高等數(shù)學（第二版）課件：無窮小與無窮大量

高等數(shù)學（第二版）一、無窮小量二、無窮小量的比較無窮小量極限與連續(xù)三、無窮大量四、無窮小量與無窮大量的關(guān)系一、無窮小量定義1若當時（或時），函數(shù)的極限為0，則稱函數(shù)當（或）時為無窮小量，簡稱無窮小。例如，因為，所以函數(shù)是當時的無窮小量。又如，因為，所以函數(shù)是當時的無窮小量。注意：無窮小量與一個很小的確定常數(shù)不能混為一談，因為無窮小是一個以0為極限的變量。零是無窮小量中唯一的常數(shù)。無窮小量的代數(shù)性質(zhì)：性質(zhì)1有限個無窮小量之和仍為無窮小量。性質(zhì)2有界函數(shù)與無窮小量之積仍為無窮小。推論

常數(shù)與無窮小量之積為無窮小。例1求因為，即是時的無窮小，而

，即在的任一去心鄰域內(nèi)有界。故由無窮小的性質(zhì)2可得：是

時的無窮小，即解：由無窮小的概念，我們可以看到函數(shù)有極限可以通過無窮小來表述：定理1的充分必要條件是，其中在時為無窮小量。這個定理也適用于的情形。例如，，函數(shù)，其中

，即可以表示為與無窮小量之和。兩個無窮小量的和、差、積仍是無窮小量，但它們的商的情況卻不同。比較兩個無窮小量在自變量同一變化過程中趨于零的“速度”是很有意義的。為此，我們引入下面的定義：例如，當時，都是無窮小量，可是

，這些情形表明，同為無窮小，但它們趨于零的速度有快有慢：要比趨向于零更快；而和趨向于零的快慢大致差不多。二、無窮小量的比較定義設和都是在自變量同一變化過程中的無窮小量，且，（1）如果，則稱是比高階的無窮小，記，（在時）也稱是比低階的無窮小。由定義可知，當時，是比高階的無窮小，記為。與是同階無窮小，記為。（2）如果（為不等于零的常數(shù)），則稱是的同階無窮小，記；特別地，如果

，則稱是的等價無窮小，記作。三、無窮大量定義2當（或）時，如果函數(shù)值的絕對值無限地增大，則稱函數(shù)當（或）時為無窮大量。注意：（或）只是沿用了極限符號，表明雖然無極限，但還是有明確趨向的。無窮大量是一個絕對值無限增大的變量，而不是絕對值很大很大的固定數(shù)。例如，因為，所以是當時的無窮大。又如函數(shù)，當時，相應的函數(shù)值無限地增大，則當時為無窮大，可記為。又例如，函數(shù)，當時，對應的函數(shù)值無限地增大，則當時為無窮大，記為還需指出的是，無窮大量與無窮小量不同，在自變量同一變化過程中，兩個無窮大量的和、差、商的極限是沒有確定的結(jié)果的，對于這類問題要針對具體情況進行處理。四、無窮小量與無窮大量的關(guān)系定理

在自變量的同一變化過程中：（1）