專題08 難點(diǎn)探究專題：數(shù)軸上的動點(diǎn)問題壓軸題六種模型全攻略(原卷版)

專題08難點(diǎn)探究專題：數(shù)軸上的動點(diǎn)問題壓軸題六種模型全攻略

【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】...................................................................................................................................................1

【考點(diǎn)一數(shù)軸上的動點(diǎn)中求運(yùn)動的時間問題】..............................................................................................1

【考點(diǎn)二數(shù)軸上的動點(diǎn)中求定值問題】..........................................................................................................3

【考點(diǎn)三數(shù)軸上的動點(diǎn)中找點(diǎn)的位置問題】..................................................................................................6

【考點(diǎn)四數(shù)軸上的動點(diǎn)中幾何意義最值問題】..............................................................................................7

【考點(diǎn)五數(shù)軸上的動點(diǎn)規(guī)律探究問題】..........................................................................................................8

【考點(diǎn)六數(shù)軸上的動點(diǎn)新定義型問題】........................................................................................................10

【典型例題】

【考點(diǎn)一數(shù)軸上的動點(diǎn)中求運(yùn)動的時間問題】

例題：（2023秋·河北滄州·七年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐：A、B、C三點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)C表

示的數(shù)為6，BC＝4，AB＝12．

(1)數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為；

(2)動點(diǎn)P，Q同時從A，C出發(fā)，點(diǎn)P以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動．點(diǎn)Q以每秒2個

單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（t＞0）秒；

①求數(shù)軸上點(diǎn)P，Q表示的數(shù)（用含t的式子表示）；

②t為何值時，P，Q兩點(diǎn)重合；

③請直接寫出t為何值時，P，Q兩點(diǎn)相距5個單位長度．

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【變式訓(xùn)練】

1．（2023春·安徽安慶·七年級統(tǒng)考期末）已知如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側(cè)的一點(diǎn)，

且A，B兩點(diǎn)間的距離為10．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)

動時間為tt0秒．

（1）數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)是___________；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到AB的中點(diǎn)時，它所表示的數(shù)是__________．

（2）動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運(yùn)動，若點(diǎn)P，Q同時出發(fā)．求：

①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動多少秒時，點(diǎn)P追上點(diǎn)Q？

②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動多少秒時，點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為8個單位長度？

2．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將一條數(shù)軸在原點(diǎn)O和點(diǎn)B處各折一下，得到一條“折線數(shù)

軸”．圖中點(diǎn)A表示12，點(diǎn)B表示12，點(diǎn)C表示20，我們稱點(diǎn)A和點(diǎn)C在數(shù)軸上相距32個長度單位，

記為LAC32．動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的正方向運(yùn)動，同時，動點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，沿著“折線

數(shù)軸”的負(fù)方向運(yùn)動，它們在水平軸AO，BC上的速度都是2單位/秒，在O，B之間的上行速度為1單位/

秒，下行速度為3單位秒．設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．

(1)當(dāng)t4秒時，M，N兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距多少個單位長度？

(2)當(dāng)M，N兩點(diǎn)相遇時，求運(yùn)動時間t的值．

(3)若“折線數(shù)軸”上定點(diǎn)P與O，B兩點(diǎn)相距的長度相等，且存在某一時刻t，使得兩點(diǎn)M，N與點(diǎn)P相距的

長度之和等于6，請直接寫出t的值為____________．

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3．（2022秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）數(shù)軸體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，若數(shù)軸上點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別為a，

b，則A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB=a-b．如：點(diǎn)A表示的數(shù)為2，點(diǎn)B表示的數(shù)為3，則AB231．

問題提出：

(1)填空：如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為?2，點(diǎn)B表示的數(shù)為13，A、B兩點(diǎn)之間的距離AB______，線段

AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為______．

(2)拓展探究：若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)．以

每秒2個單位長度的速度向左運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒（t>0）

①用含t的式子表示：t秒后，點(diǎn)Р表示的數(shù)為______；點(diǎn)Q表示的數(shù)為______；

②求當(dāng)t為何值時，P、Q兩點(diǎn)相遇，并寫出相遇點(diǎn)所表示的數(shù)．

(3)類比延伸：在（2）的條件下，如果P、Q兩點(diǎn)相遇后按照原來的速度繼續(xù)運(yùn)動，當(dāng)各自到達(dá)線段AB的

端點(diǎn)后立即改變運(yùn)動方向，并以原來的速度在線段AB上做往復(fù)運(yùn)動，那么再經(jīng)過多長時間P、Q兩點(diǎn)第二

次相遇．請直接寫出所需要的時間和此時相遇點(diǎn)所表示的數(shù)．

【考點(diǎn)二數(shù)軸上的動點(diǎn)中求定值問題】

例題：（2023春·湖南衡陽·七年級?？计谀┤鐖D，有兩條線段，AB2（單位長度），CD1（單位長度）

在數(shù)軸上，點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是12，點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)是15．

