專題03全等模型-手拉手模型(原卷版+解析)

專題03全等模型-手拉手模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.手拉手模型（三角形）【模型解讀】將兩個(gè)三角形繞著公共頂點(diǎn)（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等。公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左手”，第二個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”。對(duì)應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)BD），右手拉右手（即連結(jié)CE），得?！境Ｒ?jiàn)模型及證法】（等邊）（等腰直角）（等腰）例1．（2022秋·吉林松原·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)O是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，，將△BOC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．(1)當(dāng)時(shí)，°；(2)當(dāng)時(shí)，°；(3)若，，，則OA的長(zhǎng)為．例2．（2022·湖北武漢·八年級(jí)期末）已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC為邊向外作等邊ABD和等邊BCE．(1)連接AE、CD，如圖1，求證：AE=CD；(2)若N為CD中點(diǎn)，連接AN，如圖2，求證：CE=2AN(3)若AB⊥BC，延長(zhǎng)AB交DE于M，DB=，如圖3，則BM=_______（直接寫(xiě)出結(jié)果）例3．（2022·湖北·襄陽(yáng)市九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知AOB和MON都是等腰直角三角形(OA<OM=ON)，∠AOB=∠MON=90°．(1)如圖①，連接AM，BN，求證：AOM≌BON；(2)若將MON繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，①如圖②，當(dāng)點(diǎn)N恰好在AB邊上時(shí)，求證：；②當(dāng)點(diǎn)A，M，N在同一條直線上時(shí)，若OB=4，ON=3，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BN的長(zhǎng)．例4．（2023春·重慶巴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在正方形中，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，連接，．

(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，求的面積；(2)如圖2，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，，連接．點(diǎn)是的中點(diǎn)，分別連接，，求證：；(3)如圖3，點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，，連接．點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，直接寫(xiě)出的面積．例5．（2022·山西大同·九年級(jí)期中）綜合與實(shí)踐：已知是等腰三角形，．（1）特殊情形：如圖1，當(dāng)∥時(shí)，______．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）到圖2所示的位置，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展運(yùn)用：某學(xué)習(xí)小組在解答問(wèn)題：“如圖3，點(diǎn)是等腰直角三角形內(nèi)一點(diǎn)，，且，，，求的度數(shù)”時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)可以利用旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，構(gòu)造新圖形解決問(wèn)題．請(qǐng)你根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)直接寫(xiě)出的度數(shù)．例6．（2022·青?！ぶ锌颊骖}）兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若和是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：；(2)解決問(wèn)題：如圖2，若和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

