新高考數(shù)學二輪復習強化練習專題07 導數(shù)與隱零點問題（練）（解析版）

第一篇熱點、難點突破篇專題07導數(shù)與隱零點問題（練）【對點演練】一、單選題1．（2022·重慶八中高三階段練習）若函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0有極值點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則關于x的方程SKIPIF1<0的不同實數(shù)根個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】求導數(shù)SKIPIF1<0，由題意知SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩根，從而關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有兩個根，作出草圖，由圖像可得答案.【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，對于SKIPIF1<0有SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩根令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不妨設SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0有兩根，所以，根據(jù)三次函數(shù)的性質，可以畫出SKIPIF1<0的圖像，如圖所示，又因為SKIPIF1<0，所以由圖可知，SKIPIF1<0有1個解，SKIPIF1<0有2個解故選：A．2．（2022·江蘇南京·模擬預測）已知函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有兩個零點，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用零點的意義等價轉化，構造函數(shù)SKIPIF1<0，再借助導數(shù)探討函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有兩個零點作答.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，依題意，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有兩個零點，顯然SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則有SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，即有函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0只有一個零點1，因此SKIPIF1<0，此時當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0，要函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有兩個零點，當且僅當SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一個零點，即有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍SKIPIF1<0.故選：C3．（2022·四川瀘州·一模（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0，若方程SKIPIF1<0恰好有三個不等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】將問題轉化為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象有三個交點的問題，利用導數(shù)判斷SKIPIF1<0的單調(diào)性，數(shù)形結合，即可求得結果.【詳解】當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不是方程SKIPIF1<0的根；當SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0恰好有三個不等的實數(shù)根即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象有SKIPIF1<0個交點；又SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；且SKIPIF1<0；又當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；故在同一坐標系下，SKIPIF1<0的圖象如下所示：數(shù)形結合可得，當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時滿足題意，故SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：D.二、多選題4.（2022·福建泉州·高三開學考試）設函數(shù)，則下列判斷正確的是（）A．存在兩個極值點B．當時，存在兩個零點C．當時，存在一個零點D．若有兩個零點，則【答案】BD【分析】利用導數(shù)與極值點的關系可判斷A，利用與圖像結合條件可判斷BC，根據(jù)零點的概念結合不等式的性質可判斷D.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，，設，，且方程的兩根之積為，在上有一個正根，設為，在上，，函數(shù)單調(diào)遞增，在上，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以存在一個極大值點，A錯誤；令，即，函數(shù)的零點即為與的交點，如圖所示：函數(shù)圖像與軸的交點為，當時，與有兩個不同的交點，即存在兩個零點，B正確；當時，與有兩個不同的交點，所以當時，存在一個零點，此說法不正確，C錯誤；若有兩個零點，假設，則有即兩式相減得：，，則，，，所以，即，D正確.故選：BD.5．（2022·山東菏澤·高三期中）已知函數(shù)，，設方程的3個實根分別為，，，且，則的值可能為（

）．A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用導數(shù)研究的單調(diào)性、極值及區(qū)間值域，由題設可知在上必有兩個不等的實根(假設)且，結合的性質有且，，進而求目標式的值，即可確定答案.【詳解】由題設，的定義域為，且，∴當時，，即遞減；當時，，即遞增.∴，又在上逐漸變小時逐漸趨近于0，當時且隨趨向于0，趨向無窮大.（如圖2）∴的圖象如圖1、圖2：圖1圖2∵的定義域為，由可得：在上必有兩個不等的實根(假設)且，∴令，要使的3個實根，則、，即，可得.∴由知：，，∴.故選：BC.【點睛】首先應用導數(shù)研究的性質，根據(jù)有3個實根，則在上必有兩個不等的實根，結合的值域求m的范圍且、，即可求目標式的范圍.三、填空題6．（2022·全國·高三階段練習（理））已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為____________．【答案】【分析】根據(jù)極值點的定義，求導求零點，將問題轉化為兩函數(shù)求交點問題，可得答案.【詳解】解：因為函數(shù)有兩個極值點，所以方程有兩個不同的實數(shù)根，即有兩個不同的解．令，則函數(shù)的圖象與直線有兩個不同的交點．因為，令，得．所以當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增．所以．所以當時，；當時，．