2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步單元質(zhì)量評(píng)估1習(xí)題含解析北師大版必修2

第一章單元質(zhì)量評(píng)估(一)eq\o(\s\up7(時(shí)間：120分鐘滿分：150分),\s\do5())一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的)1．如圖為某幾何體的三視圖，依據(jù)三視圖可以推斷這個(gè)幾何體為(C)A．圓錐B．三棱錐C．三棱柱D．三棱臺(tái)解析：由三視圖易知其圖形為如圖所示的三棱柱．2．下列說(shuō)法中正確的是(C)①三角形肯定是平面圖形；②若四邊形的兩條對(duì)角線相交于一點(diǎn)，則該四邊形是平面圖形；③圓心和圓上兩點(diǎn)可確定一個(gè)平面；④三條平行線最多可確定三個(gè)平面．A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③解析：過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面，所以三角形肯定是平面圖形，所以①對(duì)；兩條對(duì)角線相交于一點(diǎn)的四邊形肯定是平面圖形，所以②對(duì)；三條平行線可確定一個(gè)或三個(gè)平面，所以④對(duì)；可以有多數(shù)個(gè)平面經(jīng)過(guò)圓的一條直徑，③錯(cuò)．故選C.3．如圖所示，α∩β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是(C)A．直線ACB．直線ABC．直線CDD．直線BC解析：D∈l，lβ，∴D∈β，又C∈β，∴CDβ.同理，CD平面ABC，∴平面ABC∩平面β＝直線CD.4．分別和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是(D)A．異面B．相交C．平行D．異面或相交解析：如圖所示，a，b是異面直線，AB，AC都與a，b相交，AB，AC相交；AB，DE都與a，b相交，AB，DE異面．5．已知m是平面α的一條斜線，點(diǎn)A?α，l為過(guò)點(diǎn)A的一條動(dòng)直線，那么下列情形中可能出現(xiàn)的是(C)A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α解析：如圖，l可以垂直m，且l平行α.6．一條直線和三角形的兩邊同時(shí)垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關(guān)系是(A)A．垂直B．平行C．相交但不垂直D．不確定解析：由條件知這條直線垂直于該三角形所在的平面，所以這條直線垂直于這個(gè)三角形的第三邊．7．已知某幾何體的三視圖如圖所示，依據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：cm)，可得這個(gè)幾何體的體積是(C)A.eq\f(1,2)cm3B.eq\f(1,3)cm3C.eq\f(1,6)cm3D.eq\f(1,12)cm3解析：依據(jù)三視圖可知原幾何體是三棱錐，V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)(cm3)．8．在正三棱錐P—ABC中，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，有下列三個(gè)論斷：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正確的是(C)A．①②③B．①③C．①②D．②③解析：畫圖形(圖略)，可得①②正確．9．若圓柱、圓錐的底面直徑和高都等于球的直徑，則圓柱、圓錐、球的體積之比為(D)A．1∶2∶3B．2∶3∶4C．3∶2∶4D．3∶1∶2解析：設(shè)球的半徑為R，則V圓柱＝2πR3，V圓錐＝eq\f(1,3)πR2·(2R)＝eq\f(2π,3)R3，V球＝eq\f(4,3)πR3.則體積之比為2∶eq\f(2,3)∶eq\f(4,3)＝3∶1∶2.選D.10．圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的主視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r等于(B)A．1B．2C．4D．8解析：直觀圖如圖，則2πr2＋πr2＋eq\f(1,2)×2πr·2r＋(2r)2＝16＋20π，得5πr2＋4r2＝16＋20π，則r＝2.故選B.11．在四面體ABCD中，下列條件不能得出AB⊥CD的是(D)A．AB⊥BC且AB⊥BDB．AD⊥BC且AC⊥BDC．AC＝AD且BC＝BDD．AC⊥BC且AD⊥BD解析：A項(xiàng)，∵AB⊥BD，AB⊥BC，BD∩BC＝B，∴AB⊥平面BCD，∵CD平面BCD，∴AB⊥CD.B項(xiàng)，設(shè)A在平面BCD內(nèi)的射影為O，則AO⊥平面BCD，∵AD⊥BC，AC⊥BD，∴O為△BCD的垂心，連接BO，則BO⊥CD.又AO⊥CD，AO∩BO＝O，∴CD⊥平面ABO，∵AB平面ABO，∴AB⊥CD.C項(xiàng)，取CD中點(diǎn)G，連接BG，AG.∵AC＝AD且BC＝BD，∴CD⊥BG，CD⊥AG，∵BG∩AG＝G，∴CD⊥平面ABG，∵AB平面ABG，∴AB⊥CD，故選D.12．如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF＝eq\f(\r(2),2)，現(xiàn)有下列結(jié)論：①AC⊥BE；②平面AEF與平面ABCD的交線平行于直線EF；③異面直線AE，BF所成的角為定值；④三棱錐A—BEF的體積為定值，其中錯(cuò)誤結(jié)論的個(gè)數(shù)是(B)A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)解析：在正方體中可得AC⊥平面BDD1B1，故AC⊥BE，①正確；平面AEF∩平面A1B1C1D1＝EF，設(shè)平面AEF∩平面ABCD＝l，由平面ABCD∥平面A1B1C1D1知EF∥l，即②正確；當(dāng)F在B1的位置時(shí)，E為B1D1的中點(diǎn)O，∠A1AO為異面直線AE，BF所成的角，當(dāng)E在D1的位置時(shí)，F(xiàn)在O的位置，∠OBC1為AE與BF所成的角，因?yàn)椤螦1AO≠∠OBC1，所以③不正確；S△BEF為定值，A到平面BEF的距離即為A到平面BB1D1D的距離為定值，即二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案填寫在題中橫線上)13．