人教版四年級上冊數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練講義-第九講幾何計數(shù)（含答案）

第九講幾何計數(shù)解析幾何的產(chǎn)生第一部分：趣味數(shù)學(xué)解析幾何的產(chǎn)生十六世紀(jì)以后，由于生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，天文、力學(xué)、航海等方面都對幾何學(xué)提出了新的需要。比如，德國天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運行的，太陽處在這個橢圓的一個焦點上；意大利科學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體試驗著拋物線運動的。這些發(fā)現(xiàn)都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復(fù)雜的曲線，原先的一套方法顯然已經(jīng)不適應(yīng)了，這就導(dǎo)致了解析幾何的出現(xiàn)。1637年，法國的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家笛卡爾發(fā)表了他的著作《方法論》，這本書的后面有三篇附錄，一篇叫《折光學(xué)》，一篇叫《流星學(xué)》，一篇叫《幾何學(xué)》。當(dāng)時的這個“幾何學(xué)”實際上指的是數(shù)學(xué)，就像我國古代“算術(shù)”和“數(shù)學(xué)”是一個意思一樣。笛卡爾的《幾何學(xué)》共分三卷，第一卷討論尺規(guī)作圖；第二卷是曲線的性質(zhì)；第三卷是立體和“超立體”的作圖，但他實際是代數(shù)問題，探討方程的根的性質(zhì)。后世的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史學(xué)家都把笛卡爾的《幾何學(xué)》作為解析幾何的起點。從笛卡爾的《幾何學(xué)》中可以看出，笛卡爾的中心思想是建立起一種“普遍”的數(shù)學(xué)，把算術(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來。他設(shè)想，把任何數(shù)學(xué)問題化為一個代數(shù)問題，在把任何代數(shù)問題歸結(jié)到去解一個方程式。為了實現(xiàn)上述的設(shè)想，笛卡爾茨從天文和地理的經(jīng)緯制度出發(fā)，指出平面上的點和實數(shù)對（x，y）的對應(yīng)關(guān)系。x，y的不同數(shù)值可以確定平面上許多不同的點，這樣就可以用代數(shù)的方法研究曲線的性質(zhì)。這就是解析幾何的基本思想。具體地說，平面解析幾何的基本思想有兩個要點：第一，在平面建立坐標(biāo)系，一點的坐標(biāo)與一組有序的實數(shù)對相對應(yīng)；第二，在平面上建立了坐標(biāo)系后，平面上的一條曲線就可由帶兩個變數(shù)的一個代數(shù)方程來表示了。從這里可以看到，運用坐標(biāo)法不僅可以把幾何問題通過代數(shù)的方法解決，而且還把變量、函數(shù)以及數(shù)和形等重要概念密切聯(lián)系了起來。