所以函數(shù)的圖象與的圖象有兩個不同的交點的充要條件是：，即．故實數(shù)a的取值范圍為．故答案為：.7．（2023·廣東廣州·高三階段練習）方程有唯一的實數(shù)解，實數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，構造函數(shù)，利用導數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性，結合零點存在性定理求解作答.【詳解】令函數(shù)，依題意，函數(shù)有唯一零點，求導得，當時，，無零點，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，當且時，，則在上存在唯一零點，因此，當時，當時，，當時，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，，當且僅當，即時，在上存在唯一零點，因此，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：8．（2022·廣東·高三階段練習）已知，函數(shù)，若函數(shù)無零點，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】先將的解析式代入并求得的解析式，將無零點等價轉化為無零點，再通過求導判斷的單調(diào)性和最值，將其等價轉化為，據(jù)此求得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】∵，無零點，即無實根．∴無實根．令，則，由，得；，得．∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴．而時，，時，，∴若無零點，需，即．又，∴.故答案為：．9．（2022·全國·模擬預測）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且僅有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】令，由于有且僅有一個零點，所以分，,討論的單調(diào)性即可.【詳解】由題知，構造新函數(shù)，等價轉化令，則，由題意知有且僅有一個零點．，①當時，令，解得；令，解得．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，取得極小值，且．又因為，且當越小時，越大，所以有兩個零點．②當時，，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，取得極小值，且，又因為，且當時，，所以只有一個零點．③當時，由，得或，當時，，則、上，上，所以、上遞增，上遞減；故極大值為，極小值為；當時，，此時，在R上，即遞增，故無極值；當時，，則、上，上，所以、上遞增，上遞減；故極大值為，極小值為；又，，當趨于負無窮時，接近負無窮，當趨于正無窮時，接近正無窮，綜上，只有一個零點．綜上所述，，即實數(shù)的取值范圍為．故答案為：【點睛】關鍵點點睛：由函數(shù)的零點、圖象的交點求參數(shù)的值（或取值范圍）問題，往往需要對參數(shù)分類討論，如何劃分討論的區(qū)間是思維的難點．由于這類問題涉及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此分類的標準是使函數(shù)在指定的區(qū)間內(nèi)其導數(shù)的符號是確定的.四、解答題10．（2022·河南·高三階段練習（理））已知函數(shù)（）(1)當時，有兩個實根，求取值范圍；(2)若方程有兩個實根，且，證明：【答案】(1)取值范圍是(2)證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，由此求得的取值范圍.（2）將方程有兩個實根轉化為有兩個不相等的零點，由此列方程，將證明轉化為證明，解得或導數(shù)證得不等式成立.【詳解】（1）的定義域為，，在上單調(diào)遞增，所以的取值范圍是.（2）的定義域為，有兩個不相等的實數(shù)根，令，由（1）知在上遞增，則，則有兩個不相等的零點，，，.要證，只需證，即證，即證，，故只需證，不妨設，令，則只需證，只需證，令，，所以，即當時，成立.所以，即，所以.【點睛】利用導數(shù)證明不等式，主要的方法是通過已知條件，劃歸與轉化所要證明的不等式，然后通過構造函數(shù)法，結合導數(shù)來求所構造函數(shù)的取值范圍來證得不等式成立.【沖刺提升】一、單選題1．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級中學高三階段練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0，下列說法中錯誤的是（

）A．函數(shù)SKIPIF1<0在原點SKIPIF1<0處的切線方程是SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的極大值點C．函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有3個極值點D．函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有3個零點【答案】C【分析】由導數(shù)的幾何意義求出切線方程判斷A，由導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，極值點判斷B，由SKIPIF1<0的性質判斷其與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象的交點個數(shù)判斷D．利用導數(shù)確定極值點個數(shù)判斷C．【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以切線方程是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，A正確；SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，因此SKIPIF1<0是極大值點，B正確；顯然1是極小值點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上遞增，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上遞減，因此SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象有3個交點，即SKIPIF1<0有3個零點，D正確；設SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0是增函數(shù)，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，在SKIPIF1<0上遞增，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0存在兩個零點，由SKIPIF1<0的單調(diào)性知這兩個零點就是SKIPIF1<0的兩個極值點，C錯．故選：C．2．（2022·四川·達州外國語學校高三階段練習（理））若關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有三個不等的實數(shù)解SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為自然對數(shù)的底數(shù)，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】令SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，令函數(shù)SKIPIF1<0，畫出其圖象，結合圖象可得關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0一定有兩個實根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可求解．