2025屆四川省瀘州市瀘縣五中數(shù)學高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆四川省瀘州市瀘縣五中數(shù)學高二上期末統(tǒng)考模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．圓和圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)含 B.內(nèi)切C.相交 D.外離2．已知命題p：函數(shù)在（0，1）內(nèi)恰有一個零點；命題q：函數(shù)在上是減函數(shù)，若p且為真命題，則實數(shù)的取值范圍是A. B.2C.1<≤2 D.≤l或>23．是雙曲線：上一點，已知，則的值（）A. B.C.或 D.4．已知公差不為0的等差數(shù)列中，（m，），則mn的最大值為（）A.6 B.12C.36 D.485．已知在四棱錐中，平面，底面是邊長為4的正方形，，E為棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)，若在處取得極值，且恒成立，則實數(shù)的最大值為（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)，在上隨機任取一個數(shù)，則的概率為（）A. B.C. D.8．知點分別為圓上的動.點，為軸上一點，則的最小值（）A. B.C. D.9．已知矩形，，，沿對角線將折起，若二面角的余弦值為，則與之間距離為（）A. B.C. D.10．設(shè)是雙曲線的兩個焦點,是雙曲線上的一點,且,則的面積等于（）A. B.C.24 D.4811．已知拋物線C：的焦點為F，過點P（-1，0）且斜率為的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，則（）A. B.14C. D.1512．已知分別是橢圓的左，右焦點，點M是橢圓C上的一點，且的面積為1，則橢圓C的短軸長為（）A.1 B.2C. D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知球面上的三點A，B，C滿足，，，球心到平面ABC的距離為，則球的表面積為______14．以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，若，則動點P的軌跡為雙曲線；②拋物線焦點坐標是；③過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若，則動點P的軌跡為橢圓；④曲線與曲線（且）有相同的焦點其中真命題的序號為______（寫出所有真命題的序號．）15．如圖，在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為__________.16．設(shè)，分別是橢圓C：左、右焦點，點M為橢圓C上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標為___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答.設(shè)數(shù)列的前項和為，且__________.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.18．（12分）在水平桌面上放一只內(nèi)壁光滑的玻璃水杯，已知水杯內(nèi)壁為拋物面型（拋物面指拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的面），拋物面的軸截面是如圖所示的拋物線.現(xiàn)有一些長短不一、質(zhì)地均勻的細直金屬棒，其長度均不小于拋物線通徑的長度（通徑是過拋物線焦點，且與拋物線的對稱軸垂直的直線被拋物線截得的弦），若將這些細直金屬棒，隨意丟入該水杯中，實驗發(fā)現(xiàn)：當細棒重心最低時，達到靜止狀態(tài)，此時細棒交匯于一點.（1）請結(jié)合你學過的數(shù)學知識，猜想細棒交匯點的位置；（2）以玻璃水杯內(nèi)壁軸截面的拋物線頂點為原點，建立如圖所示直角坐標系.設(shè)玻璃水杯內(nèi)壁軸截面的拋物線方程為，將細直金屬棒視為拋物線的弦，且弦長度為，以細直金屬棒的中點為其重心，請從數(shù)學角度解釋上述實驗現(xiàn)象.19．（12分）設(shè)，為雙曲線：（，）的左、右頂點，直線過右焦點且與雙曲線的右支交于，兩點，當直線垂直于軸時，△為等腰直角三角形（1）求雙曲線的離心率；（2）若雙曲線左支上任意一點到右焦點點距離的最小值為3，①求雙曲線方程；②已知直線，分別交直線于，兩點，當直線傾斜角變化時，以為直徑的圓是否過軸上的定點，若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由20．（12分）設(shè)命題p：實數(shù)x滿足x≤2，或x＞6，命題q：實數(shù)x滿足x2﹣3ax+2a2＜0（其中a＞0）（1）若a＝2，且為真命題，求實數(shù)x的取值范圍；（2）若q是的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.21．（12分）已知命題p：實數(shù)x滿足；命題q：實數(shù)x滿足．若p是q的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍22．