新疆沙灣縣一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題含解析

新疆沙灣縣一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線C：-＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1，若過原點(diǎn)傾斜角為的直線與雙曲線C左右兩支交于M、N兩點(diǎn)，且MF1NF1，則雙曲線C的離心率是（）A.2 B.C. D.2．從某個角度觀察籃球（如圖甲），可以得到一個對稱的平面圖形，如圖乙所示，籃球的外輪廓為圓，將籃球表面的粘合線視為坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點(diǎn)將圓的周長八等分，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.3．加斯帕爾·蒙日（圖1）是18～19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖2）．則橢圓的蒙日圓的半徑為（）A.3 B.4C.5 D.64．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過的直線（為常數(shù)）與雙曲線在第一象限交于點(diǎn).若（為原點(diǎn)），則的離心率為（）A. B.C. D.55．德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進(jìn)微積分概念.在研究切線時認(rèn)識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標(biāo)的差值和橫坐標(biāo)的差值，以及當(dāng)此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，且對，，且總有，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.6．有下列四個命題，其中真命題是（）A.， B.，，C.，， D.，7．設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，若，則的值為（）A.-5 B.-3C.1 D.78．正方體的棱長為，為側(cè)面內(nèi)動點(diǎn)，且滿足，則△面積的最小值為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為（）A. B.C. D.10．已知點(diǎn)，則滿足點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線距離為的直線的條數(shù)有（）A.1 B.2C.3 D.411．命題“，使”的否定是（）A.，有 B.，有C.，使 D.，使12．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)，連接交拋物線于點(diǎn)，，則的面積為（）A.4 B.9C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列中，.若為等差數(shù)列，則______.14．用秦九韶算法求函數(shù)，當(dāng)時的值時，___________15．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前項(xiàng)和為，若，，則__________.16．已知函數(shù)集合，若A中有且僅有4個元素，則滿足條件的整數(shù)a的個數(shù)為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：平面.18．（12分）在銳角中，角的對邊分別為，滿足.（1）求;（2）若的面積為，求的值.19．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)在處取得極值時，求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)?shù)臉O大值不小于時，求的取值范圍20．（12分）設(shè)p：；q：關(guān)于x的方程無實(shí)根.（1）若q為真命題，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）若是假命題，且是真命題，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.21．（12分）已知拋物線的方程為，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)（1）是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由；（2）若點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，且，求面積的最小值22．（10分）設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，其離心率為，且點(diǎn)在C上.（1）求C的方程；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為C上任意一點(diǎn).若M為的中點(diǎn)，過M且平行于的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求值；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)雙曲線和直線的對稱性，結(jié)合矩形的性質(zhì)、雙曲線的定義、離心率公式、余弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F2，過原點(diǎn)傾斜角為的直線為，設(shè)M、N分別在第三、第一象限，由雙曲線和直線的對稱性可知：M、N兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，而MF1NF1，因此四邊形是矩形，而，所以是等邊三角形，故，因此，因?yàn)?