2024年中考數(shù)學 與旋轉(zhuǎn)有關的題復習講義

與旋轉(zhuǎn)有關的題復習講義

以旋轉(zhuǎn)為主的幾何變換綜合題，綜合性較強，屬于中考壓軸題型之一，關鍵是要靈活應用所學的知識，特別是

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進行解答，在解答的過程中要充分利用數(shù)形結合思想、分類討論思想，要學會、掌握輔助線的添加方法.

解題策略一

利用旋轉(zhuǎn)探究不在同一條直線上的共頂點的三條線段的數(shù)量關系問題，常用的策略如下：

1.利用旋轉(zhuǎn)把線段遷移到同一個三角形或者同一條直線上；

2.利用繞共頂點旋轉(zhuǎn)60。改變線段的方向(不改變長度)，此時會出現(xiàn)等邊三角形，注意，作輔助線時也可以作

等邊三角形，此時相當于把線段旋轉(zhuǎn)60°;

3.利用繞共頂點旋轉(zhuǎn)90。改變線段的方向，同時會出現(xiàn)原線段長/倍的線段，此時會出現(xiàn)等腰直角三角形；

4.利用繞共頂點旋轉(zhuǎn)120。改變線段的方向，同時會出現(xiàn)原線段長百倍的線段，此時會出現(xiàn)120。的等腰三角

形.

精選例題，

例1.(2018廣州)如圖，在四邊形ABCD中,NB=60°/D=30°,AB=BC.

(1)求NA+NC的度數(shù)；B

⑵連接BD,探究AD,BD,CD三者之間的數(shù)量關系，并說明理由；

(3)若AB=1,點E在四邊形ABCD內(nèi)部運動,且滿足AE2^BE?+CE號求點E運動路徑的長度.

山解析

(1)利用多邊形內(nèi)角和即可得到答案；

(2)AD,BD,CD為共頂點D的三條線段，可以通過^ABD繞點D旋轉(zhuǎn)60)把這三條線段遷移到同一個三角形中

探究這三條線段的關系；

⑶共點E的三條線段滿足AE^=BE2+CE洞⑵類似,繞點E旋轉(zhuǎn)，把三條線段遷移到同一個三角形中,

然后通過導角尋找定角和定弦，進而確定E點的運動軌跡.

解(1)在四邊形ABCD中，

?.zA+zB+zC+zD=180o,zB=60o,zC=30°,

.?.zA+zC=360o-60o-30o=270°;

⑵DB2=￡M2+DC月'W/

理由：如答圖1,連接BD,以BD為邊向下作等邊三角形△BDQ.

?.zABC=zDBQ=60°,、/

..NABD=NCBQ.'Q

答圖1

?.AB=BC,DB=BQ,

.?.△ABD%CBQ.

，AD=CQ,NA=NBCQ.

.NA+NBCD=NBCQ+NBCD=270。，

.?.zDCQ=90°.

DQ2=DC2+CQ2.

?；CQ=DA,DQ=DB,

DB2=DA2+DCZ,

另解:把△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。,或者把△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。,或者把△BCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)

60。均可求證；

⑶解法一:如答圖2,連接AC,將SCE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到SBR,連接RE.則^AER是等邊三角形.

???EA2=EB2+EC2,EA=RE,EC=RB,

A

RE2=RB2+EB2.n

JEBR=90°.

.?.NRAE+NRBE=150。.

..NARB+NAEB=NAEC+NAEB=210°.

.".zBEC=150o.答圖2

?.如答圖3,點E的運動軌跡在以點O為圓心的圓上，在。。上取一點K,連接KB,KC,OB,OC.

答圖3答圖4答圖5

.zK+zBEC=180°,

?.zK=30°,zBOC=60°.

.OB=OC,

“OBC是等邊三角形.

,.點E的運動路徑=當黑=卓

loU3

解法二：如答圖4，把線段AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AR,連接ER,CR,CE,后面的解法類似解

法一.

解法三：如答圖5，把線段BE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BR,連接ER,AR,后面的解法類似解法一.

例2如圖1,AABC中,CA=CB/ACB=a,D為SBC內(nèi)一點，將4AD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角a得到4BE,

點A,D的對應點分別為點B,E,且A,D,E三點在同一直線上.

(1)填空:NCDE=(用含a的代數(shù)式表示)；

(2)如圖2,若a=60。,請補全圖形,再過點C作CF±AE于點F,然后探究線段CF,AE,BE之間的數(shù)量關系，并證明

你的結論；

⑶若a=90°,4C=5vx且點G滿足/人68=90。力6=6,直接寫出點C到AG的距離.

CC

解析

(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得cD=CE/DCE=a,即可求解；

⑵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=BE,CD=CE/DCE=60。,可證ACDE是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得DF=

EF=即可求解；

(3)分點G在AB的上方和AB的下方兩種情況討論，利用勾股定理可求解.

解(1)?.將△GW繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角a得到"BE,

."ACD當BCE,nDCE=a.

.-.CD=CE.

NCDE=

2

故答案為;

(2)AE=BE+乎CF.

理由：如答圖1.

?.?將ACAD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角60°得至(MCBE,

."ACD%BCE.

..AD=BE,CD=CE,NDCE=60°.

."CDE是等邊三角形，目CUDE.

DF=EF=—CF.

3

?.AE二AD+DF+EF,

???AE=BE+—CF;答圖1

3

⑶如答圖2,當點G在AB上方時，過點（：作CE±AG于點E.

?.zACB=90°,AC=BC=5V2,

.?.zCAB=zABC=45°,AB=10.

???ZACB=90°=ZAGB,

，點C,點G,點B,點A四點共圓.

..NAGC=NABC=45。,且CE±AG.

.-.zAGC=zECG=45o.