圖1

圖2模型2.手拉手模型（正多邊形型）【模型解讀】將兩個(gè)多邊形繞著公共頂點(diǎn)（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)多邊形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等。【常見(jiàn)模型及證法】如圖，在任意△ABC中，分別以AB、AC為邊作正方形ABDE、ACFG，連接EC、BG，則△AEC≌△ABG.例1．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為2的正方形CEFG如圖1擺放，將正方形CEFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，連接BG，DE．（1）如圖2，求證：△BCG≌△DCE；（2）如圖2，連接DG，BE，判斷DG2+BE2否為定值．若是，求這個(gè)定值若不是，說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在DE上時(shí)，求α的值．例2．（2023·河南鶴壁市八年級(jí)月考）（1）作圖發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知，小涵同學(xué)以、為邊向外作等邊和等邊，連接，．這時(shí)他發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展探究：如圖2，已知，小涵同學(xué)以、為邊向外作正方形和正方形，連接，，試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．例3．（2023·福建福州市·九年級(jí)月考）如圖，和均為等邊三角形，連接BE、CD．（1）請(qǐng)判斷：線段BE與CD的大小關(guān)系是；（2）觀察圖，當(dāng)和分別繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，BE、CD之間的大小關(guān)系是否會(huì)改變?（3）觀察如圖和4，若四邊形ABCD、DEFG都是正方形,猜想類似的結(jié)論是________,在如圖中證明你的猜想.（4）這些結(jié)論可否推廣到任意正多邊形（不必證明）,如圖,BB1與EE1的關(guān)系是;它們分別在哪兩個(gè)全等三角形中;請(qǐng)?jiān)谌鐖D中標(biāo)出較小的正六邊形AB1C1D1E1F1的另五個(gè)頂點(diǎn)，連接圖中哪兩個(gè)頂點(diǎn),能構(gòu)造出兩個(gè)全等三角形？例4．（2023·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1，圖2，圖3，在中，分別以為邊，向外作正三角形，正四邊形，正五邊形，相交于點(diǎn)．（正多邊形的各邊相等，各個(gè)內(nèi)角也相等）①如圖1，求證：△ABE≌△ADC；②探究：如圖1，∠BOD=；③如圖2，∠BOD=；④如圖3，∠BOD=．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·浙江·溫州一模）如圖，在△ABC中以AC，BC為邊向外作正方形ACFG與正方形BCDE，連結(jié)DF，并過(guò)C點(diǎn)作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，則MD的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．2．（2022·廣東茂名·二模）如圖，在中，，D是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，并將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得線段，連接，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段長(zhǎng)度的最小值是_________．3．（2022·安徽蕪湖·八年級(jí)期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE交于點(diǎn)F，連接AF．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)求證：FA平分∠BFE．4．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）中，，，點(diǎn)在邊上，將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．(1)當(dāng)，時(shí)，求證：．(2)當(dāng)，時(shí)，若，求的值．5．（2022·福建·長(zhǎng)汀縣第四中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知：在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90o，D為△ABC外一點(diǎn)，且滿足∠ADB=90°．（1）如圖1，若，AD=1，求DB的長(zhǎng)．（2）如圖1，求證：．（3）如圖2所示，過(guò)C作CE⊥AD于E，BD=2，AD=6，求CE的長(zhǎng)．6．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）(1)如圖1，在中，，，，則與的數(shù)量關(guān)系是，與延長(zhǎng)線的夾角；(2)如圖2，四邊形中，，，，連接，猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，四邊形中，，，，，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)為．7．（2023春·廣東汕頭·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，D為內(nèi)一點(diǎn)，，，將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)能與線段重合．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．8．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角頂點(diǎn)，并將它們的底角頂點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)連接起來(lái)得到兩個(gè)全等三角形，我們把這樣的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，則△ABD≌△ACE．(1)請(qǐng)證明圖1的結(jié)論成立；(2)如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點(diǎn)O，求∠BOC的度數(shù)；(3)如圖3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．9．（2022春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)長(zhǎng)沙市湘郡培粹實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，點(diǎn)D，E分別為邊AB，BC上的中點(diǎn)，且BD＝BE＝．(1)如圖2，將△BDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度α，連接AD，EC，則線段EC與AD的關(guān)系是；(2)如圖3，DE∥BC，連接AE，判斷△EAC的形狀，并求出EC的長(zhǎng)；(3)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)△BDE，當(dāng)∠AEC＝90°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出EC的長(zhǎng)．10．（2022·河南焦作·二模）（1）如圖1，在中，，，點(diǎn)D，E分別在邊CA，CB上，且，連接AE，BD，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，連接CF交BD于點(diǎn)G，則線段CF所在直線與線段BD所在直線的位置關(guān)系是_______，線段CF和線段BD的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____．（2）將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）將繞點(diǎn)C逆時(shí)針在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)B，D，E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，CF的長(zhǎng)為_(kāi)_______．11．（2022·重慶市九年級(jí)階段練習(xí)）【問(wèn)題背景】如圖1，P是等邊三角形ABC外一點(diǎn)，∠APB＝30°，則PA2+PB2＝PC2．小明為了證明這個(gè)結(jié)論，將△PAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，請(qǐng)根據(jù)此思路完成其證明．【遷移應(yīng)用】如圖2，在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，點(diǎn)P在△ABC外部，且∠BPC＝45°，若△APC的面積為5.5，求PC．12．（2023·四川達(dá)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖，在中，，為邊所在直線上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)、重合)，連結(jié)，以為邊作，且，根據(jù)，得到，結(jié)合，得出，發(fā)現(xiàn)線段與的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為；（1）探究證明：如圖，在和中，，，且點(diǎn)在邊上滑動(dòng)(點(diǎn)不與點(diǎn)、重合)，連接．①則線段，，之間滿足的等量關(guān)系式為_(kāi)___；②求證:；（2）拓展延伸：如圖，在四邊形中，．若，，求的長(zhǎng)．13．（2023秋·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐：【問(wèn)題情景】綜合與實(shí)踐課上，王老師讓同學(xué)們以“共頂點(diǎn)的等腰三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．【實(shí)踐操作】王老師讓同學(xué)們先畫(huà)出兩個(gè)等邊和，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到某一位置，要求同學(xué)們觀察圖形，提出問(wèn)題并加以解決．(1)如圖①，“慎思組”的同學(xué)們連接、，則與有何數(shù)量關(guān)系？與有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你探究后直接寫(xiě)出結(jié)論．(2)如圖②，得知“慎思組”的結(jié)論后，“博學(xué)組”的同學(xué)們又連接，他們認(rèn)為，如果，且，，就可以求出的長(zhǎng)，請(qǐng)寫(xiě)出求解過(guò)程．【類比探究】(3)如圖③，“智慧組”的同學(xué)們畫(huà)出了兩個(gè)等腰直角三角形和，其中，，；且點(diǎn)恰好落在上，那么、和之間一定存在某種數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你探究后直接寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系．14．（2023·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，和均為等邊三角形，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接，容易發(fā)現(xiàn)：①的度數(shù)為；②線段、之間的數(shù)量關(guān)系為；【類比探究】（2）如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接，試判斷的度數(shù)以及線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【問(wèn)題解決】（3）如圖3，，，，，則的值為．15．（2022秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：，，．(1)如圖1當(dāng)點(diǎn)在上，______．(2)如圖2猜想與的面積有何關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（溫馨提示：兩三角形可以看成是等底的）16．（2022·山西八年級(jí)月考）綜合與實(shí)踐特例研究：將矩形和按如圖1放置，已知，連接．如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，線段與之間的數(shù)量關(guān)系是__；直線與直線之間的位置關(guān)系是_；拓廣探索：圖2是由圖1中的矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到的，請(qǐng)?zhí)剿骶€段與之間的數(shù)量關(guān)系和直線與直線之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．17．（2022·福建八年級(jí)期中）如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問(wèn)題(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為．②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C、F重合除外）？并說(shuō)明理由．18．（2022春·貴州黔東南·八年級(jí)校聯(lián)考期末）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在四邊形中，對(duì)角線，垂足是O，求證：．【拓展遷移】（2）如圖2．以三角形的邊、為邊向外作正方形和正方形，求證：．（3）如圖3，在（2）小題條件不變的情況下，連接，若，，，則的長(zhǎng)_____________．（直接填寫(xiě)答案）19．（2022·福建福州·九年級(jí)?？计谥校┱叫蜛BCD和正方形AEFG的邊長(zhǎng)分別為3和1，將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖1位置時(shí)，連接BE，DG，則線段BE和DG的關(guān)系為；（2）在圖1中，連接BD，BF，DF，求在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中BDF的面積最大值；（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)G，E，D在同一直線上時(shí)，求線段BE的長(zhǎng)．20．（2022·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)?？计谥校?）如圖①，若在等邊△ABC的邊AB上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與B重合），以EC為邊在△ABC同側(cè)作等邊△CEN，連接AN．求證：ANBC且AN＝BE；（2）如圖②，若把（1）中的“等邊△ABC”改成正方形ABCD，同樣在邊AB上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與B重合），以EC為邊在正方形ABCD同則作正方形CEMN，連接DN，請(qǐng)你判斷圖中是否有與（1）中類似的結(jié)論．若有，直接寫(xiě)出結(jié)論；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；

