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2025屆云南昆明一中高考仿真卷數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題:在下雨時(shí),用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸;③臺(tái)體的體積公式).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸2.斜率為1的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),則的最大值為A.2 B. C. D.3.如圖,是圓的一條直徑,為半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn),則()A. B. C. D.4.若,則()A. B. C. D.5.若的內(nèi)角滿足,則的值為()A. B. C. D.6.定義在R上的函數(shù)y=fx滿足fx≤2x-1A. B. C. D.7.已知函數(shù),若,則的值等于()A. B. C. D.8.某高中高三(1)班為了沖刺高考,營(yíng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍,向班內(nèi)同學(xué)征集書法作品貼在班內(nèi)墻壁上,小王,小董,小李各寫了一幅書法作品,分別是:“入班即靜”,“天道酬勤”,“細(xì)節(jié)決定成敗”,為了弄清“天道酬勤”這一作品是誰(shuí)寫的,班主任對(duì)三人進(jìn)行了問(wèn)話,得到回復(fù)如下:小王說(shuō):“入班即靜”是我寫的;小董說(shuō):“天道酬勤”不是小王寫的,就是我寫的;小李說(shuō):“細(xì)節(jié)決定成敗”不是我寫的.若三人的說(shuō)法有且僅有一人是正確的,則“入班即靜”的書寫者是()A.小王或小李 B.小王 C.小董 D.小李9.已知若(1-ai)(3+2i)為純虛數(shù),則a的值為()A. B. C. D.10.《易·系辭上》有“河出圖,洛出書”之說(shuō),河圖、洛書是中華文化,陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源,其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如圖,白圈為陽(yáng)數(shù),黑點(diǎn)為陰數(shù),若從陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)中各取一數(shù),則其差的絕對(duì)值為5的概率為A. B. C. D.11.若的展開式中含有常數(shù)項(xiàng),且的最小值為,則()A. B. C. D.12.已知函數(shù)且的圖象恒過(guò)定點(diǎn),則函數(shù)圖象以點(diǎn)為對(duì)稱中心的充要條件是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_.14.若x,y滿足,且y≥?1,則3x+y的最大值_____15.已知是第二象限角,且,,則____.16.已知函數(shù),若恒成立,則的取值范圍是___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,其面積記為,滿足.(1)求;(2)若,求的值.18.(12分)為了整頓道路交通秩序,某地考慮將對(duì)行人闖紅燈進(jìn)行處罰.為了更好地了解市民的態(tài)度,在普通行人中隨機(jī)選取了200人進(jìn)行調(diào)查,當(dāng)不處罰時(shí),有80人會(huì)闖紅燈,處罰時(shí),得到如表數(shù)據(jù):處罰金額(單位:元)5101520會(huì)闖紅燈的人數(shù)50402010若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率.(1)當(dāng)罰金定為10元時(shí),行人闖紅燈的概率會(huì)比不進(jìn)行處罰降低多少?(2)將選取的200人中會(huì)闖紅燈的市民分為兩類:類市民在罰金不超過(guò)10元時(shí)就會(huì)改正行為;類是其他市民.現(xiàn)對(duì)類與類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問(wèn)卷,則前兩位均為類市民的概率是多少?19.(12分)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為直線垂直于軸,垂足為,與拋物線交于不同的兩點(diǎn),且過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),設(shè)且.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求的取值范圍.20.(12分)圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連結(jié)DG,如圖2.(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點(diǎn)共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求圖2中的二面角B?CG?A的大小.21.(12分)已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),與的公共弦的長(zhǎng)為.(1)求的方程;(2)過(guò)點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn),與相交于、兩點(diǎn),且與同向,設(shè)在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為,證明:直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),總是鈍角三角形;(3)為上的動(dòng)點(diǎn),、為長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的平行線交橢圓于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的平行線交橢圓于點(diǎn),請(qǐng)問(wèn)的面積是否為定值,并說(shuō)明理由.22.(10分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性并指出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間;(2)若,設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),若,且恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】試題分析:根據(jù)題意可得平地降雨量,故選B.考點(diǎn):1.實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題;2.圓臺(tái)的體積.2、C【解析】
設(shè)出直線的方程,代入橢圓方程中消去y,根據(jù)判別式大于0求得t的范圍,進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式求得|AB|的表達(dá)式,利用t的范圍求得|AB|的最大值.【詳解】解:設(shè)直線l的方程為y=x+t,代入y2=1,消去y得x2+2tx+t2﹣1=0,由題意得△=(2t)2﹣1(t2﹣1)>0,即t2<1.弦長(zhǎng)|AB|=4.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的應(yīng)用,直線與橢圓的關(guān)系.常需要把直線與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,判別式找到解決問(wèn)題的突破口.3、B【解析】
