高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：三角函數(shù)（新定義）（解析版）

專題04三角函數(shù)（新定義）

一、單選題

1.（2023秋.山東臨沂.高一統(tǒng)考期末）我們學(xué)過(guò)度量角有角度制與弧度制，最近，有學(xué)者提出用“面度制”度

量角，因?yàn)樵诎霃讲煌耐膱A中，同樣的圓心角所對(duì)扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱這個(gè)常

數(shù)為該角的面度數(shù)，這種用面度作為單位來(lái)度量角的單位制，叫做面度制.在面度制下，角。的面度數(shù)為年，

則角。的正弦值為（）

A.BB.1C.--D.-2

2222

【答案】D

【分析】根據(jù)面度數(shù)的定義，可求得角。的弧度數(shù)，繼而求得答案.

工/?

【詳解】設(shè)角6所在的扇形的半徑為r，則2_2兀,

產(chǎn)一3

所以"g,

所以sin。=sin竺=一sin—=一^-，

332

故選：D.

2.（2023秋?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期末）定義:正割secc=—余割csca=」-.已知加為正實(shí)數(shù)，且

cos<7sma

機(jī)?csc2x+tan2x215對(duì)任意的實(shí)數(shù)）+于左右Z卜勻成立，則加的最小值為（）

A.1B.4C.8D.9

【答案】D

【分析】利用已知條件先化簡(jiǎn)，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化恒成立求最值問(wèn)題

【詳解】由已知可得m.csc2x+tan2x='+包?>15,

sinxcosx

qin4Y

即m>15sin2x-----.

cosx

jr

因?yàn)椋%萬(wàn)+耳（左￡Z）,所以COS?%￡（0,1],

貝Ij15sir?X-sinx=15（l-cos2xj-⑴。。：乃=17-f—+16cos2工]

cosx7cosx[cosxJ

<17-2./—^-.16cos2x=9，

VCOSX

當(dāng)且僅當(dāng)cos2x=—時(shí)等號(hào)成立，故m>9,

4

故選：D.

3.（2022.全國(guó)?高一專題練習(xí)）密位制是度量角的一種方法，把一周角等分為6000份，每一份叫做1密位

的角.在角的密位制中，單位可省去不寫，采用四個(gè)數(shù)碼表示角的大小，在百位數(shù)與十位數(shù)之間畫一條短

線，如7密位寫成“0-07”，478密位寫成“4-78”.若（sina-cosa）。=2sinacosa,則角a可取的值用密位制

表示鐐誤的是（）

A.12-50B.2-50C.13-50D.32-50

【答案】C

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角公式求出a,再根據(jù)所給算法一一計(jì)算各選項(xiàng)，即可判斷；

【詳解】解：因?yàn)椋╯ina—cosay=2sinacosa,

BPsin2a—2sinacosa+cos2a=2sincrcoscr,

1jr57r

即4sinacosa=l,所以sin2a=—,所以2a=—+2%匹％￡Z,或2a=—+2kji,keZ,

266

解得a=bkjj左￡Z或a=——+kn,keZ

1212

對(duì)于A：密位制12-50對(duì)應(yīng)的角為翳x2乃=當(dāng)，符合題意；

600012

對(duì)于B：密位制2-50對(duì)應(yīng)的角為藍(lán)'2乃=展，符合題意；

對(duì)于C：密位制13-50對(duì)應(yīng)的角為1辦350；x2〃=9W兀，不符合題意；

oOOO20

對(duì)于D：密位制32-50對(duì)應(yīng)的角為黑x2〃=處，符合題意；

600012

故選：C

4.（2022秋?山東青島?高三山東省青島第五十八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算器是如何計(jì)算sinx,cosx,/,inx,

?等函數(shù)值的呢？計(jì)算器使用的是數(shù)值計(jì)算法，其中一種方法是用容易計(jì)算的多項(xiàng)式近似地表示這些函數(shù),

357246

通過(guò)計(jì)算多項(xiàng)式的值求出原函數(shù)的值，$nsinx=x-—+—-—+cosx=l-—+—-—+其中

3!5!7!2!4!6!

