第十章概率章末題型歸納總結(jié)

第十章概率章末題型歸納總結(jié)章末題型歸納目錄模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：互斥事件、對立事件與相互獨(dú)立事件經(jīng)典題型二：古典概型經(jīng)典題型三：相互獨(dú)立事件概率的計算經(jīng)典題型四：概率綜合問題模塊三：數(shù)學(xué)思想與方法分類與整合思想②等價轉(zhuǎn)換思想③函數(shù)與方程的思想

模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：互斥事件、對立事件與相互獨(dú)立事件例1．袋子里裝有大小質(zhì)地都相同的2個白球，1個黑球，從中不放回地摸球兩次，用表示事件“第1次摸得白球”，表示事件“第2次摸得白球”，則與是A．互斥事件 B．相互獨(dú)立事件 C．對立事件 D．不相互獨(dú)立事件【答案】【解析】互斥事件是指在一定條件下不可能同時發(fā)生的事件，由此判斷和不互斥，則也不對立．由題意可知：（A），（B）．故事件發(fā)生對事件的概率有影響，故和不是相互獨(dú)立事件．故選：．例2．將一枚均勻的骰子擲兩次，記事件為“第一次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，為“第二次出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，則有A．與相互獨(dú)立 B．（A）（B） C．與互斥 D．【答案】【解析】對于，由題意可知，事件的發(fā)生與否對事件沒有影響，所以與相互獨(dú)立，故選項(xiàng)正確；對于，，由于事件與事件可以同時發(fā)生，所以事件與不互斥，則選項(xiàng)，錯誤；對于，由于事件與相互獨(dú)立，所以（A）（B），故選項(xiàng)錯誤．故選：．例3．設(shè)、為兩個隨機(jī)事件，給出以下命題：（1）若、為互斥事件，且，，則；（2）若，，，則、為相互獨(dú)立事件；（3）若，，，則、為相互獨(dú)立事件；（4）若，，，則、為相互獨(dú)立事件；（5）若，，，則、為相互獨(dú)立事件；其中正確命題的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【解析】在（1）中，若、為互斥事件，且，，則，故（1）正確；在（2）中，若，，，則由相互獨(dú)立事件乘法公式知、為相互獨(dú)立事件，故（2）正確；在（3）中，若，，，則由對立事件概率計算公式和相互獨(dú)立事件乘法公式知、為相互獨(dú)立事件，故（3）正確；在（4）中，若，，，當(dāng)、為相互獨(dú)立事件時，，故（4）錯誤；（5）若，，，則由對立事件概率計算公式和相互獨(dú)立事件乘法公式知、為相互獨(dú)立事件，故（5）正確．故選：．例4．拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，既有正面向上又有反面向上，至多有一個反面向上，則與關(guān)系是A．互斥事件 B．對立事件 C．相互獨(dú)立事件 D．不相互獨(dú)立事件【答案】【解析】由于中的事件發(fā)生與否對于中的事件是否發(fā)生不產(chǎn)生影響，故與是相互獨(dú)立的，故選：．例5．一個口袋中有黑球和白球各5個，從中連摸兩次球，每次摸一個且每次摸出后不放回，用表示第一次摸得白球，表示第二次摸得白球，則與是A．互斥事件 B．不相互獨(dú)立事件 C．對立事件 D．相互獨(dú)立事件【答案】【解析】由互斥事件與對立事件定義可知互斥事件是二者一個發(fā)生了另一個就不能發(fā)生．對立事件是二者互斥并且二者必有一個發(fā)生，相互獨(dú)立事件：事件（或是否發(fā)生對事件（A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨(dú)立事件．所以一個口袋中有黑球和白球各5個，從中連摸兩次球，每次摸一個且每次摸出后不放回，用表示第一次摸得白球，表示第二次摸得白球，則與是不相互獨(dú)立事件．故選：．例6．一袋中裝有5只白球，3只黃球，在有放回地摸球中，用表示第一次摸得白球，表示第二次摸得白球，則事件與是A．相互獨(dú)立事件 B．不相互獨(dú)立事件 C．互斥事件 D．對立事件【答案】【解析】由題意可得表示第二次摸到的不是白球，即表示第二次摸到的是黃球，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黃球互不影響，故事件與是相互獨(dú)立事件．故選：．例7．設(shè)，，是隨機(jī)事件，則以下說法一定正確的是A．若，相互獨(dú)立，則，互斥 B．若，互斥，則，相互獨(dú)立 C．若，既互斥又相互獨(dú)立，則必有（A）或（B） D．