浙江省溫州市十校聯(lián)合體2025屆高三高考適應(yīng)性月考（二）數(shù)學(xué)試題（含解析）

浙江省溫州市十校聯(lián)合體2025屆高三高考適應(yīng)性月考（二）數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知變量的幾組取值如下表：

X1234

y2.44.35.37

若y與x線性相關(guān)，且于=0.8%+。，則實(shí)數(shù)（）

711913

A.B.—C.-D.—

4444

1a,+a.

2.各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝的公比qW1,且生,彳。3，%成等差數(shù)列，貝!1\的值為（)

1—A/5出+1

A.B.

22

Mi非+］或逐T

C.D.

22-2

丫2

3.已知耳,心是雙曲線C:1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)耳且垂直于x軸的直線與。相交于兩點(diǎn)，若

a~

\AB\=42,則AAB8的內(nèi)切圓半徑為（）

A.也B.2C.述D.空

3333

4.正三棱柱ABC—A與G中，的=后AB，。是6C的中點(diǎn)，則異面直線AD與4。所成的角為（）

71

ABcD.—

-i-7-i2

5.如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A4G。中，P為線段A4的中點(diǎn)，分別為線段AG和棱4a上任意

一點(diǎn)，則2PAi+J5A/N的最小值為（）

V2

?----B.V2C.V3D.2

2

6.已知AABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)。，E分別是邊A6,6c的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)尸，使得

DE=2石尸，則衣.配的值為（）

D.

8

7.設(shè)命題p:Al,/〉211,則—?p為（）

A.Vn>l,?2>2"B.3n<l,n2<2"

C.V?>l,n2<2"D.3n>l,?2<2"

8.設(shè)/(九)=?,點(diǎn)0(0,0),4(0,1),4(",/(〃))，n^N-

,設(shè)NA。4n=dn對(duì)一切neN*都有不等式

半+*+苧+……+?！?則正整數(shù)，的最小值為（）

A.3B.4C.5D.6

9.已知橢圓C：[+馬=1（?！?〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,點(diǎn)P（玉Q（—冷—%）在橢圓。上，其

ab

中不＞0,M〉0,若|P0=2|O閭，容2乎，則橢圓c的離心率的取值范圍為（）

0,且、

A.B.(0,76-2]

C.,73-1D.(0,73-1]

2020

10.著名的斐波那契數(shù)列｛4｝：1,1,2,3,5,8,滿(mǎn)足％=為=1，。”+2=4+1+。“，”CN*,若4=Z4,1，

n=\

貝！I左=（）

A.2020B.4038C.4039D.4040

11.要排出高三某班一天中，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)各2節(jié)，自習(xí)課1節(jié)的功課表，其中上午5節(jié)，下午2節(jié)，若要求2節(jié)

語(yǔ)文課必須相鄰且2節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰（注意：上午第五節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰），則不同的排法種數(shù)是（）

A.84B.54C.42D.18

f0<2x+y<6

12.若羽y滿(mǎn)足約束條件4。,則z=x+2y的最大值為（)

3<x-y<6,

A.10B.8C.5D.3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2x-y+2<0

13.若變量x,y滿(mǎn)足：x+2y—420,且滿(mǎn)足（f+l）x+?—1）y+r+l=。，則參數(shù)f的取值范圍為.

x-3y+ll>0

22

14.已知點(diǎn)尸是橢圓「+==1（?！?〉0）上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的一條直線與圓/+/=/+后相交于43兩點(diǎn)，若存

ab

在點(diǎn)P,使得|?|「31=/—〃，則橢圓的離心率取值范圍為.

15.已知集合A=?Vl,xeZ｝,5=｛川0?%?2｝，則A^\B=.

16.AABC中，角A,瓦C的對(duì)邊分別為“,仇c,且A,B,C成等差數(shù)列，若b=#>,c=l,則AABC的面積為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

22

17.（12分）已知橢圓2y+*=1（?！等f(wàn)〉0）,上、下頂點(diǎn)分別是4、B,上、下焦點(diǎn)分別是月、工，焦距為2,

點(diǎn)（，11在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）若Q為橢圓上異于4、3的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作與X軸平行的直線/,直線Q3與/交于點(diǎn)S,直線&S與直線A。交

于點(diǎn)P,判斷NSPQ是否為定值，說(shuō)明理由.