專題03全等模型-手拉手模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.手拉手模型（三角形）【模型解讀】將兩個(gè)三角形繞著公共頂點(diǎn)（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等。公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左手”，第二個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”。對(duì)應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)BD），右手拉右手（即連結(jié)CE），得?！境Ｒ?jiàn)模型及證法】（等邊）（等腰直角）（等腰）例1．（2022秋·吉林松原·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)O是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，，將△BOC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．(1)當(dāng)時(shí)，°；(2)當(dāng)時(shí)，°；(3)若，，，則OA的長(zhǎng)為．【答案】(1)40；(2)60；(3)【分析】（1）證明△COD是等邊三角形，得到∠ODC=60°，即可得到答案；（2）利用∠ADC-∠ODC求出答案；（3）由△BOC≌△ADC，推出∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=8，根據(jù)△COD是等邊三角形，得到∠ODC=60°，OD=，證得△AOD是直角三角形，利用勾股定理求出．【詳解】（1）解：∵CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等邊三角形；∴∠ODC=60°，∵∠ADC=∠BOC=，∴∠ADC-∠ODC=40°，故答案為：40；（2）∵∠ADC=∠BOC=，∴∠ADC-∠ODC=60°，故答案為：60；（3）解：當(dāng)，即∠BOC=150°，∴△AOD是直角三角形．∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=8，又∵△COD是等邊三角形，∴∠ODC=60°，OD=，∴∠ADO=90°，即△AOD是直角三角形，∴,故答案為：．【點(diǎn)睛】本題以“空間與圖形”中的核心知識(shí)（如等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與證明、直角三角形的判定、多邊形內(nèi)角和等）為載體，內(nèi)容由淺入深，層層遞進(jìn)．試題中幾何演繹推理的難度適宜，蘊(yùn)含著豐富的思想方法（如運(yùn)動(dòng)變化、數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想等），能較好地考查學(xué)生的推理、探究及解決問(wèn)題的能力．例2．（2022·湖北武漢·八年級(jí)期末）已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC為邊向外作等邊ABD和等邊BCE．(1)連接AE、CD，如圖1，求證：AE=CD；(2)若N為CD中點(diǎn)，連接AN，如圖2，求證：CE=2AN(3)若AB⊥BC，延長(zhǎng)AB交DE于M，DB=，如圖3，則BM=_______（直接寫(xiě)出結(jié)果）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）先判斷出∠DBC=∠ABE，進(jìn)而判斷出△DBC≌△ABE，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出△ADN≌△FCN，得出CF=AD，∠NCF=∠AND，進(jìn)而判斷出∠BAC=∠ACF，即可判斷出△ABC≌△CFA，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出△ABC≌△HEB(ASA)，得出，，再判斷出△ADM≌△HEM(AAS)，得出AM=HM，即可得出結(jié)論．（1）解：∵△ABD和△BCE是等邊三角形，∴BD=AB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，∴∠DBC=∠ABE，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE=CD；（2）解：如圖，延長(zhǎng)AN使NF=AN，連接FC，∵N為CD中點(diǎn)，∴DN=CN，∵∠AND=∠FNC，∴△ADN≌△FCN(SAS)，∴CF=AD，∠NCF=∠AND，∵∠DAB=∠BAC=60°∴∠ACD+∠ADN=60°∴∠ACF=∠ACD+∠NCF=60°，∴∠BAC=∠ACF，∵△ABD是等邊三角形，∴AB=AD，∴AB=CF，∵AC=CA，∴△ABC≌△CFA(SAS)，∴BC=AF，∵△BCE是等邊三角形，∴CE=BC=AF=2AN；（3）解：∵△ABD是等邊三角形，∴，∠BAD=60°，在Rt△ABC中，∠ACB=90°－∠BAC=30°，∴，如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH//AD交AM的延長(zhǎng)線于H，∴∠H=∠BAD=60°，∵△BCE是等邊三角形，∴BC=BE，∠CBE=60°，∵∠ABC=90°，∴∠EBH=90°－∠CBE=30°=∠ACB，∴∠BEH=180°－∠EBH－∠H=90°=∠ABC，∴△ABC≌△HEB(ASA)，∴，，∴AD=EH，∵∠AMD=∠HME，∴△ADM≌△HEM(AAS)，∴AM=HM，∴∵，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．例3．（2022·湖北·襄陽(yáng)市九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知AOB和MON都是等腰直角三角形(OA<OM=ON)，∠AOB=∠MON=90°．(1)如圖①，連接AM，BN，求證：AOM≌BON；(2)若將MON繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，①如圖②，當(dāng)點(diǎn)N恰好在AB邊上時(shí)，求證：；②當(dāng)點(diǎn)A，M，N在同一條直線上時(shí)，若OB=4，ON=3，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BN的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)①見(jiàn)解析；②或．【分析】（1）利用SAS定理證明即可；（2）①連接，證明，即可證；②當(dāng)點(diǎn)N在線段上時(shí)，連接，在中構(gòu)造勾股定理的等量關(guān)系；當(dāng)點(diǎn)M在線段上時(shí)，同理即可求得．（1）證明：，，即．和是等腰直角三角形，，(SAS)．（2）解：①證明：如圖，連接．，，即．和是等腰直角三角形，，，，．是等腰直角三角形，，．②或．∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OB=4，ON=3，∴．當(dāng)點(diǎn)N在線段上時(shí)，如圖，連接，設(shè)，由(1)可知．∴，．∴，∴，∴是直角三角形，．又∵，∴，解得：（舍去）∴；當(dāng)點(diǎn)M在線段上時(shí)，如圖，連接，設(shè)，由(2)①可知．∴，．∴，∴，∴是直角三角形，．又∵，∴，解得：（舍去）∴綜上所述：的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，三點(diǎn)共線分類討論，對(duì)幾何題目的綜合把握是解題關(guān)鍵．例4．（2023春·重慶巴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在正方形中，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，連接，．

(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，求的面積；(2)如圖2，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，，連接．點(diǎn)是的中點(diǎn)，分別連接，，求證：；(3)如圖3，點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，，連接．點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，直接寫(xiě)出的面積．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用證明得，從而求出，由此即可求出的面積．（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，利用一線三直角模型可得（），從而可得：，再證明可得為等腰直角三角形，，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）由已知可得：是等腰直角三角形，進(jìn)而可得，，即當(dāng)E點(diǎn)在AM上時(shí)，最小，再由三角形全都轉(zhuǎn)換線段關(guān)系得到，由勾股定理求出即可解題．【詳解】（1）解：∵；∴；∵四邊形是正方形；∴，；∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，；∴；∵；∴；∴；∴；∴；（2）證明：如解（2）圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．