(1)點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是；

(2)若線段AB以1個單位長度/秒的速度向左勻速運(yùn)動，同時線段CD以2個單位長度秒的速度也向左勻速運(yùn)

動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離為1個單位長度？

(3)若線段AB、線段CD分別以1個單位長度/秒、2個單位長度/秒的速度同時向左勻速運(yùn)動，與此同時，

1

動點(diǎn)P從15出發(fā)，以4個單位長度/秒的速度向右勻速運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)0t5時，2ACPD

3

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的值是否發(fā)生變化？若不變化，求出這個定值，若變化，請說明理由．

【變式訓(xùn)練】

1．（2022秋·七年級課時練習(xí)）已知，一個點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)開始，先向左移動7個單位到達(dá)A點(diǎn)，再從A

點(diǎn)向右移動12個單位到達(dá)B點(diǎn)，把點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離記為AB，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．

(1)點(diǎn)C表示的數(shù)是；

(2)若點(diǎn)A以每秒2個單位的速度向左移動，同時C、B點(diǎn)分別以每秒1個單位、4個單位的速度向右移動，

設(shè)移動時間為t秒，

①點(diǎn)C表示的數(shù)是（用含有t的代數(shù)式表示）；

②當(dāng)t=2秒時，求CB-AC的值；

③試探索：CB-AC的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．

2．（2022秋·河北·七年級校聯(lián)考期末）如圖，點(diǎn)A對應(yīng)的有理數(shù)為a，點(diǎn)B對應(yīng)的有理數(shù)為b，點(diǎn)C對應(yīng)的

有理數(shù)為c，且c2，點(diǎn)C向左移動3個單位長度到達(dá)點(diǎn)A，向右移動5個單位長度到達(dá)點(diǎn)B．

(1)a___________，b___________；

(2)若將數(shù)軸折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，求與點(diǎn)C重合的點(diǎn)表示的數(shù)；

(3)若點(diǎn)P從點(diǎn)A開始以3個單位長度/秒的速度向左運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始以6個單位長度/秒的速度

向右運(yùn)動，點(diǎn)M從點(diǎn)C開始以4個單位長度/秒的速度向右運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間t秒，則7QM2PM的值是否

隨著t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．

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3．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）如圖：在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示a,點(diǎn)B表示b,點(diǎn)C表示c,b是最大的負(fù)整

數(shù)，且a,c滿足|a3|(c5)20

1a________，b_________，c_____________

2若將數(shù)軸折疊，使得A點(diǎn)與C點(diǎn)重合，則點(diǎn)B與數(shù)____________表示的點(diǎn)重合；

3點(diǎn)A、B、C開始在數(shù)軸上運(yùn)動，若點(diǎn)A以每秒2個單位長度的速度向左運(yùn)動，同時，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以

每秒1個單位長度和3個單位長度的速度向右運(yùn)動，假設(shè)t秒鐘過后，

①請問:3BC2AB的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．

②探究:若點(diǎn)A、C向右運(yùn)動，點(diǎn)B向左運(yùn)動，速度保持不變，3BC4AB的值是否隨著時間t的變化而改變？

若變化，請說明理由；若不變，請求其值．

4．（2023秋·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)O為數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D在數(shù)軸上，其中A、

B兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為1、3．

(1)填空：線段AB的長度AB______；

(2)若點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)，且ODAC，點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動．問：該數(shù)軸上是否存

在一條線段，當(dāng)P點(diǎn)在這條線段上運(yùn)動時，PAPB的值隨著點(diǎn)P的運(yùn)動而沒有發(fā)生變化？

(3)若點(diǎn)P以1個單位/秒的速度從點(diǎn)O向右運(yùn)動，同時點(diǎn)E從點(diǎn)A以5個單位/秒的速度向左運(yùn)動、點(diǎn)F從

EFOP

點(diǎn)B以20個單位/秒的速度向右運(yùn)動，M、N分點(diǎn)別是PE、OF的中點(diǎn)．點(diǎn)P、E、F的運(yùn)動過程中，

MN

的值是否發(fā)生變化？請說明理由．

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【考點(diǎn)三數(shù)軸上的動點(diǎn)中找點(diǎn)的位置問題】