18.（12分）如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。為菱形，物，底面ABC。，ZBAD=60°,AB=PA=4,E是

E4的中點(diǎn)，AG3。交于點(diǎn)O.

p

(1)求證：OE〃平面P3C；

(2)求三棱錐E-PBD的體積.

19.(12分)已知函數(shù)=+a---(aeR),g(x)=---.

(1)當(dāng)。為何值時(shí)，X軸為曲線y=/(x)的切線；

⑵用max{ni,〃}表示M、〃中的最大值，設(shè)函數(shù)/2(x)=max{4(x),xg(x)}(x>0),當(dāng)0<°<3時(shí)，討論網(wǎng)％)

零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=(x-l)?+ox-alnx

(I)若a2—2討論了⑺的單調(diào)性;

(II)若a>0,且對(duì)于函數(shù)/(x)的圖象上兩點(diǎn)6(%,/(王)),￡(//(%))(%<9)，存在九0?%，%2)，使得函數(shù)

Ax)的圖象在x=x0處的切線///《￡.求證：/〈號(hào)強(qiáng).

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=111(%+1)+曰必.

(1)當(dāng)a=—1時(shí)，求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

Y+2

⑵若函數(shù)/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)%，/，且占<%,/(%)為/(%)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)根=/(々)+」丁?1(為+1),

O

求加的取值范圍，并求加取到最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的。的值.

22.(10分)已知設(shè)沅=(2cosx,sinx+cosx),n=(A/3sinx,sinx-cosx),記函數(shù)/(x)="〃.

(1)求函數(shù)/(九)取最小值時(shí)x的取值范圍；

(2)設(shè)AA3C的角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若/(C)=2,c=G，求△ABC的面積S的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

求出H,把坐標(biāo)(%,y)代入方程可求得a.

【詳解】

_1s—1IQ10511

據(jù)題意，得x=w(l+2+3+4)=Q,y=z(2.4+4.3+5.3+7)=1,所以］=0.8xQ+a,所以

故選：B.

本題考查線性回歸直線方程，由性質(zhì)線性回歸直線一定過(guò)中心點(diǎn)丘,亍)可計(jì)算參數(shù)值.

2.C

【解析】

分析：解決該題的關(guān)鍵是求得等比數(shù)列的公比，利用題中所給的條件，建立項(xiàng)之間的關(guān)系，從而得到公比q所滿(mǎn)足的

等量關(guān)系式，解方程即可得結(jié)果.

詳解：根據(jù)題意有出+囚=2?1/，即如―q—1=0,因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)，所以“*，而

女士包=工=^^=叵4，故選C.

&+%q1+V52

1

點(diǎn)睛：該題應(yīng)用題的條件可以求得等比數(shù)列的公比心而待求量就是一，代入即可得結(jié)果.

q

3.B

【解析】

首先由|AB|=求得雙曲線的方程，進(jìn)而求得三角形的面積，再由三角形的面積等于周長(zhǎng)乘以?xún)?nèi)切圓的半徑即可求

解.

【詳解】

由題意匕=1將X=-C代入雙曲線。的方程，得y=土工則2=&,a=0,0=石,由

aa

|班|明卜忸閶-忸周=2a=2攻，得AAB月的周長(zhǎng)為

\AF2\+\BF2\+\AB\=2a+\AF1\+2a+\BFl\+\AB\=4a+2\AB\=6夜，

設(shè)AABE,的內(nèi)切圓的半徑為r,則l_x6、歷r=^x2有xJ5,r=3,

223

本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的內(nèi)心的概念，考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題.