，CE=GE.

-.AB=10,GB=6,zAGB=90o,

???AG=7AB2-GB2=8.

-：AC2=AE2+CE2,

2

???（5V2）=（8-CE）2+CE2.

，CE=7（不合題意舍去）,CE=1.答圖3

如答圖3,若點G在AB的下方，過點C作CF±AG.

同理可得CF=7.

，點C到AG的距離為1或7.

精選練習

如圖L在矩形ABCD中，點E為AB邊上的動點(不與A,B重合)把△/!阿沿DE翻折，點A的對應點為A1，

延長EAi交直線DC于點F,再把NBEF折疊，使點B的對應點B1落在EF上，折痕EH交直線BC于點H.

(1)求證：AAIDEOABJEH;

(2)如圖2,直線MN是矩形ABCD的對稱軸，若點A1恰好落在直線MN上，試判斷△DEF的形狀,并說

明理由；

⑶如圖3,在(2)的條件下，點G為aEF內(nèi)一點，且NDGF=150°,試探究DG,EG,FG的數(shù)量關系

解題策略二

1.旋轉(zhuǎn)變換是全等變換，旋轉(zhuǎn)角相等；

2.兩個對應點和旋轉(zhuǎn)中心構成等腰三角形，這樣得到相等的線段、相等的角；

3.旋轉(zhuǎn)時可以得到“手拉手”全等模型，可以用其進行證明和計算得到有用的結論或結果.

精選例題

例1.(2019北京)已知NAOB=30；H為射線OA上一定點,(OH=V3+1,P為射線OB上一點，M為線

段OH上一動點，連接PM,滿足NOMP為鈍角，以點P為中心，將線段PM順時針旋轉(zhuǎn)150：得到線段PN,

連接ON.

(1)依題意補全圖1；

(2)求證:.N0MP=N0PN;

⑶點M關于點H的對稱點為Q,連接QP.寫出一個0P的值，使得對于任意的點M總有(ON=QP,并證

圖1各用圖

解析

⑴按作圖要求作出圖形即可，標出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角；

(2)由三角形內(nèi)角和角的關系易得答案；

⑶由NA0B=30。,?！?百+1,你能想到包含30角的直角三角形嗎?可初步猜想0P=2時滿足條件，然

后通過構造全等三角形驗證結論是否成立.

解⑴如答圖1；

⑵在AOPM中,.N0MP=1800-NP0M-N0PM=1500-N0PM,/

N0PN=NMPN-N0PM=1500-N0PM,

.?.ZOMP=ZOPN；//—書------

⑶當OP=2時，對于任意點M總有ON=PQ.答圖1

理曲如答圖2,過點P作PE_LOA,過點N作NF±OB.

當點E在點M的右側時，

?.zOMP=zOPN,.-.zPME=zNPF.

在WPF和APME中，

NNPF=NPME,

NNFP=NPEM=90°,

.“NPF學PME(AAS).

,?.PF=ME,NF=PE.

在Rt^POE中，

-.OP=2,zAOB=30°,

???PE=NF=1,OE=V3.

???OH=V3+1,

.".EH=1.

設PF=ME=a.

■.MH=ME+EH=a+l=HQ,

.-.EQ=EH+HQ=a+2=OF.

.,.RtANO邑RfPQE(HL).

.-.ON=PQ.

同理，點M與點E重合或點E在點M的左側時，類似證明即可.

例2.在AABC中,CA=CB/ACB=a.點P是平面內(nèi)不與點A,C重合的任意一點.連接AP,將線段AP繞點P逆時

針旋轉(zhuǎn)a得到線段DP,連接AD,BD,CP.

⑴如圖L當a=60。時，a=60°割勺值是,直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是,

(2)如圖2,當a=90。時,請寫出a=90°篙的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形

說明理由.

(3)當a=90f寸，若點E,F分別是CA,CB的中點，點P在直線EF上,請直接寫出點C,P,D在同一直線上時若

的值.

解析

(1)NCAB=NPAD=6(T,AC=AB,AP=AD,滿足“手拉手”全等模型，利用該模型不難得到答案；

⑵NCAB=NPAD=45°,該組對應角的兩邊對應成比例，滿足"一線三等角"相似模型，利用該模型即可解決

問題；

⑶分兩種情形:當點D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線于H.證明AD=DC即可解決問題；

當點P在線段CD上時，同法可證DA=DC來解決問題.

解(1)如答圖L延長CP交BD的延長線于點E,設AB交EC于點0.

.?NPAD=NCAB=60°,

..NCAP=NBAD.

-,CA=BA,PA=DA,

..△CAP9BAD(SAS).

.-.PC=BD,zACP=zABD.

如答圖2,/zA0C=zB0E,

.-.zBEO=zCAO=60o.

翳=1,線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是60。.故答案為1,60°;

⑵如答圖3,設BD交AC于點O,BD交PC于點E.

?.zPAD=zCAB=45°,

..NPAC=NDAB.

??些=2=魚

答圖AP'

.'.△DAB-APAC.

ZPCA=ZDBA,—=—=V2.

PCAC

如答圖4;/zEOC=zAOB,

.-.zCEO=zOAB=450.

二直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)為45°;

⑶如答圖5,當點D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線于點H.

?.CE=EA,CF=FB,

.".EFllAB.

..NEFC=NABC=45°.

?.zPAO=45°,

.?.zPAO=zOFH.

?.zPOA=zFOH,

.?.zH=zAPO.

?.zAPC=90°,EA=EC,

.-.PE=EA=EC.

..NEPA=NEAP=NBAH.

..NH=NBAH.

，BH=BA.

.NADP=NBDC=45°,

..NADB=90°.

.-.BD±AH.

..NDBA=NDBC=22.