解析幾何的產(chǎn)生并不是偶然的。在笛卡爾寫《幾何學(xué)》以前，就有許多學(xué)者研究過用兩條相交直線作為一種坐標(biāo)系；也有人在研究天文、地理的時候，提出了一點位置可由兩個“坐標(biāo)”（經(jīng)度和緯度）來確定。這些都對解析幾何的創(chuàng)建產(chǎn)生了很大的影響。在數(shù)學(xué)史上，一般認為和笛卡爾同時代的法國業(yè)余數(shù)學(xué)家費爾馬也是解析幾何的創(chuàng)建者之一，應(yīng)該分享這門學(xué)科創(chuàng)建的榮譽。費爾馬是一個業(yè)余從事數(shù)學(xué)研究的學(xué)者，對數(shù)論、解析幾何、概率論三個方面都有重要貢獻。他性情謙和，好靜成癖，對自己所寫的“書”無意發(fā)表。但從他的通信中知道，他早在笛卡爾發(fā)表《幾何學(xué)》以前，就已寫了關(guān)于解析幾何的小文，就已經(jīng)有了解析幾何的思想。只是直到1679年，費爾馬死后，他的思想和著述才從給友人的通信中公開發(fā)表。笛卡爾的《幾何學(xué)》，作為一本解析幾何的書來看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，為開辟數(shù)學(xué)新園地做出了貢獻。第二部分：奧數(shù)小練【例題1】求下列圖中線段長度的總和。（單位：厘米）【思路導(dǎo)航】要求圖中的線段長度總和，可以這樣計算：AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE=1+（1+4）+（1+4+2）+（1+4+2+3）+4+（4+2）+（4+2+3）+2+（2+3）=352厘米從上面的計算中可以發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律，算式中長1厘米的基本線段（我們把不能再劃分的線段稱為基本線段）出現(xiàn)了4次，長4厘米的線段出現(xiàn)了（3×2）次，長2厘米的線段出現(xiàn)了（2×3）次，長3厘米的線段出現(xiàn)了（1×4）次，所以，各線段長度的總和還可以這樣算：1×4+4×（3×2）+2×（2×3）+3×（1×4）=1×（5－1）+4×（5－2）×2+2×（5－3）×3+3×（5－4）×4=52厘米上式中的5是線段上的5個點，如果設(shè)線段上的點數(shù)為n，基本線段分別為a1、a2、…a(n－1)。以上各線段長度的總和為L，那么L=a1×(n－1)×1+a2×(n－2)×2+a3×(n－3)×3+…+a(n－1)×1×(n－1)。練習(xí)1：1.一條線段上有21個點（包括兩個端點），相鄰兩點的距離都是4厘米，所有線段長度的總和是多少？2.求下圖中所有線段的總和。（單位：米）3.求下圖中所有線段的總和。（單位：厘米）【例題2】數(shù)出下面圖中有多少條線段?！舅悸穼?dǎo)航】要正確解答這類問題，需要我們按照一定的順序來數(shù)，做到不重復(fù)，不遺漏。從圖中可以看出，從A點出發(fā)的不同線段有3條：AB、AC、AD；從B點出發(fā)的不同線段有2條：BC、BD；從C點出發(fā)的不同線段有1條：CD。因此，圖中共有3+2+1=6條線段。練習(xí)2：1.數(shù)出下列圖中有多少條線段。

