高中數(shù)學講義（人教B版2019選擇性必修二）第15講431一元線性回歸模型

4.3.1一元線性回歸模型TOC\o"13"\h\u題型1變量相關關系的判斷 5題型2線性相關強弱的判斷 6題型3相關系數(shù)的應用 9題型4線性回歸分析 13題型5非線性回歸分析 23◆類型1冪函數(shù)型回歸分析 23◆類型2指數(shù)模型回歸分析 36◆類型3對數(shù)模型回歸分析 44題型6殘差 50知識點一.變量的相關關系1.相關關系的概念∶我們所研究的很多問題中，兩個變量之間經常存在著相互影響、相互依賴的關系．這些關系常見的有兩類∶函數(shù)關系和相關關系．[概念辨析]相關關系與函數(shù)關系的異同∶異同點關系函數(shù)關系相關關系相同點兩者均是兩個變量之間的關系不同的是一種確定性關系是一種非確定性關系是一種因果關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系是一種理想的關系是更為一般的情況2.散點圖（1）概念∶一般地，如果收集到了變量x和變量y的n對數(shù)據(jù)（簡稱為成對數(shù)據(jù)），如下表所示：序號i123...n變量xx1x2x3...xn變量yy1y2y3...yn則在平面直角坐標系xOy中描出點（xi，yi），i=1，2，3，…，n，就可以得到這n對數(shù)據(jù)的散點圖.（2）作用∶散點圖展示了樣本點散布的位置．根據(jù)散點圖中點的分布趨勢分析兩個變量之間的關系，可直觀地判斷并得出結論.注意：（1）散點圖具有直觀、簡明的特點，我們可以根據(jù)散點圖來判斷兩個變量有沒有相關關系；（2）通過散點圖不但可以判斷測量值的大小、變動范圍與整體趨勢，還可以通過觀察剔除異常數(shù)值，提高估計相關程度的準確性；（3）當所畫的散點圖的橫坐標與縱坐標所對應的數(shù)據(jù)差距很大時，可在實際作圖時，將橫坐標與縱坐標取不同的單位長度，使畫出的散點圖形象、美觀.3.正相關與負相關（1）從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現(xiàn)增加的趨勢，稱這兩個變量正相關，散點圖如圖（甲）所示；（2）從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值呈現(xiàn)減少的趨勢，稱這兩個變量負相關，散點圖如圖（乙）所示.4.線性相關與非線性相關∶（1）線性相關∶如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關或負相關，而且散點落在一條直線附近，稱這兩個變量線性相關（2）非線性相關∶如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，就稱這兩個變量非線性相關或曲線相關.所得到的方程稱為非線性回歸方程（也簡稱為回歸方程）知識點二.回歸直線方程1.回歸直線方程的概論一般地，已知變量x與y的n對成對數(shù)據(jù)(xi，yi)，i=1，2，3，…，n.任意給定一個一次函數(shù)y=bx+a，對每一個已知的xi；由直線方程可以得到一個估計值eq\o(y,\s\up6(^))i＝eq\o(b,\s\up6(^))xi＋eq\o(a,\s\up6(^))，如果一個一次函數(shù)eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))能使（y1eq\o(y,\s\up6(^))1）2+（y2eq\o(y,\s\up6(^))2）2+...+(yneq\o(y,\s\up6(^))n)2取得最小值，則eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))稱為y關于x的回歸直線方程（對應的直線稱為回歸直線）.2.最小二乘法上述求回歸直線方程的過程中需使得平方和最小，所以其中涉及的方法稱為最小二乘法.可以證明，給定兩個y與x的一組數(shù)據(jù)之后，回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))總是存在的，其中eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是待定參數(shù)．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up11(^))＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x).))其中，eq\o(b,\s\up6(^))稱為回歸系數(shù).它實際上也就是回歸直線方程的斜率.回歸直線方程確定之后，就可用于預測.需要注意的是，上述公式中，x指的是x1，x2，x3，x4，…，xn平均數(shù)，即x=x1+x2+...+xnn回歸直線方程的性質：（1）回歸直線一定過點（x，y）（2）y與x正相關的充要條件是eq\o(b,\s\up6(^))>0；y與x負相關的充要條件是eq\o(b,\s\up6(^))<0；（3）當x增大一個單位時，eq\o(b,\s\up6(^))增大1個單位，這就是回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^))的實際意義；（4）回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中x的系數(shù)是eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))表示直線的斜率，注意與《選擇性必修第一冊》中的一次函數(shù)的關系式或直線方程y=ax+b進行區(qū)分.知識點三.相關系數(shù)1.定義：統(tǒng)計學里，一般用r=2.性質：可以證明，相關系數(shù)r具有以下性質∶|r|≤1，且y與x正相關的充要條件是r>0，y與x負相關的充要條件是r<0；（2）|r|越小，說明兩個變量之間的線性相關性越弱，也就是得出的回歸直線方程越沒有價值，即方程越不能反映真實的情況；|r|越大，說明兩個變量之間的線性相關性越強，也就是得出的回歸直線方程越有價值.（3）|r|=1的充要條件是成對數(shù)據(jù)構成的點都在回歸直線上.注意：（1）樣本的相關系數(shù)r可以定量地反映出變量間的相關程度，明確給出有無必要建立兩變量間的回歸方程；（2）|r|很小只是說明兩個變量之間的線性相關程度弱，但不一定不相關.知識點四.殘差1.殘差∶殘差是指觀測值與理論值（擬合值）之間的差，即是實際觀察值與回歸估計值的差。2.數(shù)理統(tǒng)計中：殘差是樣本值和樣本均值之間的差值。誤差和殘差的區(qū)別：1、誤差是測量測得的量值減去參考量值。測得的量值簡稱測得值，代表測量結果的量值。