H!=1X2X...X?,英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了這些公式，可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得出的sinx和cosx

的值也就越精確.運(yùn)用上述思想，可得到-sinl^+lj的近似值為（）

A.0.50B.0.52C.0.54D.0.56

【答案】C

【分析】將-sin（乎+1］化為cosl,根據(jù)新定義，取x=l代入公式cosx=l-《+《二+…中，直接計(jì)算

12）2!4!6!

取近似值即可.

【詳解】由題意可得，-sinU+lJ=cosl,

,,,,I2I4I6,111

□VCOS1=1------1----------F?,?=11---------------F???

2!4!6!224720

=1-0.5+0.041-0.001+...?0.54,

故選：C.

5.（2022春?廣東中山?高二統(tǒng)考期末）密位制是度量角與弧的常用制度之一，周角的士稱為1密位.用密

位作為角的度量單位來(lái)度量角與弧的制度稱為密位制.在密位制中，采用四個(gè)數(shù)字來(lái)記角的密位，且在百位

數(shù)字與十位數(shù)字之間加一條短線，單位名稱可以省去，如15密位記為“00—15”，1個(gè)平角=30—00,1個(gè)周

角=60—00,已知函數(shù)〃x）=&-2cosx,xe，當(dāng)/（無(wú)）取到最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x用密位制表示為（）

A.15—00B.35—00C.40—00D.45—00

【答案】C

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究Ax）在給定區(qū)間上的最大值，結(jié)合題設(shè)密位制定義確定取到最大時(shí)無(wú)用密位制.

【詳解】由題設(shè)，/'（x）=6+2sinx,在x嗚苧時(shí)/（x）＞0,在時(shí)/（x）＜0,

所以/（X）在予上遞增，在xe號(hào)，拳上遞減，即/（尤）苧，

故取到最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x用密位制表示為40—00.

故選：C

6.（2022春?云南昆明?高二?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，P（x,y）（x#0）是角a終邊上一點(diǎn)，P

rrx

與原點(diǎn)。之間距離為廠，比值一叫做角a的正割，記作seca；比值一叫做角a的余割，記作csca；比值一叫

工yy

做角a的余切，記作cota.四名同學(xué)計(jì)算同一個(gè)角/的不同三角函數(shù)值如下：甲：sec"=-g；乙：csc￡=g；

34

丙：tan/3=——；?。篶ot/3――.

如果只有一名同學(xué)的結(jié)果是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的同學(xué)是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】D

【分析】當(dāng)甲錯(cuò)誤時(shí)，乙一定正確，從而推導(dǎo)出丙、丁均錯(cuò)誤，與題意不符，故甲一定正確；再由丙丁必

有一個(gè)錯(cuò)誤，得到乙一定正確，由此利用三角函數(shù)的定義能求出結(jié)果.

【詳解】解：當(dāng)甲：sec"=-：錯(cuò)誤時(shí)，乙：csc"=g正確，

r5

此時(shí)一=g,r=5k,y=3k,則|x|=4左，（左＞0）,

y3

34

丙：tan4=-;不正確，丁：cotQ=§不正確，故錯(cuò)誤的同學(xué)不是甲；

甲：sec〃=-；,從而廠=5左，x=-4k,|y|=3Z,(%>0),

534

此時(shí)，乙：esc夕=§；丙：tan^=--；T：cot尸=耳必有兩個(gè)正確，一個(gè)錯(cuò)誤，

?.?丙和丁應(yīng)該同號(hào)，.?.乙正確，丙和丁中必有一個(gè)正確，一個(gè)錯(cuò)誤，

34

.,.y=3k>Q,x=-4fc<0,tan/3---,cotP=--,

故丙正確，丁錯(cuò)誤，

綜上錯(cuò)誤的同學(xué)是丁.

故選：D.

[a,a>b

7.(2023秋?湖南邵陽(yáng)?高一統(tǒng)考期末)設(shè)a,6eR,定義運(yùn)算b=,,,則函數(shù)/(x)=sin尤<8)cosx的

[b,a<b

最小值為()

A.-1B.—叵C.--D.0

22

【答案】B

Isinxsinx之cosx

【分析】由定義先得出f(x)=■,，然后分sinxNcosx,cosx>sinx兩種情況分別求出“X)

[cosxcosx>sinx

的最小值，從而得出答案.