4.C

【解析】

取用G中點(diǎn)E，連接A￡，CE,根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，得出A￡〃AD，則NCAE即為異面直線與AC所成

CE

角,求出tan/CAE：4^即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：如圖，取用G中點(diǎn)￡,連接AE,CE,

由于正三棱柱ABC-A與G，則BBI1底面A與G，

而AEu底面4與。]，所以BB]_LAE，

由正三棱柱的性質(zhì)可知，』4G為等邊三角形，

所以且AEn3iG=E,

所以平面5與GC,

而ECU平面BBgC,則\ELEC,

則AE〃AD，N4EC=90°,

.?.NCAE即為異面直線AD與4c所成角,

設(shè)AB=2,則明=20,AE=BCE=3,

CE3/-

則tan/LCA^E—---—『—>/3,

7F

：.AC\E=-.

故選：C.

本題考查通過(guò)幾何法求異面直線的夾角，考查計(jì)算能力.

5.D

【解析】

取AC中點(diǎn)E,過(guò)M作板，面AgG。]，可得△/WFN為等腰直角三角形，由AAPMMAAEM，可得PM=EM,

歷

當(dāng)A/N，5]G時(shí)，MN最小，由MF=JMN，故

2

2PM+42MN=2PM+—MN=2（EM+MF）>2AA=2,即可求解.

2l

IJ

【詳解】

取AC中點(diǎn)E，過(guò)M作面A/1G2，如圖:

則AAPMMAAEM，故PM=EM，

而對(duì)固定的點(diǎn)"，當(dāng)用￡時(shí)，MN最小.

此時(shí)由叱，面可知AMFN為等腰直角三角形，MF=-MN，

2

故2PM+6MN=2PM+—MN=2(EM+=2.

I2J

故選：D

本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.

6.D

【解析】

設(shè)麗=￡，BC=b>作為一個(gè)基底，表示向量詼=L恁=!伍_(kāi)力，DF=-DE^-(b-a),

22V>24,，

AF=AD+DF=--a+-(^-a)=--a+-b,然后再用數(shù)量積公式求解.

24、>44

【詳解】

設(shè)BA=a，BC=b，

所以瓦=，恁=工傷—￡),DF^-DE^-(b-a),AF=AD+DF^--a+-(b-a]^--a+-b,

22、,24、，24、,44

__53]

所以赤?反=——ab+-b-b^-.

448

故選：D

本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.C

【解析】

根據(jù)命題的否定，可以寫(xiě)出一P：Vn>l,H2<2\所以選C.

8.A

【解析】

先求得理其=^^=工-——,再求得左邊的范圍，只需產(chǎn)-2f-221,利用單調(diào)性解得t的范圍.

nn+nnn+1

【詳解】

.sin28=1J_1

由題意知sinn

7rl+nn2n2+nnn+1

.sin^sin^sin^,sin&,1111111,1^4小品一工，品一

H-----——1----1-------1------F...H----------1------,隨n的土旨大而土白大,

I22232n222334nn+1n+1

-<1------<1,

2n+1

At2-2t-2>l,即產(chǎn)—2，—1>0,又f(t)二產(chǎn)一2"1在G1上單增，f(2)=-l<0,f(3)=2>0,

正整數(shù)f的最小值為3.

本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)及求和問(wèn)題，考查了數(shù)列的單調(diào)性及不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

9.C

【解析】

根據(jù)|PQ|=2Q可可得四邊形PFQF2為矩形，設(shè)PK=幾，PF?二=根,根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理可得

4c2mnmn-4c2473

c/22\=+，再分析/=一+一的取值范圍，進(jìn)而求得2<c/2。再求離心率的范圍即可.

2^a--cjnmnm2a-/)3

【詳解】

設(shè)P耳=n,PF2=帆,由玉>0,%〉0,知切<〃，

因?yàn)镻(4yJ,Q(—七,—yj在橢圓C上,戶(hù)。|=2|0尸|=2|06|,

所以四邊形鳥(niǎo)為矩形,。耳=尸工；

由陶可得且<‘<1,

毆33n

由橢圓的定義可得m+〃=2。，加之十幾2=402①，

平方相減可得mn=2(?2-C2)②，

4c2m2+n2mn

由①②得“2，、==+；

2[a—c)mnnm

mn

令A(yù)”一+一,

nm

m

令人v=—w—J1,

n|_3)

所以/=丫+丫€12,§:

4c2/473

即2〈(22\Wa，

2(〃-c\3

所以a2—02</<半卜2—/),

所以1—e2<e2<乎(l—e2),

所以!<e2<4-2瓜

2

解得也＜eW百-1.