所謂參考量值，一般由量的真值或約定量值來表示。對于測量而言，人們往往把一個量在被觀測時，其本身所具有的真實大小認為是被測量的真值。2、殘差在數(shù)理統(tǒng)計中是指實際觀察值與估計值（擬合值）之間的差。"殘差"蘊含了有關模型基本假設的重要信息。如果回歸模型正確的話，我們可以將殘差看作誤差的觀測值。題型1變量相關關系的判斷【方法總結】兩個變量之間的關系函數(shù)關系∶變量之間的關系具有確定性，當一個變量確定后，另一個變量就確定了；（2）相關關系∶變量之間確實有一定的關系，但沒有達到可以互相決定的程度，它們之間的關系帶有一定的隨機性.【例題1】以下四個散點圖中，兩個變量的關系呈線性相關的是（）A.①②B.①③C.②③D.③④【解析】B.①③中的點分布在一條直線附近，兩個變量的關系呈線性相關.【變式11】1.從散點圖上看，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內，兩個變量的這種相關關系稱為【答案】正相關【變式11】2.下列語句所表示的事件中的因素不具有相關關系的是（）A.瑞雪兆豐年B.上梁不正下梁歪C.吸煙有害健康D．喜鵲叫喜，烏鴉叫喪【解析】D.選項A，B，C中描述的變量間都具有相關關系，而選項D是迷信說法，沒有科學依據(jù).【變式11】3.下列兩個變量之間是相關關系的是（）圓的面積與半徑之間的關系球的體積與半徑之間的關系角度與它的正弦值之間的關系D.降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關系【解析】D.由題意知A表示圓的面積與半徑之間的關系S=πr2，B表示球的體積與半徑之間的關系V=4πr題型2線性相關強弱的判斷【方法總結】線性相關強弱的判斷方法散點圖（越接近直線，相關性越強）；（2）相關系數(shù)（絕對值越大，相關性越強）.【例題2】甲?乙?丙?丁四位同學各自對x,y兩變量的線性相關性做試驗，分別求得樣本相關系數(shù)甲乙丙丁r0.20?0.95?0.120.85則試驗結果中x,A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【分析】由相關系數(shù)的絕對值的大小判斷．【詳解】由已知，乙的相關系數(shù)的絕對值為r=0.95故選：B．【變式21】1．（2022·陜西·延安市第一中學）對兩個變量y與x進行回歸分析，分別選擇不同的模型，它們的相關系數(shù)r如下，其中擬合效果最好的模型是（

）①模型Ⅰ的相關系數(shù)r為0.25；

②模型Ⅱ的相關系數(shù)r為0.80；③模型Ⅲ的相關系數(shù)r為?0.50；

④模型Ⅳ的相關系數(shù)r為?0.90；A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ【答案】D【分析】根據(jù)相關系數(shù)的大小對相關關系強弱的判定，即可解出．【詳解】因為r越趨近于1，相關性越強，模型擬合效果越好，所以擬合效果最好的模型是Ⅳ．故選：D．【變式21】2．（2022·安徽滁州·）下列命題中正確的為（

）①散點圖可以直觀的判斷兩個變量是否具有線性相關關系；②經驗回歸直線就是散點圖中經過樣本數(shù)據(jù)點最多的那條直線；③線性相關系數(shù)r的絕對值越接近于1，表明兩個變量線性相關性越弱；④同一組樣本數(shù)據(jù)中，決定系數(shù)R2A．①② B．②④ C．①④ D．③④【答案】C【分析】根據(jù)變量間的相關系數(shù)，一一判斷即可．【詳解】解：對于①，散點圖可以直觀的判斷兩個變量是否具有線性相關關系，故正確；對于②，回歸直線也可能不過任何一個點，故錯誤；對于③，線性相關系數(shù)r的絕對值越接近于1，表明兩個變量線性相關性越強，故錯誤；對于④，同一組樣本數(shù)據(jù)中，決定系數(shù)R2故選：C．【變式21】3．下列命題中正確的為（）A．相關系數(shù)r越大，兩個變量的線性相關性越強 B．相關系數(shù)r越小，兩個變量的線性相關性越弱C．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好 D．用相關指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R【答案】C【分析】根據(jù)“殘差”的意義、線性相關系數(shù)和相關指數(shù)的意義，即可作出正確的判斷．【詳解】相關系數(shù)的絕對值r越接近于1，兩個變量的線性相關性越強，所以A，B錯誤；殘差平方和越小的模型，擬合的效果就越好，所以C正確；用相關指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R故選：C.【變式21】4．（多選）有一散點圖如圖所示，在5個x,y數(shù)據(jù)中去掉A．殘差平方和變小B．相關系數(shù)r變小C．決定系數(shù)R2D．解釋變量x與響應變量y的相關性變強【答案】AD【分析】利用散點圖分析數(shù)據(jù)，判斷相關系數(shù)，相關指數(shù)，殘差的平方和的變化情況．【詳解】解：從散點圖可分析出，若去掉D點，則解釋變量x與響應變量y的線性相關性變強，且是正相關，所以相關系數(shù)r變大，決定系數(shù)R2故選：AD【變式21】5．對四對變量y與x進行線性相關檢驗，已知n是觀測值組數(shù)，r是相關系數(shù)，若已知①n=7，r=0.9533；②n=15，r=0.3012；③n=17，r=0.7991；④n=3【答案】①③##3【分析】根據(jù)相關系數(shù)的大小與線性相關性之間的關系判斷可得出結果.【詳解】一般而言，當r∈0.75,1，則變量y和所以，①和③中變量y和x具有線性相關關系，②中相關系數(shù)的絕絕對值較小，④中觀察值的組數(shù)較少.故答案為：①③.題型3相關系數(shù)的應用【例題3】某統(tǒng)計部門對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析后，獲得如圖所示的散點圖．下面關于相關系數(shù)的比較，正確的是（）A．r4<r2<r1<r【答案】C【分析】根據(jù)散點圖的分布可得相關性的強弱，即可比較大小.【詳解】由圖可知：r3，r1所對應的圖中的散點呈現(xiàn)正相關，而且r1對應的相關性比r3對應的相關性要強，故0<r故選：C【變式31】1．某工廠研究某種產品的產量x（單位：噸）與需求某種材料y（單位：噸）之間的相關關系，在生產過程中收集里組數(shù)據(jù)如表所示．根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸直線方程為y=0.7x3467y2.5345.9①變量x與y正相關；②y與x的相關系數(shù)r<0③a=0.35④產量為8噸時，預測所需材料約為5.95噸．