_fsinxsinx>cosx

【詳解】由題意可得/(%)=sinxS)cos%=

[cosxcosx>sinx

當(dāng)sinx2cos%時(shí)，即sinx-cosx=A/2sin^x-^>0

TTTTSTT

則Ikji<x----<2左萬(wàn)+再左eZ,即2k兀?——<x<-----,kGZ

444

此時(shí)當(dāng)x=2k/r+迎,k￡Z時(shí)，sin%有最小值為-

42

當(dāng)cosx>sin%時(shí)，即sinX—cosx=0sin[X—<0

JI57r97r

貝lj2kn+7T<x<2kji+2匹keZ,即2kjiH----<x<2k?iH------,keZ

444

此時(shí)，cosx>-

2

所以〃X）的最小值為-5

故選：B

8.（2023秋.浙江杭州?高一浙江大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┱睿╯ecant）及余割（cosecant）這兩個(gè)概念是由伊

朗數(shù)學(xué)家阿布爾?威發(fā)首先引入的.定義正割seca=」一，余割csctz=—!一.已知加為正實(shí)數(shù)，且

cosasina

機(jī)—sc?x+tan?15對(duì)任意的實(shí)數(shù)。彳，左￡Z）均成立，則加的最小值為（）

A.1B.4C.8D.9

【答案】D

【分析】由參變量分離法可得出加之17-1-V+l6cos2利用基本不等式可求得加的取值范圍，即可得

<cosX）

解.

?2?4

【詳解】由已知可得根小。0+1211"=’^-+吧」215,可得力215sin2x-半土，

sinxcosxcosx

因?yàn)閄W版■+?%￡Z）,則COS?X￡（o,l],

因?yàn)?5sin2x-s'n'=15（1-cos2x）-----———=17-]—+16cos2x]

cosx'7cosx（cos%）

<17-2.———16cos2x=9,

vCOSX

當(dāng)且僅當(dāng)cos2兀=9時(shí)，等號(hào)成立，故加N9.

4

故選：D.

9.（2022春.江西景德鎮(zhèn).高二景德鎮(zhèn)一中?？计谥校?duì)集合｛6,生，…，以｝和常數(shù)冽，把

b'Sin2m-M+sinW*）+…+Sin2（3M定義為集合｛4%,,%｝相對(duì)于加的“正弦方差”,則集合

k

[-!,彳,!]相對(duì)于機(jī)的“正弦方差”為（）

L62oJ

A；B.好C.1D.與機(jī)有關(guān)的值

222

【答案】C

【分析】先確定集合相對(duì)于俄的“正弦方差”的表達(dá)式，再利用半角公式，兩角和與差的余弦公

o2oJ

式化簡(jiǎn)可得結(jié)果.

【詳解】由題知，集合相對(duì)于機(jī)的“正弦方差”為

I020I

sin2^-^-m^j+sin2—+sin2

（J2

—3

J（萬(wàn)i（萬(wàn)

1-cos------2mr/八\1-cos-----2m

1I3Jl-cos（^--2m）13J

------------------------------------1-----------------------------1-----------------------------

3222

3-1cosIy+2mI+cos（^71-2m）+cos--2m

613

fJ=icos（2）-

把cos+2Wsin（2m）,cos（^—2m）=—cos（2m）,

2

cosf-2m\=^cos（2m）+^-sin（2m）,代入上式整理得,]_

a

2

故選：C.

10.（2022秋.山東.高三山東聊城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）現(xiàn)有如下信息：

（1）黃金分割比（簡(jiǎn)稱：黃金比）是指把一條線段分割為兩部分，較短部分與較長(zhǎng)部分的長(zhǎng)度之比等于較

長(zhǎng)部分與整體長(zhǎng)度之比，其比值為避二1

2

（2）黃金三角形被譽(yù)為最美三角形，是較短邊與較長(zhǎng)邊之比為黃金比的等腰三角形.

（3）有一個(gè)內(nèi)角為36。的等腰三角形為黃金三角形，

由上述信息可求得s血126。=（）

A布-1p百+1

22

C,#TD.>+1

44

【答案】D

【分析】如圖作三角形，先求出cos36=@里，再求出s近126。的值.