2

故選：C

本題主要考查了橢圓的定義運(yùn)用以及構(gòu)造齊次式求橢圓的離心率的問(wèn)題,屬于中檔題.

10.D

【解析】

計(jì)算囚+4=。4，代入等式，根據(jù)4+2=4+1+。”化簡(jiǎn)得到答案.

【詳解】

ai=1,%=2,%=3,故q+%=%，

2020

〃

^2n-l=/+%+…+4039—。4++。7+???+〃4039—〃6+^7+???+〃4039—,*'—"4040，

n=l

故左=4040.

故選：D.

本題考查了斐波那契數(shù)列，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

11.C

【解析】

根據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行討論：①語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都安排在上午；②語(yǔ)文和數(shù)學(xué)一個(gè)安排在上午，一個(gè)安排在下午.分別

求出每一種情況的安排方法數(shù)目，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行討論：

①語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都安排在上午,要求2節(jié)語(yǔ)文課必須相鄰且2節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰，將2節(jié)語(yǔ)文課和2節(jié)數(shù)學(xué)課分別捆綁,

然后在剩余3節(jié)課中選1節(jié)到上午，由于2節(jié)英語(yǔ)課不加以區(qū)分，此時(shí)，排法種數(shù)為=18種;

②語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都一個(gè)安排在上午，一個(gè)安排在下午.

語(yǔ)文和數(shù)學(xué)一個(gè)安排在上午，一個(gè)安排在下午，但2節(jié)語(yǔ)文課不加以區(qū)分，2節(jié)數(shù)學(xué)課不加以區(qū)分，2節(jié)英語(yǔ)課也不

加以區(qū)分，此時(shí)，排法種數(shù)為=24種.

4

綜上所述，共有18+24=42種不同的排法.

故選：c.

本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分類(lèi)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中等題.

12.D

【解析】

121

畫(huà)出可行域，將Z=x+2y化為y=—萬(wàn)工+萬(wàn),通過(guò)平移y=-/X即可判斷出最優(yōu)解，代入到目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值.

【詳解】

0<2x+y<6

解:由約束條件4.，作出可行域如圖，

3<x-y<6

|z

化目標(biāo)函數(shù)z=x+2y為直線方程的斜截式,y=-]X+j.由圖可知

1z

當(dāng)直線y=-QX+/過(guò)4(3,0)時(shí),直線在y軸上的截距最大,z有最大值為3.

故選:D

本題考查了線性規(guī)劃問(wèn)題.一般第一步畫(huà)出可行域，然后將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=ax+bz的形式，在可行域內(nèi)通過(guò)平移

y=ox找到最優(yōu)解，將最優(yōu)解帶回到目標(biāo)函數(shù)即可求出最值.注意畫(huà)可行域時(shí),邊界線的虛實(shí)問(wèn)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.—,2

【解析】

2%-y+2Vo

根據(jù)變量無(wú)，y滿(mǎn)足：卜+2y—420,畫(huà)出可行域，由(f+l)x+(f—l)y+f+l=。，解得直線過(guò)定點(diǎn)A(—1,0),直

x-3y+ll>0

線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與可行域有交點(diǎn)即可，再結(jié)合圖象利用斜率求解.

【詳解】

2x-y+2<0

由變量龍，y滿(mǎn)足：x+2y-4>0,畫(huà)出可行域如圖所示陰影部分,

x-3y+ll>0

由+-l)y+/+l=0,整理得(x+y+l)/+jv—y+l=0,

x+y+l=0

由<解得％=—1,y=0,

x-y+l=0

所以直線?+1）%+?-1）丁+，+1=0過(guò)定點(diǎn)4（—1,0）,

2%—y+2<0/、

由</「C，解得。(1,4),

x-3y+ll>0'7

x+2y—4>0,、

由</「八，解得6(—2,3),

x-3y+ll>0'7

要使“+l)x+“—l)y+f+l=0,則與可行域有交點(diǎn),

當(dāng)『=1時(shí)，滿(mǎn)足條件,

當(dāng)/W1時(shí)，直線得斜率應(yīng)該不小于AC,而不大于A3,

+1cZ+1C

即---22或----<—3,

1-t1-t

解得—<%<2,且，wl,

3

綜上：參數(shù)，的取值范圍為；,2.

