【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)必修五教案：1.1-聚焦高考：數(shù)列2

高考數(shù)學(xué)--數(shù)列一、選擇題：（福建題3）設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若，，則數(shù)列前項的和為（）A． B． C． D．C易知．（福建題3）設(shè)是等差數(shù)列，若，，則數(shù)列前項的和為（）A． B． C． D．C前項和為．（廣東題2）記等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A． B． C． D．D，∴，故（廣東題4）記等差數(shù)列的前項和為，若，則該數(shù)列的公差（）A． B． C． D．B．（天津題4）若等差數(shù)列的前5項和，且，則（）A． B． C． D．B；，故公差，從而（浙江題6）已知是等比數(shù)列，，則（）A．B．C．D．C；由條件先求得，，知，取，便知選項C符合；或推斷出所求是以為首項，為公比的等比數(shù)列的前項和，故（全國Ⅰ題5）已知等差數(shù)列滿足，，則它的前10項的和（）A．138 B． C．95 D．23C；由．（全國Ⅰ題7）已知等比數(shù)列滿足，則（）A． B． C． D．A；，于是，．（北京題6）已知數(shù)列對任意的滿足，且，那么等于（）A． B． C． D．C方法一：令，則，，∴；方法二：．二、填空題：（四川延題14）設(shè)等差數(shù)列的前項為，且．若，則_____________．；，于是．（江蘇題10）將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：12345678910．．．．．．．依據(jù)以上排列的規(guī)律，數(shù)陣中第行從左至右的第個數(shù)為．；思路一：將各行第一個數(shù)依次取出，組成數(shù)列：1，2，4，7，…，則，，，…，，將這個等式左右兩邊分別相加，得，則，所以所求的數(shù)為．思路二：將數(shù)陣前行全部的數(shù)依次排列得1，2，3，…，，所以第行最終一個數(shù)為，那么第行的第3個數(shù)為．（安徽題15）在數(shù)列中，，，，其中為常數(shù)，則．，，故．（四川題16）設(shè)數(shù)列中，，，則通項．；由已知．（重慶題14）設(shè)是等差數(shù)列的前項和，，，則．；，．三、解答題：1．（全國一19）12分在數(shù)列中，，．⑴設(shè)．證明：數(shù)列是等差數(shù)列；⑵求數(shù)列的前項和．【解析】⑴，，，則為等差數(shù)列，，，．⑵兩式相減，得2．（全國二題18）12分等差數(shù)列中，且成等比數(shù)列，求數(shù)列前20項的和．【解析】設(shè)數(shù)列的公差為，則，，． 3分由成等比數(shù)列得，即，整理得，解得或． 7分當(dāng)時，． 9分當(dāng)時，，于是． 12分3．（廣東題21）12分設(shè)為實數(shù)，是方程的兩個實根，數(shù)列滿足，，（…）．⑴證明：，；⑵數(shù)列的通項公式；⑶若，，求的前項和．⑴由求根公式，不妨設(shè)，得∴，⑵設(shè)，則，由得，消去，得，∴是方程的根，由題意可知，，①當(dāng)時，此時方程組的解記為或∴，，即、分別是公比為、的等比數(shù)列，由等比數(shù)列性質(zhì)可得，，兩式相減，得∵，，∴，∴，∴，即∴，∴②當(dāng)時，即方程有重根，∴，即，得，，不妨設(shè)，由①可知，∵，∴即∴，等式兩邊同時除以，得，即∴數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，∴，∴綜上所述，⑶把，代入，得，解得∴4．（山東題19）12分將數(shù)列中的全部項按每一行比上一行多一項的規(guī)章排成如下數(shù)表：……記表中的第一列數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，．為數(shù)列的前項和，且滿足．⑴證明數(shù)列成等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；⑵上表中，若從第三行起，第一行中的數(shù)按從左到右的挨次均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個正數(shù)．當(dāng)時，求上表中第行全部項的和．⑴由已知，當(dāng)時，，又，所以，即，所以，又．所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列．由上可知，即．所以當(dāng)時，．因此；⑵設(shè)上表中從第三行起，每行的公比都為，且．由于，所以表中第行至第行共含有數(shù)列的前項，故在表中第行第三列，因此．又，所以．記表中第行全部項的和為，則．5．（湖南題18）12分數(shù)列滿足，，，．⑴求，，并求數(shù)列的通項公式；⑵設(shè)，．證明：當(dāng)時，．⑴由于，，所以，．一般地，當(dāng)時，，即．所以數(shù)列是首項為、公差為的等差數(shù)列，因此．當(dāng)時，．所以數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列，因此，故數(shù)列的通項公式為；⑵由⑴知，，①②①②得，，所以．要證明當(dāng)時，成立，只需證明當(dāng)時，成立．令，則，所以當(dāng)時，．因此當(dāng)時，，于是當(dāng)時，．綜上所述，當(dāng)時，．6．（江西題19）12分等差數(shù)列各項均為正整數(shù)，，其前項和為，等比數(shù)列中，，且，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列．⑴求；⑵求證．⑴設(shè)的公差為，的公比為，則為正整數(shù)，，依題意有①由知為正有理數(shù)，故為的因子之一，解①得，故；⑵，∴．7．（陜西·題22）14分已知數(shù)列的首項，，．⑴求的通項公式；⑵證明：對任意的，，；⑶證明：．⑴接受“倒數(shù)“變換．∵，∴，∴，又，∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．于是，即．⑵由⑴知，，∴原不等式成立．⑶由⑵知，對任意的，有．∴取，則有．∴原不等式成立．8．（安徽題21）13分設(shè)數(shù)列滿足，其中為實數(shù)，⑴證明：對任意成立的充分必要條件是；⑵設(shè)，證明：；⑶設(shè)，證明：．⑴必要性：∵，∴．又∵，∴，即；充分性：設(shè)，對用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時，．假設(shè)，則，且，∴，由數(shù)學(xué)歸納法知對全部成立；⑵設(shè)，當(dāng)時，，結(jié)論成立；當(dāng)時，∵，∴，∵，由⑴知，所以，且．∴，∴，∴．⑶設(shè)，當(dāng)時，，結(jié)論成立；當(dāng)時，由⑵知，∴，∴．9．（遼寧題21）12分在數(shù)列，中，，，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列⑴求，，及，，，由此猜想，