2.如圖，線段AB＝5cm，點C、D、E在AB上，且AC＝BE＝1cm，求出圖中所有線段的長度和．(先弄清楚共有幾條線段，為防止遺漏或重復(fù)計數(shù)，經(jīng)常采用按線段連結(jié)的數(shù)量進行計數(shù)，或用線段的一個端點為起點并按一個方向進行計數(shù))3.如圖，在線段AB上任取D、C、E三個點，那么這個圖中共有幾條線段？【例題3】一條直線上有6個點,求幾條線段,幾條直線,幾條射線?【思路導(dǎo)航】假設(shè)這6個點依次是A、B、C、D、E、F

有15條線段：AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF

有1條直線：AF

有2條射線：端點分別是A和F練習(xí)3：1.10個點可以連成幾條線段？2.直線過100個點可以畫幾條線段？3.一個五角星有幾條線段？【例題4】從廣州到北京的某次快車中途要?？?個大站，鐵路局要為這次快車準(zhǔn)備多少種不同車的車票？這些車票中有多少種不同的票價？【思路導(dǎo)航】這道題是數(shù)線段的方法在實際生活中的應(yīng)用，連同廣州、北京在內(nèi)，這條鐵路上共有10個站，共有1+2+3+…+9=45條線段，因此要準(zhǔn)備45種不同的車票。由于這些車站之間的距離各不相等，因此，有多少種不同的車票，就有多少種不同的票價，所以共有45種不同的票價。練習(xí)4：1.從上海到武漢的航運線上，有9個?？看a頭，航運公司要為這段航運線準(zhǔn)備多少種不同的船票？2.從上海至青島的某次直快列車，中途要?？?個大站，這次列車有幾種不同票價？3.從成都到南京的快車，中途要?？?個站，有幾種不同的票價？第三部分：數(shù)學(xué)史話中國古代數(shù)學(xué)在幾何學(xué)中的貢獻中國古代數(shù)學(xué)在幾何學(xué)中的貢獻中國是世界文明發(fā)達最早的國家之一，與古代埃及、印度、巴比倫并稱為四大文明古國．在綿延不斷的五千年文明史中，中華民族集累了極其豐富的文化遺產(chǎn)．在這個多姿多彩的歷史文化寶庫中，數(shù)學(xué)無疑是其中一顆特別璀璨的明珠．它在世界數(shù)學(xué)史上，乃至在整個人類文明發(fā)展史上都光彩奪目，具有極其重要的地位和價值．中國古代的數(shù)學(xué)成就如同造紙、火藥、指南針、印刷術(shù)這四大發(fā)明一樣，是中華民族對世界文明的一項重大貢獻，是值得炎黃子孫珍視的一份驕傲．幾何是一門古老的學(xué)科，它是在人們的生產(chǎn)和生活等實踐活動中逐步形成和發(fā)展起來的．“幾何”是一個翻譯名詞，由我國明代科學(xué)家徐光啟首先使用．但是我國古代勞動人民在長期的生產(chǎn)勞動和社會生活中早已積累了大量的幾何知識，其成就是十分突出的，如流傳至今的《墨經(jīng)》、《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》等自然科學(xué)和數(shù)學(xué)著作，都記載下了很多幾何方面的知識．(1)《墨經(jīng)》(公元前480年～公元前390年)中，已經(jīng)出現(xiàn)了最早的幾何學(xué)理論的雛形．把“圓”定義為“圓，一中同長也”．意思是：圓有而且僅有一個中心，從圓心到圓周上任何一點距離相等．這與歐氏的提法基本一致，但比歐氏要早100多年．(2)《周髀算經(jīng)》(公元前100年前后)中，記載了勾股定理和開平方法，并用于天文觀測和計算．(3)《九章算術(shù)》(公元50年～100年或更早)，歷代數(shù)學(xué)家把它尊為“算經(jīng)之首”．它的計算技術(shù)在當(dāng)時的世界是第一流的，對古代的幾何學(xué)知識也作了比較系統(tǒng)的總結(jié)和闡發(fā)，它的成就主要表現(xiàn)在對各種平面圖形的面積計算，對各種立體圖形的體積計算，以及對勾股形的形容和應(yīng)用這幾個方面．參考答案：練習(xí)1：1.(21-1)×4+(21-2)×8+(21-3)×12+.+(21-20)×80=4×(20×1+19×2+18×3+.+1×20)=6160

cm2.34米3.122厘米練習(xí)2：1.102.因為相鄰兩點所連的線段長度之和為5cm，間隔一個點的線段長度之和為5＋CE＝8cm，間隔兩個點的線段長度之和為4＋4＝8cm，間隔三個點的線段只有AB，其長度為5cm，所以所有線段的長度之和為26cm，也可以把所有線段寫出來，將線段的長度代入，長度不定的線段可以拼成長度一定的線段．3.解：以A為起點的線段有AC、AD、AE、AB四條.以D為起點的線段且與前不重復(fù)的有DE、DC、DB三條.以E為起點的線段且與前不重復(fù)的有EC、EB二條.以C為起點的線段并且與前不重復(fù)的有BC一條.因此圖中共有4+3+2+1=10條線段.

提示：只要有一個端點不相同，就是不同的線段.練習(xí)3：1.每兩個點都可以連一條線段,共有45條線段2.如果學(xué)過排列組合就可以直接求解。兩點就可以畫一條線段。所以在100個點中隨便選取兩個點的選法個數(shù)就是結(jié)果。即100選2……C(100，2)=4950

另外可以通過找規(guī)律來進行解答。

經(jīng)過2點……1條

經(jīng)過3點……3條=1+2

經(jīng)過4點……6條=1+2+3

經(jīng)過5點……10條=1+2+3+4

經(jīng)過6點……15條=1+2+3+4+5

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由此可得規(guī)律

經(jīng)過n點可以畫線段1+2+3+……