第02講 數(shù)軸、相反數(shù)與絕對值4個知識點+6個考點+4個易錯分析原卷版

第02講數(shù)軸、相反數(shù)與絕對值

(4個知識點+6個考點+4個易錯分析）

模塊一思維導圖串知識1.掌握數(shù)軸的概念,準確把握數(shù)軸的三要素,并能正確地畫出數(shù)軸

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）2.掌握數(shù)軸上的點與有理數(shù)的關(guān)系,能將有理數(shù)在數(shù)軸上表示出

模塊三核心考點舉一反三來，能寫出數(shù)軸上的點所表示的有理數(shù)，

模塊四小試牛刀過關(guān)測3.能借助數(shù)軸理解相反數(shù)的概念,會求一個有理數(shù)的相反數(shù).

4.通過數(shù)軸理解絕對值的概念,會求一個有理數(shù)的絕對值

知識點1：數(shù)軸（重點）

定義：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸.

要點詮釋：

（1）原點、正方向和單位長度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不可.

（2）長度單位與單位長度是不同的，單位長度是根據(jù)需要選取的代表“1”的線段，而長度單位是為度量

線段的長度而制定的單位．有km、m、dm、cm等．

（3）原點、正方向、單位長度可以根據(jù)實際靈活選定，但一經(jīng)選定就不能改動．

【例1】下列圖形中是數(shù)軸的是()

A.B.

第1頁共11頁.

C.D.

方法總結(jié)：要判斷一條直線是不是數(shù)軸，要抓住它的三要素：原點、正方向和單位長度，三者缺一不可．

【變式1-1】．（23-24七年級上·天津·期中）如圖所示的圖形為四位同學畫的數(shù)軸，其中正確的是（）

A．B．

C．D．

【變式1-2】．（23-24七年級上·山東菏澤·階段練習）在數(shù)軸上，原點和原點右邊的點表示的數(shù)是（）

A．零B．正數(shù)C．非負數(shù)D．非正數(shù)

【變式1-3】數(shù)軸上點A，B，C分別表示數(shù)-1，m，-1+m，下列說法正確的是（）

A．點C一定在點A的右邊B．點C一定在點A的左邊

C．點C一定在點B的右邊D．點C一定在點B的左邊

知識點2：數(shù)軸上的點與有理數(shù)的關(guān)系（重點）

數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系：任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理教，還可

以表示其他數(shù)，比如p.

要點詮釋：

（1）一般地，數(shù)軸上原點右邊的點表示正數(shù)，左邊的點表示負數(shù)；反過來也對，即正數(shù)用數(shù)軸上原點右邊

的點表示，負數(shù)用原點左邊的點表示，零用原點表示.

（2）在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

【例2】指出如圖中所表示的數(shù)軸上的A、B、C、D、E、F各點所表示的數(shù)．

方法總結(jié)：在確定數(shù)字時，要認真觀察已知點是在原點的左邊還是右邊，對于A、D這種情況，要注意它們

所表示的數(shù)是在哪兩個數(shù)之間．

【變式2-1】畫出數(shù)軸，并用數(shù)軸上的點表示下列各數(shù)：

51

－5，2.5，3，－，0，－3，3.

22

方法總結(jié)：用數(shù)軸上的點表示數(shù)時，首先由數(shù)的性質(zhì)符號確定該數(shù)應(yīng)在原點的左邊還是右邊，然后再根據(jù)該

數(shù)到原點的距離，確定位置．

第2頁共11頁.

【變式2-2】數(shù)軸上的點A表示的數(shù)是＋2，那么與點A相距5個單位長度的點表示的數(shù)是()

A．5B．±5C．7D．7或－3

方法總結(jié)：解答此類問題要注意考慮兩種情況，即要求的點在已知點的左側(cè)或右側(cè)．另外，點在數(shù)軸上移動

時也要分向左、向右兩種情況．

【變式2-3】．（23-24七年級下·河南安陽·期中）數(shù)軸上表示整數(shù)的點叫整點，某數(shù)軸單位長度為1cm，若

在數(shù)軸上隨意畫一條長為100cm線段AB，則線段AB蓋住的整點的個數(shù)為()

A．100B．99C．99或100D．100或101

知識點3：相反數(shù)

1.定義

只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)；0的相反數(shù)是0.

要點詮釋：

（1）“只”字是說僅僅是符號不同，其它部分完全相同.