，，兩兩互斥，則，，相互獨(dú)立【答案】【解析】一般情況下，若不考慮不可能事件和必然事件，當(dāng)事件，若滿足（A）（B），則兩事件相互獨(dú)立，，是可以同時發(fā)生的，而互斥事件是指在同一個試驗(yàn)中不能同時發(fā)生的兩個事件，故、、錯誤；若，相互獨(dú)立且互斥，則（A）（B），則（A），或（B），故正確；故選：．例8．設(shè)事件，的概率分別為，，與互斥，求的值A(chǔ)． B． C． D．【答案】【解析】根據(jù)題意，（B），因?yàn)榕c互斥，則，故，則（B），故選：．經(jīng)典題型二：古典概型例9．從裝有大小相同的3個紅球和2個白球的袋子中，隨機(jī)摸出2個球，則至少有一個白球的概率為A． B． C． D．【答案】【解析】由題意，所求概率即為摸出的兩個球中有白球的概率，設(shè)3個紅球分別記為，，，2個白球分別記為，，則所有可能的結(jié)果為，，，，，，，，，，共10種，符合條件的結(jié)果為，，，，，，，共7種，所以所求概率為．故選：．例10．4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率為A． B． C． D．【答案】【解析】從4張卡片上分別寫有1，2，3，4中隨機(jī)抽取2張的基本事件有12，13，14，23，24，34共6種情況，其中數(shù)字之積為偶數(shù)的有12，14，23，24，34共5種情況，故概率．故選：．例11．甲、乙兩位同學(xué)暑假計劃從吉林省去河北省旅游，他們所搭乘動車的“”座位車廂如圖所示，若這兩位同學(xué)買到了同一排的座位，則他們的座位正好相鄰的概率為A． B． C． D．【答案】【解析】設(shè)事件為“他們的座位正好相鄰”，甲乙二人買到同一排，，，，個座位中的兩個形成的樣本空間為，則，，，，，，，，，，共包含10個樣本點(diǎn)，其中事件，，，包含3個樣本點(diǎn)，則有，所以他們的座位正好相鄰的概率為．故選：．例12．已知袋中裝有5個大小形狀相同的小球，其中黑球2個、紅球3個，現(xiàn)從中不放回地抽取2次，每次取出1個球，則第二次取出的球是紅球的概率為A． B． C． D．【答案】【解析】由題可知第二次取出的球是紅球有兩種情況，一種是第一次抽到黑球，第二次抽到紅球，概率為，一種是第一次抽到紅球，第二次抽到紅球，概率為，第二次取出的球是紅球的概率．故選：．例13．煙花三月、草長鶯飛，櫻花、桃花、梨花、蘋果花陸陸續(xù)續(xù)地都開放了，周老師準(zhǔn)備從這4種花中任選出3種去旅游觀賞，則恰巧選中梨花與蘋果花的概率為A． B． C． D．【答案】【解析】設(shè)櫻花、桃花為1，2，梨花與蘋果花為和，從中選3種花去旅游觀賞的基本事件為：，，，，共4種，其中含有梨花與蘋果花的事件有：，，共2個，所以恰巧選中梨花與蘋果花的概率為，故答案為：．例14．袋中有大小、質(zhì)地均相同的黑球和白球共個，設(shè)“任取1個球，這個球是白球”為事件，則．現(xiàn)再向袋中放入4個白球和3個黑球，則，則的值是A．4 B．5 C．6 D．7【答案】【解析】設(shè)原來袋中白球有個，根據(jù)“任取1個球，這個球是白球”為事件，則．得，又再向袋中放入4個白球和3個黑球，則，得，則，，故選：．例15．從3名男生和2名女生中隨機(jī)選取2人參加書法展覽會，則選取的2人全是男生的概率為A． B． C． D．【答案】【解析】方法一：記3名男生分別為，，，2名女生分別為，，從5人中隨機(jī)選取2人，樣本空間，，，，，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)事件“2名全是男生”，則，，，，，，（A），故所求概率為：．方法二：5人中選2人有種方法，2人全是男生，則從3個男生中選2人，有種方法，故所求概率為：．故選：．例16．劉徽是魏晉時代著名數(shù)學(xué)家，他給出的階幻方被稱為“神農(nóng)幻方”．所謂幻方，即把1，2，，排成的方陣，使其每行、每列和對角線的數(shù)字之和均相等．如圖是劉徽構(gòu)作的3階幻方，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取和為15的三個數(shù)，則含有4或6的概率是A． B． C． D．【答案】【解析】所有和為15的3個數(shù)的情況為：1、5、9，1、6、8，2、4、9，2、5、8，2、6、7，3、4、8，3、5、7，4、5、6共有8種，其中含有4或6的情況共有5種，所以含有4或6的概率是．故選：．經(jīng)典題型三：相互獨(dú)立事件概率的計算例17．為普及抗疫知識、弘揚(yáng)抗疫精神，某學(xué)校組織防疫知識競賽．比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽．