重慶市烏江新高考協(xié)作體高三下學期模擬監(jiān)測（一）數學

重慶市烏江新高考協(xié)作體2024屆高考模擬監(jiān)測（一）數學試題（分數：150分，時間：120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．若為虛數單位，復數，則（

）A． B． C． D．3．已知等比數列的前項和為且成等差數列，則為（

）A．245 B．244 C．242 D．2414．洪崖洞是具有重慶特色的吊腳樓式建筑，它的屋頂可近似看作一個多面體，右圖是該屋頂的結構示意圖，其中四邊形和四邊形是兩個全等的等腰梯形，和△FBC是兩個全等的正三角形．已知該多面體的棱與平面成的角，，則該屋頂的側面積為（

）A．80 B． C．160 D．5．數學美的表現(xiàn)形式多種多樣，我們稱離心率（其中）的橢圓為黃金橢圓，現(xiàn)有一個黃金橢圓方程為，若以原點為圓心，短軸長為直徑作⊙O,P為黃金橢圓上除頂點外任意一點，過作⊙O的兩條切線，切點分別為，直線與軸分別交于兩點，則（

）A． B． C． D．6．在不等式組所確定的三角形區(qū)域內隨機取一點，則該點到此三角形的三個頂點的距離均大于1的概率是（

）A． B． C． D．7．已知與都是非零有理數，則在，，中，一定是有理數的有（

）個.A．0 B．1 C．2 D．38．定義，對于任意實數，則的值是（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分。9．已知，，且，則（

）A． B． C． D．10．已知，，則（

）A．函數在上的最大值為3 B．，C．函數在上沒有零點 D．函數的極值點有2個11．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，為坐標原點，直線交雙曲線的右支于，兩點（不同于右頂點），且與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，則（

）A．為定值B．C．點到兩條漸近線的距離之和的最小值為D．不存在直線使三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知正三角形的邊長為2，點滿足，且，，，則的取值范圍是.13．從教學樓一樓到二樓共有11級臺階（從下往上依次為第1級，第2級，，第11級），學生甲一步能上1級或2級臺階，若甲從一樓上到二樓使用每一種方法都是等概率的，則甲踩過第5級臺階的概率是．14．若函數存在唯一極值點，則實數的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．如圖，在圓錐中，為圓錐頂點，為圓錐底面的直徑，為底面圓的圓心，為底面圓周上一點，四邊形為矩形．(1)求證：平面平面；(2)若，，，求平面和平面夾角的余弦值.16．已知冪函數為奇函數，且在區(qū)間上是嚴格減函數.(1)求函數的表達式；(2)對任意實數，不等式恒成立，求實數t的取值范圍.17．三峽之巔景區(qū)的索道共有三種購票類型，分別為單程上山票、單程下山票、雙程上下山票．為提高服務水平，現(xiàn)對當日購票的120人征集意見，當日購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數分別為36、60和24．(1)若按購票類型采用分層隨機抽樣的方法從這120人中隨機抽取10人，再從這10人中隨機抽取4人，求隨機抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率．(2)記單程下山票和雙程票為回程票，若在征集意見時要求把購買單程上山票的2人和購買回程票的m（且）人組成一組，負責人從某組中任選2人進行詢問，若選出的2人的購票類型相同，則該組標為A，否則該組標為B，記詢問的某組被標為B的概率為p．（i）試用含m的代數式表示p；（ii）若一共詢問了5組，用表示恰有3組被標為B的概率，試求的最大值及此時m的值．18．已知橢圓的左、右頂點分別為，直線的斜率為，直線與橢圓交于另一點，且點到軸的距離為．(1)求橢圓的方程．(2)若點是上與點不重合的任意一點，直線與軸分別交于點．①設直線的斜率分別為，求的取值范圍．②判斷是否為定值．若為定值，求出該定值；若不為定值，說明理由．19．重慶江北國際機場T3B航站樓預計于今年完工，該建筑的顯著特點之一是彎曲曲線的運用，衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率．考察圖所示的光滑曲線上的曲線段AB，其弧長為，當動點從A沿曲線段AB運動到B點時，A點的切線也隨著轉動到B點的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）．顯然，當弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當夾角固定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段AB的平均曲率；顯然當B越接近A，即越小，K就越能精確刻畫曲線C在點A處的彎曲程度，因此定義曲線在點處的曲率計算公式為，其中．(1)求單位圓上圓心角為的圓弧的平均曲率；(2)已知函數，求曲線的曲率的最大值；(3)已知函數，若曲率為0時x的最小值分別為，求證：．重慶烏江新高考協(xié)作體2024屆高考模擬監(jiān)測（一）數學答案（分數：150分，時間：120分鐘）1．C 2．D 3．B4．D 5．A 6．C7．D【分析】令，分別用表示，，，進而求得在，，中一定是有理數的個數.8．A【分析】設，則，構造函數，利用導數求出函數的最小值進而得，化簡即可求解.9．AB【分析】根據基本不等式可判定A，根據指數函數的單調性可判定B，根據基本不等式、對數運算及對數函數單調性可判斷C，根據二次函數的性質可判斷D.10．AC【分析】求函數的導數，得，.因為在上遞增，根據函數零點的存在性判斷零點在之間，設為，再代入計算可以求出函數在上的最值，判斷AB的真假；求的導數，得，，利用其單調性得至多一解，可判斷D；再根據函數零點的存在性，可判斷C的真假.11．BD【分析】對于A，根據，取垂直于x軸的直線，結合條件可判斷A；對于B，設直線的方程為，利用韋達定理可得，聯(lián)立直線與漸近線方程，可分別解得，，結合弦長公式可判斷B；對于C，設，可得P到兩漸近線距離可判斷C；由題可得恒成立可判斷D.12．13．14．15．（1）∵為圓錐底面的直徑，為底面圓周上一點，∴．∵四邊形為矩形，平面，∴，平面，又平面，∴，又∵，平面，平面，∴平面．又平面，∴平面平面．（2）以為坐標原點，，所在直線分別為，軸，過點且與平行的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，．設平面的法向量為，則，即，令，得，所以．設平面的法向量為，則，即，令，得，，所以，所以，所以平面和平面夾角的余弦值為．16．（1）依題意為奇函數，在區(qū)間上是嚴格減函數，可得，解得，由于,故，1，2，當和時，，此時為奇函數，符合要求，當時，，此時為偶函數，不符合要求，；（2）不等式，即，又在上是減函數，在上為增函數，則在上為減函數，所以，則，所以實數的取值范圍為．17．（1）因為購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數之比為，所以這10人中，購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數分別為：，，，故隨機抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率．（2）（i）從人中任選2人，有種選法，其中購票類型相同的有種選法，則詢問的某組被標為B的概率．（ii）由題意，5組中恰有3組被標為B的概率，所以，，所以當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以當時，取得最大值，且最大值為．由，且，得．當時，5組中恰有3組被標為B的概率最大，且的最大值為．18．（1）由題意知，．由直線的斜率為，得，所以．直線的方程為．設，則．由點到軸的距離為，得．由點在直線上，得，所以．由點在橢圓上，得，解得．所以．所以橢圓的方程為．（2）

①設（或）．由（1）知，，則，所以．由或，得或，所以或．故的取值范圍是．②由①知，即．設．因為三點共線，所以，得．因為三點共線，所以，得．所以．故為定值16．19．（1）易知單位圓上圓心角為的圓弧，根據定義可得平均曲率（2）由可得，又可得；所以，易知，當且僅當時，即時等號成立；所以，即曲