4

【詳解】如圖，等腰三角形AABC,ZABC=36\AB=BC=a,AC=bf取AC中點(diǎn)。，連接3D

B

b

由題意可得1_75-11_75-1,

sin---------————?——---------?——---------

2aa2224

所以cosZABC=1—2sir?4彳=1-2(^^-)2=,

所以cos36。='+'，

4

所以s而126。=cos36°="+1.

4

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)娜切危俳馊切吻蠼?

ab

11.（2021秋.四川巴中?高一校聯(lián)考期末）定義運(yùn)算jad—bc,如果

ca

,、105jr

?。?2sin3+°）'（0>°'°<9<5）的圖像的一條對(duì)稱軸為戶了。滿足等式2c°sO=3tane，則。取最

小值時(shí)，函數(shù)/■（*）的最小正周期為（）

JI3兀

A.一B.?C.—D.2兀

22

【答案】C

【分析】根據(jù)28S9=3tan°,利用切化弦和同角三角函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化成sin。的二次方程，可求出夕的值，結(jié)合

對(duì)稱軸可求出。，最后利用周期公式進(jìn)行求解即可.

105

【詳解】/（x）=c.,、=lOsin（0x+p）-10,

2sin（s+cp）

因?yàn)?coso=3tan°,所以2cos0=3s1",

cos?

艮fl2cos2夕=3sin°,2(1—sin2夕)=3sin0,

所以(sine+2)(2sine—l)=0,解得sin°=1■或一2(舍去)，

而0<0<彳，所以夕=￡,

26

冗

即/(x)=10sin(6;x+—)-10,

6

7T

而y=fM的圖象的一條對(duì)稱軸為x=￡,

4

所以lOsin(0xA+t)=±lO,

rjrt17C7Cj7T—J

即d)X--1--=--Fk7T,左￡Z,

462

4

解得G=§+4Z,keZ,

42=生

所以正數(shù)。取最小值為；7，此時(shí)函數(shù)了(尤)的最小正周期為42.

33

故選：C.

12.（2020?全國(guó)?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）對(duì)于集合｛石,%，…，%〃｝，定義:

cos2

。=----（占一M）+C°S2（X2-XO）+-+C°S2（Z-X。）為集合｛石,9,…,當(dāng)｝相對(duì)于％的“余弦方差”，則集合

n

717i3萬(wàn)27

相對(duì)于飛的“余弦方差”為（）

1B「0D.近

A.--\L.---

423

【答案】B

【解析】根據(jù)所給“余弦方差''定義公式，代入集合中的各元素，即可得。的表達(dá)式，結(jié)合余弦降幕公式及

誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，即可求解.

【詳解】由題意可知，集合卜、冗3兀2萬(wàn)

歹記'丁相對(duì)于飛的“余弦方差”代入公式可得

4

l+cos2l—+x0l+l+cos2ly+x0l+l+cos2l--x0l+l+cos2l—

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義應(yīng)用，降幕公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的應(yīng)用，屬于中檔題.

13.(2020秋?江西宜春?高三奉新縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=2tan(s)(G>0)的圖象與直線

(、[a,a..b

>=2的相鄰交點(diǎn)間的距禺為萬(wàn)，若定義max{a,"}=1,則函數(shù)/i(x)=max"(x),/(x)cosx}在區(qū)間

[b,a<b

B2卜一M

71

【分析】由題知f(x)=2tan(ox)(o>0),利用丁=同求出。，再根據(jù)題給定義，化簡(jiǎn)求出〃⑺的解析式,

結(jié)合正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象判斷，即可得出答案.

【詳解】根據(jù)題意，/(x)=2tan(0x)(0>O)的圖象與直線y=2的相鄰交點(diǎn)間的距離為不，

所以〃x)=2tan(0x)(0>O)的周期為萬(wàn)，貝|。=5=匹=1,

T九

2sinG

所以/?(%)=max(2tanx,2sinx}=<

2tanG

由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知A正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象，以及正弦函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解.

14.（2022春?陜西延安?高一?？茧A段練習(xí)）對(duì)于函數(shù)/⑺，在使/。）上刊成立的所有常數(shù)”中，我們把M

的最大值稱為函數(shù)/（X）的嚇確界”.若函數(shù)/（x）=3cos］2x-'+l,xe一親”的嚇確界，，為,則加的

取值范圍是（）

【答案】A

【分析】由下確界定義，/（x）=3cos^2x-j^+l,xw-看,m］的最小值是一；，由余弦函數(shù)性質(zhì)可得.