已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為，．甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響．（1）從甲、乙兩人中選取1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？（2）若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率．【解析】（1）設(shè)“甲在第一輪比賽中勝出”，“甲在第二輪比賽中勝出”，“乙在第一輪比賽中勝出”，“乙在第二輪比賽中勝出”，則“甲贏得比賽”，“乙贏得比賽”，，，，，，同理，，派甲參賽獲勝的概率更大．（2）由（1）知，設(shè)“甲贏得比賽”，“乙贏得比賽”，，，于是“兩人中至少有一人贏得比賽”，．例18．第56屆世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽于2022年在中國成都舉辦，國球運(yùn)動又一次掀起熱潮．現(xiàn)有甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽采用7局4勝制，每局11分制，每贏一球得1分，選手只要得到至少11分，并且領(lǐng)先對方至少2分，即贏得該局比賽．在一局比賽中，每人只發(fā)2個球就要交換發(fā)球權(quán)，如果雙方比分為后，每人發(fā)一個球就要交換發(fā)球權(quán)．（1）已知在本場比賽中，前三局甲贏兩局，乙贏一局，在后續(xù)比賽中，每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，求甲乙兩人只需要再進(jìn)行兩局比賽就能結(jié)束本場比賽的概率；（2）已知某局比賽中雙方比分為，且接下來兩球由甲發(fā)球，若甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時乙得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨(dú)立，求該局比賽甲得11分獲勝的概率．【解析】（1）設(shè)“甲乙兩人只需要再進(jìn)行兩局比賽就能結(jié)束本場比賽”為事件，若兩局比賽就能結(jié)束，則只能甲連勝兩局，所以；（2）設(shè)“該局比賽甲得（11分）獲勝”為事件，甲得（11分）獲勝有兩類情況：甲連得（3分），則甲獲勝；甲得（3分），乙得（1分），則甲獲勝，此時有三種情況，每球得分方分別為乙甲甲甲，甲乙甲甲，甲甲乙甲，所以．例19．今有甲、乙兩支籃球隊(duì)進(jìn)行比賽，規(guī)定兩隊(duì)中有一隊(duì)勝4場，則整個比賽宣告結(jié)束，假設(shè)甲、乙兩隊(duì)在每場比賽中獲勝的概率都是，各場比賽沒有平局且相互獨(dú)立．（1）求恰好打滿4場整個比賽就結(jié)束的概率；（2）求甲隊(duì)連勝4場整個比賽就結(jié)束的概率．【解析】設(shè)表示事件：甲隊(duì)在第，2，3，4，5，6，場比賽中獲勝，則，（1）設(shè)表示事件：恰好打滿4場整個比賽就結(jié)束，則（A），（2）設(shè)事件表示：甲隊(duì)連勝4場比賽就結(jié)束，則（B）．例20．甲、乙、丙3位大學(xué)生同時應(yīng)聘某個用人單位的職位，3人能被選中的概率分別為，且各自能否被選中互不影響．（1）求3人同時被選中的概率；（2）求3人中至少有1人被選中的概率．【解析】（1）甲、乙、丙3位大學(xué)生同時應(yīng)聘某個用人單位的職位，3人能被選中的概率分別為，且各自能否被選中互不影響．則3人同時被選中的概率為：．（2）3人中至少有1人被選中的概率為：．例21．某高校的特殊類型招生面試中有4道題目，獲得面試資格的甲同學(xué)對一四題回答正確的概率依次是，，，．規(guī)定按照題號依次作答，并且答對一，二，三，四題分別得1，2，3，6分，答錯1題減2分，當(dāng)累計積分小于分面試失敗，不少于4分通過面試，假設(shè)甲同學(xué)回答正確與否相互之間沒有影響．（1）求甲同學(xué)回答完前3題即通過面試的概率；（2）求甲同學(xué)最終通過面試的概率．【解析】（1）用，2，3，表示第個問題回答正確，記“甲同學(xué)回答完前3題即通過面試”為事件，則，則甲同學(xué)回答完前3題即通過面試的概率為：；（2）設(shè)“甲同學(xué)最終通過面試”為事件，則，甲同學(xué)最終通過面試的概率為：．例22．某學(xué)校舉行知識競賽，第一輪選拔共設(shè)有，，，四個問題，規(guī)則如下：①每位參加者計分器的初始分均為10分，答對問題，，，分別加1分、2分、3分、6分，答錯任一題減2分．