2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語(yǔ)1.1命題學(xué)案含解析北師大版選修2-1

PAGE§1命題授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第1頁(yè)一、命題1．命題的定義可以推斷真假、用文字或符號(hào)表述的語(yǔ)句叫作命題，其中推斷為真的命題叫作真命題；推斷為假的命題叫作假命題．2．命題的形式一個(gè)命題由條件和結(jié)論兩部分組成．?dāng)?shù)學(xué)中，通常把命題表示為“若p，則q”的形式，其中p是條件，q是結(jié)論．二、四種命題一般地，對(duì)于兩個(gè)命題1．若一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，我們把這樣的兩個(gè)命題叫作互為逆命題．若把其中一個(gè)命題叫作原命題，那么另一個(gè)叫作原命題的逆命題．2．若一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，我們把這樣的兩個(gè)命題叫作互為否命題．若把其中一個(gè)命題叫作原命題，那么另一個(gè)叫作原命題的否命題．3．若一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，我們把這樣的兩個(gè)命題叫作互為逆否命題．若把其中一個(gè)命題叫作原命題，那么另一個(gè)叫作原命題的逆否命題．三、四種命題之間的關(guān)系[疑難提示]一個(gè)語(yǔ)句是命題，必需具備兩個(gè)特征(1)是陳述句，祈使句、疑問(wèn)句、感嘆句等一般都不是命題；(2)可以推斷真假，這個(gè)語(yǔ)句是對(duì)還是錯(cuò)是唯一確定的，不能模棱兩可．[想一想]1．命題“正方形是平行四邊形”的結(jié)論和條件各是什么？提示：條件：一個(gè)四邊形是正方形．結(jié)論：這個(gè)四邊形是平行四邊形．[練一練]2．下列語(yǔ)句是命題的是()A．p(x)：x2－1＝0B．q(x)：5x是5的倍數(shù)C．三角函數(shù)是周期函數(shù)嗎？D．對(duì)全部整數(shù)x,5x－1是整數(shù)解析：只有D能推斷為真命題．A中x＝±1時(shí)，x2－1＝0為真，x≠±1時(shí)，x2－1＝0為假．所以選項(xiàng)A無(wú)法推斷真假．選項(xiàng)B中，x可能是小數(shù)，所以B也不能推斷真假．選項(xiàng)C是疑問(wèn)句，不涉及真假．答案：D3．一個(gè)命題及其逆命題、否命題、逆否命題四種命題中()A．真命題的個(gè)數(shù)肯定是奇數(shù)B．真命題的個(gè)數(shù)肯定是偶數(shù)C．真命題的個(gè)數(shù)可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù)D．以上推斷都不正確解析：因?yàn)樵}與逆否命題同真同假，逆命題與否命題也互為逆否命題，它們也同真同假，所以四種命題中，真命題個(gè)數(shù)為0或2或4，都是偶數(shù)個(gè)．答案：B4．命題“奇函數(shù)的定義域和圖像均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”的條件p是__________，結(jié)論q是________________________________________________________________________．解析：將題中命題寫成“若p，則q”的形式：若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的定義域和圖像均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．答案：一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)這個(gè)函數(shù)的定義域和圖像均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第2頁(yè)探究一推斷命題的真假[典例1]推斷下列語(yǔ)句是否是命題？若是，推斷其真假，并說(shuō)明理由．(1)奇數(shù)的平方仍是奇數(shù)．(2)兩條對(duì)角線垂直的四邊形是菱形．(3)全部的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)．(4)5x>4x.(5)若x∈R，則x2＋4x＋7>0.(6)將來(lái)是多么美妙??！(7)你是高二的學(xué)生嗎？(8)若x＋y是有理數(shù)，則x，y都是有理數(shù)．[解析](1)是命題，而且是真命題．(2)是命題，而且是假命題．如圖所示，四邊形ABCD，若AB＝AD≠BC＝CD時(shí)，對(duì)角線AC也垂直于對(duì)角線BD.(3)是命題，而且是假命題．因?yàn)?