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】根據(jù)回歸方程的意義即可判斷①②；求出樣本中心點，再根據(jù)回歸直線必過樣本中心點求出a，即可判斷③④【詳解】解：因為回歸直線方程y=0.7所以產量x與材料y呈正相關，所以相關系數(shù)r>0由表格可得x=則0.7×5+a=3.85，解得所以回歸直線方程y=0.7當x=8時，y即產量為8噸時預測所需材料約為5.95噸，故④正確；故選：B【變式31】2．（2022·河北張家口·）（多選）變量x與y的成對數(shù)據(jù)的散點圖如下圖所示，并由最小二乘法計算得到回歸直線l1的方程為y=b1x+a1，相關系數(shù)為r1，決定系數(shù)為R12；經過殘差分析確定第二個點BA．a1<a2 B．b1<【答案】BD【分析】根據(jù)點B的特點判斷選項AB，由于去掉B，其它點的線性關系更強，從而可判斷CD選項【詳解】因為共8個點且離群點B的橫坐標較小而縱坐標相對過大，去掉離群點后回歸方程的斜率更大，而截距變小，所以B正確，而A錯誤；去掉離群點后相關性更強，擬合效果也更好，且還是正相關，所以r1<r故選：BD【變式31】3．（2022·黑龍江·哈爾濱德強學校）(多選)下列有關一元線性回歸方程模型的結論中，正確的有（

）A．在經驗回歸方程y=?0.4x+3中，當解釋變量xB．若樣本相關系數(shù)r的絕對值越接近于1，則樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強C．若決定系數(shù)R2D．在回歸模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好【答案】BD【分析】根據(jù)回歸直線，線性相關系數(shù)，決定系數(shù)及殘差平方和等知識依次判斷各選項即可得出結果.【詳解】對于A，在經驗回歸方程y=?0.4x+3對于B，若樣本相關系數(shù)r的絕對值越接近于1，則樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強，故B正確；對于C，若決定系數(shù)R2的值越接近于1，則表示回歸模型的擬合效果越好，故C錯誤；對于D，在回歸模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好，故D正確.故選：BD.題型4線性回歸分析【方法總結】解答線性回歸問題，應通過散點圖來分析兩變量間的關系是否線性相關，然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程，并利用殘差圖來分析函數(shù)模型的擬合效果，在此基礎上，借助回歸方程對實際問題進行分析.【例題4】（2022·全國·高二課時練習）某同學10次考試的物理成績y與數(shù)學成績x如下表所示．數(shù)學成績x76827287937889668176物理成績y808775a1007993688577已知y與x線性相關，且y關于x的回歸直線方程為y=1.1x?5①a=86【答案】①②④【分析】先求出x,y，再代入回歸方程中可求出a，判斷①，由系數(shù)【詳解】對于①，因為x=110i=1所以a+74410=1.1×80?5對于②，因為回歸方程y=1.1x?5對于③，因為回歸方程y=1.1x?5對于④，由于y關于x的回歸直線方程為y=1.1x?5故答案為：①②④【變式41】1．變量X，Y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表所示：X5678Y455.4a若根據(jù)表中數(shù)據(jù)得出Y關于X的線性回歸方程為Y=0.26+0.76【答案】

6.4

＞【分析】先計算出X，接著利用線性回歸直線過樣本中心店可求得Y，再利用Y求a，通過Y=0.26+0.76X發(fā)現(xiàn)X與Y【詳解】由題意，可知X=6.5．由線性回歸直線過點X,Y，得Y=0.26+0.76X=5.2．由Y=14故答案為：6.4，>【變式41】2．如圖是某采礦廠的污水排放量y(單位：噸)與礦產品年產量x(單位：噸(1)依據(jù)折線圖計算相關系數(shù)r(精確到0.01)，并據(jù)此判斷是否可用線性回歸模型擬合y與x的關系？(若|r(2)若可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請建立y關于x的線性回歸方程，并預測年產量為10噸時的污水排放量．相關公式：r=i=1回歸方程y=b【答案】(1)相關系數(shù)0.95，可用線性回歸模型擬合y與x的關系(2)y=0.3x+2.5【分析】（1）代入數(shù)據(jù)，算出相關系數(shù)r，將其絕對值與0.75比較，即可判斷可用線性回歸模型擬合y與x的關系．（2）先求出回歸方程，求出當x=10（1）由折線圖得如下數(shù)據(jù)計算得：x=5，y=4，i=15(因為|r（2）b=620當x=10時，y所以預測年產量為10噸時的污水排放量為5.5噸【變式41】3．2015年7月31日，在吉隆坡舉行的國際奧委會第128次全會上，北京獲得2022年冬奧會舉辦權.在申冬奧過程中，中國正式向國際社會作出“帶動三億人參與冰雪運動”的莊嚴承諾.這一承諾，既是我國為國際奧林匹克運動做出重大貢獻的大國擔當展現(xiàn)，也是根據(jù)我國經濟水平和全民健身需求做出的群眾性運動的戰(zhàn)略部署.從北京冬奧會申辦成功到2021年10月，全國參與冰雪運動人數(shù)累計達到3.46億，實現(xiàn)了“帶動三億人參與冰雪運動”的目標，這是北京冬奧會給予全球冬季體育運動和奧林匹克運動的最為重要的遺產，可以說是2022年北京冬奧會的第一塊金牌.“冬奧熱”帶動“冰雪熱”，也帶動了冰雪經濟，以冰雪運動為主要內容的冰雪旅游近年來發(fā)展迅速，2016至2022六個冰雪季的旅游人次y（單位億）的數(shù)據(jù)如下表：年度2016—20172017—20182018—20192019—20202020—20212021—2022年度代號t123456旅游人次y1.71.972.240.942.543.15(1)求y與t的相關系數(shù)（精確到0.01），并回答y與t的線性相關關系的強弱；(2)因受疫情影響，現(xiàn)將2019—2020年度的異常數(shù)據(jù)剔除，用剩下的5個年度數(shù)據(jù)（年度代號不變），求y關于t的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并推測沒有疫情情況下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估計值.