∵；∴∴；∵；∴；∴，；∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，；∴，：∴；∴；∴，；∴；∴；∴；（3）解：∵，，∴是等腰直角三角形，，又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴當(dāng)E點(diǎn)在上時(shí)，最小，如解（3）圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，同理（1）可得：；∴；，，∴，又∵∴，又∵，∴，∴，∴，在中，，，∴，解得：，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題（3）的關(guān)鍵在于能夠證明．例5．（2022·山西大同·九年級(jí)期中）綜合與實(shí)踐：已知是等腰三角形，．（1）特殊情形：如圖1，當(dāng)∥時(shí)，______．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）到圖2所示的位置，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展運(yùn)用：某學(xué)習(xí)小組在解答問(wèn)題：“如圖3，點(diǎn)是等腰直角三角形內(nèi)一點(diǎn)，，且，，，求的度數(shù)”時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)可以利用旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，構(gòu)造新圖形解決問(wèn)題．請(qǐng)你根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)直接寫(xiě)出的度數(shù)．【答案】（1）=；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）∠BPA=135°．【分析】（1）由DE∥BC，得到∠ADE=∠B，∠AED=∠C，結(jié)合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論判斷出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）由旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出△APB≌△AEC，再用勾股定理計(jì)算出PE，然后用勾股定理逆定理判斷出△PEC是直角三角形，在簡(jiǎn)單計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴DB=EC，故答案為：=；（2）成立．證明：由①易知AD=AE，∴由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE；（3）如圖，將△APB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得△AEC，連接PE，∴△APB≌△AEC，∴AE=AP=2，EC=BP=1，∠PAE=90°，∴∠AEP=∠APE=45°，在Rt△PAE中，由勾股定理可得，PE=2，在△PEC中，PE2=（2）2=8，CE2=12=1，PC2=32=9，∵PE2+CE2=PA2，∴△PEC是直角三角形，∴∠PEC=90°，∴∠AEC=135°，又∵△APB≌△AEC，∴∠BPA=∠CEA=135°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理及其逆定理，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，也是本題的難點(diǎn)．例6．（2022·青?！ぶ锌颊骖}）兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若和是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：；(2)解決問(wèn)題：如圖2，若和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

圖1

圖2【答案】(1)見(jiàn)解析(2)；【分析】（1）先判斷出∠BAD=∠CAE，進(jìn)而利用SAS判斷出△BAD≌△CAE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出結(jié)論．【解析】(1)證明：∵和是頂角相等的等腰三角形，∴，，，∴，∴．在和中，，∴，∴．(2)解：，，理由如下：由（1）的方法得，，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴．∵，，∴．∵，∴，∴．∴．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形，等邊三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷出△ACD≌△BCE是解本題的關(guān)鍵．模型2.手拉手模型（正多邊形型）【模型解讀】將兩個(gè)多邊形繞著公共頂點(diǎn)（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)多邊形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等?！境Ｒ?jiàn)模型及證法】如圖，在任意△ABC中，分別以AB、AC為邊作正方形ABDE、ACFG，連接EC、BG，則△AEC≌△ABG.例1．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為2的正方形CEFG如圖1擺放，將正方形CEFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，連接BG，DE．（1）如圖2，求證：△BCG≌△DCE；（2）如圖2，連接DG，BE，判斷DG2+BE2否為定值．若是，求這個(gè)定值若不是，說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在DE上時(shí)，求α的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）48；（3）【分析】（1）通過(guò)邊角邊判定三角形全等；（2）連接，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，先證明，由勾股定理可得；（3）作于點(diǎn)，則，且，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解．【詳解】（1）四邊形與為正方形，，，，，，在和中，(SAS)，（2）連接，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，，在△和中，，，，，由勾股定理得，，，，，，，(3)作于點(diǎn)，如圖，△為等腰直角三角形，，且，在中，，，，．．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形與三角形的綜合問(wèn)題，解題關(guān)鍵是熟練掌握正方形與直角三角形的性質(zhì)，通過(guò)添加輔助線求解．例2．（2023·河南鶴壁市八年級(jí)月考）（1）作圖發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知，小涵同學(xué)以、為邊向外作等邊和等邊，連接，．這時(shí)他發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展探究：如圖2，已知，小涵同學(xué)以、為邊向外作正方形和正方形，連接，，試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）BE=CD；（2）BE=CD，理由見(jiàn)解析；【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)得出，然后有，再利用SAS即可證明，則有；（2）利用正方形的性質(zhì)得出，然后有，再利用SAS即可證明，則有；【詳解】（1）如圖1所示：和都是等邊三角形，，，即，在和中，，．（2），四邊形和均為正方形，，，，，在和中，，，例3．（2023·福建福州市·九年級(jí)月考）如圖，和均為等邊三角形，連接BE、CD．（1）請(qǐng)判斷：線段BE與CD的大小關(guān)系是；（2）觀察圖，當(dāng)和分別繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，BE、CD之間的大小關(guān)系是否會(huì)改變?（3）觀察如圖和4，若四邊形ABCD、DEFG都是正方形,猜想類似的結(jié)論是________,在如圖中證明你的猜想.（4）這些結(jié)論可否推廣到任意正多邊形（不必證明）,如圖,BB1與EE1的關(guān)系是;它們分別在哪兩個(gè)全等三角形中;請(qǐng)?jiān)谌鐖D中標(biāo)出較小的正六邊形AB1C1D1E1F1的另五個(gè)頂點(diǎn)，連接圖中哪兩個(gè)頂點(diǎn),能構(gòu)造出兩個(gè)全等三角形？【答案】(1)BE=CD（2）線段BE與CD的大小關(guān)系不會(huì)改變（3）AE＝CG，證明見(jiàn)解析（4）這些結(jié)論可以推廣到任意正多邊形.如圖5，BB1=EE1，它們分別在△AE1E和△AB1B中，如圖6，連接FF1，可證△AB1B≌△AF1F．圖形見(jiàn)解析.【分析】本題是變式拓展題，圖形由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，需要從簡(jiǎn)單圖形中探討解題方法，并借鑒用到復(fù)雜圖形中；證明三角形全等時(shí)，用旋轉(zhuǎn)變換尋找三角形全等的條件．【詳解】（1）線段BE與CD的大小關(guān)系是BE=CD；（2）線段BE與CD的大小關(guān)系不會(huì)改變；