是質(zhì)數(shù)，但不是奇數(shù)．(4)不是命題．因?yàn)閤是未知數(shù)，不能推斷不等式的真假．(5)是命題，而且是真命題．因?yàn)閷?duì)于x∈R，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0，不等式恒成立．(6)是感嘆句，不涉及真假，不是命題．(7)是疑問(wèn)句，不涉及真假，不是命題．(8)是命題，而且是假命題．如x＝eq\r(2)，y＝－eq\r(2)，x＋y＝0是有理數(shù)，而x，y都是無(wú)理數(shù)．1．推斷一個(gè)語(yǔ)句是否是命題，關(guān)鍵看這個(gè)語(yǔ)句是否具備命題的兩個(gè)特征：一是陳述句，二是能推斷真假．2．在說(shuō)明一個(gè)命題為真命題時(shí)，應(yīng)進(jìn)行嚴(yán)格的推理證明；而要說(shuō)明一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)反例即可．1．給出下列命題：①函數(shù)y＝sinx的最小正周期是π；②函數(shù)y＝2x3是指數(shù)函數(shù)；③一次函數(shù)y＝x＋1的圖像與x軸的交點(diǎn)為(－1,0)；④f(x)＝x2在R上是增函數(shù)．其中假命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：函數(shù)y＝sinx的最小正周期為T＝eq\f(2π,1)＝2π，所以①是假命題；易知②是假命題；令x＋1＝0，得x＝－1，故一次函數(shù)y＝x＋1的圖像與x軸的交點(diǎn)為(－1,0)，所以③是真命題；易知f(x)＝x2在R上不是增函數(shù)，所以④是假命題．故選C.答案：C2．下列語(yǔ)句是否是命題？若是，推斷其真假，并說(shuō)明理由．(1)一個(gè)數(shù)不是合數(shù)就是質(zhì)數(shù)．(2)x≥16.(3)一個(gè)實(shí)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)．(4)x＝2或x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根．(5)空集是任何非空集合的真子集．(6)指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？解析：(1)是假命題．例如：1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)．(2)不是命題．因?yàn)闆](méi)有給定變量x的值，無(wú)法確定其真假．(3)是假命題．因?yàn)?既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．(4)是真命題．代入驗(yàn)證即可．(5)是真命題．由空集的定義和性質(zhì)不難得出．(6)不是命題．因?yàn)闊o(wú)法推斷真假．探究二四種命題的關(guān)系[典例2]用“若p，則q”的形式寫出下列命題及其逆命題，否命題和逆否命題，并推斷真假．(1)若四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，則該四邊形是圓的內(nèi)接四邊形．(2)假如x>8，那么x>0.(3)當(dāng)x＝－1時(shí)，x2－x－2＝0.[解析](1)原命題：若四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，則該四邊形是圓的內(nèi)接四邊形；真命題．逆命題：若一個(gè)四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；真命題．否命題：若四邊形的對(duì)角不互補(bǔ)，則該四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形；真命題．逆否命題：若一個(gè)四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角不互補(bǔ)；真命題．(2)原命題：若x>8，則x>0；真命題．逆命題：若x>0，則x>8；假命題．否命題：若x≤8，則x≤0；假命題．逆否命題：若x≤0，則x≤8；真命題．(3)原命題：若x＝－1，則x2－x－2＝0；真命題．逆命題：若x2－x－2＝0，則x＝－1；假命題．否命題：若x≠－1，則x2－x－2≠0；假命題．逆否命題：若x2－x－2≠0，則x≠－1；真命題．1．由原命題得到逆命題、否命題、逆否命題的方法：(1)交換原命題的條件和結(jié)論，得到逆命題；(2)同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，得到否命題；(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，得到逆否命題．2．原命題與其逆否命題真假相同；逆命題與否命題真假相同．3．