附注：參考數(shù)據(jù)：t=16i=16ti=3.5，y=16【答案】(1)0.55，線性相關性不強(2)y=0.26t+1.43【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)結合相關系數(shù)公式求出相關系數(shù)，再進行判斷即可，（2）由已知數(shù)據(jù)結合回歸方程公式計算y關于t的線性回歸方程，再將t=4【詳解】（1）由參考數(shù)據(jù)計算得i=16(ti（2）五組數(shù)據(jù)的均值分別為t′=3.4b^=y關于t的線性回歸方程為y令t=4，則y因此，在沒有疫情情況下，20192020年度冰雪旅游人次的估計值為2.47億.【變式41】4．（2022·安徽·）為了解溫度對物質A參與的某種化學反應的影響，研究小組在不同溫度條件下做了四次實驗，實驗中測得的溫度x（單位：°C）與A的轉化率y%（轉化率=A的轉化量A的起始量x45556575y23386574(1)求y與x的相關系數(shù)（結果精確到0.01）；(2)該研究小組隨后又進行了一次該實驗，其中A的起始量為50g，反應結束時還剩余2.5g，若已知y關于x的線性回歸方程為y=參考數(shù)據(jù)：i=14xiyi=12900參考公式：相關系數(shù)r【答案】(1)0.98(2)85°C【分析】（1）計算出x，y帶入相關系數(shù)r的計算公式，即可算出答案.（2）由線性回歸方程必過樣本中心點，即可算出b的值，根據(jù)題意算出y帶入回歸方程即可算出答案.(1)x=45+55+65+75所以r=900(2)根據(jù)回歸直線的性質，y=bx?58，即由條件可知y=令1.8x?58=95，得因此估計這次實驗是在85°C的溫度條件下進行的.【變式41】5．（2022·江西吉安·）防疫抗疫，人人有責，隨著奧密克戎的全球肆虐，防疫形勢越來越嚴峻，防疫物資需求量急增.下表是某口罩廠今年的月份x與訂單y（單位：萬元）的幾組對應數(shù)據(jù)：月份x12345訂單y2024m4352(1)求y關于x的線性回歸方程，并估計6月份該廠的訂單數(shù)；(2)求相關系數(shù)r（精確到0.01），說明y與x之間具有怎樣的相關關系.參考數(shù)據(jù)：i=15yi=175，i=15xiyi=608，【答案】(1)y=8.3(2)0.99，y與x之間具有很強的正相關關系.【分析】（1）求出b與a的值，可得y關于x的線性回歸方程，取x=6求得y（2）由已知數(shù)據(jù)求得r值，可得y與x的相關系數(shù)近似為0.99，故y與x之間的線性相關程度相當高．(1)解：由題可得：x=1+2+3+4+5∴ba=∴y關于x的線性回歸方程為y2022年6月對應的變量為6，將x=6代入y得y=8.3×6+10.1=59.9∴估計6月份該廠的訂單數(shù)為59.9萬元．(2)相關系數(shù)r=∴y與x【變式41】6．（2022·黑龍江·大慶市東風中學高二期末）下表所示是我國2015年至2021年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）.年份t2015201620172018201920202021處理量y（億噸）1.81.972.12.262.42.552.69(1)由數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數(shù)加以說明；(2)建立y關于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并預測2023年我國生活垃圾無害化處理量.附：y≈2.25，i=17ti?tyi?y≈4.13，【答案】(1)答案見解析(2)y=?300.45+0.15【分析】（1）根據(jù)相關系數(shù)的計算公式，直接計算求解即可.（2）根據(jù)題意，列方程計算出回歸方程，進而代入預測值，即可求解.（1）由表中數(shù)據(jù)和附注中數(shù)據(jù)可得：t=2018，i所以r=因為y與t的相關系數(shù)近似為0.999，說明y與t的線性相關相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系.（2）由（1）得b=a=所以y關于t的回歸方程為：y=?300.45+0.15將2023代入回歸方程得：y=?300.45+0.15×2023=3所以預測2023年我國生活垃圾無害化處理量將約3億噸.【變式41】7．人工智能教育是將人工智能與傳統(tǒng)教育相結合，借助人工智能和大數(shù)據(jù)技術打造的智能化教育生態(tài).為了解我國人工智能教育發(fā)展狀況，通過中國互聯(lián)網數(shù)據(jù)平臺得到我國2015年－2020年人工智能教育市場規(guī)模統(tǒng)計圖.如圖所示，若用x表示年份代碼(2015年用1表示，2016年用2表示，依次類推)，用y表示市場規(guī)模(單位：億元)，試回答：(1)根據(jù)條形統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)，計算變量y與x的相關系數(shù)r，并用r判斷兩個變量y與x相關關系的強弱(精確到小數(shù)點后2位)；(2)若y與x的相關關系擬用線性回歸模型表示，試求y關于x的線性回歸方程，并據(jù)此預測2022年中國人工智能教育市場規(guī)模(精確到1億元).附：線性回歸方程y=bx相關系數(shù)r=參考數(shù)據(jù)：i=1【答案】(1)r≈0.96(2)y=382.86【分析】(1)根據(jù)統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)計算x,y(2)根據(jù)統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)結合公式即可求出線性回歸方程，將x＝8代入線性回歸方程即可預測2022年中國人工智能教育市場規(guī)模.（1）∵x=16i=16x∴相關系數(shù)r=∵相關系數(shù)r≈0.96>0.75（2）設y關于x的線性回歸方程為y=其中b=a=∴y關于x的線性回歸方程為y=382.86把x=8代入得y故據(jù)此預測2022年中國人工智能教育市場規(guī)模將達到約2677億元.題型5非線性回歸分析◆類型1冪函數(shù)型回歸分析【方法總結】冪函數(shù)型回歸模型的處理方法：冪函數(shù)型y=axn（n為常數(shù)，a，x，y均取正值），兩邊取常用對數(shù)1gy=1g（axn），即lgy=nlgx+lga，令y′=1gy，x′=1gx，原方程變?yōu)閥′=nx′+lga，然后按線型回歸模型求出n，lga.