②每回答一題，計分器顯示累計分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計分?jǐn)?shù)小于8分時，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計分?jǐn)?shù)大于或等于14分時，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完四題，累計分?jǐn)?shù)仍不足14分時，答題結(jié)束，淘汰出局．③每位參加者按問題，，，順序作答，直至答題結(jié)束．假設(shè)甲考生對問題，，，回答正確的概率依次為、、、、且各題回答正確與否相互之間沒有影響（1）求甲考生本輪答題結(jié)束時恰答了3道題的概率；（2）求甲考生能進(jìn)入下一輪的概率．【解析】解．（1）設(shè)，，，分別為第一、二、三、四個問題，用，2，3，分別表示甲考生在第個問題回答正確的概率，則，記“本輪答題結(jié)束時甲恰答了3道題”為事件，則甲考生本輪答題結(jié)束時恰答了3道題的概率為：；（2）記“甲考生能進(jìn)入下一輪”為事件，則甲考生能進(jìn)入下一輪的概率為：．例23．一位同學(xué)想調(diào)查某學(xué)校學(xué)生閱讀古典四大名著《紅樓夢》、《三國演義》、《西游記》、《水滸傳》的情況，他隨機(jī)問了5名同學(xué)表示已讀），得到了以下表格：《紅樓夢》《三國演義》《西游記》《水滸傳》同學(xué)同學(xué)同學(xué)同學(xué)同學(xué)（1）現(xiàn)在從這五位同學(xué)中選出兩位，設(shè)事件為“兩位同學(xué)都讀過《紅樓夢》和《三國演義》”，請用集合的形式分別寫出樣本空間和事件所包含的所有結(jié)果，并計算出事件的概率；（2）經(jīng)過統(tǒng)計，該學(xué)校讀過《紅樓夢》、《三國演義》、《西游記》、《水滸傳》四本名著的概率分別為，，，，求一位同學(xué)恰好讀過其中三本書的概率．【解析】（1）設(shè)五位同學(xué)分別為，，，，，樣本空間，，，，，，，，，，事件為“兩位同學(xué)都讀過《紅樓夢》和《三國演義》”，則事件，，，事件的概率（A）．（2）該學(xué)校讀過《紅樓夢》、《三國演義》、《西游記》、《水滸傳》四本名著的概率分別為，，，，則一位同學(xué)恰好讀過其中三本書的概率為：．例24．甲、乙、丙三人進(jìn)行摔跤比賽，比賽規(guī)則如下：①每場比賽有兩人參加，另一人當(dāng)裁判，沒有平局；②每場比賽結(jié)束時，負(fù)的一方在下一場當(dāng)裁判；③累計負(fù)兩場者被淘汰；④當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人累計負(fù)兩場被淘汰，另一人最終獲得冠軍，比賽結(jié)束．已知在每場比賽中，甲勝乙和甲勝丙的概率均為，乙勝丙的概率為，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立．經(jīng)抽簽，第一．場比賽甲當(dāng)裁判．（1）求前三場比賽結(jié)束后，丙被淘汰的概率；（2）求只需四場比賽就決出冠軍的概率；（3）求甲最終獲勝的概率．【解析】記事件為甲勝乙，則，，事件為甲勝丙，則，，事件為乙勝丙，則，，前三場比賽結(jié)束后，丙被淘汰的概率為．（2）只需四場比賽就決出冠軍的概率為．（3）由于甲勝乙和甲勝丙的概率均為，且乙勝丙和丙勝乙的概率也相等，均為，第一場比賽甲當(dāng)裁判，以后的比賽相對于甲，可視乙丙為同一人，設(shè)甲勝為事件，甲當(dāng)裁判為事件，．例25．甲、乙、丙、丁四名選手進(jìn)行羽毛球單打比賽．比賽采用單循環(huán)賽制，即任意兩位參賽選手之間均進(jìn)行一場比賽．每場比賽實(shí)行三局兩勝制，即最先獲取兩局的選手獲得勝利，本場比賽隨即結(jié)束．假定每場比賽、每局比賽結(jié)果互不影響．（1）若甲、乙比賽時，甲每局獲勝的概率為，求甲獲得本場比賽勝利的概率；（2）若甲與乙、丙、丁每場比賽獲勝的概率分別為，，，試確定甲第二場比賽的對手，使得甲在三場比賽中恰好連勝兩場的概率最大．【解析】（1）設(shè)甲在第局獲勝為事件，事件為“甲獲得本場比賽勝利”，則，又，；（2）若甲在第二場與乙比賽，則甲勝乙，且在甲丙、甲與丁的比賽中，甲只勝一場．此時，甲恰好連勝兩場的概率；若甲在第二場與丙比賽，則甲勝丙，且在甲與乙、甲與丁的比賽中，甲只勝一場．此時，甲恰好連勝兩場的概率；若甲在第二場與丁比賽，則甲勝丁，且在甲與乙、甲與丙的比賽中，甲只勝一場．此時，甲恰好連勝兩場的概率．，甲在第二場與丁比賽時，甲恰好連勝兩場的概率最大．經(jīng)典題型四：概率綜合問題例26．甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．