故答案為：；,2

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

【解析】

設(shè)P（%,%），設(shè)出直線AB的參數(shù)方程，利用參數(shù)的幾何意義可得|1>4||尸5匕[/,口,由題意得到/.2尸，據(jù)此求

得離心率的取值范圍.

【詳解】

/、x=+tcosa

設(shè)尸（七,%）,直線AB的參數(shù)方程為.，“為參數(shù)）

[y=yQ+tsma

代入圓x2+y2=a2+Z?2,

121

化簡(jiǎn)得：t+2（x0cosa++-a-b=0,

.■?IPAWP5|=*=k；+yo-a2-b2\=a2+b2-（君+?）,

?.?焉+y：e[Z?2,a2],

:.\PA\\PB\e\_b~,a2~\,

???存在點(diǎn)尸,使得|巳4|?|尸例=。2—〃，

a2-b2..b2,BPa2..2b2,

a2,,2c2,

.21

..c...—,

2

V2

.1——<e<1，

2

故答案為：,1

本題主要考查了橢圓離心率取值范圍的求解，考查直線、圓與橢圓的綜合運(yùn)用，考查直線參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔

題.

15.{0,1}

【解析】

直接根據(jù)集合A和集合B求交集即可.

【詳解】

解：A=1x|x<l,xeZ},

B=1x|0<2},

所以4「3={0,1}.

故答案為:{0,1}

本題考查集合的交集運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

V3

1b.----.

2

【解析】

jr

由4B,C成等差數(shù)列得出2=60。，利用正弦定理得。進(jìn)而得A=一代入三角形的面積公式即可得出.

2

【詳解】

VA,B,C成等差數(shù)列，.?.A+C=2B,

又A+8+C=180°,.?.38=180°,8=60°.

ch|jr...71

故由正弦定理——=——.sinC=—*:c<b.\C=—,故A=一

sinCsinB262

所以S^ABC=—be=，

22

故答案為：走

2

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形的面積公式，考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

22

17.(1)匕+土=1；(2)/SPQ=上,理由見(jiàn)解析.

432

【解析】

(1)求出橢圓的上、下焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的定義求得。的值，進(jìn)而可求得b的值，由此可得出橢圓的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(%,%)(%0/0)，求出直線的方程，求出點(diǎn)S的坐標(biāo)，由此計(jì)算出直線AQ和工5的斜率,

可計(jì)算出心°次做的值，進(jìn)而可求得NSPQ的值，即可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)由題意可知，橢圓的上焦點(diǎn)為耳(0,1)、K(0,-1),

由橢圓的定義可得2a=+0*=4>可得。=2，:.b=y/a2—1=y/3,

因此，所求橢圓的方程為乙+二=1；

43

22A2

(2)設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(%,%)(%*0)，則,+甘=1，得q=4—十，

1八

______\，4S/

y+2y+2

直線BQ的斜率為凝。二川n一,所以，直線BQ的方程為＞—nx-2,

聯(lián)立<%+20，解得〈為+2,即點(diǎn)S-^-,2,

>=丁'一21%+2J

IAo1》一/

y-2k=2+1=3(%+2)

直線AQ的斜率為做°=7一,直線KS的斜率為雁4/4%

xo

所以，“U一23(%+2)_3(需-4)「才x3...A。—S,

71

因此，ZSPQ=-.

2

本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了橢圓中定值問(wèn)題的求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

18.(1)證明見(jiàn)解析(2)逑

3

【解析】

(1)連接OE,利用三角形中位線定理得到OE〃PC,即可證出?！辍ㄆ矫鍼8C；

⑵由E是孫的中點(diǎn)，叫6廣3—3一9求出S3,即可求解.