例題：已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖所示）．

(1)操作一：折疊紙面，使表示數(shù)1的點(diǎn)與表示數(shù)﹣1的點(diǎn)重合，則此時表示數(shù)4的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)重合；

(2)操作二：折疊紙面，使表示數(shù)6的點(diǎn)與表示數(shù)﹣2的點(diǎn)重合，回答下列問題：

①表示數(shù)9的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)重合；

②若這樣折疊后，數(shù)軸上的A，B兩點(diǎn)也重合，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為10（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），求A，

B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別是多少？

③在②的條件下，在數(shù)軸上找到一點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x．當(dāng)PA+PB＝12時，直接寫出x的值．

【變式訓(xùn)練】

1．已知在數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)對應(yīng)數(shù)分別為﹣2，6．

(1)請畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上標(biāo)出點(diǎn)A、點(diǎn)B；

(2)若同一時間點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以1個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上向右運(yùn)動，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)以3個單位

長度/秒的速度在數(shù)軸上向左運(yùn)動，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)以2個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上運(yùn)動．

①若點(diǎn)P向右運(yùn)動，幾秒后點(diǎn)P到點(diǎn)M、點(diǎn)N的距離相等？

②若點(diǎn)P到A的距離是點(diǎn)P到B的距離的三倍，我們就稱點(diǎn)P是【A，B】的三倍點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P是【B，A】

的三倍點(diǎn)時，求此時P對應(yīng)的數(shù)．

2．（2023秋·山東濱州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知A，B為數(shù)軸上的兩個點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)是90，

點(diǎn)B表示的數(shù)是30．

(1)直接寫出線段AB的中點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)；

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(2)若點(diǎn)D在數(shù)軸上，且BD50，直接寫出點(diǎn)D對應(yīng)的數(shù)；

(3)若李明從點(diǎn)A出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向右前進(jìn)8個單位長度；同時王聰從點(diǎn)B出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前

進(jìn)12個單位長度它們在點(diǎn)E處相遇，求點(diǎn)E對應(yīng)的數(shù)；

(4)若李明從點(diǎn)A出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前進(jìn)8個單位長度；同時王聰從點(diǎn)B出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前

進(jìn)12個單位長度，當(dāng)它們在數(shù)軸上相距20個單位長度時，求李明所在位置點(diǎn)F對應(yīng)的數(shù)．

【考點(diǎn)四數(shù)軸上的動點(diǎn)中幾何意義最值問題】

例題：（2023春·湖北武漢·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法．例如，代數(shù)

式x2的幾何意義是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點(diǎn)與2所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．因為|x1||x(1)|，所以x1的

幾何意義就是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點(diǎn)與1所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．

(1)探究問題：如圖，數(shù)軸上，點(diǎn)A，B，P分別表示數(shù)1，2，x．

填空：因為x1x2的幾何意義是線段PA與PB的長度之和，而當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，PAPB3，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)或點(diǎn)B的右側(cè)時，PAPB3．所以x1x2的最小值是______；

(2)解決問題：

①直接寫出式子|x4||x2|的最小值為_______；

②直接寫出不等式|x3||x1|4的解集為_______；

③當(dāng)a為_______時，代數(shù)式|xa||x3|的最小值是2．（直接寫出結(jié)果）

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【變式訓(xùn)練】

1．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）閱讀下面材料：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之

間的距離表示為AB，當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時，不妨設(shè)A在原點(diǎn)，如圖1，|AB||OB||b||ab|，

當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時，①如圖2，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊|AB||OB||OA||b||a|ba|ab|；

②如圖3，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊，|AB||OB||OA||b||a|b(a)ab|ab|③如圖4，點(diǎn)A、

B在原點(diǎn)的兩邊，|AB||OB||OA||b||a|a(b)|ab|；綜上，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離

|AB||ab|．

回答下列問題：

（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是_____，數(shù)軸上表示x和1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是______，

如果AB2，那么x為______．

（2）若x表示一個有理數(shù)，則當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時，|x1||x3|有最小值？請寫出x的范圍及

|x1||x3|的最小值．

11

（3）若x表示一個有理數(shù)，則當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時，x1x1有最小值？請寫出x的范圍及

22

11

x1x1的最小值．

22

圖1

圖2

圖3

圖4

【考點(diǎn)五數(shù)軸上的動點(diǎn)規(guī)律探究問題】

例題：（2022秋·北京朝陽·九年級?？茧A段練習(xí)）一個動點(diǎn)P從數(shù)軸上的原點(diǎn)O出發(fā)開始移動，第1次向右

移動1個單位長度到達(dá)點(diǎn)P1，第2次向右移動2個單位長度到達(dá)點(diǎn)P2，第3次向左移動3個單位長度到達(dá)