【例題51】數(shù)據(jù)顯示，中國在線直播用戶規(guī)模及在線直播購物規(guī)模近幾年都保持高速增長態(tài)勢，下表為2017－2021年中國在線直播用戶規(guī)模（單位：億人），其中2017年－2021年對應的代碼依次為1－5．年份代碼x12345市場規(guī)模y3.984.565.045.866.36參考數(shù)據(jù)：y=5.16，v=1.68，i=1參考公式：對于一組數(shù)據(jù)v1，y1，v2，y2，…，(1)由上表數(shù)據(jù)可知，可用函數(shù)模型y=bx+a(2)已知中國在線直播購物用戶選擇在品牌官方直播間購物的概率為p，現(xiàn)從中國在線直播購物用戶中隨機抽取4人，記這4人中選擇在品牌官方直播間購物的人數(shù)為X，若PX【答案】(1)y(2)分布列見解析，E【分析】（1）設v=x，則（2）先由PX（1）設v=x，則y=bv+a所以b=把1.68，5.16代入y=bv即y關于x的回歸方程為y=1.98（2）由題意知X~B4，p，PX=3=所以，X的取值依次為0，1，2，3，4，PX=0=PX=2=C4X01234P11696256256EX【變式51】1．（2022·福建省福州屏東中學）某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi（xyωiiii46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=x(1)根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=(2)根據(jù)（1）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；(3)已知這種產品的年利率z與x、y的關系為z=0.2（i）年宣傳費x=49（ii）年宣傳費x為何值時，年利率的預報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1)，(u【答案】(1)y=(2)y(3)（i）66.32千元；（ii）46.24千元.【分析】（1）根據(jù)散點圖中點的變化趨勢判斷回歸方程的類型；（2）利用最小二乘法求回歸方程系數(shù)，即可得回歸方程；（3）根據(jù)回歸方程估計x=49的銷售量和利潤，結合二次函數(shù)性質求年利潤的預報值最大時的x（1）解：由散點圖知：各點呈非線性遞增趨勢，所以y=（2）解：由wi=x由w=6.8，y=563，則所以y=100.6+68（3）解：①當x=49時，y=100.6+68×49此時年利潤z=0.2×576.6?49=66.32②由題意，z=0.2(100.6+68所以，當x=6.8，即x【變式51】2．某工廠生產一種產品測得數(shù)據(jù)如下：尺寸x384858687888質量y16.818.820.722.42425.5質量與尺寸的比y0.4420.3920.3570.3290.3080.290(1)若按照檢測標準，合格產品的質量yg與尺寸xmm之間近似滿足關系式(2)已知產品的收益z（單位：千元）與產品尺寸和質量的關系為z=2附：（1）參考數(shù)據(jù)：i=16lnxi?lny（2）參考公式：對于樣本vi,ui(i=1,2,?,n)，其回歸直線【答案】(1)y(2)當產品的尺寸約為72mm時，收益z的預報值最大【分析】（1）結合非線性回歸方程的求法求得y關于x的回歸方程.（2）求得z的表達式，結合二次函數(shù)的性質求得當x約為72mm時，收益z的預報值最大.（1）對y=c?令vi=lnxi，ui根據(jù)所給統(tǒng)計量及最小二乘估計公式有：d=a=又a=lnc=1，所以c（2）由（1）得y=e?x1令t=x，則當此時x=所以當產品的尺寸約為72mm時，收益z的預報值最大.【變式51】3．（2022·遼寧實驗中學模擬預測）學生的學習除了在課堂上認真聽講，還有一個重要環(huán)節(jié)就是課后的“自主學習”，包括預習，復習，歸納整理等等，現(xiàn)在人們普遍認為課后花的時間越多越好，某研究機構抽查了部分高中學生，對學生花在課后的學習時間（設為x分鐘）和他們的數(shù)學平均成績（設為y）做出了以下統(tǒng)計數(shù)據(jù)，請根據(jù)表格回答問題：x60708090100110120130y92109114120119121121122(1)請根據(jù)所給數(shù)據(jù)繪制散點圖，并且從以下三個函數(shù)從①y=bx+a；②(2)根據(jù)（1）中選擇的回歸類型，求出y與x的回歸方程；(3)請根據(jù)此回歸方程，闡述你對學習時長和成績之間關系的看法．參考公式：回歸方程y=a^參考數(shù)據(jù)：ln【答案】(1)散點圖見解析，y=(2)y(3)答案見解析【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)可得散點圖，根據(jù)散點圖可得函數(shù)模型；（2）由（1）中模型可得lny=klnx+lnm（3）根據(jù)回歸方程可得相應的看法.(1)散點圖如圖所示：由圖象可知y=(2)對y=m?xk設u=lnx，v=lnk=lnm=v故lny=0.33lnx∴y(3)此回歸方程為關于時間的增函數(shù)，說明隨著學習時間的增加，學習成績是提高的，但是函數(shù)的增速先快后慢，說明如果原來成績較低，通過增加學習時間可以有效提高成績，但是當成績提高到120分左右時，想要通過延長學習時間來提高學習成績就比較困難了，需要想別的辦法.【變式51】4．某公司為了確定下一年度投入某種產品的宣傳費用，需了解年宣傳費x（單位：萬元）對年銷量y（單位：噸）和年利潤（單位：萬元）的影響，對近6年宣傳費xi和年銷售量yi年份201620172018201920202021年宣傳費x（萬元）384858687888年銷售量y（噸）16.818.820.722.424.025.5經電腦模擬，發(fā)現(xiàn)年宣傳費x（萬元）與年銷售量y（噸）之間近似滿足關系式y(tǒng)=a?iiii75.324.618.3101.4(1)從表中所給出的6年年銷售量數(shù)據(jù)中任選2年做年銷售量的調研，求所選數(shù)據(jù)中至多有一年年銷售量低于20噸的概率；(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求y關于x的回歸方程．