【詳解】

(1)證明：如圖所示：

?..點(diǎn)。，E分別是AC,9的中點(diǎn)，

0E是△B4c的中位線,：.OE//PC,

又,/OE<Z平面PBC,PCu平面PBC,

.?.0E〃平面PBC；

(2)解：\"PA=AB=4,：.AE=2,

,底面A3C。為菱形，ZBAD^6Q°,

/?5AABD=—x4x4xsin60°=4^/3,

2

三棱錐E-PB。的體積

本題考查空間線、面位置關(guān)系，證明直線與平面平行以及求三棱錐的體積，注意等體積法的應(yīng)用，考查邏輯推理、數(shù)

學(xué)計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3

19.(1)?=-；(2)見(jiàn)解析.

4

【解析】

/(xo)

(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(/，°)，然后根據(jù)《可解得實(shí)數(shù)。的值;

(2)令工(x)=#(x)=——,gr(x)=xg(%)=In%(%>0),然后對(duì)實(shí)數(shù)。進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合工|卜口

工(1)的符號(hào)來(lái)確定函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】

(1)f(尤)=—x~+a———,/'(x)=—2.x+—~~-

/(Xo)=0

設(shè)曲線y=/(x)與x軸相切于點(diǎn)(為,。)，貝卜

1

-XQ+〃----=0

:七,解得<

即《

3

-2、。+裔=°Cl———

4

3

所以，當(dāng)a=a時(shí)，X軸為曲線y=/(x)的切線;

(2)令力(％)=#(%)=一丁+以一；，g1(x)=xg(x)=lnx(x>0),

則/i(x)=max{工(%),.(%)},f\x)=-3x2+a,由<'(x)=0,得無(wú)fa

3

當(dāng)xeajfj時(shí)，＜此時(shí)，函數(shù)y=＜(])為增函數(shù)；當(dāng)xebg+s時(shí)，＜'(%)＜0,此時(shí),函數(shù)y=＜(x)

為減函數(shù).

\-0<a<3,0<Jy<1.

3

①當(dāng)工,即當(dāng)0＜。＜一時(shí),函數(shù)y=/z(x)有一個(gè)零點(diǎn);

4

3

②當(dāng)工,即當(dāng)a=z時(shí)，函數(shù)y=〃(x)有兩個(gè)零點(diǎn);

3s

,即當(dāng)工＜。＜1時(shí)，函數(shù)y=〃(x)有三個(gè)零點(diǎn);

工⑴<0

工

④當(dāng)《即當(dāng)。=:時(shí)，函數(shù)y=/z(x)有兩個(gè)零點(diǎn);

,即當(dāng)*<時(shí),

a<3函數(shù)y=/i(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

4

35

綜上所述，當(dāng)0＜。＜/或]＜a＜3時(shí)，函數(shù)y=〃(x)只有一個(gè)零點(diǎn);

35

當(dāng)a=Z或4=^時(shí)，函數(shù)y=〃(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；

35

當(dāng)Z＜a＜Z時(shí)，函數(shù)y=〃(另有三個(gè)零點(diǎn)?

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究切線方程和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，關(guān)鍵是分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬

難題.

20.（1）見(jiàn)解析⑵見(jiàn)證明

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)/（%）求導(dǎo)，分別討論。之0,—2<。<0以及a=—2,即可得出結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)幾何意義得到

---------------------------IAj十％2—2

x2-x1-----------------------------x2+x2----------------------

轉(zhuǎn)化為證明In?>2即可,再令/=個(gè)，設(shè)g?）=ln/-坐J?〉D，用導(dǎo)數(shù)方法判斷出g（。的單調(diào)性,

進(jìn)而可得出結(jié)論成立.

【詳解】

⑴解：易得,函數(shù)/（九）的定義域?yàn)椋?,+8）,

r（x）=2（x—1）+/=巨-1）吐“）,

XX

令/'（尤）=。,得X=1或X=_：.

①當(dāng)。之0時(shí)，0<%<1時(shí)，r（x）<。，函數(shù)/（九）單調(diào)遞減；

%>1時(shí),r（x）>o,函數(shù)〃無(wú)）單調(diào)遞增.