【詳解】解：由關于的SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，令函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，其圖象如下：要使關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有3個不相等的實數(shù)解SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，結合圖象可得關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0一定有兩個實根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由韋達定理知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故選：B．3．（2022·天津·南開中學高三階段練習）設函數(shù)SKIPIF1<0①若方程SKIPIF1<0有四個不同的實根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0②若方程SKIPIF1<0有四個不同的實根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0③若方程SKIPIF1<0有四個不同的實根，則SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0④方程SKIPIF1<0的不同實根的個數(shù)只能是1，2，3，6四個結論中，正確的結論個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】作出SKIPIF1<0的圖像，利用函數(shù)與方程之間的關系，分析問題，即可得出答案．【詳解】解：對于①：作出SKIPIF1<0的圖像如下：若方程SKIPIF1<0有四個不同的實根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，不妨設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩個不等的實數(shù)根，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩個不等的實數(shù)根，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故①正確；對于②：由上可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故②錯誤；對于③：方程SKIPIF1<0的實數(shù)根的個數(shù)，即為函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點個數(shù)，因為SKIPIF1<0恒過坐標原點，當SKIPIF1<0時，有3個交點，當SKIPIF1<0時最多2個交點，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切時，設切點為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切時，即SKIPIF1<0時，此時有4個交點，若SKIPIF1<0有4個實數(shù)根，即有4個交點，當SKIPIF1<0時由圖可知只有3個交點，當SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0單調(diào)遞增，當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以當SKIPIF1<0時，函數(shù)取得極大值即最大值，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0及對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長趨勢可知，當SKIPIF1<0無限大時SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0內(nèi)各有一個零點，即SKIPIF1<0有5個實數(shù)根，故③錯誤；對于④：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由圖可知，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的交點個數(shù)為2，當SKIPIF1<0，0時，SKIPIF1<0的交點個數(shù)為3，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的交點個數(shù)為4，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的交點個數(shù)為1，所以若SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，交點的個數(shù)為SKIPIF1<0個，若SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，交點的個數(shù)為3個，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，交點有SKIPIF1<0個，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，交點有SKIPIF1<0個，若SKIPIF1<0，交點有1個，綜上所述，交點可能有1，2，3，6個，即方程不同實數(shù)根1，2，3，6，故④正確；故選：B．二、多選題4．（2022·河北·邢臺一中高一階段練習）已知SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】作出函數(shù)SKIPIF1<0的圖像,當SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0，可推得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，判斷A，結合基本不等式可判斷B;取特殊值，舉反例SKIPIF1<0，可判斷C;由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的兩個解，說明SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可判斷D.【詳解】作出函數(shù)SKIPIF1<0的圖像如圖示：由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不能同時為0，當SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，A正確；由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，取不到等號），即SKIPIF1<0，B正確；取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即，符合題意，故C錯誤；若，，則，由，可得，說明為的兩個解，設，則，又單調(diào)遞增，當時，，遞增，故，即此時，當時，由，可得，由于，故，由于遞增，即存在唯一的，使得，當時，，遞減，當時，，遞增，故，而，故此時，綜合上述，說明的零點僅有0和1，即，即，則，故D正確，故選：.5．（2022·海南昌茂花園學校高三階段練習）已知函數(shù)，其中，均為實數(shù)，則下列說法錯誤的是（