，所以，在等腰三角形中，由余弦定理可知：，由矩形的性質(zhì)可知：，由雙曲線的定義可知：，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用矩形的性質(zhì)、雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵.2、B【解析】設(shè)出雙曲線方程，把雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來并代入到方程中，找到的關(guān)系即可求解.【詳解】以O(shè)為原點(diǎn)，AD所在直線為x軸建系，不妨設(shè)，則該雙曲線過點(diǎn)且，將點(diǎn)代入方程，故離心率為，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查已知點(diǎn)在雙曲線上求雙曲線離心率的方法，屬于基礎(chǔ)題目3、A【解析】由蒙日圓的定義，確定出圓上的一點(diǎn)即可求出圓的半徑.【詳解】由蒙日圓的定義，可知橢圓的兩條切線的交點(diǎn)在圓上，所以，故選：A4、D【解析】取雙曲線的左焦點(diǎn)，連接,計(jì)算可得，即.設(shè)，則，，解得：，利用勾股定理計(jì)算可得，即可得出結(jié)果.【詳解】取雙曲線的左焦點(diǎn)，連接,,則因?yàn)?，所以，?,.設(shè)，則，，解得：.,,..故選：D5、D【解析】由，得在上單調(diào)遞增，并且由的圖象是向上凸，進(jìn)而判斷選項(xiàng).【詳解】由，得在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，故A不正確；對，，且，總有，可得函數(shù)的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來表示，由表示函數(shù)圖象上各點(diǎn)處的切線的斜率，由函數(shù)圖象可知，隨著的增大，的圖象越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以，故B不正確；，表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，所以D正確，C不正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查以數(shù)學(xué)文化為背景，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，屬于中檔題型.6、B【解析】對于選項(xiàng)A，令即可驗(yàn)證其不正確；對于選項(xiàng)C、選項(xiàng)D，令，即可驗(yàn)證其均不正確，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】對于選項(xiàng)A，令，則，故A錯；對于選項(xiàng)B，令，則，顯然成立，故B正確；對于選項(xiàng)C，令，則顯然無解，故C錯；對于選項(xiàng)D，令，則顯然不成立，故D錯.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查命題真假的判定，用特殊值法驗(yàn)證即可，屬于常考題型.7、C【解析】根據(jù)，可知向量建立方程求解即可.【詳解】由題意根據(jù)，可知向量，則有，解得.故選：C8、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)由，得出點(diǎn)的軌跡方程，由幾何性質(zhì)求得，再根據(jù)垂直關(guān)系求出△面積的最小值【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，設(shè)所以，得，所以因?yàn)槠矫?，所以故△面積的最小值為故選：B9、A【解析】函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何含義可以求出，轉(zhuǎn)化求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而由數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求和即可【詳解】解：∵函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，由求導(dǎo)得：，由導(dǎo)函數(shù)得幾何含義得：，可得，∴，所以，∴數(shù)列的通項(xiàng)為，所以數(shù)列的前項(xiàng)的和即為，則利用裂項(xiàng)相消法可以得到：所以數(shù)列的前2021項(xiàng)的和為：.故選：A.10、D【解析】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，將所求轉(zhuǎn)化為求圓與圓的公切線條數(shù)，判斷兩圓的位置關(guān)系，從而得公切線條數(shù).【詳解】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，如圖所示，由題意，滿足點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線距離為的直線的條數(shù)即為圓與圓的公切線條數(shù)，因?yàn)?，所以兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，即滿足條件的直線有4條.故選：D【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是將滿足點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線距離為的直線的條數(shù)轉(zhuǎn)化為圓與圓的公切線條數(shù)，從而根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系判斷出公切線條數(shù).11、B【解析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可得正確答案【詳解】存在量詞命題的否定，只需把存在量詞改成全稱量詞，并把后面的結(jié)論否定，所以“，使”的否定為“，有”，故選：B.12、D【解析】根據(jù)題意求得拋物線的方程為和焦點(diǎn)為，由，得到為的中點(diǎn)，得到，代入拋物線方程，求得，進(jìn)而求得的面積.