附：對于一組數(shù)據(jù)u1,v1、u2.v2、【答案】(1)14(2)y【分析】（1）列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）令v=lny，u=lnx，則v=bu+lna，計算出u、v的值，將參考數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，計算出（1）解：從表中所給出的6年年銷售量數(shù)據(jù)中任選2年做年銷售量的調研，所有的基本事件有：16.8,18.8、16.8,20.7、16.8,22.4、16.8,24.0、16.8,25.5、18.8,20.7、18.8,22.4、18.8,24.0、18.8,25.5、20.7,22.4、20.7,24.0、20.7,25.5、22.4,24.0、22.4,25.5、24.0,25.5，共15種，其中，事件“所選數(shù)據(jù)中至多有一年年銷售量低于20噸”所包含的基本事件有：16.8,20.7、16.8,22.4、16.8,24.0、16.8,25.5、18.8,20.7、18.8,22.4、18.8,24.0、18.8,25.5、20.7,22.4、20.7,24.0、20.7,25.5、22.4,24.0、22.4,25.5、24.0,25.5，共14種，故所求概率為P=（2）解：令v=lny，u=ln則u=i=16lni=1所以，b=i=16u故y關于x的回歸方程為y=e?【變式51】5．為了提高智慧城市水平，某市公交公司推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動，活動設置了一段時間的推廣期，由于推廣期內優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內每一天使用掃碼支付的人次，x表示活動推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表下所示：x1234567y611213466101196同學甲選擇指數(shù)型函數(shù)模型y=c?dxyvi=1i=1i=1i=11062.141.54140253550.12276943.47(1)根據(jù)表中相關數(shù)據(jù)，利用同學甲的模型建立y關于x的經驗回歸方程；(2)若同學甲求得其非線性經驗回歸方程的殘差平方和為i=17yi?yi①用決定系數(shù)R2②用你認為擬合效果較好的模型預測活動推出第8天使用掃碼支付的人次；參考公式：對于一組數(shù)據(jù)u1,v1，u2,v2，…，u【答案】(1)y(2)①甲建立的回歸模型擬合效果更好；②3470人次【分析】（1）對y=c?dx兩邊取對數(shù)，得lg（2）①根據(jù)題意求出R甲2，然后與R乙（1）對y=c?dx兩邊取對數(shù)得：lgy=lgc+lgd∴β=lgd=所以d=100.25所以y（2）①甲建立的回歸模型的R甲∴甲建立的回歸模型擬合效果更好.②利用甲建立的模型預測，當x=8時，y∴活動推出第8天使用掃碼支付的人次為3470人次；【變式51】6．（2022·吉林·梅河口市第五中學）新型冠狀病毒肺炎COVID19疫情發(fā)生以來，在世界各地逐漸蔓延.在全國人民的共同努力和各級部門的嚴格管控下，我國的疫情已經得到了很好的控制.然而，小王同學發(fā)現(xiàn)，每個國家在疫情發(fā)生的初期，由于認識不足和措施不到位，感染人數(shù)都會出現(xiàn)快速的增長.下表是小王同學記錄的某國連續(xù)8天每日新型冠狀病毒感染確診的累計人數(shù).日期代碼x12345678累計確診人數(shù)y481631517197122為了分析該國累計感染人數(shù)的變化趨勢，小王同學分別用兩桿模型：①y=bx2+a，②y=dx+c對變量x和y的關系進行擬合，得到相應的回歸方程并進行殘差分析，殘差圖如下(注：殘差ei=y(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應該選擇哪個模型?并簡要說明理由；(2)根據(jù)（1）問選定的模型求出相應的回歸方程（系數(shù)均保留兩位小數(shù)）；(3)由于時差，該國截止第9天新型冠狀病毒感染確診的累計人數(shù)尚未公布.小王同學認為，如果防疫形勢沒有得到明顯改善，在數(shù)據(jù)公布之前可以根據(jù)他在（2）問求出的回歸方程來對感染人數(shù)做出預測，那么估計該地區(qū)第9天新型冠狀病毒感染確診的累計人數(shù)是多少?（結果保留整數(shù)）附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b^=i【答案】(1)選擇模型①，理由見解析(2)y(3)157【分析】（1）選擇模型①.根據(jù)殘差的意義直接判斷；（2）套公式求出系數(shù)，即可得到y(tǒng)關于x的回歸方程；（3）將x=9（1）選擇模型①.理由如下：根據(jù)殘差圖可以看出，模型①的估計值和真實值相對比較接近，模型②的殘差相對較大一些，所以模型①的擬合效果相對較好（2）由（1），知y關于x的回歸方程為y=bx2+由所給數(shù)據(jù)得：z=y=18a=y?（3）將x=9代入上式，得y所以預測該地區(qū)第9天新型冠狀病毒感染確診的累計人數(shù)為157人.◆類型2指數(shù)模型回歸分析【例題52】x和y的散點圖如圖所示，在相關關系中，若用y＝c1ec2x擬合時的決定系數(shù)為R12【答案】R【分析】根據(jù)相關系數(shù)的大小與擬合效果的關系判斷即可.【詳解】由題圖知，用y＝c1ec2x故答案為：R1【變式52】1．為了研究某種細菌隨天數(shù)x變化的繁殖個數(shù)y，收集數(shù)據(jù)如下：天數(shù)x123456繁殖個數(shù)y612254995190(1)在圖中作出繁殖個數(shù)y關于天數(shù)x變化的散點圖，并由散點圖判斷y=bx+a（a,b為常數(shù)）與y=c(2)對于非線性回歸方程y=c1ec2xxyziii3.5062.833.5317.50596.5712.09（?。┳C明：“對于非線性回歸方程y=c1ec2x，令z（ⅱ）根據(jù)（ⅰ）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程（系數(shù)保留2位小數(shù)）．附：對于一組數(shù)據(jù)u1,v1,【答案】(1)選擇y=(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）y【分析】(1)根據(jù)散點圖趨勢選擇；(2)將非線性回歸方程模型轉化為線性回歸方程模型，結合所給數(shù)據(jù)求解.【詳解】（1）作出散點圖如圖所示．由散點圖看出樣本點分布在一條指數(shù)型曲線y=故選擇y=（2）（i）證明：由已知：令z=lny，則則α=lnc1，β=c2，即（ii）由（i）知繁殖個數(shù)的對數(shù)z關于天數(shù)x可以用線性回歸方程來擬合．