連接、,即可得到,,再根據(jù)平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律計(jì)算可得;【詳解】解:連接、,,是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn),,且,所以四邊形為棱形,.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算律的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結(jié)果.【詳解】∵,∴,故選D【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換,同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型.5、A【解析】
由,得到,得出,再結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式,即可求解.【詳解】由題意,角滿足,則,又由角A是三角形的內(nèi)角,所以,所以,因?yàn)?,所?故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì),以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式和正弦的倍角公式的化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題,著重考查了推理與計(jì)算能力.6、D【解析】
根據(jù)y=fx+1為奇函數(shù),得到函數(shù)關(guān)于1,0中心對(duì)稱,排除AB,計(jì)算f1.5≤【詳解】y=fx+1為奇函數(shù),即fx+1=-f-x+1,函數(shù)關(guān)于f1.5≤2故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的識(shí)別,確定函數(shù)關(guān)于1,0中心對(duì)稱是解題的關(guān)鍵.7、B【解析】
由函數(shù)的奇偶性可得,【詳解】∵其中為奇函數(shù),也為奇函數(shù)∴也為奇函數(shù)∴故選:B【點(diǎn)睛】函數(shù)奇偶性的運(yùn)用即得結(jié)果,小記,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)有:①奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù);②奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù);③奇函數(shù)÷奇函數(shù)=偶函數(shù);④偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù);⑤偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù);⑥奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù);⑦奇函數(shù)÷偶函數(shù)=奇函數(shù)8、D【解析】
根據(jù)題意,分別假設(shè)一個(gè)正確,推理出與假設(shè)不矛盾,即可得出結(jié)論.【詳解】解:由題意知,若只有小王的說(shuō)法正確,則小王對(duì)應(yīng)“入班即靜”,而否定小董說(shuō)法后得出:小王對(duì)應(yīng)“天道酬勤”,則矛盾;若只有小董的說(shuō)法正確,則小董對(duì)應(yīng)“天道酬勤”,否定小李的說(shuō)法后得出:小李對(duì)應(yīng)“細(xì)節(jié)決定成敗”,所以剩下小王對(duì)應(yīng)“入班即靜”,但與小王的錯(cuò)誤的說(shuō)法矛盾;若小李的說(shuō)法正確,則“細(xì)節(jié)決定成敗”不是小李的,則否定小董的說(shuō)法得出:小王對(duì)應(yīng)“天道酬勤”,所以得出“細(xì)節(jié)決定成敗”是小董的,剩下“入班即靜”是小李的,符合題意.所以“入班即靜”的書寫者是:小李.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查推理證明的實(shí)際應(yīng)用.9、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)可得,根據(jù)純虛數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】由題可知原式為,該復(fù)數(shù)為純虛數(shù),所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的分類,屬基礎(chǔ)題.10、A【解析】
陽(yáng)數(shù):,陰數(shù):,然后分析陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)差的絕對(duì)值為5的情況數(shù),最后計(jì)算相應(yīng)概率.【詳解】因?yàn)殛?yáng)數(shù):,陰數(shù):,所以從陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)中各取一數(shù)差的絕對(duì)值有:個(gè),滿足差的絕對(duì)值為5的有:共個(gè),則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)際背景下古典概型的計(jì)算,難度一般.古典概型的概率計(jì)算公式:.11、C【解析】展開式的通項(xiàng)為,因?yàn)檎归_式中含有常數(shù)項(xiàng),所以,即為整數(shù),故n的最小值為1.所以.故選C點(diǎn)睛:求二項(xiàng)展開式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng),再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng),求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng),再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng),由特定項(xiàng)得出值,最后求出其參數(shù).12、A【解析】
由題可得出的坐標(biāo)為,再利用點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì),即可求出和.【詳解】根據(jù)題意,,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,又,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題和函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)滿足約束條件,畫出可行域,將目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時(shí)的點(diǎn),此時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最小值.【詳解】由滿足約束條件,畫出可行域如圖所示陰影部分:將目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時(shí)的點(diǎn)此時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最小值,最小值為故答案為:-1【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法,屬于基礎(chǔ)題.14、5.【解析】