（10分）已知二次函數(shù).（1）若時，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（2）解關(guān)于x的不等式（其中）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)兩圓圓心的距離與兩圓半徑和差的大小關(guān)系即可判斷.【詳解】解：因為圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以兩圓圓心的距離為，因為，即，所以圓和圓的位置關(guān)系是相交，故選：C.2、C【解析】命題p為真時：；命題q為真時：，因為p且為真命題，所以命題p為真，命題q為假，即，選C考點：命題真假3、B【解析】根據(jù)雙曲線定義，結(jié)合雙曲線上的點到焦點的距離的取值范圍，即可求解.【詳解】雙曲線方程為：，是雙曲線：上一點，，，或，又，.故選：B4、C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，再應(yīng)用基本不等式求mn的最大值，注意等號成立條件.【詳解】由題設(shè)及等差數(shù)列的性質(zhì)知：，又m，，所以，即，當且僅當時等號成立.所以mn的最大值為.故選：C5、B【解析】建立空間直角坐標系，以向量法去求直線與平面所成角的正弦值即可.【詳解】平面，底面是邊長為4的正方形，則有，而，故平面，以A為原點，分別以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系如圖：則，，，設(shè)直線與平面所成角為，又由題可知為平面的一個法向量，則故選：B6、D【解析】根據(jù)已知在處取得極值，可得，將在恒成立，轉(zhuǎn)化為，只需求，求出最小值即可得答案【詳解】解：，，由在處取得極值，得，解得，所以，，其中，.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值，，恒成立，轉(zhuǎn)化為，令，，則，，令得，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即得，故選：D7、A【解析】先解不等式，然后由區(qū)間長度比可得.【詳解】解不等式，得，所以，即的概率為.故選：A8、B【解析】求出圓關(guān)于軸的對稱圓的圓心坐標，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即可求出的最小值.【詳解】圓關(guān)于軸的對稱圓的圓心坐標，半徑為1，圓的圓心坐標為，半徑為1，∴若與關(guān)于x軸對稱，則，即，當三點不共線時，當三點共線時，所以同理(當且僅當時取得等號)所以當三點共線時，當三點不共線時，所以∴的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，∴.故選：B.9、C【解析】過點在平面內(nèi)作，過點在平面內(nèi)作，以、為鄰邊作平行四邊形，連接，分析可知二面角的平面角為，利用余弦定理求出，證明出，再利用勾股定理可求得的長.【詳解】過點在平面內(nèi)作，過點在平面內(nèi)作，以、為鄰邊作平行四邊形，連接，因為，，，則，因為，由等面積法可得，同理可得，由勾股定理可得，同理可得，，因為四邊形為平行四邊形，且，故四邊形為矩形，所以，，因為，所以，二面角的平面角為，在中，，，由余弦定理可得，，，，則，，因為，平面，平面，則，，由勾股定理可得.故選：C.10、C【解析】雙曲線的實軸長為2,焦距為.根據(jù)題意和雙曲線的定義知,所以,,所以,所以.所以.故選：C【點睛】本題主要考查了焦點三角形以及橢圓的定義運用,屬于基礎(chǔ)題型.11、C【解析】設(shè)A、B兩點的坐標分別為，，根據(jù)拋物線的定義求出，然后將直線的方程代入拋物線方程并化簡，進而結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得答案.【詳解】設(shè)A、B兩點坐標分別為，，直線的方程為，拋物線的準線方程為：，由拋物線定義可知：.聯(lián)立方程，消去y后整理為，可得，，.故選：C.12、B【解析】首先分別設(shè)，，再根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)列出等式，即可求解橢圓的短軸長.【詳解】設(shè)，，所以，即，即，得，短軸長為.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意可知為直角三角形，求出外接圓的半徑，可求出球的半徑，然后求球的表面積.【詳解】由題意，，，，則，可知，所以外接圓的半徑為，因為球心到平面的距離為，所以球的半徑為：，所以球的表面積為：.故答案為：.14、②④##④②【解析】利用雙曲線定義判斷命題①；寫出拋物線焦點判斷命題②；分析點P滿足的關(guān)系判斷命題③；按取值討論計算半焦距判斷命題④作答.【詳解】對于①，因雙曲線定義中要求，則命題①不正確；對于②，拋物線化為：，其焦點坐標是，命題②正確；對于③，令定圓C的圓心為C，因，則點P是弦AB的中點，當P與C不重合時，有，點P在以線段AC為直徑的圓上，當P與C重合時，點P也在以線段AC為直徑的圓上，因此，動點P的軌跡是以線段AC為直徑的圓(除A點外)，則命題③不正確；對于④，曲線的焦點為，當時，橢圓中半焦距c滿足：，其焦點為，當時，雙曲線中半焦距滿足：，其焦點為，因此曲線與曲線（且）有相同的焦點，命題④正確，所以真命題的序號為②④.