（3）AE=CG．證明：如圖4，正方形ABCD與正方形DEFG中，∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，

又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE，∴△ADE≌△CDG，∴AE=CG．

（4）這些結(jié)論可以推廣到任意正多邊形．

如圖5，BB1=EE1，它們分別在△AE1E和△AB1B中，如圖6，連接FF1，可證△AB1B≌△AF1F．【點(diǎn)睛】本題綜合考查全等三角形、等邊三角形和多邊形有關(guān)知識(shí)．注意對(duì)三角形全等的證明方法的發(fā)散．例4．（2023·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1，圖2，圖3，在中，分別以為邊，向外作正三角形，正四邊形，正五邊形，相交于點(diǎn)．（正多邊形的各邊相等，各個(gè)內(nèi)角也相等）①如圖1，求證：△ABE≌△ADC；②探究：如圖1，∠BOD=；③如圖2，∠BOD=；④如圖3，∠BOD=．【答案】①見(jiàn)解析；②60°；③90°；④108°【分析】①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得出△ABE≌△ADC．②③④根據(jù)△ABE≌△ADC可得∠CDA=∠EBA，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠BOD=∠BAD，從而求解．【詳解】解：①證明：如圖，∵△ABD和△AEC是等邊三角，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠ABD=∠ADB=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE．在△ABE和△ADC中，，∴△ABE≌△ADC（SAS）；②，，∵∠AFD=∠OFB，∴∠BOD=∠BAD=60°；③如圖，四邊形和四邊形是正方形，，，，，，即，在和中，，，，∵∠AHB=∠OHD，∴∠BOD=∠BAD=90°；④如圖，五邊形和五邊形是正五邊形，，，，，，，在和中，，，，∵∠AMB=∠OMD，∴∠BOD=∠BAD=（5-2）×180°÷5=108°．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，正五邊形的性質(zhì)的運(yùn)用及正邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)正多邊形的性質(zhì)證明三角形全等是關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·浙江·溫州一模）如圖，在△ABC中以AC，BC為邊向外作正方形ACFG與正方形BCDE，連結(jié)DF，并過(guò)C點(diǎn)作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，則MD的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)D作DN⊥CF于點(diǎn)N，作DP⊥HM于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥HM，交HM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，依據(jù)勾股定理即可求得DF的長(zhǎng)，再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到FQ=DP，進(jìn)而證明△FQM≌△DPM，得到M是FD的中點(diǎn)，由此可得DM=DF．【詳解】如圖所示，過(guò)D作DN⊥CF于點(diǎn)N，作DP⊥HM于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥HM，交HM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，∵∠ACB＝120°，∠ACF＝∠BCD＝90°，∴∠DCN＝60°，∠CDN＝30°，又∵BC＝DC＝2，AC＝FC＝3，∴CNCD＝1，F(xiàn)N＝CF﹣CN＝3﹣1＝2，DN，Rt△DFN中，DF．∵四邊形BCDE是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，又∵CH⊥AB，∴∠DCP+∠BCH＝∠CBH+∠BCH＝90°，∴∠DCP＝∠CBH，又∵∠DPC＝∠BHC＝90°，∴△DCP≌△CBH（AAS），∴DP＝CH，同理可得△ACH≌△CFQ，∴FQ＝CH，∴FQ＝DP，又∵∠Q＝∠DPM＝90°，∠FMQ＝∠DMP，∴△FQM≌△DPM（AAS），∴FM＝DM，即M是FD的中點(diǎn)，∴DMDF．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用，通過(guò)作輔助線構(gòu)造全等三角形，靈活運(yùn)用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東茂名·二模）如圖，在中，，D是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，并將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得線段，連接，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段長(zhǎng)度的最小值是_________．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使，連接，先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理可得，根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形全等的判定證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度最小，在中，解直角三角形即可得．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使，連接，，，，是等腰直角三角形，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，，，在和中，，，，如圖，由垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度最小，在中，，即線段長(zhǎng)度的最小值是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．3．（2022·安徽蕪湖·八年級(jí)期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE交于點(diǎn)F，連接AF．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)求證：FA平分∠BFE．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)SAS證明結(jié)論即可；（2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由（1）可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【解析】(1)證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）；(2)證明：如圖，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，∵，∴AM＝AN，∴點(diǎn)A在∠BFE平分線上，∴FA平分∠BFE．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，巧用等積法進(jìn)行證明．4．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）中，，，點(diǎn)在邊上，將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．(1)當(dāng)，時(shí)，求證：．(2)當(dāng)，時(shí)，若，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意證明，得出，，，勾股定理即可得證；（2）在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使，由同理得，設(shè)，根據(jù)勾股定理得出，作于，得出是等腰直角三角形，分別求得，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，在和中，，，，，，，，；（2）在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使，由同理得，，，設(shè)，∴作于，，是等腰直角三角形，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·福建·長(zhǎng)汀縣第四中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知：在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90o，D為△ABC外一點(diǎn)，且滿足∠ADB=90°．（1）如圖1，若，AD=1，求DB的長(zhǎng)．（2）如圖1，求證：．（3）如圖2所示，過(guò)C作CE⊥AD于E，BD=2，AD=6，求CE的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）2【分析】（1）在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AB=2，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，得；（2）過(guò)C點(diǎn)作CF⊥CD，構(gòu)造手拉手模型，運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)可得證；（3）過(guò)C點(diǎn)作CF⊥CD，構(gòu)造手拉手模型，運(yùn)用三角形全等可得證．【詳解】（1）解：在Rt△ABC中，∵，∴，

∴在Rt△ABD中，．

（2）證明：如圖，過(guò)C點(diǎn)作CF⊥CD交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