）A．若，則為奇函數(shù)B．若，則為奇函數(shù)C．若，則方程有一個實數(shù)根D．若，則方程（為實數(shù)）可能有兩個不同的實數(shù)根【答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù)的結構特點，可利用特殊值檢驗法推出選項A、B不正確，根據(jù)時的表達式得出的解析式，然后利用導數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，求得極值，畫出圖像，利用數(shù)形結合可得C、D的正誤.【詳解】對于A，時，若，則，此時，即函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度得到，易知函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)的圖象不關于原點對稱，所以A不正確；對于B，，時，滿足，此時，的圖象不關于原點對稱，所以B不正確；若，則，，求導可得，易知，，當時，，當時，，故函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，為，在處取得極小值，為.如下圖，結合圖象對于C，方程有一個實數(shù)根，等價于函數(shù)與函數(shù)有一個交點，由圖可得C不正確，對于D，方程可能有兩個不同的實數(shù)根，等價于函數(shù)與函數(shù)有兩個交點，由圖可得當時，方程可能有兩個不同的實數(shù)根，所以D正確.故選：ABC.6．（2022·全國·模擬預測）已知方程有兩個不同的根，，則下列結論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】首先等式變形，并構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及結合零點存在性定理，求的取值范圍，判斷AB；首先構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并假設，利用函數(shù)的單調(diào)性，比較自變量的大小，即可判斷C;變形不等式得到，再結合C的判斷，即可判斷D.【詳解】A，B選項：方程等價于方程，構造函數(shù)，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，則，因此只需滿足，即．當時，，，由以上可知，當時，分別在，上各有一個零點，（零點存在定理的應用）則方程有兩個不同的根，，因此選項A正確，選項B錯誤；C選項：構造函數(shù)，則，因此在上單調(diào)遞減，易知，假設,則，即成立，又，則，因此，即，因此選項C正確；D選項：由即，得，不一定成立，故選項D錯誤．故選：AC7．（2022·山東·濟南三中高一階段練習）已知函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】注意到，又可得在單調(diào)遞增，則有，后由零點存在性定理可得范圍.，之后判斷各選項正誤即可得答案..【詳解】，又函數(shù)的零點為，則，其中.，得在上單調(diào)遞增，又其有零點，則為其唯一零點.又，得.注意到，，則，且.對于A，因，，則，故A正確.對于B，因，則.令.在上單調(diào)遞減，則，得在上單調(diào)遞增.則，即，故B錯誤.對于C選項，因，，則，故.則由基本不等式結合有：，故C正確.對于D選項，因，則，由C選項分析可知.則令，.得在上單調(diào)遞增，故，即.故D正確.故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：本題涉及函數(shù)零點，構造函數(shù)證明不等式，需注意以下兩點:（1）若題目中同時出現(xiàn)與，常通過使出現(xiàn)相同結構.（2）對于雙變量問題，常利用消元思想轉化為關于一個未知數(shù)的問題.三、填空題8．（2022·江蘇省江浦高級中學高三階段練習）已知函數(shù)在上有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【分析】先利用同構得到，換元后得到，參變分離得到有兩個不同的根，構造，求導得到其單調(diào)性，極值和最值情況，得到函數(shù)圖象，數(shù)形結合得到，解出答案即可.【詳解】由題意得有兩個不同的根，即有兩個不同的根，變形為，即，令，則，其中令，，恒成立，故在單調(diào)遞增，得到，故有兩個不同的根，令，則，，當時，，當時，，故在處取得極大值，也是最大值，，且當時，，當時，，畫出的圖象如下圖：故時，有兩個不同的根，解得：.故答案為：.【點睛】導函數(shù)求解參數(shù)取值范圍，當函數(shù)中同時出現(xiàn)與，通常使用同構來進行求解，本題難點是變形得到，即從而構造進行求解.四、解答題9．（2019·天津·高考真題（文））設函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.（Ⅰ）若SKIPIF1<0，討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；（Ⅱ）若SKIPIF1<0，（i）證明SKIPIF1<0恰有兩個零點（ii）設SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的極值點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的零點，且SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0.【答案】（I）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞增.；（II）（i）見解析；（ii）見解析.【分析】（I）；首先寫出函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導，判斷導數(shù)在對應區(qū)間上的符號，從而得到結果；（II）（i）對函數(shù)求導，確定函數(shù)的單調(diào)性，求得極值的符號，從而確定出函數(shù)的零點個數(shù)，得到結果；（ii）首先根據(jù)題意，列出方程組，借助于中介函數(shù)，證得結果.【詳解】（I）解：由已知，SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因此當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞增.（II）證明：（i）由（I）知，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞減，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)有唯一解，從而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)有唯一解，不妨設為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞增；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞減，因此SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的唯一極值點.令SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞減，從而當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)有唯一零點，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)有唯一零點1，從而，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)恰