此時(shí)，/（尤）的減區(qū)間為（0,1）,增區(qū)間為（1,+8）.

②當(dāng)—2<a<0時(shí)，—￡<X<1時(shí)，/,（%）<0,函數(shù)八%）單調(diào)遞減;

0<x<-^|或％>1時(shí)，/,（x）>0,函數(shù)〃4）單調(diào)遞增.

此時(shí)，/（%）的減區(qū)間為，增區(qū)間為［。,一舁（1,+8）.

③當(dāng)a=—2時(shí)，x>0時(shí)，/'（x）=2（x-1）>0,函數(shù)/（%）單調(diào)遞增;

此時(shí)，/（尤）的減區(qū)間為（0,+8）.

綜上，當(dāng)aNO時(shí)，/（可的減區(qū)間為（0,1）,增區(qū)間為（1,+8）：

當(dāng)—2<a<0時(shí)，〃尤）的減區(qū)間為—■!」，增區(qū)間為0,-￡.（1,+8）；

當(dāng)a=—2時(shí)，”尤）增區(qū)間為（0,+8）.

（2）證明：由題意及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得了（%）;左砧二八"八"

X?一玉

22

-1）+但一。依2-(%1-1)+axx-cAwcx

tzln—

二（石+%2-2）+aH--------

X?~I-%2

由（1）中/'（X）得%々］=&+々—2）+a一一

易知，導(dǎo)函數(shù)/'（x）=2（x—l）+a—4（a>0）在（0,+8）上為增函數(shù),

所以，要證/<后三，只要證土產(chǎn);

aln強(qiáng)%2、2億一玉）

即占2a,即證In-->----------

------<一玉玉+%2

x2一石x1+x2

因?yàn)轳R〉王〉0,不妨令/=三，則g(f)=ln-2a1)?>1).

X1t+l

，/\14"1)2

所以----^-=-----^->0?>1)，

t(r+1)(+1)~

所以g(。在，e(l,+8)上為增函數(shù)，

所以g(1)>g(l)=0,即Inf—2(’；)〉0，

所以心智口口In%2

即——>——

t—1%+1

即In三>2(5％).

X[X[+%

田士X，

故有％<1+cX一（得證）.

2

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通常需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)極值等即可，屬于?？?/p>

題型.

21.(1)單調(diào)遞增區(qū)間為1—1,與人］單調(diào)遞減區(qū)間為［老二,+8(2)機(jī)的取值范圍是1+ln|,l-ln2^|;對(duì)

應(yīng)的。的值為3.

3

【解析】

(1)當(dāng)a=—1時(shí)，求/'(X)的導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)再，x2,且不<々，利用導(dǎo)函

數(shù)-(無(wú))=—匚+辦=竺士竺土1,可得。的范圍，再表達(dá)加=/(9)+中.尸(％+1),構(gòu)造新函數(shù)可求加的取值范圍，

x+1x+\8

從而可求加取到最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的〃的值.

【詳解】

(1)函數(shù)/(X)=/〃(％+1)+￡%2

由條件得函數(shù)的定義域：{x|x>-l},

當(dāng)Q=—1時(shí)，/(x)=ln(x+l)-^x2,

1—f—y1

所以：f\x)=--—X=%E,

X+lX+1

尸(?=。時(shí)，x=

2

當(dāng)尤時(shí)，f'(x)>0,當(dāng)xw速三,+8)時(shí)，/(x)<0,

則函數(shù)了(無(wú))的單調(diào)增區(qū)間為：(-1,與人)，單調(diào)遞減區(qū)間為：(存+8)；

ar+ar+b

(2)由條件得：x>-l,f\x)=—+ax=,

x+1x+\

由條件得/0)=4+ax+l=o有兩根：％,X2,滿(mǎn)足一1<%<九2，

△>0,可得：avO或。>4；

由〃?0(-1)>。，可得：a>0.

:,a>4,

,??函數(shù)9(%)的對(duì)稱(chēng)軸為x=,-1<%<九2，

所以：x2￡(一(，0);

?<,avf+a