（2）“0的相反數(shù)是0”是相反數(shù)定義的一部分，不能漏掉.

（3）相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，單獨一個數(shù)不能說是相反數(shù).

（4）求一個數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上“-”號即可.

2.相反數(shù)的性質(zhì)

（1）互為相反數(shù)的兩數(shù)的點分別位于原點的兩旁，且與原點的距離相等（這兩個點關(guān)于原點對稱）.

（2）互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0.

1

【例3】寫出下列各數(shù)的相反數(shù)：16，－3，0，－，m，－n.

2015

方法總結(jié)：求一個數(shù)的相反數(shù)，只需改變它前面的符號，符號后面的數(shù)不變；0的相反數(shù)是0.

【變式3-1】(1)數(shù)軸上離原點3個單位長度的點所表示的數(shù)是________，它們的關(guān)系為____________．

(2)在數(shù)軸上，若點A和點B分別表示互為相反數(shù)的兩個數(shù)，點A在點B的左側(cè)，并且這兩個數(shù)的距離是

12.8，則A＝______，B＝______．

方法總結(jié)：本題考查了相反數(shù)的幾何意義，解題時應(yīng)從相反數(shù)的意義入手，明確互為相反數(shù)的兩數(shù)到原點距

離相等，這種“利用概念解題，回到定義中去”是一種常用的解題技巧．

【變式3-2】如圖，圖中數(shù)軸(缺原點)的單位長度為1，點A、B表示的兩數(shù)互為相反數(shù)，則點C所表示的

數(shù)為()

A．2B．－4C．－1D．0

方法總結(jié)：先在數(shù)軸上找到原點，從而確定點C所表示的數(shù)，同時牢記互為相反數(shù)的兩個點到原點的距離相

等．

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【變式3-3】下列說法中正確的個數(shù)為（）

①符號不相同的兩個數(shù)互為相反數(shù)；

②一個數(shù)的相反數(shù)一定是負數(shù)；

③兩個相反數(shù)的和等于0；

④若兩個數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個數(shù)一定一正一負．

A．1個B．2個C．3個D．4個

方法總結(jié)：本題考查相反數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的定義和性質(zhì)．

知識點4：絕對值

1.定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|.

要點分析：

（1）絕對值的代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是

0．即對于任何有理數(shù)a都有：

（2）絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點到原點的距離，離原點的距離越遠，絕對值

越大；離原點的距離越近，絕對值越?。?/p>

（3）一個有理數(shù)是由符號和絕對值兩個方面來確定的．

2.絕對值的性質(zhì)

1.性質(zhì)：絕對值具有非負性，即任何一個數(shù)的絕對值總是正數(shù)或0．

2.求法

（1）0除外，絕對值為一正數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)．

（2）互為相反數(shù)的兩個數(shù)（0除外）的絕對值相等.

（3）絕對值具有非負性，即任何一個數(shù)的絕對值總是正數(shù)或0．

【例4】－3的絕對值是()

11

A．3B．－3C．－D.

33

方法總結(jié)：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.

2

【變式4-1】如果一個數(shù)的絕對值等于，則這個數(shù)是__________．

3

方法總結(jié)：解答此類問題容易漏解、考慮問題不全面，所以一定要記?。航^對值等于某一個數(shù)的值有兩個，

它們互為相反數(shù)，0除外．

3

【變式4-2】化簡：|－|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______．

5

方法總結(jié)：根據(jù)絕對值的意義解答．即若a＞0，則|a|＝a；若a＝0，則|a|＝0；若a＜0，則|a|＝－a.

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【變式4-3】若|a－3|＋|b－2015|＝0，求a，b的值．

方法總結(jié)：如果幾個非負數(shù)的和為0，那么這幾個非負數(shù)都等于0.

易錯點1：畫數(shù)軸時缺少要素、不統(tǒng)一單位長度或數(shù)字的排列順序有誤

1．下列所示的數(shù)軸中，畫得正確的是（）

A．B．

C．D．

易錯點2：對有理數(shù)與數(shù)軸上的點的關(guān)系理解不透徹

2．下列說法正確的是（）

A．所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示

B．數(shù)軸上表示-2的點有兩個

C．數(shù)軸上的點表示的數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)

D．數(shù)軸上原點兩邊的點表示同一個數(shù)

易錯點3：求相反數(shù)及化簡多重符號時出現(xiàn)錯誤

?1?