【詳解】由題意/（X）=3COS（2X-1J+1,xe-奈（|的最小值是

')1JLIL//Ji.|

又f(--)=3cos(----)+1=3cos—+1=--

o3332

2kji------42x-----G2k兀-\---------,k/r-----?xWk7i—,%￡Z,

33362

左=0時(shí)，—/?%工1,

62

LLt、I式TC

所以——＜〃zV—.

62

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查新定義，由新定義明確本題中的下確界就是函數(shù)的最小值.可通過(guò)解不等式確定參數(shù)的

范圍.

15.（2020?全國(guó)?高一假期作業(yè)）如果函數(shù)在區(qū)間￡＞上是凸函數(shù)，那么對(duì)于區(qū)間￡＞內(nèi)的任意%X”…,

x“，都有++…+/億）（于廣+%:…+匕］，若尸sinx在區(qū)間（0,萬(wàn)）上是凸函數(shù),那么在AABC

中，sinA+sinB+sinC的最大值是（）

「V3

【答案】D

【分析】利用"凸函數(shù)''的定義得到恒成立的不等式，利用三角形的內(nèi)角和為萬(wàn)，即可求出最大值.

【詳解】因?yàn)閥=sinx在區(qū)間［0,句上是“凸函數(shù)”，

sinA+sinB+sinC.A+B+C.71下）

所以■?sin------=sin—=——

332

得sinA+sin8+sinC,,

2

即：sinA+sin_B+sinC的最大值是

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查理解題中的新定義,并利用新定義求最值，還運(yùn)用三角形的內(nèi)角和.

二、多選題

16.（2022.全國(guó)?高一專題練習(xí)）定義：〃二852（4一1）+852（1一仇）+~+852（_一4）為集合

n

A={G，”..0}相對(duì)常數(shù)％的“余弦方差”.若。e0,|,則集合A=30%目對(duì)夕的“余弦方差”的取值可能

為（）

A.-B.-C.-D.-

8245

【答案】ABC

【分析】根據(jù)所給定義及三角恒等變換公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)為的取值范圍，求出2%+9的取值范圍,

6

再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

e（））+COs2（0—4）

cos2

【詳解】解：依題意

〃=—

2

2

cosgcos%+singsin4）+cos12

2

—cos0QH-----sin0Q+cos24

二（22J

—2

12-^3.3.22

—cos30+cos%sin%+4sin%+cos%

2

gcos?4+?cos0Osin%+1

2

1J3

—cos2^+亍sin24+1

2

1；

--cos26>sin2%+

4204

因?yàn)闉椤辍?，彳，所以，所以sin[24+g]￡一彳」

_2J6|_66」v6J|_2

「331

所以〃￡石。；

o4_

故選：ABC

17.(2021秋?全國(guó)高三校聯(lián)考期中)數(shù)學(xué)中一般用min｛a,。｝表示a,b中的較小值，max｛a,方｝表示a,b

中的較大值；關(guān)于函數(shù)：/(無(wú))=min卜inx+6cosx,sinx-6cosx

g(x)=max卜inx+gcosx,sinx-石cos尤｝,有如下四個(gè)命題，其中是真命題的是()

A.與g(x)的最小正周期均為萬(wàn)

a

B.與g(x)的圖象均關(guān)于直線尤=三7r對(duì)稱

C.〃x)的最大值是g(x)的最小值

D.〃尤)與g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱

【答案】BD

【分析】先求出/⑺，g(x),結(jié)合函數(shù)“X)與g(x)的圖象即可求解

【詳解】設(shè)〃(冗)=sin%+gcosx=2sin(x+辛,，(x)=sinx-gcosx=2sin(尤-y),

TTTT37r

2sin(x+-1-+2k7r<x<—+2左乃，

則f(x)=min{/i(x),Z(x)}="

2sin(x-y),--+^71<x</+2左4,

77jr37r

2sin(x--),—+2kjr<x<-+2%萬(wàn)，

g(x)=max{/z(x)j(x)}=■

C,/兀\冗cJ4cJ

2sin(x+-),——+2k7i<x<—+2KTT,

函數(shù)與g(x)的大致圖象如下所示:

3冗

對(duì)B,由圖知，了=萬(wàn)為函數(shù)"X）與g（x）的對(duì)稱軸，故B正確.