∵∠ACB=∠DCF=90°，∴∠ACD=∠BCF，∵∠CAD+∠CBD=360°－(∠ACB+∠ADB)=180°，∠CBF+∠CBD=180°，∴∠CAD=∠CBF，又∵CA=CB，∴△CAD≌△CBF(ASA)，

∴CD=CF，AD=BF，∴，∵DF=DB+BF=DB+DA，∴．

（3）解：如圖，過(guò)C點(diǎn)作CF⊥CD交AD與F點(diǎn)，

∵∠ACB=∠DCF=90°，即∠ACF+∠BCF=∠BCD+∠BCF=90°，∴∠ACF=∠BCD，∵∠AFC=∠FCD+∠CDA=90°+∠CDA，∠CDB=∠CDA+∠ADB=90°+∠CDA，∴∠AFC=∠CDB，又∵CA=CB，∴△CAF≌△CBD(AAS)，

∴CF=CD，AF=BD，∴△CDF是等腰直角三角形，又∵CE⊥AD，∴E為DF中點(diǎn)，∵AD=6，AF=BD=2，∴FD=AD－AF=4，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的全等，手拉手模型的構(gòu)造，熟練構(gòu)造手拉手模型是解題的關(guān)鍵.6．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）(1)如圖1，在中，，，，則與的數(shù)量關(guān)系是，與延長(zhǎng)線的夾角；(2)如圖2，四邊形中，，，，連接，猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，四邊形中，，，，，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)為．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）證明≌即可．（2）由（1）的證明方法可知：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，證明≌，再為直角三角形，用勾股定理即可．（3）由（1）的證明方法可知：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，延長(zhǎng)交于，再證明，用勾股定理即可求解．【詳解】（1）與的數(shù)量關(guān)系：，證明：，，，在和中，≌，，故與的數(shù)量關(guān)系：；，≌，，即：，在中：．故．（2）結(jié)論：，證明：如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，，，是等邊三角形，，，，，在和中，≌，，，，，，，在中，．（3）解：如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，延長(zhǎng)交于，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，在和中，≌，，，，，，設(shè)，，則有，，在中，，在中，，由①②解得，，在中，故的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等及性質(zhì)、勾股定理在旋轉(zhuǎn)中典型模型“手拉手”的綜合應(yīng)用，掌握典型模型的解決方法是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·廣東汕頭·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，D為內(nèi)一點(diǎn)，，，將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)能與線段重合．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)能與線段重合，得，，通過(guò)證明，即可證出；（2）由得：，再根據(jù)，，得，即可求出答案．【詳解】（1）證明：∵將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)能與線段重合，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：由得：，∵，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形是性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明出是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角頂點(diǎn)，并將它們的底角頂點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)連接起來(lái)得到兩個(gè)全等三角形，我們把這樣的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，則△ABD≌△ACE．(1)請(qǐng)證明圖1的結(jié)論成立；(2)如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點(diǎn)O，求∠BOC的度數(shù)；(3)如圖3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)60°(3)∠A+∠BCD=180°，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用等式的性質(zhì)得出∠BAD=∠CAE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△ABD≌△ACE，得出∠ADB=∠AEC，再利用對(duì)頂角和三角形的內(nèi)角和定理判斷出∠BOC=60°，即可得出答案；（3）先判斷出△BDP是等邊三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，進(jìn)而判斷出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）如圖2，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB=∠AEC，令A(yù)D與CE交于點(diǎn)G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°；（3）∠A+∠BCD=180°．理由：如圖3，延長(zhǎng)DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等邊三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠ABC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造等邊三角形是解本題的關(guān)鍵．9．（2022春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)長(zhǎng)沙市湘郡培粹實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，點(diǎn)D，E分別為邊AB，BC上的中點(diǎn)，且BD＝BE＝．(1)如圖2，將△BDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度α，連接AD，EC，則線段EC與AD的關(guān)系是；(2)如圖3，DE∥BC，連接AE，判斷△EAC的形狀，并求出EC的長(zhǎng)；(3)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)△BDE，當(dāng)∠AEC＝90°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出EC的長(zhǎng)．【答案】(1)EC＝AD，EC⊥AD(2)等腰三角形，(3)【分析】（1）延長(zhǎng)CE交AD于F，交AB于O，證明△ABD≌△CBE（SAS），得∠BCE＝∠BAD，CE＝AD，再由∠AOF＝∠BOC，可得∠AFC＝∠ABC＝90°，即可得到結(jié)論；（2）設(shè)DE與AB的交點(diǎn)為H，可得AB是DE的垂直平分線，利用勾股定理可求出AE的長(zhǎng)，由（1）知CE＝AD，從而得出答案；（3）分當(dāng)點(diǎn)E在BC上方時(shí)和當(dāng)點(diǎn)E在BC下方時(shí)，分別畫(huà)圖，利用勾股定理計(jì)算即可．(1)EC與AD垂直且相等，理由如下：延長(zhǎng)CE交AD于F，交AB于O，∵△BDE和△ABC都是等腰直角三角形，∴BD＝BE，AB＝BC，∠DBE＝∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BCE＝∠BAD，CE＝AD，∵∠AOF＝∠BOC，∴∠AFE＝∠ABC＝90°，∴AD⊥CE，∴故答案為：EC＝AD，EC⊥AD；(2)設(shè)DE與AB的交點(diǎn)為H，∵DE∥BC，∴∠AHE＝∠ABC＝90°，∵BD＝BE，∴AB是DE的垂直平分線，∴AD＝AE，由（1）知AD＝CE，∴AE＝CE，∴△ACE是等腰三角形，∵BE＝，∴BH＝HE＝1，∴AH＝AB﹣BH＝4﹣1＝3，在Rt△AHE中，由勾股定理得：AE＝，∴CE＝AE＝；(3)如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在BC上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥DE于G，∵∠AEC＝90°，CE⊥AD，∴A、E、D三點(diǎn)共線，∴AG＝，∴AD＝AG+DG＝，∴CE＝AD＝+1；如圖，當(dāng)點(diǎn)E在BC下方時(shí)，同理可得CE＝CG﹣GE＝﹣1．