3．a(chǎn)+b的相反數(shù)是________；-?-1÷的相反數(shù)是_______．

è2?

易錯點4：忽略了0的絕對值

4．對于任意有理數(shù)a，下列結(jié)論正確的是（）

A．a(chǎn)是正數(shù)B．-a是負數(shù)C．-a是負數(shù)D．-a不是正數(shù)

5.如果a=-a，那么a一定是（）

A．正數(shù)B．負數(shù)C．零和負數(shù)D．零和正數(shù)

考點1：多重符號的化簡

1．（23-24七年級上·四川眉山·階段練習）若-?é--a?ù=-1，a的相反數(shù)為，若a-3與a+1互

為相反數(shù)，則a為

2．（23-24七年級上·吉林長春·期中）若x是最大負整數(shù)，則-?é--x?ù=．

1

3.(1)－(－8)＝________；(2)－(＋15)＝________；

8

3

(3)－[－(＋6)]＝________；(4)＋(＋)＝________．

5

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考點2：含絕對值符號的式子的化簡與運算

4．若3<a<10，那么3-a+a-10=_____．

5．已知：數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，化簡|b﹣a|+|b﹣c|＝．

3

6.化簡：|－|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______．

5

7．若實數(shù)a，b滿足|a|＝2，|4﹣b|＝1﹣a，則a+b＝．

1

8.計算：（1）--4（2）|-4|+|3|+|0|（3）-|+(-8)|

5

9.(1)|a-4|(a≥4)；(2)|5-b|(b＞5)．

考點3：絕對值的非負性的應(yīng)用

10．（2022秋·北京朝陽·七年級校考期中）式子x-1+3取最小值時，x等于（）

A．1B．2C．3D．0

1

11．（23-24七年級上·江蘇泰州·階段練習）已知b、c滿足b-1+c-=0，則b+c的值是．

2

1

12．（23-24七年級上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習）已知a-+b-2+5-c=0，求a，b，c的值．

2

13.若|a－3|＋|b－2015|＝0，求a，b的值．

14.已知|2-m|+|n-3|＝0，試求m-2n的值．

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考點4：數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值的綜合題

15．（23-24七年級上·貴州黔西·期末）小宇是七年級（1）班數(shù)學學習小組長，他想帶領(lǐng)本小組同學一起復(fù)

習絕對值的相關(guān)知識，整理了以下題目：

(1)-5=_______；

(2)若x=4，則x的值為_______；

(3)若a-3與2b-4互為相反數(shù)，則a-b=_______；

(4)若x+3+x-2=5，則所有符合條件的整數(shù)x的和為_______；

(5)有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡a+b+a-c+b-c的結(jié)果是_______；

(6)若你是學習小組成員，請針對絕對值的復(fù)習給大家提一條復(fù)習建議．

16．（2022秋·吉林長春·七年級長春外國語學校?？计谥校┤鐖D，已知數(shù)軸上有A、B兩點（點A在B點的

左側(cè)），且兩點距離為12個單位長度，動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運

動，設(shè)運動時間為t（t0）秒．

(1)圖中如果點A、B表示的數(shù)是互為相反數(shù)，那么點A表示的數(shù)是________；

(2)當t=2秒時，點A與點P之間的距離是_________個長度單位；

(3)當點A為原點時，點P表示的數(shù)是_________；（用含t的代數(shù)式表示）

(4)求當t為何值時，點P到點A的距離是點P到點B的距離的2倍．

考點5：數(shù)軸上點的移動

17.在一條不完整的數(shù)軸上有A、B兩點，A、B表示的兩個數(shù)a、b是一對相反數(shù)．

(1)如果A、B之間的距離是3，寫出a、b的值

(2)有一點P從B向左移動5個單位，到達Q點，如果Q點表示的數(shù)是-2，寫出a、b的值

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18．（2022秋·內(nèi)蒙古通遼·七年級?？茧A段練習）如圖，數(shù)軸的單位長度為1．

(1)如果點B，D表示的數(shù)互為相反數(shù)，那么圖中點A、點D表示的數(shù)分別是、；

(2)當點B為原點時，在數(shù)軸上有一點M，使得點M到點A的距離是點M到點D的距離的2倍，點M所表示

的數(shù)是．

(3)當點A為原點時，B、C兩點分別以2個單位長度/秒和0．5個單位長度/秒同時向右運動，經(jīng)過_____

秒B、C兩點在點P相遇，此時點P表示的數(shù)是．

19．在數(shù)軸上有兩個點A，B，回答下列問題.