（Ⅰ）若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，求選出的2名教師性別相同的概率；（Ⅱ）若從報名的6名教師中任選2名，求選出的2名教師來自同一學(xué)校的概率．【解析】（Ⅰ）甲校兩名男教師分別用，表示，女教師用表示；乙校男教師用表示，兩名女教師分別用、表示．從甲校和乙校的教師中各任選1名的所有可能的結(jié)果為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共9種．從中選出兩名教師性別相同的結(jié)果有：，，，，，，，，共4種，所以選出的兩名教師性別相同的概率為．（Ⅱ）從甲校和乙校的教師中任先2名的所有可能的結(jié)果為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共15種．從中選出兩名教師來自同一學(xué)校的結(jié)果有：，，，，，，，，，，，，共6種．所以，選出兩名教師來自同一學(xué)校的概率為．例27．某校從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，，，，，后得到如圖的頻率分布直方圖．（1）求圖中實(shí)數(shù)的值；（2）若該校高一年級共有學(xué)生1000人，試估計該校高一年級期中考試數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)．（3）若從樣本中數(shù)學(xué)成績在，與，兩個分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，試用列舉法求這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值大于10的概率．【解析】（1）由頻率分布直方圖，得：，解得．（2）數(shù)學(xué)成績不低于60分的概率為：，數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)為：（人．（3）數(shù)學(xué)成績在，的學(xué)生為（人，數(shù)學(xué)成績在，的學(xué)生人數(shù)為（人，設(shè)數(shù)學(xué)成績在，的學(xué)生為，，數(shù)學(xué)成績在，的學(xué)生為，，，，從樣本中數(shù)學(xué)成績在，與，兩個分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，其中兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值大于10的情況有：，，，，，，，，共8種，這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值大于10的概率為．例28．某市地鐵全線共有四個車站，甲乙兩人同時在地鐵第一號車站（首發(fā)站）乘車．假設(shè)每人自第2號車站開始，在每個車站下車是等可能的．約定用有序?qū)崝?shù)對表示“甲在號車站下車，乙在號車站下車”．（1）用有序?qū)崝?shù)對把甲乙兩人下車的所有可能的結(jié)果列舉出來；（2）求甲乙兩人同在第3號車站下車的概率；（3）求甲乙兩人在不同的車站下車的概率．【解析】（1）甲、乙兩人下車的所有可能的結(jié)果為：，，，，，，，，（2）設(shè)甲、乙兩人同在第3號車站下車的事件為，則（3）設(shè)甲、乙兩人在不同的車站下車的事件為，則．例29．一個包裝箱內(nèi)有6件產(chǎn)品，其中4件正品，2件次品．現(xiàn)隨機(jī)抽出兩件產(chǎn)品．（要求羅列出所有的基本事件）（1）求恰好有一件次品的概率．（2）求都是正品的概率．（3）求抽到次品的概率．【解析】（1）將六件產(chǎn)品編號，四件正品設(shè)為、、、，兩件次品設(shè)為、，從6件產(chǎn)品中選2件，其包含的基本事件為：，共有15種，設(shè)恰好有一件次品為事件，事件中基本事件數(shù)為：共有8種，則恰好有一件次品的概率（A）．（4分）（2）設(shè)都是正品為事件，事件中基本事件數(shù)為：，共6種則都是正品的概率（B）．（8分）（3）設(shè)抽到次品為事件，事件與事件是對立事件，則抽到次品的概率（C）（B）．（12分）例30．某果園要用三輛汽車將一批水果從所在城市運(yùn)至銷售城市，已知從城市到城市有兩條公路．統(tǒng)計表明：汽車走公路Ⅰ堵車的概率為，不堵車的概率為；走公路Ⅱ堵車的概率為，不堵車的概率為，若甲、乙兩輛汽車走公路Ⅰ，第三輛汽車丙由于其他原因走公路Ⅱ運(yùn)送水果，且三輛汽車是否堵車相互之間沒有影響．（1）求甲、乙兩輛汽車中恰有一輛堵車的概率；（2）求三輛汽車中至少有兩輛堵車的概率．