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點(diǎn)P3，第4次向左移動4個單位長度到達(dá)點(diǎn)P4，第5次向右移動5個單位長度到達(dá)點(diǎn)P5…，點(diǎn)P按此規(guī)律

移動，則移動第158次后到達(dá)的點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為（）

A．159B．-156C．158D．1

【變式訓(xùn)練】

1．（2022秋·全國·七年級期末）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示數(shù)1,現(xiàn)將點(diǎn)A沿數(shù)軸作如下移動，第一次將點(diǎn)A

向左移動3個單位長度到達(dá)點(diǎn)A1，第二次將點(diǎn)A1向右移動6個單位長度到達(dá)點(diǎn)A2，第三次將點(diǎn)A2向左移動9

個單位長度到達(dá)點(diǎn)A3，…，按照這種移動規(guī)律進(jìn)行下去，第2021次移動到點(diǎn)A2021，那么點(diǎn)A2021所表示的數(shù)

為（）

A．3029B．3032C．3035D．3038

n21n2

2．（2022秋·七年級課時練習(xí)）一組數(shù)0，2，4，8，12，18，…中的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別用代數(shù)式，

22

12122321

表示，如第1個數(shù)為0，第2個數(shù)為2，第3個數(shù)為4，…，則第8個數(shù)的值是，

222

數(shù)軸上現(xiàn)有一點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，依次以此組數(shù)中的數(shù)為距離向左右來回跳躍．第1秒時，點(diǎn)P在原點(diǎn)，記為

P1；第2秒點(diǎn)P1向左跳2個單位，記為P2，此時點(diǎn)P2表示的數(shù)為-2；第3秒點(diǎn)P2向右跳4個單位，記為P3，

點(diǎn)P3表示的數(shù)為2；…按此規(guī)律跳躍，點(diǎn)P11表示的數(shù)為．

3．（2022秋·廣東惠州·七年級階段練習(xí)）已知A、B兩點(diǎn)相距54米，小烏龜從A點(diǎn)出發(fā)前往B點(diǎn)，第一次

它前進(jìn)1米，第二次它后退2米，第三次再前進(jìn)3米，第四次又向后退4米，…，按此規(guī)律行進(jìn)，如果A點(diǎn)

在數(shù)軸上表示的數(shù)為﹣17，數(shù)軸上每個單位長度表示1米（從A點(diǎn)向B點(diǎn)方向行進(jìn)記為前進(jìn)）

（1）求出B點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)；

（2）若B點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)，經(jīng)過第五次行進(jìn)后小烏龜?shù)竭_(dá)M點(diǎn)，第六次行進(jìn)后到達(dá)N點(diǎn)，M點(diǎn)到A點(diǎn)的

距離與N點(diǎn)到A點(diǎn)的距離相等嗎？說明理由；

（3）若B點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，那么經(jīng)過10次行進(jìn)后，小烏龜?shù)竭_(dá)的點(diǎn)與B點(diǎn)之間的距離是多少？

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【考點(diǎn)六數(shù)軸上的動點(diǎn)新定義型問題】

例題：（2022秋·江蘇·七年級期末）定義：若A，B，C為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)C到點(diǎn)B

的距離2倍，我們就稱點(diǎn)C是【A，B】的美好點(diǎn)．

例如：如圖1，點(diǎn)A表示的數(shù)為－1，點(diǎn)B表示的數(shù)為2.表示1的點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是2，到點(diǎn)B的距離是

1，那么點(diǎn)C是【A，B】的美好點(diǎn)；又如，表示0的點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離是1，到點(diǎn)B的距離是2，那么點(diǎn)D

就不是【A，B】的美好點(diǎn)，但點(diǎn)D是【B，A】的美好點(diǎn)．

如圖2，M，N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)M所表示的數(shù)為－7，點(diǎn)N所表示的數(shù)為2

(1)點(diǎn)E，F(xiàn)，G表示的數(shù)分別是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好點(diǎn)的是；寫出【N，M】美好點(diǎn)

H所表示的數(shù)是．

(2)現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點(diǎn)N開始出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運(yùn)動．當(dāng)t為何值時，P，M和N中

恰有一個點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的美好點(diǎn)？

【變式訓(xùn)練】

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1．（2022秋·山東德州·七年級?？茧A段練習(xí)）對于平面內(nèi)的兩點(diǎn)M、N，若直線MN上存在點(diǎn)P，使得MP=NP