(1)將A點向左平移1個單位長度后，表示的數(shù)是

2

(2)將B點向右平移3個單位長度后，表示的數(shù)是

(3)B點做怎樣的平移可以與A點表示的數(shù)互為相反數(shù)?

(4)A點和B點相距個單位長度，若把圖中數(shù)軸的原點移到B點，則在新的數(shù)軸上，A點表示的數(shù)是

(5)怎樣移動才能使A點表示的數(shù)永遠都大于B點表示的數(shù)?

考點6：絕對值的實際應(yīng)用

20.正式足球比賽對所用足球的質(zhì)量有嚴格的規(guī)定，下面是6個足球的質(zhì)量檢測結(jié)果，用正數(shù)記超過規(guī)定質(zhì)

量的克數(shù)，用負數(shù)記不足規(guī)定質(zhì)量的克數(shù)．檢測結(jié)果(單位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判

員應(yīng)該選擇哪個足球用于這場比賽呢?請說明理由．

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21.某企業(yè)生產(chǎn)瓶裝食用調(diào)和油，根據(jù)質(zhì)量要求，凈含量(不含包裝)可以有0.002L的誤差．現(xiàn)抽查6瓶食

用調(diào)和油，超過規(guī)定凈含量的升數(shù)記作正數(shù)，不足規(guī)定凈含量的升數(shù)記作負數(shù)．檢查結(jié)果如下表：

+0.0018-0.0023+0.0025

-0.0015+0.0012+0.0010

請用絕對值知識說明：

(1)哪幾瓶是合乎要求的(即在誤差范圍內(nèi)的)?

(2)哪一瓶凈含量最接近規(guī)定的凈含量？

22.一只可愛的小蟲從點O出發(fā)在一條直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正數(shù)，向左爬行的路程記

為負數(shù)，小蟲爬行的各段路程(單位：cm)依次記為：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行過程中，如

果小蟲每爬行1cm就獎勵2粒芝麻，那么小蟲一共可以得到多少粒芝麻?

一、單選題

1．（23-24七年級上·四川瀘州·階段練習）下列圖形是數(shù)軸的是（）

A．B．

C．D．

2．（23-24七年級上·安徽合肥·階段練習）下列各數(shù)中互為相反數(shù)的是（）

111

A．-2.25與2B．與-0.33C．-與0.2D．5與--5

432

3．（23-24七年級上·河南南陽·階段練習）下列說法中，錯誤的是（）

A．在一個數(shù)前面添加一個“-”號，就變成原數(shù)的相反數(shù)

11

B．-與2.2互為相反數(shù)

5

C．若兩個數(shù)互為相反數(shù)，則它們的相反數(shù)也互為相反數(shù)

1

D．的相反數(shù)是-0.3

3

4．（22-23七年級上·海南?？凇て谥校┫铝谢啠_的是（）

A．-?é--10?ù=-10B．--3=-3

C．-+5=5D．-?é-+8?ù=-8

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5．（23-24七年級上·河南信陽·階段練習）小宇同學在數(shù)軸上表示-3時，由于粗心，將-3畫在了它相反數(shù)

的位置并確定原點，要想把數(shù)軸畫正確，原點應(yīng)（）

A．向左移6個單位B．向右移6個單位

C．向左移3個單位D．向右移3個單位

6．（23-24七年級下·黑龍江綏化·階段練習）a為有理數(shù)，若a=-a，那么a是（）

A．非正數(shù)B．非負數(shù)C．負數(shù)D．不為0的數(shù)

二、填空題

7．（23-24七年級上·河南許昌·期中）數(shù)軸上，點A表示的數(shù)是-3，將點A向右移動6個單位長度后，點A

表示的數(shù)是．

8．（23-24七年級下·湖北孝感·階段練習）若0￡a<1，則a+a-1=．

9．（23-24七年級下·福建泉州·階段練習）關(guān)于x的方程x+1+x-3=6的解是．

三、解答題

10．（23-24七年級上·山東菏澤·階段練習）請把下面不完整的數(shù)軸畫完整，并在數(shù)軸上標出下列各