【解析】（1）記“汽車甲走公路Ⅰ堵車”為事件，“汽車乙走公路Ⅰ堵車”為事件，“汽車丙走公路Ⅱ堵車”為事件．甲、乙兩輛汽車中恰有一輛堵車的概率為．（2）甲、乙、丙三輛汽車中至少有兩輛堵車的概率為．例31．設(shè)人的某一特征（如眼睛大?。┦怯伤囊粚蛩鶝Q定的，以表示顯性基因，表示隱性基因，則具有基因的人為純顯性，具有基因的人是純隱性，具有基因的人為混合性．純顯性與混合性的人都露顯性基因決定的某一特征，孩子從父母身上各得到1個基因，假定父母都是混合性．問：（1）1個孩子有顯性基因決定的特征的概率是多少？（2）2個孩子中至少有一個有顯性基因決定的特征的概率是多少？【解析】因?yàn)楦改付际腔旌闲裕葱偷?，易得到孩子的一對基因?yàn)?，，的概率分別為，，，（1）孩子有顯性決定的特征是具有，，所以：1個孩子有顯性決定的特征的概率為．（2）因?yàn)?個孩子如果都不具有顯性決定的特征．即2個孩子都具有基因的純隱性特征，其概率為．所以2個孩子中至少有一個顯性決定特征的概率為．

模塊三：數(shù)學(xué)思想與方法分類與整合思想例32．（2023·全國·模擬預(yù)測）某口罩生產(chǎn)廠生產(chǎn)了一批N95型口罩，已知每只口罩檢驗(yàn)合格的概率為0.8，對不合格的口罩進(jìn)行一次技術(shù)精加工，加工后每只口罩檢驗(yàn)合格的概率為0.3，不合格的作為廢品處理.現(xiàn)從這批N95型口罩中任選一只，則得到合格口罩的概率為（

）A．0.78 B．0.86 C．0.88 D．0.90【答案】B【解析】由題意可知，任選一只為合格口罩分第一次檢驗(yàn)合格和經(jīng)過精加工后檢驗(yàn)合格兩種情況，所以得到合格口罩的概率為.故選：B.例33．（2023·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）高三某位同學(xué)準(zhǔn)備參加物理、化學(xué)、政治科目的等級考．已知這位同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目考試中達(dá)的概率分別為、、，假定這三門科目考試成績的結(jié)果互不影響，那么這位同學(xué)恰好得個的概率是_______．【答案】【解析】設(shè)這位同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目考試中達(dá)的事件分別為，以為這位同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目考試中達(dá)的概率分別為、、，所以，，，這三門科目考試成績的結(jié)果互不影響，則這位考生至少得2個的概率：．故答案為：．例34．（2023·江西上饒·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）排球比賽的規(guī)則是5局3勝制（5局比賽中，優(yōu)先取得3局勝利的一方，獲得最終勝利，無平局），在某次排球比賽中，甲隊(duì)在每局比賽中獲勝的概率都相等，均為，則最后甲隊(duì)獲勝的概率是________．【答案】【解析】當(dāng)經(jīng)過局甲隊(duì)獲勝，則概率為，當(dāng)經(jīng)過局甲隊(duì)獲勝，則概率為，當(dāng)經(jīng)過局甲隊(duì)獲勝，則概率為，所以最后甲隊(duì)獲勝的概率是.故答案為：.例35．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了5個問題就晉級下一輪的概率為___________.【答案】/0.04608【解析】由該選手恰好回答了5個問題就晉級下一輪，說明他第4、第5兩個問題是連續(xù)答對的，第3個問題沒有答對，第1和第2兩個問題也沒有全部答對，即他答題結(jié)果可能有三種情況：或或，根據(jù)獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式，可得該選手恰好回答了5個問題就晉級下一輪的概率為故答案為：0.04608例36．（2023·高一單元測試）甲、乙、丙、丁4名棋手進(jìn)行象棋比賽，賽程如下面的框圖所示，其中編號為的方框表示第場比賽，方框中是進(jìn)行該場比賽的兩名棋手，第場比賽的勝者稱為“勝者”，負(fù)者稱為“負(fù)者”，第6場為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場比賽獲勝的概率均為，而乙?丙?丁相互之間勝負(fù)的可能性相同.(1)求乙僅參加兩場比賽且連負(fù)兩場的概率；(2)求甲獲得冠軍的概率；(3)求乙進(jìn)入決賽，且乙與其決賽對手是第二次相遇的概率.【解析】（1）根據(jù)題意，乙獲連負(fù)兩場，所以1、4均負(fù)，所以乙獲連負(fù)兩場的概率為.