對(duì)C,,fl，由圖知：函數(shù)的值域?yàn)閇-2,1],函數(shù)g（x）的值域?yàn)閇-1,2],故C錯(cuò)誤;

對(duì)D,由圖知，“X）與g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，故D正確；

故選：BD.

TT

18.（2022?江蘇?圖一專題練習(xí)）已知角。和夕都是任意角，若滿足。+°=萬(wàn)+2左萬(wàn)水eZ,則稱。與?！皬V義

互余”?若sin（乃+&）=-；,則下列角夕中，可能與角?！皬V義互余''的有（）

A.sin0=半B.cos（%+￡）=；C.tan萬(wàn)=岳D.tan/3=

【答案】AC

【分析】由題可得sine=1，根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)計(jì)算判斷每個(gè)選項(xiàng)即可.

4

【詳解】若a與萬(wàn)廣義互余，則a+夕=。+2丘（丘Z）,即6=g+2H-a（左eZ）.

又由sin（〃+a）=—；,可得sina=；.

對(duì)于A,若。與夕廣義互余，則sin[3=sin（'+2/?-a）=cosa=±，1一5仁+=±^^~,由sin,=可得。

與夕可能廣義互余，故A正確；

對(duì)于B,若a與￡廣義互余，則85月=85弓+2左萬(wàn)-。）=51111=；,由cos（?+/?）=；可得COS萬(wàn)=_；,

故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,綜上可得sin〃=±巫，COS^=-,所以tan/二嗎=土爐，由此可得C正確，D錯(cuò)誤.

“44cosp

故選：AC.

19.（2022春?遼寧沈陽(yáng)?高一沈陽(yáng)市第一二O中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡(jiǎn)便并且更

加追求計(jì)算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)下列兩種三角函數(shù)：定義1-cos。為角。的正矢，記作versin。，定義1-sin。

為角6的余矢，記作coversin。，則下列命題正確的是（）

.16711

A.versin----=一

32

B.versin——6=cover0

(2)

C.若----:----T=2,貝|J(coversin犬一versin尤)=—

versmx-1,75

D.函數(shù)〃x)=versin]2020%--+coversin2020%+—|的最大值為2+企

【答案】BC

【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得A錯(cuò)誤，B正確;

化簡(jiǎn)已知等式得到tanx,將所求式子化簡(jiǎn)為正余弦齊次式，由此可配湊出tanx求得結(jié)果，知C正確;

利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)整理得到〃x)=2-2sin12020x+V，由此可知最大值為4,知D錯(cuò)誤.

,..1]167r1|_TC?r7C3,,,、e

【詳解】對(duì)于A,versin-----=l-cos------=l-cos5%+—=l+cos—=一,A錯(cuò)誤；

33I3J32

對(duì)于B,v^rsin--0=I-cos----0=l-sin0=coversin0,B正確;

coversinx-1I-sinx-1_

對(duì)于C,-------；=---------------=tanx=2,

versinx-1--I-cosx-1

/..\2J1\21[zsinxcosx1zianx4i

/.(coversinx-versinx)=(1-sinx-l+cosx)=l-2sinxcosx=l------z--------------z—=1--------------=1——=—

sinx+cosxtanx+155

C正確；

對(duì)于D,=1-cos(2020x-+1-sin12020x+看j=

2-cos—]+12020x+力—sin12020x+[=2-2sin12020x+?

.?.當(dāng)sin12020x+：|=-l時(shí)，1rax=2+2=4,D錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了三角函數(shù)的新定義的問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠充分理解已知所給的定義，

結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、正余弦齊次式的求解等知識(shí)來(lái)判斷各個(gè)選項(xiàng).

