高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練50直線的傾斜角與斜率直線的方程

五十直線的傾斜角與斜率、直線的方程(時(shí)間:45分鐘分值:95分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)(2024·昆明模擬)直線x+y2023=0的傾斜角為()A.π4 B.π4 C.π2【解析】選D.由于直線x+y2023=0的斜率為1,傾斜角范圍是[0,π),所以傾斜角為3π42.(5分)過點(diǎn)A(4,1)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為()A.x+y=5B.xy=5C.x+y=5或x4y=0D.xy=5或x4y=0【解析】選C.當(dāng)直線過點(diǎn)(0,0)時(shí),設(shè)直線為y=kx,則1=4k,得k=14,所以直線方程為y=14x,即x4y=0;當(dāng)直線不過點(diǎn)(0,0)時(shí),可設(shè)直線方程為xa+ya=1(a≠0),把(4,1)代入,解得a=5,所以直線方程為x綜上可知,直線方程為x+y=5或x4y=0.3.(5分)(2024·南京模擬)已知點(diǎn)A(1,3),B(2,1).若直線l:y=k(x2)+1與線段AB相交,則k的取值范圍是()A.[12B.(∞,2]C.(∞,2]∪[12D.[2,12【解析】選D.由已知直線l恒過定點(diǎn)P(2,1),如圖所示,若l與線段AB相交,則kPA≤k≤kPB,因?yàn)閗PA=3-11-2=2,kPB所以2≤k≤12【加練備選】設(shè)點(diǎn)A(2,3),B(3,2),若直線l過點(diǎn)P(1,1)且與線段AB相交,則直線l的斜率k的取值范圍是()A.(∞,4]∪[34,+∞)B.(∞,14]∪[3C.[4,34D.[34【解析】選A.如圖所示:依題意,kPA=-3-12-1=4,kPB=-2-1-3-1=34,要想直線l過點(diǎn)P4.(5分)(2024·涼山模擬)已知直線ax+by+c=0經(jīng)過第一、二、四三個(gè)象限,則()A.若c>0,則a>0,b>0B.若c>0,則a<0,b>0C.若c<0,則a>0,b<0D.若c<0,則a>0,b>0【解析】選D.ax+by+c=0經(jīng)過第一、二、四三個(gè)象限,則b≠0,故變形為y=abxc故ab<0,cb>0,則a,b同號(hào),b,c若c>0,則a<0,b<0,若c<0,則a>0,b>0,D選項(xiàng)正確,其他三個(gè)選項(xiàng)均錯(cuò)誤.5.(5分)(多選題)關(guān)于直線方程y=kx+2,下列表述正確的有()A.是過點(diǎn)0,B.是過點(diǎn)0,2且斜率為C.當(dāng)直線到原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)時(shí),k=0D.當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上截距相等時(shí),k=1【解析】選BC.對(duì)于A,直線方程y=kx+2,不能表示斜率不存在時(shí)的直線,所以A錯(cuò)誤;對(duì)于B,根據(jù)直線方程y=kx+2,可得直線方程表示過定點(diǎn)0,2,且斜率為k的直線,所以B正確;對(duì)于C,易知原點(diǎn)與直線所過定點(diǎn)0,2的連線為直線與原點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離,此時(shí)k=0,所以C正確;對(duì)于D,易知直線在y軸上的截距為2,在x軸上的截距為2k,當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等時(shí),則有2k=2,解得k6.(5分)(多選題)(2024·邯鄲模擬)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(3,2),B(2,3),C(4,5),則下列說法正確的是()A.直線AC的斜率為1B.直線AB的傾斜角為銳角C.BC邊的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)D.BC邊上的中線所在的直線方程為x+y5=0【解析】選CD.對(duì)于A,直線AC的斜率為5-24-3對(duì)于B,直線AB的斜率為2-33+2=15<0,所以直線AB的傾斜角為鈍角,對(duì)于C,設(shè)BC邊的中點(diǎn)為D(x0,y0),則x0=-2+42=1,y0=3+52=4,即點(diǎn)D(1,4),故對(duì)于D,BC邊上的中線AD所在的直線方程為y-24-2=x-31-37.(5分)已知直線ax+y2+a=0在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,則實(shí)數(shù)a=1或2.

【解析】依題意,a≠0,因此直線ax+y2+a=0在x,y軸上的截距分別為2a1,2a于是2a1=2a,即a23a+2=0,解得a=1或a=2,所以實(shí)數(shù)a=1或a=28.(5分)(2024·大連模擬)直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距小1,且過定點(diǎn)A(3,8),則直線l的方程為4x+3y12=0或2x+y2=0.