（2）甲獲得冠軍，則甲參加的比賽結(jié)果有三種情況：1勝3勝6勝；1負(fù)4勝5勝6勝；1勝3負(fù)5勝6勝，所以甲獲得冠軍的概率為.（3）若乙的決賽對手是甲，則兩人參加的比賽結(jié)果有兩種情況：甲1勝3勝，乙1負(fù)4勝5勝；甲1負(fù)4勝5勝，乙1勝3勝，所以甲與乙在決賽相遇的概率為：，若乙的決賽對手是丙，則兩人只可能在第3場和第6場相遇，兩人參加的比賽的結(jié)果有兩種：乙1勝3勝，丙2勝3負(fù)5勝；乙1勝3負(fù)5勝，丙2勝3勝，同時考慮甲在第4場和第5場的結(jié)果，乙與丙在第3場和第6場相遇的概率為：，若乙的決賽對手是丁，則其概率與乙的決賽對手是丙相同，所以乙進(jìn)入決賽，且乙與其決賽對手是第二次相遇的概率為.例37．（2023·山東威海·高二?？茧A段練習(xí)）某學(xué)校組織校園安全知識競賽.在初賽中有兩輪答題，第一輪從A類的5個問題中任選兩題作答，若兩題都答對，則得40分，否則得0分；第二輪從B類的5個問題中任選兩題作答，每答對1題得30分，答錯得0分若兩輪總積分不低于60分則晉級復(fù)賽.小芳和小明同時參賽，已知小芳每個問題答對的概率都為0.5.在A類的5個問題中，小明只能答對4個問題；在B類的5個問題中，小明每個問題答對的概率都為0.4.他們回答任一問題正確與否互不影響.(1)求小明在第一輪得40分的概率；(2)以晉級復(fù)賽的概率大小為依據(jù)，小芳和小明誰更容易晉級復(fù)賽？【解析】（1）對A類的5個問題進(jìn)行編號：，第一輪從A類的5個問題中任選兩題作答，則有共種，設(shè)小明只能答對4個問題的編號為：，則小明在第一輪得40分，有共種，則小明在第一輪得40分的概率為：；（2）由（1）知，小明在第一輪得40分的概率為，則小明在第一輪得0分的概率為：，依題意，兩人能夠晉級復(fù)賽，即兩輪總積分不低于60分當(dāng)?shù)谝惠喆饘深}得分，第二輪答對一題得分時，小芳和小明晉級復(fù)賽的概率分別為：；；當(dāng)?shù)谝惠喆饘深}得分，第二輪答對兩題得分時，小芳和小明晉級復(fù)賽的概率分別為：；；當(dāng)?shù)谝惠喆疱e一題得分，第二輪答對兩題得分時，小芳和小明晉級復(fù)賽的概率分別為：；；當(dāng)?shù)谝惠喆疱e兩題得分，第二輪答對兩題得分時，小芳晉級復(fù)賽的概率分別為：；小芳晉級復(fù)賽的概率為：；小明晉級復(fù)賽的概率為：；，小明更容易晉級復(fù)賽.例38．（2023·全國·高二期中）甲?乙?丙?丁4名棋手進(jìn)行象棋比賽，賽程如下面的框圖所示，其中編號為i的方框表示第i場比賽，方框中是進(jìn)行該場比賽的兩名棋手，第i場比賽的勝者稱為“勝者i“，負(fù)者稱為“負(fù)者i“，第6場為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場比賽獲勝的概率均為，而乙?丙?丁之間相互比賽，每人勝負(fù)的可能性相同.(1)求甲獲得冠軍的概率；(2)求乙進(jìn)入決賽，且乙與其決賽對手是第二次相遇的概率.【解析】（1）甲獲得冠軍，則甲參加的比賽結(jié)果有三種情況：1勝3勝6勝；1負(fù)4勝5勝6勝；1勝3負(fù)5勝6勝.所以甲獲得冠軍的概率為：（2）若乙的決賽對手是甲，則兩人參加的比賽結(jié)果有兩種情況：甲：1勝3勝，乙：1負(fù)4勝5勝；甲：1負(fù)4勝5勝，乙：1勝3勝．所以甲與乙在決賽相遇的概率為：若乙的決賽對手是丙，則兩人只可能在第3場和第6場相遇，兩人參加的比賽的結(jié)果有兩種情況：乙：1勝3勝，丙：2勝3負(fù)5勝；乙：1勝3負(fù)5勝，丙：2勝3勝．同時考慮甲在第4場和第5場的結(jié)果，乙與丙在第3場和第6場相遇的概率為，丁與丙的情況相同，所以乙進(jìn)入決賽，且乙與其決賽對于是第二次相遇的概率為例39．（2023·陜西延安·高二?？计谀┰谀炒?500米體能測試中，甲，乙，丙三人各自通過測試的概率分別為，，，求：(1)3人都通過體能測試的概率；(2)只有2人通過體能測試的概率；(3)至少有1人通過體能測試的概率.【解析】（1）設(shè)事件表示“甲通過體能測試”，事件表示“乙通過體能測試”，事件表示“丙通過體能測試”，則由題意知：，，.設(shè)表示事件“甲，乙，丙3人都通過體能測試”，即，由事件，，相互獨(dú)立，可得.所以3人都通過體能測試的概率為.（2）設(shè)表示事件“甲，乙，丙3人中只有2人通過體能測試”，則，由于事件，，，，，均相互獨(dú)立，并且事件，，兩兩互斥，因此所求概率為.所以只有2人通過體能測試的概率為.（3）設(shè)表示事件“甲，乙，丙3人中至少1人通過體能測試”，.等價轉(zhuǎn)換思想例40．（2023·高一單元測試）社會實(shí)踐課上，老師讓甲、乙兩同學(xué)獨(dú)立地完成某項(xiàng)任務(wù)，已知兩人能完成該項(xiàng)任務(wù)的概率分別為，，則此項(xiàng)任務(wù)被甲、乙兩人完成的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，此項(xiàng)任務(wù)不能完成的概率為，此項(xiàng)任務(wù)被甲乙兩人完成的概率為.故選:D.例41．（多選題）（2023·高一課時練習(xí)）(多選)給出關(guān)于滿足的非空集合A，B的四個命題，其中正確的命題是（