【詳解】由直線是拋物線的準(zhǔn)線，可得，即，所以拋物線的方程為，其焦點(diǎn)為，因?yàn)?，可得可得三點(diǎn)共線，且為的中點(diǎn)，又因?yàn)椋?，所以，將點(diǎn)代入拋物線，可得，所以的面積為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用等差中項(xiàng)求解即可【詳解】由為等差數(shù)列，則，解得故答案為：14、0【解析】利用秦九韶算法的定義計(jì)算即可.【詳解】故答案為:015、1【解析】分公比和兩種情況討論，結(jié)合，，即可得出答案.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)，由，，不合題意，當(dāng)，由，得，綜上所述.故答案為：1.16、32【解析】作出的圖像，由時，不等式成立，所以，判斷出符合條件的非零整數(shù)根只有三個，即等價(jià)于時，；時，；利用數(shù)形結(jié)合，進(jìn)行求解.【詳解】作出的圖像如圖所示：因?yàn)闀r，不等式成立，所以，符合條件的非零整數(shù)根只有三個.由可得：時，；時，；所以在y軸左側(cè)，的圖像都在的下方；在y軸右側(cè)，的圖像都在的上方；而，，，，.平移直線，由圖像可知：當(dāng)時，集合A中除了0只含有1，2，3，符合題意，此時整數(shù)a可以?。?23，-22，-21……-9.一共15個；當(dāng)時，集合A中除了0含有1，-1，-2，符合題意.當(dāng)時，集合A中除了0只含有-1，-2，-3，符合題意，此時整數(shù)a可以取：5，6，7……20一共16個.所以整數(shù)a的值一共有15+1+16=32（個）.故答案為：32【點(diǎn)睛】分離參數(shù)法求零點(diǎn)個數(shù)的問題是轉(zhuǎn)化為，分別做出和的圖像，觀察交點(diǎn)的個數(shù)即為零點(diǎn)的個數(shù)．用數(shù)形結(jié)合法解決零點(diǎn)問題常有以下幾種類型：(1)零點(diǎn)個數(shù)：幾個零點(diǎn)；(2)幾個零點(diǎn)的和；(3)幾個零點(diǎn)的積.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）由直棱柱的性質(zhì)可得，由勾股定理可得，由線面垂直判定定理即可得結(jié)果；（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)和，通過線線平行得到面面，進(jìn)而得結(jié)果.【詳解】（1）∵直三棱柱，∴面，∴，又∵，，，∴，∴，∵，∴面，∴（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)和，∵，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，面，∴面，∵，且，∴四邊形平行四邊形，∴，面，∴面，∵，∴面面，∴平面.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：線面平行常見的證明方法：（1）通過構(gòu)造相似三角形（三角形中位線），得到線線平行；（2）通過構(gòu)造平行四邊形得到線線平行；（3）通過線面平行得到面面平行，再得線面平行.18、（1）；（2）.【解析】（1）由條件可得，即，從而可得答案.(2)由條件結(jié)合三角形的面積公式可得，再由余弦定理得，配方可得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以所以，因?yàn)樗裕驗(yàn)?，所以?）由面積公式得，于是，由余弦定理得，即，整理得，故.19、（1）；（2）.【解析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)求出m，并驗(yàn)證此時函數(shù)在x=1處取得極值，進(jìn)而求得答案；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極大值，然后求出m的范圍.【小問1詳解】因?yàn)椋?因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，所以，此時，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，即在處取得極小值，故.【小問2詳解】，令，解得.時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增.，即的取值范圍是.20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)命題的真假，結(jié)合一元二次方程無實(shí)根，列出的不等式，即可求得結(jié)果；（2）求得命題為真對應(yīng)的的范圍，結(jié)合命題一個為真命題一個為假命題，即可列出的不等式組，求解即可.【小問1詳解】若q為真命題，則，解得，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為.【小問2詳解】若p為真，，解得，由是假命題，且是真命題，得：p、q兩命題一真一假，當(dāng)p真q假時，或，得，當(dāng)p假q真時，，此時無解.綜上的取值范圍為.21、（1）是,；（2）【解析】（1）由題意設(shè)出所在直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，化為關(guān)于的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得為定值；（2）當(dāng)?shù)男甭蕿?時，求得三角形的面積為；當(dāng)?shù)男甭什粸?時，由弦長公式求解，再由點(diǎn)到直線的距離公式求到的距離，代入三角形面積公式，利用函數(shù)單調(diào)性可得三角形的面積大于，由此可得面積的最小值【詳解】（1）由題意知，直線斜率存在，不妨設(shè)其方程為，聯(lián)立拋物線的方程可得，設(shè)，，則，，所以，，所以，所以是定值（2）當(dāng)直線的斜率為0時，，又，，此時當(dāng)直線的斜率不力0時，，又因?yàn)椋抑本€的斜率不為0，所以，即，所以點(diǎn)到直線的距離，此時，因?yàn)?，所以，綜上，面積的最小值為22、（1）；（2）.【解析】(1)列出關(guān)于a、b、c的方程組求解即可；(2)直線l斜率不