綜上：CE＝+1或﹣1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，根據(jù)前面探索的結(jié)論解決新的問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．10．（2022·河南焦作·二模）（1）如圖1，在中，，，點(diǎn)D，E分別在邊CA，CB上，且，連接AE，BD，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，連接CF交BD于點(diǎn)G，則線段CF所在直線與線段BD所在直線的位置關(guān)系是_______，線段CF和線段BD的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____．（2）將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）將繞點(diǎn)C逆時(shí)針在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)B，D，E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，CF的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】（1）CF⊥BD；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．理由見(jiàn)解析（3）或【分析】（1）延長(zhǎng)CF到點(diǎn)M，使得FM=CF，連接AM．證，得，，所以，推出∠MAC=∠DCB=90°，再（SAS），得，，繼而得到，則，故有結(jié)論CG⊥BD，BD=2CF．（2）延長(zhǎng)CF至M使則，連接AM，延長(zhǎng)BC到N，先證明，得，，再證明，得，，從而得證，得到，即可得出（1）中的結(jié)論：，BD=2CF．（3）分兩種情形：如圖3中，當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上時(shí)，如圖4中，當(dāng)點(diǎn)E在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別求解即可．【詳解】解：（1）如圖，延長(zhǎng)CF至M使，則，連接AM，∵F是AE的中點(diǎn)，，且，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴（SAS），∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：CG⊥BD，BD=2CF．（2）證明：（1）中的結(jié)論仍然成立．理由如下：如圖，延長(zhǎng)CF至M，使，則，連接AM，延長(zhǎng)BC到N，∵F是AE的中點(diǎn)，，且，∴，∴，，∴，∴，∴，又∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴（1）中的結(jié)論：，BD=2CF仍然成立（3）如圖3中，當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上時(shí)，延長(zhǎng)CF至M使則，連接AM，在Rt△DCE中，CD=CE=2，∴DE=，∵CG⊥DE，CD=CE，∴CG平分DE，∵∠DCE=90°，∴DG=CG=DE=，在Rt△CGB中，CB=6，CG=，∴BG=，∴BD=BG+DG=+，由（2）知BD=2CF，∴CF=BD=；如圖4中，當(dāng)點(diǎn)E在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)CF至M使則，連接AM，在Rt△DCE中，CD=CE=2，∴DE=，∵CG⊥DE，CD=CE，∴CG平分DE，∵∠DCE=90°，∴DG=CG=DE=，在Rt△CGB中，CB=6，CG=，∴BG=，∴BD=BG-DG=-，由（2）知BD=2CF，∴CF=BD=；綜上所述，滿足條件的CF的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，本題屬旋轉(zhuǎn)綜合題目，通過(guò)作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．11．（2022·重慶市九年級(jí)階段練習(xí)）【問(wèn)題背景】如圖1，P是等邊三角形ABC外一點(diǎn)，∠APB＝30°，則PA2+PB2＝PC2．小明為了證明這個(gè)結(jié)論，將△PAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，請(qǐng)根據(jù)此思路完成其證明．【遷移應(yīng)用】如圖2，在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，點(diǎn)P在△ABC外部，且∠BPC＝45°，若△APC的面積為5.5，求PC．【答案】（1）【問(wèn)題背景】見(jiàn)解析；（2）【遷移應(yīng)用】【分析】（1）【問(wèn)題背景】將△PAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DAC，連接PD，由旋轉(zhuǎn)及等邊三角形的性質(zhì)可得∠PDC=90゜，由勾股定理即可解決；（2）【遷移應(yīng)用】過(guò)B作BM⊥PB交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接AM，則易得△PBC≌△MBA，由全等三角形的性質(zhì)易得∠AMP=90゜，再由面積條件即可求得PC的長(zhǎng)．【詳解】（1）【問(wèn)題背景】將△PAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DAC，連接PD，如圖所示由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AD=PA，CD=PB，∠PAD=60゜，∠ADC=∠APB=30゜∵AD=PA，∠PAD=60゜∴△PAD是等邊三角形∴PD=PA，∠PDA=60゜∴∠PDC=∠PDA+∠ADC=60゜+30゜=90゜在Rt△PDC中，由勾股定理得：∴（2）【遷移應(yīng)用】過(guò)B作BM⊥PB交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接AM，如圖所示則∠PBM=∠ABC=90゜∴∠PBC+∠CBM=∠CBM+∠MBA∴∠PBC=∠MBA∵∠PBM=90゜，∠BPC=45゜∴∠BMP=∠BPC=45゜∴PB=MB在△PBC和△MBA中∴△PBC≌△MBA(SAS)∴∠BMA=∠BPC=45゜，PC=AM∴∠AMP=∠BMP+∠BMA=45゜+45゜=90゜∵∴【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理等知識(shí)，根據(jù)條件作圖形的旋轉(zhuǎn)或構(gòu)造三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵與難點(diǎn)．12．（2023·四川達(dá)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖，在中，，為邊所在直線上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)、重合)，連結(jié)，以為邊作，且，根據(jù)，得到，結(jié)合，得出，發(fā)現(xiàn)線段與的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為；（1）探究證明：如圖，在和中，，，且點(diǎn)在邊上滑動(dòng)(點(diǎn)不與點(diǎn)、重合)，連接．①則線段，，之間滿足的等量關(guān)系式為_(kāi)____；②求證:；（2）拓展延伸：如圖，在四邊形中，．若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）①BC=CE+CD；②見(jiàn)解析；（2）AD＝6．【分析】（1）①根據(jù)題中示例方法，證明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE，從而得出BC=CE+CD；②根據(jù)△BAD≌△CAE，得出∠ACE＝45°，從而得到∠BCE＝90°，則有DE2＝CE2+CD2，再根據(jù)可得結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AD，使AG=AD，連接CG、DG，可證明△BAD≌△CAG，得到CG＝BD，在直角△CDG中，根據(jù)CD的長(zhǎng)求出DG的長(zhǎng)，再由DG和AD的關(guān)系求出AD.【詳解】解：（1）①如圖2，在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，

