【詳解】設(shè)雙曲線方程為，如圖建立直角坐標系.水面上升5米后，設(shè)水面寬為CD，設(shè)D，其中.又由題可得，代入雙曲線方程可得：，則D.將D點坐標代入雙曲線方程可得：，則D.又由對稱性可得，則水面上升5米，則水面寬為30米.故選：D【變式71】（20232024?高二上?山東煙臺?月考

【答案】3【分析】設(shè)雙曲線的標準方程為x2a2?y2b【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線的標準方程為x2因為最小直徑為24cm，可得a=12，即x又因為尊高63cm，上口直徑為40cm，底部直徑為設(shè)點A(20,t),B(13,t?63),(t>0)，所以202144?t2b2可得雙曲線的漸近線為y=±b所以漸近線與實軸所成銳角的正切值為3.故答案為：3.

【變式72】（20232024?高二上?浙江溫州?期中）雙曲線的光學性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線的右焦點F2發(fā)出的光纖經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點F1．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖②，其方程為x2a2?y

【答案】29【分析】根據(jù)雙曲線的光學性質(zhì)結(jié)合雙曲線的定義利用勾股定理計算即可.【詳解】

根據(jù)雙曲線的光學性質(zhì)可知F1,A,D與故F1不妨設(shè)AF1=5x由雙曲線的定義可知F1兩式相加可得18x?F所以2a=3x?A由勾股定理可知AF故e=29故答案為：293【變式73】（20222023?高二上?山東德州?期中）（多選）雙曲線具有如下光學性質(zhì)：如圖，是雙曲線的左、右焦點，從右焦點發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點．若雙曲線C的方程為，則（）A.雙曲線的焦點到漸近線的距離為B.若，則C.當n過點時，光線