由表中數(shù)據(jù)可得，β=α=得到z關于x的線性回歸方程為z=0.69x+1.12因此細菌的繁殖個數(shù)y關于天數(shù)x的非線性回歸方程為y=【變式52】2．（2023·全國·高三專題練習）多年來，清華大學電子工程系黃翔東教授團隊致力于光譜成像芯片的研究，2022年6月研制出國際首款實時超光譜成像芯片，相比已有光譜檢測技術，實現(xiàn)了從單點光譜儀到超光譜成像芯片的跨越，為制定下一年的研發(fā)投入計劃，該研發(fā)團隊為需要了解年研發(fā)資金投入量x（單位：億元）對年銷售額y（單位：億元）的影響，結合近12年的年研發(fā)資金投入量x，和年銷售額y，的數(shù)據(jù)（i=1，2，?，12），該團隊建立了兩個函數(shù)模型：①y=α+βx2xyiii206677020014uviii4604.2031250000.30821500(1)設ui和yi的相關系數(shù)為r1,x(2)（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（ii）若下一年銷售額y需達到80億元，預測下一年的研發(fā)資金投入量x是多少億元？附：①相關系數(shù)r=i=1nxi?②參考數(shù)據(jù)：308=77×4,80【答案】(1)模型y=(2)（i）y=e0.02【分析】（1）由題意計算相關系數(shù),比較它們的大小即可判斷；（2）（i）先建立v關于x的的線性回歸方程,再轉化為y關于x的回歸方程；(2)利用回歸方程計算y=80則r1<r（2）（i）先建立v關于x的線性回歸方程.由y=eλx+t由于λt所以v關于x的線性回歸方程為v=0.02所以lny=0.02x（ii）下一年銷售額y需達到80億元，即y=80，代入y=e又e所以0.02x+3.84=4.382，解得所以預測下一年的研發(fā)資金投入量是27.1億元【變式52】3．（2022·遼寧·高二期末）紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，也侵害木棉、錦葵等植物．為了防治蟲害，從根源上抑制害蟲數(shù)量．現(xiàn)研究紅鈴蟲的產卵數(shù)和溫度的關系，收集到7組溫度x和產卵數(shù)y的觀測數(shù)據(jù)于表Ⅰ中．根據(jù)繪制的散點圖決定從回歸模型①y=C1表Ⅰ溫度x/℃20222527293135產卵數(shù)y/個711212465114325(1)請借助表Ⅱ中的數(shù)據(jù)，求出回歸模型①的方程：表Ⅱ（注：表中tiiiiii18956725.2716278106iiii11.06304041.86825.09(2)類似的，可以得到回歸模型②的方程為y=0.36x2(3)若求得回歸模型①的相關指數(shù)R2=0.95，回歸模型②的相關指數(shù)參考數(shù)據(jù)：e?3.41附：回歸方程y=βx+相關指數(shù)R2【答案】(1)y=e0.26(2)模型①：1.54；模型②：65.54(3)模型①【分析】（1）利用兩邊取自然對數(shù)，利用表中的數(shù)據(jù)即可求解；（2）分別計算模型①、②在x=20（3）根據(jù)相關指數(shù)的大小判斷摸型①、②的殘差平方和，再得出那個模型的擬合效果更好.(1)由y=C1令t=lny,由表Ⅱ數(shù)據(jù)可得，b=a^所以t=0.26所以回歸方程為y=e0.26(2)由題意可知，模型①在x=20時殘差為y模型②在x=20時殘差為y(3)因為0.95>0.81，即模型①的相關指數(shù)大于模型②的相關指數(shù)，由相關指數(shù)公式知，模型①的殘差平方和小于模型②的殘差平方和，因此模型①得到的數(shù)據(jù)更接近真實數(shù)據(jù)，所以模型①的擬合效果更好.【變式52】4．某研究所為了研究某種昆蟲的產卵數(shù)y與溫度x之間的關系，現(xiàn)將收集到的溫度xi和一組昆蟲的產卵數(shù)y經計算得到以下數(shù)據(jù)：x=16(1)若用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)的變化關系，求y關于x的回歸方程y=(2)若用非線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)的變化關系，求得y關于x的回歸方程y=0.06e0.2303①試與（1）中的回歸模型相比，用R2說明哪種模型的擬合效果更好；②用擬合效果好的模型預測溫度為35℃時該組昆蟲的產卵數(shù)（結果四舍五入取整數(shù)）．附參考公式：對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,【答案】(1)y=6.6(2)①用y=0.06e0.2303【分析】（1）利用最小二乘法即得；（2）根據(jù)線性回歸方程結合R2的值，即可比較擬合效果，然后將x（1）由題意可知b=a=∴y關于x的線性回歸方程是y=6.6（2）①用指數(shù)回歸模型擬合y與x的關系，相關指數(shù)R2線性回歸模型擬合y與x的關系，相關指數(shù)R2且0.9398<0.9672，∴用y=0.06e0.2303②y=0.06e0.2303則y=0.06故預測溫度為35℃時該昆蟲產卵數(shù)約為190個．◆類型3對數(shù)模型回歸分析【例題53】（2022·全國·高三專題練習）我國為全面建設社會主義現(xiàn)代化國家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃．某企業(yè)為響應國家號召，匯聚科研力量，加強科技創(chuàng)新，準備增加研發(fā)資金．現(xiàn)該企業(yè)為了了解年研發(fā)資金投入額x（單位：億元）對年盈利額y（單位：億元）的影響，研究了“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展期間近10年年研發(fā)資金投入額xi和年盈利額yi的數(shù)據(jù)．通過對比分析，建立了兩個函數(shù)模型：①y=α+βx2；②y=eλx+t，其中αxyiiu26215652680viiii5.36112501302.612(1)請從相關系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合程度更好？(2)根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；（系數(shù)精確到0.01）(3)若希望2021年盈利額y為250億元，請預測2021年的研發(fā)資金投入額x為多少億元．