【解析】設(shè)直線方程的截距式為xa+ya則-3a+8a+1=1,解得a則直線方程是x3+y3+1=1或x1即4x+3y12=0或2x+y2=0.9.(10分)(2023·聊城模擬)已知A(1,4),B(3,102a),C(3a,8)(a>0)三點(diǎn)在直線l上.(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)求直線l的方程;(3)已知P(6,4),在直線上求一點(diǎn)Q,使過P,Q的直線與直線l及x軸在第一象限內(nèi)圍成的三角形面積最小.【解析】(1)因?yàn)锳(1,4),B(3,102a),C(3a,8)(a>0)三點(diǎn)在直線l上,所以-10-2即a2+5a6=0,解得a=1或a=6(舍去).(2)由(1)知k=8-又因?yàn)橹本€l過點(diǎn)A(1,4),所以直線l的方程為y4=4(x1),即4xy=0.(3)設(shè)Q(m,4m)(m>1),又P(6,4),則直線PQ:y4=4m-4令y=0,則x=5m即直線PQ與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(5m所以直線PQ與l以及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的三角形的面積:S=12·5mm-1·4m=10m2m-當(dāng)且僅當(dāng)10(m1)=10m-1,即m=2時(shí)取等號(hào),故Q為(2,8)時(shí)【能力提升練】10.(5分)(2024·東營(yíng)模擬)已知直線l:mx+2y+6=0,且向量(1m,1)是直線l的一個(gè)方向向量,則實(shí)數(shù)m的值為()A.1 B.1 C.2 D.1或2【解析】選D.因?yàn)橹本€l:mx+2y+6=0,直線l的一個(gè)方向向量為(2,m),又因?yàn)橄蛄?1m,1)是直線l的一個(gè)方向向量,所以2m(1m)=0,解得m=1或m=2.11.(5分)若光線沿傾斜角為120°的直線射向x軸上的點(diǎn)A(2,0),經(jīng)x軸反射,則反射直線的點(diǎn)斜式方程是()A.y=33(x2) B.y=3(xC.y=3(x2) D.y=33(x【解析】選B.光線沿傾斜角為120°的直線射向x軸,經(jīng)x軸反射,則反射直線的傾斜角為60°,反射光線斜率為k=tan60°=3,且反射光線過點(diǎn)A(2,0),則反射光線所在直線的點(diǎn)斜式方程是y=3(x2).12.(5分)(多選題)直線l:xa+yb=1中,已知a>0,b>0.若l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積不小于10,則數(shù)對(duì)(a,b)可以是(A.(3,8) B.(1,9)C.(7,4) D.(5,3)【解析】選AC.因?yàn)閍>0,b>0,所以直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S=12ab,于是12ab≥10,解得ab≥20.結(jié)合選項(xiàng)可知,(3,8),(7,4)13.(5分)已知直線經(jīng)過A(a,0),B(0,b)和C(1,3)三個(gè)點(diǎn),且a,b均為正整數(shù),則此直線的一般式方程為x+y4=0(或3x+y6=0).(只寫出符合條件的一條直線方程即可)

【解析】因?yàn)橹本€經(jīng)過A(a,0),B(0,b),所以直線的截距式方程為xa+yb又因?yàn)镃(1,3)在直線上,所以1a+3整理得a=bb-3又因?yàn)閍,b均為正整數(shù),所以b=4或6.所以當(dāng)b=4時(shí),a=4;當(dāng)b=6時(shí),a=2.所以直線方程為x4+y4=1或x2即x+y4=0或3x+y6=0.14.(10分)已知在△ABC中,|AB|=|AC|,∠A=120°,A(0,2),邊BC所在的直線方程為3xy1=0,求邊AB,AC所在的直線方程.【解析】因?yàn)閨AB|=|AC|,∠BAC=120°,所以△ABC是等腰三角形,且∠ABC=∠ACB=30°,由3xy1=0可知,該直線的斜率為3,所以該直線的傾斜角為60°.當(dāng)過A(0,2)的直線不存在斜率時(shí),此時(shí)該直線方程為x=0,與直線3xy1=0的夾角為30°,符合題意;不妨設(shè)B(0,1).如圖所示:當(dāng)過A(0,2)的直線存在斜率k時(shí),因?yàn)椤螩AB=120°,所以直線AC的傾斜角為30°,k=33,直線方程為y=33所以邊AB,AC所在的直線方程分別是x=0,y=33x+215.(10分)已知直線l:kxy+1+2k=0(k∈R).(1)求證:直線l過定點(diǎn);(2)若直線l不經(jīng)過第四象限,求k的取值范圍;(3)若直線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形面積為4,求直線l的方程;(4)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,交y軸正半軸于點(diǎn)B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)△AOB的面積為S,求S的最小值及此時(shí)直線l的方程.【解析】(1)方法一:設(shè)直線過定點(diǎn)(x0,y0),則kx0y0+1+2k=0對(duì)任意k∈R恒成立,即(x0+2)ky0+1=0恒成立.所以x0+2=0,y0+1=0.解得x0=2,y0=1,故直線l過定點(diǎn)(2,1).方法二:kxy+1+2k=0可化為y1=k(x+2),顯然x=2,y=1時(shí)對(duì)任意k∈R方程都成立,故直線過定點(diǎn)(2,1).(2)直線l的方程為y=kx+2k+1,則直線l在y軸上的截距為2k+1,要使直線l不經(jīng)過第四象限,則k解得k的取值范圍是[0,+∞).(3)依題意,直線l在x軸上的截距為1+2kk,在y軸上的截距為1+2由題意得(2解得k=12或k=22-32故所求直線方程為x2y+4=0或(223)x2y+4(21)=0或(22+3)x+2y+4(2+1)=0.(4)因?yàn)?+2kk<0且1+2k>0,所以所以S=(2k+1)22k=1當(dāng)且僅當(dāng)4k=1k,即k=12時(shí),故S的最小值為4,此時(shí)直線l的方程為x2y+4=0.【素養(yǎng)創(chuàng)新練】16.(5分)(多選題)已知直線xsinα+ycosα+1=0(α∈R),則下列命題正確的是()A.直線的傾斜角是παB