）A．若任取，則是必然事件B．若任取，則是不可能事件C．若任取，則是隨機(jī)事件D．若任取，則是必然事件【答案】ACD【解析】對于A，由知是的子集，集合中的元素全在集合中，但集合中的元素不一定在集合中，故A正確；對于B，若，則是有可能的，所以是可能事件，故B錯誤；對于C，任取，則x不一定是A中的元素，所以是隨機(jī)事件，故C正確；對于D，若，則x一定不是A中的元素，所以是必然事件，故D正確；故選：ACD例42．（2023·江蘇泰州·高二統(tǒng)考期中）某個部件由三個元件按下圖方式連接而成，元件1正常工作且元件2或元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個電子元件的使用壽命（單位：）均服從正態(tài)分布，且各個部件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過的概率為______．【答案】【解析】因?yàn)槿齻€電子元件的使用壽命（單位：）均服從正態(tài)分布.所以三個電子元件的使用壽命超過3000小時的概率均為.設(shè)“超過3000小時時，元件2和元件3至少有一個正?！睘槭录俺^3000小時時，元件1正常”為事件，“該部件的使用壽命超過”為事件.所以，.因?yàn)槭录褪录嗷オ?dú)立，所以.故答案為:例43．（2023·高一課時練習(xí)）甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，采用局制．已知每局比賽甲勝的概率為，且第一局比賽甲勝，則最終甲獲勝的概率是_____．【答案】【解析】“最終甲獲勝”的對立事件為“最終乙獲勝”，所以“最終甲獲勝”的概率.故答案為：.例44．（2023·陜西榆林·高二陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在同一時間內(nèi)，甲?乙兩個氣象臺獨(dú)立預(yù)報天氣準(zhǔn)確的概率分別為和.在同一時間內(nèi)，求：(1)甲?乙兩個氣象臺同時預(yù)報天氣準(zhǔn)確的概率.(2)至少有一個氣象臺預(yù)報準(zhǔn)確的概率.【解析】（1）記事件A=“甲氣象臺預(yù)報天氣準(zhǔn)確”，B=“乙氣象臺預(yù)報天氣準(zhǔn)確”.顯然事件A，B相互獨(dú)立且..（2）至少有一個氣象臺預(yù)報準(zhǔn)確的概率為例45．（2023·湖南長沙·高二長沙麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考開學(xué)考試）為普及抗疫知識?弘揚(yáng)抗疫精神，某學(xué)校組織防疫知識競賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲?乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲?乙勝出的概率分別為，.甲?乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.(1)從甲?乙兩人中選取1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？(2)若甲?乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.【解析】（1）設(shè)“甲在第一輪比賽中勝出”，“甲在第二輪比賽中勝出”“乙在第一輪比賽中勝出”，“乙在第二輪比賽中勝出”，則“甲贏得比賽”，“乙贏得比賽”，，，，，同理因?yàn)?，所以，派甲參賽獲勝的概率更大.（2）由（1）知，設(shè)“甲贏得比賽”，“乙贏得比賽”，，；于是“兩人中至少有一人贏得比賽”..例46．（2023·遼寧朝陽·高一建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎?、乙兩人下象棋，其中和棋的概率為，乙獲勝的概率為.（1）求甲獲勝的概率；（2）求甲不輸?shù)母怕?【解析】（1）設(shè)“甲獲勝”為事件，“甲乙和棋”為事件，“乙獲勝”為事件.由題意可知，事件與事件互為對立事件，且事件與事件互為互斥事件，故.（2）設(shè)“甲不輸”