將下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并寫出它的逆命題、否命題和逆否命題．(1)垂直于同一平面的兩條直線平行；(2)當(dāng)mn<0時(shí)，方程mx2－x＋n＝0有實(shí)數(shù)根．解析：(1)將命題寫成“若p，則q”的形式為：若兩條直線垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線平行．它的逆命題、否命題和逆否命題如下：逆命題：若兩條直線平行，則這兩條直線垂直于同一個(gè)平面．否命題：若兩條直線不垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線不平行．逆否命題：若兩條直線不平行，則這兩條直線不垂直于同一個(gè)平面．(2)將命題寫成“若p，則q”的形式為：若mn<0，則方程mx2－x＋n＝0有實(shí)數(shù)根．它的逆命題、否命題和逆否命題如下：逆命題：若方程mx2－x＋n＝0有實(shí)數(shù)根，則mn<0.否命題：若mn≥0，則方程mx2－x＋n＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根．逆否命題：若方程mx2－x＋n＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則mn≥0.4．寫出命題“若定義在R上的函數(shù)f(x)，g(x)都是奇函數(shù)，則函數(shù)F(x)＝f(x)·g(x)是偶函數(shù)”的逆命題、否命題、逆否命題，并推斷它們的真假．解析：逆命題：已知f(x)，g(x)是定義在R上的函數(shù)，若函數(shù)F(x)＝f(x)·g(x)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)，g(x)都是奇函數(shù)．該命題是假命題．否命題：若定義在R上的函數(shù)f(x)，g(x)不都是奇函數(shù)，則函數(shù)F(x)＝f(x)·g(x)不是偶函數(shù)．該命題是假命題．逆否命題：已知f(x)，g(x)是定義在R上的函數(shù)，若函數(shù)F(x)＝f(x)·g(x)不是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)，g(x)不都是奇函數(shù)．該命題是真命題．探究三等價(jià)命題的應(yīng)用eq\x(等價(jià)命題的應(yīng)用)—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(推斷命題的真假),—\x(證明命題),—\x(解決推理問(wèn)題)))5．推斷命題“若a2＋b2≠c2，則△ABC不是直角三角形”的真假．解析：先推斷它的逆否命題的真假．原命題的逆否命題為“若△ABC是直角三角形，則a2＋b2＝c2”，明顯它是假命題，又因?yàn)槟娣衩}與原命題等價(jià)，所以原命題為假命題．6．已知a，b∈R，求證：若a3＋b3＋3ab≠1，則a＋b≠1.證明：原命題證明較困難，故可改證它的等價(jià)命題(逆否命題)：已知a，b∈R，若a＋b＝1，則a3＋b3＋3ab＝1.因?yàn)閍＋b＝1，所以a3＋b3＋3ab＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋3ab＝a2－ab＋b2＋3ab＝(a＋b)2＝1，所以原命題成立．7．現(xiàn)有張三、李四、王五三人，張三說(shuō)：“李四在說(shuō)謊”，李四說(shuō)：“王五在說(shuō)謊”，王五說(shuō)：“張三、李四都在說(shuō)謊”，請(qǐng)問(wèn)：張三、李四、王五誰(shuí)在說(shuō)謊，誰(shuí)說(shuō)的是真話？解析：設(shè)張三為A，李四為B，王五為C，說(shuō)真話為1，說(shuō)謊話為0.(1)若A＝1，即張三說(shuō)真話，由于張三說(shuō)：“李四在說(shuō)謊”，所以B＝0，而李四說(shuō)：“王五在說(shuō)謊”，但李四說(shuō)假話，所以王五說(shuō)真話，C＝1；由于王五說(shuō)：“張三和李四都在說(shuō)謊”，即A＝0，B＝0與A＝1沖突．所以A＝1時(shí)，問(wèn)題無(wú)解．(2)若張三說(shuō)假話，即A＝0.由于張三說(shuō)：“李四在說(shuō)謊”，可知李四說(shuō)真話，即B＝1，由李四說(shuō)：“王五在說(shuō)謊”知C＝0，由于王五說(shuō)：“張三、李四都在說(shuō)謊”，且C＝0，可得A＝0，B＝1或A＝1，B＝0或A＝1，B＝1，只要這三種狀況有一種成立，就說(shuō)明王五說(shuō)的是假話．因?yàn)檫@三種狀況至少有一人說(shuō)的是真話，由這三種狀況可選擇出A＝0，B＝1，C＝0符合要求．所以張三、王五說(shuō)假話，李四說(shuō)真話．等價(jià)命題的應(yīng)用[典例]證明：若a2－4b2－2a＋1≠0，則a≠2b＋[證明]“若a2－4