20.（2022秋.河南濮陽(yáng).高一濮陽(yáng)一高校考期末）在數(shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡(jiǎn)便并且更加追求計(jì)算的精

確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)下列兩種三角函數(shù):?定義1-COS。為角。的正矢，記作versine,?定義l-sine為角。的余

矢，記作coyersinS,則下列命題中正確的是（）

「31

A.函數(shù)y=versinx在2TT上是減函數(shù)

B.函數(shù)y=-in"的最小正周期為升

coversmx

C.versin(--0)=coversin0

D.versin(a+/3)=versina?coversin/?+coversina?versinp

【答案】AC

【分析】由余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷A選項(xiàng)；驗(yàn)證得丁(元)2>a+萬(wàn))，可判斷B選項(xiàng)；由定義的誘導(dǎo)公式可

Jr

判斷C選項(xiàng)；取二=4=2,代入驗(yàn)證可判斷D選項(xiàng).

「31

【詳解】因?yàn)閂=uersinx=l-cosx,而，=以%％在肛2乃上是增函數(shù)，所以函數(shù)〉=T"51!1%=1-cosx在

"31

,肛2?上是減函數(shù)，故A正確；

函數(shù)y（九）:versmx=：85）；火犬+萬(wàn)）=：+cosx,所以。,所以B錯(cuò)誤；

coversinx1-sinx1+sinx

v^rsin一夕）=1-cos一夕）=1-sin6=coversin0,故C正確；

4JI

取a=￡=Z，versin（c+/?）=l-cos萬(wàn)=1,

versin??coversin（3+coversina-versinft=^l-cos^-^l-sin^+^l-sin^-^l-cos^=3-2五,

所以versin（a+6Jwversina-coversin/3+coversina-versin/3,

故D錯(cuò)誤,

故選：AC.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的新定義，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)間的關(guān)系，余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于

中檔題.

三、填空題

21.(2023?高一課時(shí)練習(xí))我們規(guī)定把、=；卜。52(8+4)+??28+852(8-4)］叫做8對(duì)人的余弦方差，那

么對(duì)任意實(shí)數(shù)2,B對(duì);的余弦方差是.

【答案】9#05

【分析】根據(jù)余弦方差的定義求得正確答案.

【詳解】依題意，2對(duì);的余弦方差是：

12/r*兀、2rt2/r?兀、

y=~cos(B+—)+cos3+cos(B-—)

2兀2兀

11+COS(2B+T)1+8S2Bl+cos(2B-至)

----------------------+------------+-------------------

3222

=-3+cos(23H----)+cos2B+cos(25------)

6|_33

](ccn2兀.cn.27rcncr*27r.cn.2兀

=—3+cos2Bcos------sin2Bsin-----Fcos26+cos2Bcos-----Fsin2Bsin——

613333,

=—|3-—cos2B+cos2B--cos2B|=—

6122J2

故答案為：g

22.(2022?全國(guó)?高一專題練習(xí))已知/(無(wú))話(兄)都是定義在R上的函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)孤心使得

/1(%)=時(shí)(%)+咫。),則稱力(%)是7(%),g(x)在A上生成的函數(shù).

若/(x)=cos2-sin2(x)=sinx,以下四個(gè)函數(shù)中：

①y=272cos(x-0②y=sin+5cos[]+：]；

(3)y=2COS2^-^-1；④y=2sin22x.

所有是/(%),g(同在R上生成的函數(shù)的序號(hào)為.

【答案】①②③

【分析】根據(jù)兩角差的余弦公式、二倍角公式，結(jié)合題中定義逐一判斷即可.

【詳解】/(x)=cos23-sin2=cosx,g(x)=sinx.

①：y=2^2cosx--=2A/2(cosxcos—+sinxsin—)=y/6cosx+A/2sinx,

\6J66

因此有機(jī)=卡,〃=0,所以本函數(shù)是〃x),g(x)在R上生成的函數(shù)；

②：y=2VJsing+力cos[、+：)=6sin(x+女=yf3cosx,

因此有機(jī)=6,〃=0,本函數(shù)是〃x),g(x)在R上生成的函數(shù)；

因此有m=0,n=l,本函數(shù)是〃x),g(x)在R上生成的函數(shù)；

④：y=2sin22x=Ssin2xcos2x,

顯然不存在實(shí)數(shù)也〃，使得gsin?xcos?%=根cosx+〃sinx成立,

因此本函數(shù)不是/'(x),g(尤)在R上生成的函數(shù),

故答案為：①②③

abab

23.(2021春?江蘇淮安?高一校聯(lián)考階段練習(xí))形如,的式子叫做行列式，其運(yùn)算法則為=ad-bc,

cacaJ

交

sin15°

則行列式的值是.

cos15°

【答案】

【分析】根據(jù)新定義計(jì)算即可.

