數(shù)學優(yōu)化訓練：向量在幾何中的應用

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2。4向量的應用2。4。1向量在幾何中的應用5分鐘訓練(預習類訓練，可用于課前）1.在邊長為1的等邊△ABC中，若=a，=b，=c，則a·b+b·c+c·a等于（）A.B.C。3D。0解析：依題意，得a·b+b·c+c·a=3｜a｜2·cos120°=—.答案:B2。四邊形ABCD中，若=,則四邊形ABCD是（)A。平行四邊形B。梯形C。菱形D.矩形解析：由=AB∥CD且AB≠CD，故四邊形為梯形,選B。答案：B3。平面上不共線的三點A、B、C使得+所在的直線和—所在的直線恰好互相垂直，則△ABC必為_________________三角形。解析：如圖所示，作ABCD,易知+=，—=-=。依題意知BD與AC互相垂直,故ABCD為菱形，從而△ABC為等腰三角形，∠B為頂角.答案：等腰4.通過點A(3,2)且與直線l:4x—3y+9=0平行的直線方程為________________。解：因向量(4，-3)與直線l垂直，所以向量n=（4，—3）與所求直線垂直。設P(x,y）為所求直線上的一動點，則=（x-3，y—2),點P在所求直線上.當且僅當n·=0,即4（x-3)+（-3)（y-2）=0時,化簡得4x-3y-6=0.答案：4x—3y-6=010分鐘訓練(強化類訓練，可用于課中）1.在△ABC中，有命題：①-=;②++=0;③若（+)·（-)=0,則△ABC為等腰三角形；④若·＞0,則△ABC為銳角三角形。上述命題正確的是（)A.①②B。①④C。②③D。②③④解析：對于①，應有—=，故①錯;對于④,由·＞0有||｜|cosA＞0，∴cosA＞0.∴A為銳角。但B或C是否為銳角,不能肯定,故④錯。②③是正確的.答案：C2。設e是單位向量，=2e，=-2e，｜｜=2，則四邊形ABCD是（）A。梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析：由=2e，=—2e，得ABCD.故為平行四邊形.又||=2,|｜=2，∴四邊形ABCD為菱形.答案:B3。直線3x+2y—6=0與向量n=（-2，3）的位置關(guān)系為(）A.平行B。相交C。垂直D.重合解析：由題知n=(-2，3）是直線3x+2y—6=0的方向向量，所以選A。答案：A4。過點A（3,—2)垂直于向量n=（5,—3)的直線方程是_______________.解析：設此直線方程為5x—3y+c=0，因為直線過A（3,—2），∴5×3—3×(-2)+c=0?！郼=—21，即直線方程為5x-3y—21=0。答案：5x-3y-21=05。如圖2—4-1,若D是△ABC內(nèi)的一點,且AB2—AC2=DB2-DC2，求證：AD⊥BC。圖2—4-1證明：設=a，=b,=e，=c,=d，則a=e+c，b=e+d,∴a2-b2=（e+c)2—（e+d）2=c2+2e·c—2e·d-d2。由已知a2-b2=c2—d2,∴c2+2e·c—2e·d—d2=c2—d2，∴e·(c—d)=0.∵=+=d-c，∴·=e·(d—c）=0。∴⊥，即AB⊥BC。30分鐘訓練（鞏固類訓練，可用于課后）1.在△AOB中，=（2cosα，2sinα)，=（5cosβ，5sinβ），若·=—5，則S△AOB等于（)A.B.C.D.解析：||=2，｜｜=5，cosθ=,∴θ=120°?！郤△AOB=｜｜·|｜sinθ=。答案:D2.在平面上有A、B、C三點,設m=+，n=—，若m與n的長度恰好相等,則有（）A.A、B、C三點必在同一條直線上B.△ABC必為等腰三角形且∠B為頂角C.△ABC必為直角三角形且∠B=90°D?！鰽BC必為等腰直角三角形解析：如圖所示，作出ABCD,其中+=，-=—=.由于｜m｜=｜n｜，因此||=｜|，即ABCD的對角線AC與BD相等,故ABCD為矩形.所以△ABC為直角三角形，其中∠B=90°.答案：C3。和直線3x-4y+7=0平行的向量a及垂直的向量b分別是()A。a=(3，4），b=（3,-4)B。a=（-3，4），b=(4，-3）C。a=(4,3），b=(3，-4)D。a=(—4，3）,b=(3，4）解析：由課本例題結(jié)論可知與直線Ax+By+C=0垂直的向量為（A,B)，平行的向量為(—B，A)。答案：C4。已知△ABC的三個頂點A，B，C和平面內(nèi)一點P，且++=，則P與△ABC的位置關(guān)系是(）A。P在△ABC內(nèi)部B。P在△ABC外部C。P在AB邊上或其延長線上D.P在AC邊上解析：∵++=，∴+=+=，即=2?！郃，C，P三點共線，即P在邊AC上。答案:D5.已知A(2，3)，B（3，4），C（1，5），則△ABC的重心G的坐標為（）A.（4,2)B.(2，4）C.（-4，2）D.（—2，4)解析：由三角形的重心坐標公式，得若G（x，y)，即G(2，4）.答案:B6。已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=AB,則AC與BC的位置關(guān)系是（）A.平行B。垂直C。共線D。不確定解析：以A為原點，AB所在直線為x軸,建立直角坐標系，如圖所示，設AD=1，則A(0，0),B（2，0),C(1，1),D（0，1),∴=（-1,1），=(1，1），·=-1×1+1×1=0?！唷?即BC⊥AC.答案：B7。(2006高考福建卷，理11)已知||=1，||=3,·=0，點C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC=30°，設=m+n（m、n∈R)，則等于(）A.B.3C.D。解析：∵||=1，|｜=，·=0，∴△ABC為直角三角形,其中AC=AB=.=+=OA+=+(—）==，∴m=，n=，即=3.答案：B8.已知O(0，0）和A(6，3）兩點，若點P在直線OA上，且，又P是線段OB的中點,則點B的坐標是______________。解析:設D（x，y）,由定比分點公式x=，則P(2，1)。又由中點坐標公式，可得B（4，2).答案：（4，2）9.在△ABC中，A（-1，2),B（3，1），C(2，-3），則AC邊上的高所在直線方程為____________。解析：與AC邊平行的向量為:=（3，-5)，設P(x,y)是所求直線上任意一點，=（x—3，y-1），所以AC邊上的高所在的直線方程為·(x—3，y-1）=0，即3x—5y—4=0.答案：3x-5y—4=010。以原點O和A(4,2)為兩頂點作等腰直角三角形OAB,∠OBA=90°，求點B的坐標和向量。解：設B(x，y)，則=(x,y），=(x—4，y—2），∵∠OBA=90°，即⊥,·=0，∴x（x-4）+y(y—2)=0，即x2+y2—4x—2y=0。①設OA的中點為C，則C(2，1)，=（2，1）,=（x—2，y-1)，在等腰直角△ABC中，⊥，∴2（x-2)+y—1=0，即2x+y—5=0。②聯(lián)立①②解得故B點的坐標為(1，3)或（3,—1);當B(1，3）時，=(—3，1);當B（3，-1)時，=(—1，—3)。11。如圖2-4-2