∴BC=BD+CD=CE+CD，故答案為：BC=BD+CD=CE+CD．②∵△BAD≌△CAE，∴∠B＝∠ACE＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝45°+45°＝90°，∴DE2＝CE2+CD2，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴，∴2AD2＝BD2+CD2；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AD，使AG=AD，連接CG、DG，則△DAG是等腰直角三角形，∴∠ADG＝45°，∵∠ADC＝45°，∴∠GDC＝90°，同理得：△BAD≌△CAG，∴CG＝BD＝13，在Rt△CGD中，∠GDC＝90°，，∵△DAG是等腰直角三角形，∴，∴AD＝＝6．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐：【問(wèn)題情景】綜合與實(shí)踐課上，王老師讓同學(xué)們以“共頂點(diǎn)的等腰三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．【實(shí)踐操作】王老師讓同學(xué)們先畫(huà)出兩個(gè)等邊和，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到某一位置，要求同學(xué)們觀察圖形，提出問(wèn)題并加以解決．(1)如圖①，“慎思組”的同學(xué)們連接、，則與有何數(shù)量關(guān)系？與有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你探究后直接寫(xiě)出結(jié)論．(2)如圖②，得知“慎思組”的結(jié)論后，“博學(xué)組”的同學(xué)們又連接，他們認(rèn)為，如果，且，，就可以求出的長(zhǎng)，請(qǐng)寫(xiě)出求解過(guò)程．【類比探究】(3)如圖③，“智慧組”的同學(xué)們畫(huà)出了兩個(gè)等腰直角三角形和，其中，，；且點(diǎn)恰好落在上，那么、和之間一定存在某種數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你探究后直接寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，(2)，過(guò)程見(jiàn)解析(3)【分析】（1）通過(guò)判定證明全等即可；（2）由（1）可知邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系，然后利用勾股定理求解即可；（3）與（1）相同，證明全等后，利用勾股定理證明三邊關(guān)系即可．【詳解】（1）證明：與均為等邊三角形又在與中，（2）證明：由（1）可知，，在等邊中，由可得則，在中，，由勾股定理可得：（3）連接，，在與中，【點(diǎn)睛】此題考查旋轉(zhuǎn)模型以及勾股定理，解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)邊與角的關(guān)系證明全等，然后利用勾股定理求解．14．（2023·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，和均為等邊三角形，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接，容易發(fā)現(xiàn)：①的度數(shù)為；②線段、之間的數(shù)量關(guān)系為；【類比探究】（2）如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接，試判斷的度數(shù)以及線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【問(wèn)題解決】（3）如圖3，，，，，則的值為．【答案】（1）①；②；（2），，見(jiàn)解析；（3）8【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，得到，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）由“”可證，可得，即可求解；（3）如圖3，作輔助線構(gòu)建全等三角形，由“”可證，可得，，可求，根據(jù)列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解．【詳解】解：（1）∵和均為等邊三角形，∴，∴，即，在和中，，∴（），∴，∴，故答案為：；（2），理由如下：∵，和均為等腰直角三角形，∴，，，即，在和中，，∴（），∴，∴，∵，∴；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于F，過(guò)點(diǎn)B作于E，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴（），∴，設(shè)，則，，∴∴，∴，，∴，∴在中，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查的是等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：，，．(1)如圖1當(dāng)點(diǎn)在上，______．(2)如圖2猜想與的面積有何關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（溫馨提示：兩三角形可以看成是等底的）【答案】(1)(2)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由全等可知，所以當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，為等腰三角形，依據(jù)已知計(jì)算即可．（2）因?yàn)閮蓚€(gè)三角形中有一邊相等，只要找到這兩個(gè)底對(duì)應(yīng)高之間的關(guān)系即可．【詳解】（1）解：，，又，，，在中，，故答案為：．（2）解：如下圖所示：過(guò)點(diǎn)作的邊上的高，過(guò)點(diǎn)作的邊上的高，由作圖及知：，，，（同角的余角相等），

在與中有：（），，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是使用分析法找到:兩個(gè)三角形面積相等時(shí)，底相等則高相等，從而構(gòu)造全等證明對(duì)應(yīng)高相等．16．（2022·山西八年級(jí)月考）綜合與實(shí)踐特例研究：將矩形和按如圖1放置，已知，連接．如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，線段與之間的數(shù)量關(guān)系是__；直線與直線之間的位置關(guān)系是_；拓廣探索：圖2是由圖1中的矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到的，請(qǐng)?zhí)剿骶€段與之間的數(shù)量關(guān)系和直線與直線之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2），理由見(jiàn)解析【分析】，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G先證△FBC≌△EDC（SAS），可知，由∠DCE=90o，可得∠DEC+∠CDE=90o，可推出∠FDG+∠GFD=90o即可，先下結(jié)論，，再證明，證法與（1）類似，延長(zhǎng)交于點(diǎn)交于點(diǎn)．由四邊形為矩形且AD=CD可得，可推出．由知．由可用等量代換得由三角形內(nèi)角和得即可．【詳解】解：，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，∵四邊形為矩形，且AD=DC，∴BC=CD，=90o，由旋轉(zhuǎn)的FC=EC，∴△FBC≌△EDC（SAS），，∵∠DCE=90o，∴∠DEC+∠CDE=90o，∴∠FDG+∠GFD=90o∠FGD=90o，，理由如下：如答圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)交于點(diǎn)，，四邊形為矩形，，，，，矩形為正方形．，在和中，．．．．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)中兩線段的數(shù)量與位置關(guān)系問(wèn)題，關(guān)鍵是把兩線段置于兩個(gè)三角形中利用全等解決問(wèn)題，會(huì)利用旋轉(zhuǎn)找全等條件，會(huì)計(jì)算角的和差，和證垂直的方法．17．（2022·福建八年級(jí)期中）如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問(wèn)題(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為．②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C、F重合除外）？并說(shuō)明理由．【答案】(1)①垂直，相等；②成立，理由見(jiàn)解析(2)∠ACB＝45°【分析】（1）①證明△DAB≌△FAC，即可得到CF⊥BD，CF＝BD．②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)①的結(jié)論仍成立．由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．結(jié)合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．（2）當(dāng)∠ACB＝45°時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AC交CB或CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，由（1）①可知CF⊥BD．（1）①CF⊥BD，CF＝BD∵∠FAD＝∠BAC＝90°∴∠BAD＝∠CAF