叵

sin15°

2=—^sinl5°-----cosl5°=sin45°sinl5°-cos45°cosl5°=-cos60°=

【詳解】由題意

正222

cosl5°

2

故答案為-g.

24.(2023?高一課時(shí)練習(xí))若兩個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)若干次平移后能夠重合，則稱這兩個(gè)函數(shù)為“同形”函數(shù).給

出下列四個(gè)函數(shù)：①/(x)=sinx+cosx；②力(x)=0sinx+0；③力⑺=sinx；④

力(x)=^(sinx+cosx).其中“同形”函數(shù)有.(選填序號(hào))

【答案】①②

【分析】利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化函數(shù)解析式，對(duì)比各函數(shù)的最小正周期及振幅即可得解.

【詳解】由題意，/(x)=sinx+cosx=0sin(x+?],力(尤)=①(sinx+cosx)=2sin(x+(],

四個(gè)函數(shù)的最小正周期均相同，但振幅相同的只有①，②，

所以“同形”函數(shù)有①②.

故答案為：①②.

25.(2023?高一課時(shí)練習(xí))在直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫格點(diǎn).若函數(shù)y=/(x)的圖像恰好經(jīng)

過(guò)左個(gè)格點(diǎn)，則稱函數(shù)為左階格點(diǎn)函數(shù).在xe[-肛布上，下列函數(shù)中，為一階格點(diǎn)函數(shù)的是

.(選填序號(hào))①1=sin無(wú)；②丫二^-：!；③y=lnx；?y=x2

【答案】①②③

【分析】根據(jù)題目定義以及各函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷.

【詳解】當(dāng)xc[-萬(wàn)，句時(shí)，函數(shù)y=sinx,y=e，-1的圖象只經(jīng)過(guò)一個(gè)格點(diǎn)(0,0),符合題意;

函數(shù)>=lnx的圖象只經(jīng)過(guò)一個(gè)格點(diǎn)。,0),符合題意；函數(shù)y=Y的圖象經(jīng)過(guò)七個(gè)格點(diǎn)，

(-3,9),(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4),(3,9),不符合題意,

故答案為：①②③.

26.(2022春?河南商丘.高一商丘市第一高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試)在平面直角坐標(biāo)系X。丁中，已知任意角6以

坐標(biāo)原點(diǎn)。為頂點(diǎn)，X軸的非負(fù)半軸為始邊，若終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(X。,%),且㈤=?>0),定義：￡。四=為產(chǎn)，

稱“SOS?！睘椤罢嘞液瘮?shù)”，對(duì)于“正余弦函數(shù)y=sosx”，有同學(xué)得到以下性質(zhì)：

①該函數(shù)的值域?yàn)椴窇?yīng),亞];②該函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

3

③該函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱；④該函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為2萬(wàn)；

4

37T

⑤該函數(shù)的遞增區(qū)間為2k7t--n,2kK+—k&z.

_44_

其中正確的是.(填上所有正確性質(zhì)的序號(hào))

【答案】①④⑤.

【詳解】分析：根據(jù)“正余弦函數(shù)”的定義得到函數(shù)y=sosx=^sin(x+?),然后根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性

質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論.

詳解：①中，由三角函數(shù)的定義可知％0=rcosx,y°=rsin],

所以y=sosx=%+*=sin%+cosx=^2sin(x+—)G[-A/2,0],所以是正確的；

r4

②中，=sosx=y[2sin(x+,所以/(O)=0sin(O+5)=l。。，所以函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是錯(cuò)誤的；

③中，當(dāng)x=3/時(shí)，/(若)=0sin(當(dāng)+￡)=&sin萬(wàn)=0*±0，所以圖象關(guān)于x=/對(duì)稱是錯(cuò)誤的；

44444

④中，y=sosx=^sin(x+f),所以函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為2%,所以是正確的；