故答案為：②④【點睛】易錯點睛：橢圓長短半軸長分別為a，b，半焦距為c滿足關(guān)系式：；雙曲線的實半軸長、虛半軸長、半焦距分別為、、滿足關(guān)系式：，在同一問題中出現(xiàn)認真區(qū)分，不要混淆.15、##【解析】過作，垂足為，則平面，則即為所求角，從而可得結(jié)果.【詳解】依題意，畫出圖形，如圖，過作，垂足為，可知點H為中點，由平面，可得，又所以平面，則即為所求角，因為，，所以，故答案為：.16、【解析】先計算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的橫坐標為，代入橢圓C：求出.【詳解】橢圓C：,所以.因為M在橢圓上,.因為M在第一象限,故.為等腰三角形,則,所以,由余弦定理可得.過M作MA⊥x軸于A,則所以,即M的橫坐標為.因為M為橢圓C：上一點且在第一象限，所以，解得：所以M的坐標為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案不唯一，具體見解析（2）答案不唯一，具體見解析【解析】（1）若選①：根據(jù)，利用數(shù)列通項與前n項和的關(guān)系求解；若選②：構(gòu)造利用等比數(shù)列的定義求解；（2）根據(jù)（1）得到，再利用錯位相減法求解.【小問1詳解】解:若選①：，當時，，當時，滿足上式，故若選②：易得于是數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，【小問2詳解】若選①：由（1）得，從而，，作差得，于是若選②由（1）得，從而，，作差得，于是18、（1）拋物線的焦點或拋物面的焦點（2）答案見解析【解析】（1）結(jié)合通徑的特點可猜想得到結(jié)果；（2）將問題轉(zhuǎn)化為當時，只要過點，則中點到的距離最小，根據(jù)，結(jié)合拋物線定義可得結(jié)論.【小問1詳解】根據(jù)通徑的特征，知通徑會經(jīng)過拋物線的焦點達到靜止狀態(tài)，則可猜想細棒交匯點位置為：拋物線焦點或拋物面的焦點.【小問2詳解】解釋上述現(xiàn)象，即證：當（為拋物線通徑）時，只要過點，則中點到的距離最??；如圖所示，記點在拋物線準線上的射影分別是，，由拋物線定義知：，當過拋物線焦點時，點到準線距離取得最小值，最小值為的一半，此時點到軸距離最小.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查拋物線的實際應(yīng)用問題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為拋物線焦點弦的中點到軸距離最小問題的證明，通過拋物線的定義可證得結(jié)論.19、（1）；（2）①；②定點有兩個，【解析】（1）由雙曲線方程有、、，根據(jù)已知條件有，即可求離心率.（2）①由題設(shè)有，結(jié)合（1）求雙曲線參數(shù)，寫出雙曲線方程即可；②由題設(shè)可設(shè)為，，，聯(lián)立雙曲線方程結(jié)合韋達定理求，，，，再由、的方程求，坐標，若在為直徑的圓上點，由結(jié)合向量垂直的坐標表示列方程，進而求出定點坐標.【小問1詳解】由題設(shè)，若，且，又△為等腰直角三角形，∴，即，則又，可得.【小問2詳解】由題設(shè)，，由（1）有，則，即，①由上可知：雙曲線方程為.②由①知：，且直線的斜率不為0，設(shè)為，，，聯(lián)立直線與雙曲線得：，∴，，則，∴，∴直線為；直線為；∴，，若在為直徑的圓上點，∴，且，∴，令，則，∴，即，∴或，即過定點.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問的②，設(shè)直線為，聯(lián)立直線與雙曲線，應(yīng)用韋達定理求，，，，進而根據(jù)、的方程求，坐標，再由圓的性質(zhì)及向量垂直的坐標表示求定點坐標.20、（1）{x|2＜x＜4}；（2）.【解析】（1）分別求出命題和為真時對應(yīng)的取值范圍，即可求出；（2）由題可知，列出不等式組即可求解.【詳解】解：（1）當a＝2時，命題q：2＜x＜4，∵命題p：x≤2或x＞6，，又為真命題，∴x滿足，∴2＜x＜4，∴實數(shù)x的取值范圍{x|2＜x＜4}；（2）由題意得：命題q：a＜x＜2a；∵q是的充分不必要條件，，，解得，∴實數(shù)a的取值范圍.【點睛】結(jié)論點睛：本題考查根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（2）若是的充分不必要條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（3）若是的充分必要條件，則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合相等；（4）若是的既不充分又不必要條件，則對應(yīng)的集合與對應(yīng)集合互不包含21、【解析】由題設(shè)得是為真時的子集，即，法一：討論、，根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)范圍；法二：利用在恒成立，結(jié)合參變分離及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍.【詳解】由，得，則命題對應(yīng)的集合為，設(shè)命題對應(yīng)的集