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1.1.2數(shù)列的函數(shù)特性第一章數(shù)列1.了解遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列的概念.2.掌握判斷數(shù)列的增減性的方法.3.能利用數(shù)列的增減性解決相關(guān)問題.觀察以下幾個數(shù)列:①1,2,3,4,…;②-2,-4,-6,-8,…;③1,1,1,1,….從單調(diào)性上考查,以上三個數(shù)列有何特點?①是遞增的數(shù)列;②是遞減的數(shù)列;③是常數(shù)列.一般地,一個數(shù)列{an},如果從第2項起,每一項都大于它的前一項,即an+1>an,那么這個數(shù)列叫作遞增數(shù)列.如果從第2項起,每一項都小于它的前一項,即an+1<an,那么這個數(shù)列叫作遞減數(shù)列.如果數(shù)列{an}的各項都相等,那么這個數(shù)列叫作常數(shù)列.概念講解
解:圖象如圖所示,由圖可知數(shù)列{an}是遞減數(shù)列;數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列.概念講解可以把一個數(shù)列視作定義在正整數(shù)集(或其子集)上的函數(shù),因此可以用圖象(平面直角坐標系內(nèi)的一串點)來表示數(shù)列,圖象中每一個點的坐標為(k,ak),k=1,2,3,…,這個圖象也稱為數(shù)列的圖象.【例1】已知數(shù)列{an}的通項公式為an=3n2-n,判斷數(shù)列{an}的增減性.解:an=3n2-n,an+1=3(n+1)2-(n+1),則an+1-an=3(n+1)2-(n+1)-(3n2-n)=6n+2>0,即an+1>an(n∈N+),故數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.還有其他解法嗎?
【例1】已知數(shù)列{an}的通項公式為an=3n2-n,判斷數(shù)列{an}的增減性.追問:本例中,數(shù)列{an}(an=3n2-n)是否有最大項?最小項呢?解:無最大項;有最小項,為a1=3×12-1=2.
判斷數(shù)列增減性的常用方法(1)根據(jù)定義判斷:若an+1>an,則{an}是遞增數(shù)列;若an+1<an,則{an}是遞減數(shù)列;若an+1=an,則{an}是常數(shù)列.(2)作差法:若an+1-an>0,則{an}是遞增數(shù)列;若an+1-an<0,則{an}是遞減數(shù)列;若an+1-an=0,則{an}是常數(shù)列.(4)由函數(shù)圖象判斷.歸納總結(jié)【例2】已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,且對于任意的n∈N+,an=n2+λn恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍.
解法二:因為數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列,所以an+1-an>0(n∈N+)恒成立.又an=n2+λn(n∈N+),所以(n+1)2+λ(n+1)-(n2+λn)>0恒成立,即2n+1+λ>0.所以λ>-(2n+1)(n∈N+)恒成立.而n∈N+時,-(2n+1)的最大值為-3(n=1時),所以λ>-3即為所求的范圍.【例2】已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,且對于任意的n∈N+,an=n2+λn恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍.
歸納總結(jié)根據(jù)今天所學(xué),回答下列問題:(1)什么是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列?(2)如何判斷數(shù)列的增減性?(3)如何求數(shù)列的最大(小)項?1.(多選題)下列說法中正確的是(
)A.數(shù)列a,a,a,…是無窮數(shù)列B.數(shù)列{f(n)}就是定義在正整數(shù)集N+或它的有限子集{1,2,3,…,n}上的函數(shù)值C.數(shù)列0,-1,-2,-3,…不一定是遞減數(shù)列D.已知數(shù)列{an},則{an+1-an}也是一個數(shù)列ACD2.已知an+1-an-3=0,則數(shù)列{an}是(
)A.遞增數(shù)列
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