（結果精確到0.01）【答案】(1)模型y=(2)y(3)約為27.56億元【分析】（1）利用相關系數(shù)公式求解進行比較即可；（2）建立v關于x的線性回歸方程，由y=eλx+t，得ln（1）設ui和yi的相關系數(shù)為r1，xi和由題意，r1r2則r1<r（2）先建立v關于x的線性回歸方程，由y=eλx+tλ^=i所以v關于x的線性回歸方程為v=0.18x+0.56，所以ln（3）2021年盈利額y=250（億元），所以250=則0.18x因為ln250=3ln5+ln2≈3×1.609+0.693=5.52，所以x≈【變式53】1．（2022·江西·臨川一中）2022年6月5日是世界環(huán)境日，十三屆全國人大常委會第三十二次會議表決通過的《中華人民共和國噪聲污染防治法》今起施行.噪聲污染已經成為影響人們身體健康和生活質量的嚴重問題，為了解聲音強度D（單位：dB）與聲音能量I（單位：W?cm?2）之間的關系，將測量得到的聲音強度D和聲音能量(1)根據(jù)散點圖判斷，D=a1+b1I(2)求聲音強度D關于聲音能量I的非線性經驗回歸方程（請使用題后參考數(shù)據(jù)作答）；(3)假定當聲音強度大于45dB時，會產生噪聲污染，城市中某點P處共受到兩個聲源的影響，這兩個聲源的聲音能量分別是Ia和Ib，且1Ia+9Ib=參考數(shù)據(jù)：I=1.04×10?11，D=36.7，令Wii=110(Iii=110Ii?ID【答案】(1)D(2)D(3)點P處會受到噪聲污染【分析】（1）根據(jù)已知條件，結合圖象的增長趨勢，即可求解．（2）令Wi=lgIi，（3）設點P處的聲音能量為I1，則I1=Ia【詳解】（1）解：散點圖近似在一條曲線上，故D=（2）解：令Wi=lgIi，W=lgI，則即D關于W的回歸方程是D=93.7+5則D關于I的非線性經驗回歸方程是D=93.7+5lg（3）解：設點P處的聲音能量為I1，則I因為Ia>0，Ib所以I1當且僅當Ib=3Ia，即所以D=93.7+5lg所以點P處會受到噪聲污染．【變式53】2．（2023·全國·高三專題練習）受北京冬奧會的影響，更多人開始關注滑雪運動，但由于室外滑雪場需要特殊的氣候環(huán)境，為了滿足日益增長的消費需求，國內出現(xiàn)了越來越多的室內滑雪場.某投資商抓住商機，在某大學城附近開了一家室內滑雪場.經過6個季度的經營，統(tǒng)計該室內滑雪場的季利潤數(shù)據(jù)如下：第x個季度123456季利潤y（萬元）2.23.64.34.95.35.5根據(jù)上面的數(shù)據(jù)得到的一些統(tǒng)計量如下：yuiii4.30.5101.414.11.8表中ui=lgx(1)若用方程y=a+blg(2)利用（1）中得到的方程預測該室內滑雪場從第幾個季度開始季利潤超過6.5萬元；附：線性回歸方程y=bx+a中，【答案】(1)y=2.3+4lg(2)第12個.【分析】（1）根據(jù)最小二乘法可得y=2.3+4（2）由2.3+4lgx（1）由u=lgx，先求y關于u的線性回歸方程由已知數(shù)據(jù)得b=故a=所以y關于u的回歸方程為y=2.3+4故y關于x的回歸方程為y=2.3+4lg（2）令2.3+4lgx>6.5，得所以x>故預測從第12個季度開始季利潤超過6.5萬元；題型6殘差【方法總結】殘差計算思路如下∶先求出回歸方程y=bx+a（b，a直接套公式即可），然后把表格中每一個x值通過方程算出對應的每一個y值，最后與表格中的y值對應相減即可。數(shù)據(jù)點和它在回歸直線上相應位置的差異yiyi是隨機誤差的效應，稱ei=yi殘差計算公式∶實際觀察值與估計值（擬合值）之間的差。殘差平方和：i【例題6】（2022·全國·高二課時練習）將兩個變量x、y的n對樣本數(shù)據(jù)x1,y1，x2,y2，①i=1②利用最小二乘法求出的線性回歸直線一定經過散點圖中的某些點；③相關系數(shù)r的絕對值越接近于1，說明成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強；④通過經驗回歸方程進行預報時，解釋變量的取值不能距離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠，求得的預報值不是響應變量的精確值．【答案】③④##4【分析】根據(jù)已知條件，結合線性回歸方程的性質逐個分析判斷即可.【詳解】對于①，對于線性回歸方程，用相關系數(shù)來刻畫回歸效果，并非i=1對于②，利用最小二乘法求出的線性回歸直線有可能不經過散點圖中的所有點，所以②錯誤，對于③，相關系數(shù)r的絕對值越接近于1，說明成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強，所以③正確，對于④，若解釋變量的取值超出樣本數(shù)據(jù)范圍太多，則導致預報值準確度降低，得到預報值已不是準確值，所以④正確，故答案為：③④【變式61】1．（2022·北京朝陽·高二期末）已知一組樣本數(shù)據(jù)x1,y1,A．?2.45 B．2.45 C．3.45 D．54.55【答案】B【分析】根據(jù)樣本點的橫坐標和回歸直線方程得出y的估計值，根據(jù)殘差定義計算.【詳解】把x=165代入y=0.85x所以在樣本點165,57處的殘差e=故選：B.【變式61】2．（2022·湖北·高二期末）某城市選用一種植物進行綠化，設其中一株幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測得一些數(shù)據(jù)如下表所示：第x天1234567高度y/cm1469111213由表格中數(shù)據(jù)可得y關于x的經驗回歸方程為y=2.04x+a，則第7天的殘差為（

）A．1.12 B．2.12 C．【答案】C【分析】依題意求出x、y，根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心點x,y求出【詳解】解：通過表格計算得，x=17因為經驗回歸直線y=2.04x+a過點所以y關于x的經驗回歸方程為y=2.04所以回歸模型第7天的殘差13?(2.04×7?0.16)=?1.12．故選：C．【變式61】3．（2022·云南省玉溪第一中學高三開學考試）新能源汽車的核心部件是動力電池，電池占了新能源整車成本的大頭，而其中的原材料碳酸鋰又是電池的主要成分．從2020年底開始，碳酸鋰的價格一路水漲船高，下表是2022年某企業(yè)的前5個月碳酸鋰的價格與月份的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：月份代碼x12345碳酸鋰價格y（萬元/kg）0.50.61m1.5根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關于x的經驗回歸方程為y=0.28x+a，根據(jù)數(shù)據(jù)計算出在樣本點(5,1.5)處的殘差為【答案】1