由約束條件作出可行域,令z=3x+y,化為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【詳解】由題意作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè),當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取最大值5.故答案為:5【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題.15、【解析】
由是第二象限角,且,可得,由及兩角和的正切公式可得的值.【詳解】解:由是第二象限角,且,可得,,由,可得,代入,可得,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角和的正切公式,相對(duì)不難,注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.16、【解析】
求導(dǎo)得到,討論和兩種情況,計(jì)算時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,故,不符合,排除,得到答案。【詳解】因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所?當(dāng),即時(shí),,則在上單調(diào)遞增,從而,故符合題意;當(dāng),即時(shí),因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,且,所以存在唯一的,使得.令,得,則在上單調(diào)遞減,從而,故不符合題意.綜上,的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)根據(jù)三角形面積公式及平面向量數(shù)量積定義代入公式,即可求得,進(jìn)而求得的值;(2)根據(jù)正弦定理將邊化為角,結(jié)合(1)中的值,即可將表達(dá)式化為的三角函數(shù)式;結(jié)合正弦和角公式與輔助角公式化簡(jiǎn),即可求得和,進(jìn)而由正弦定理確定,代入整式即可求解.【詳解】(1)因?yàn)?,所以由三角形面積公式及平面向量數(shù)量積運(yùn)算可得,所以.因?yàn)椋?(2)因?yàn)?,所以由正弦定理代入化?jiǎn)可得,由(1),代入可得,展開化簡(jiǎn)可得,根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)可得.因?yàn)?,所以,所以,所以為等腰三角形,且,所?【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,三角形面積公式的應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦和角公式及輔助角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)降低(2)【解析】
(1)計(jì)算出罰金定為10元時(shí)行人闖紅燈的概率,和不進(jìn)行處罰時(shí)行人闖紅燈的概率,求解即可;(2)闖紅燈的市民有80人,其中類市民和類市民各有40人,根據(jù)分層抽樣法抽出4人依次排序,計(jì)算所求的概率值.【詳解】解:(1)當(dāng)罰金定為10元時(shí),行人闖紅燈的概率為;不進(jìn)行處罰,行人闖紅燈的概率為;所以當(dāng)罰金定為10元時(shí),行人闖紅燈的概率會(huì)比不進(jìn)行處罰降低;(2)由題可知,闖紅燈的市民有80人,類市民和類市民各有40人故分別從類市民和類市民各抽出兩人,4人依次排序記類市民中抽取的兩人對(duì)應(yīng)的編號(hào)為,類市民中抽取的兩人編號(hào)為則4人依次排序分別為,,,,,,,,,,,,共有種前兩位均為類市民排序?yàn)椋?,有種,所以前兩位均為類市民的概率是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了計(jì)算古典概型的概率,屬于中檔題.19、(1);(2).【解析】
(1)設(shè)出的坐標(biāo),代入,結(jié)合在拋物線上,求得兩點(diǎn)的橫坐標(biāo),進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo).(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,寫出韋達(dá)定理,結(jié)合,求得的表達(dá)式,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.【詳解】(1)可知,設(shè)則,又,所以解得所以.(2)據(jù)題意,直線的斜率必不為所以設(shè)將直線方程代入橢圓的方程中,整理得,設(shè)則①②因?yàn)樗郧覍ⅱ偈狡椒匠寓谑降盟杂纸獾糜郑粤睿瑒t所以【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查向量模的坐標(biāo)運(yùn)算,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查運(yùn)算求解能力,屬于難題.20、(1)見(jiàn)詳解;(2).【解析】
(1)因?yàn)檎奂埡驼澈喜桓淖兙匦危土庑蝺?nèi)部的夾角,所以,依然成立,又因和粘在一起,所以得證.因?yàn)槭瞧矫娲咕€,所以易證.(2)在圖中找到對(duì)應(yīng)的平面角,再求此平面角即可.于是考慮關(guān)于的垂線,發(fā)現(xiàn)此垂足與的連線也垂直于.按照此思路即證.【詳解】(1)證:,,又因?yàn)楹驼吃谝黄?,A,C,G,D四點(diǎn)共面.又.平面BCGE,平面ABC,平面ABC平面BCGE,得證.(2)過(guò)B作延長(zhǎng)線于H,連結(jié)AH,因?yàn)锳B平面BCGE,所以而又,故平面,所以.又因?yàn)樗允嵌娼堑钠矫娼牵谥?,又因?yàn)楣?,所?而在中,,即二面角的度數(shù)為.【點(diǎn)睛】很新穎的立體幾何考題.首先是多面體粘合問(wèn)題,考查考生在粘合過(guò)程中哪些量是不變的.再者粘合后的多面體不是直棱柱,建系的向量解法在本題中略顯麻煩,突出考查幾何方法.最后將求二面角轉(zhuǎn)化為求二面角的平面角問(wèn)題考查考生的空間想象能力.21、(1);(2)證明見(jiàn)解析;(3)是,理由見(jiàn)解析.【解析】
(1)根據(jù)兩個(gè)曲線的焦點(diǎn)相同,得到,再根據(jù)與的公共弦長(zhǎng)為得出,可求出和的值,進(jìn)而可得出曲線的方程;(2)設(shè)點(diǎn),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到曲線在點(diǎn)處的切線方程,求出點(diǎn)的坐標(biāo),利用向量的數(shù)量積得出,則問(wèn)題得以證明;(3)設(shè)直線,直線,、、,推導(dǎo)出以及,求出和,通
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