底面直徑和高都是4cm的圓柱的側(cè)面積為16πcm2.解析：圓柱的底面半徑為r＝eq\f(1,2)×4＝2(cm)，∴S側(cè)＝2π×2×4＝16π(cm2)．14．已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，P是AA1的中點(diǎn)，E是BB1上的點(diǎn)，則PE＋EC的最小值是17解析：將正方體的側(cè)面ABB1A1，BCC1B1放在同一平面內(nèi)，如圖，則PE＋EC的最小值為PC′＝eq\r(PA2＋AC′2)＝eq\r(12＋42)＝eq\r(17).15．圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為2a，母線與軸的夾角為30°，一個(gè)底面圓的半徑是另一個(gè)底面圓的半徑的2倍，則兩底面圓的半徑分別為a,2a.解析：如圖，畫出圓臺(tái)軸截面，由題設(shè)，得∠OPA＝30°，AB＝2a，設(shè)O1A＝r，PA＝x，則OB＝2r，x＋2a＝4r，且x＝2r，∴a＝r，即兩底面圓的半徑分別為a,2a16．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，過(guò)體對(duì)角線BD1的一個(gè)平面交AA1于E，交CC1于F，得四邊形BFD1①四邊形BFD1E有可能為梯形；②四邊形BFD1E有可能為菱形；③四邊形BFD1E在底面ABCD內(nèi)的投影肯定是正方形；④四邊形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D.其中正確的是②③④(請(qǐng)寫出全部正確結(jié)論的序號(hào))．解析：因?yàn)檎襟w中對(duì)面相互平行，所以截面與對(duì)面的交線相互平行，所以肯定是平行四邊形，①不對(duì)；當(dāng)E、F分別是所在棱的中點(diǎn)時(shí)，四邊形BFD1E為菱形，②對(duì)；依據(jù)投影學(xué)問(wèn)知③對(duì)；當(dāng)E、F分別是所在棱中點(diǎn)時(shí)，EF⊥平面BB1D1D，④對(duì)．三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17．(10分)一幾何體按比例繪制的三視圖如圖(單位：m)：(1)試畫出它的直觀圖；(2)求它的表面積和體積．解：(1)直觀圖如圖①.(2)解法1：由三視圖可知該幾何體是由長(zhǎng)方體截去一個(gè)三棱柱而得到的，且該幾何體的體積是以A1A，A1D1，A1B1為棱的長(zhǎng)方體的體積的eq\f(3,4)，在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，如圖②，則四邊形AA1EB是正方形，∴AA1＝BE＝1m.在Rt△BEB1中，BE＝1m，EB1＝1m，∴BB1＝eq\r(2)m.∴幾何體的表面積S＝S正方形AA1D1D＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形ABCD＋S矩形A1B1C1D1＝1＋2×eq\f(1,2)×(1＋2)×1＋1×eq\r(2)＋1＋1×2＝(7＋eq\r(2))m2，幾何體的體積V＝eq\f(3,4)×1×2×1＝eq\f(3,2)m3.∴該幾何體的表面積為(7＋eq\r(2))m2，體積為eq\f(3,2)m3.解法2：該幾何體可看成以四邊形AA1B1B為底面的直四棱柱，其表面積求法同解法1，V直四棱柱D1C1CD—A1B1BA＝Sh＝eq\f(1,2)×(1＋2)×1×1＝eq\f(3,2)m3.∴該幾何體的表面積為(7＋eq\r(2))m2，體積為eq\f(3,2)m3.18．(12分)如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積．解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圓臺(tái)側(cè)＋S圓臺(tái)下底＋S圓錐側(cè)＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2eq\r(2)＝(60＋4eq\r(2))π，V＝V圓臺(tái)－V圓錐＝eq\f(1,3)(π×22＋π×52＋eq\r(22×52π2))×4－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(148,3)π.19．(12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)．(1)證明：EF∥平面PAD；(2)求三棱錐E－ABC的體積V.解：(1)證明：在△PBC中，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)，∴EF∥BC.∵四邊形ABCD為矩形，∴BC∥AD，∴EF∥AD.又∵AD平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)如圖，連接AE，AC，EC，過(guò)E作EG∥PA交AB于點(diǎn)G.則EG⊥平面ABCD，且EG＝eq\f(1,2)PA.在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，∴AP＝AB＝eq\r(2)，EG＝eq\f(\r(2),2).∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2＝eq\r(2)，∴VE－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·EG＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3).20．(12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，PA＝AD.(1)求證：MN∥平面PAD；(2)求證：平面PMC⊥平面PCD.證明：(1)如圖，取PD的中點(diǎn)E，連接EN，AE.∵N是PC的中點(diǎn)，∴EN綊eq\f(1,2)DC.又∵AM綊eq\f(1,2)DC，∴EN綊AM，∴四邊形AENM是平行四邊形，∴AE∥MN.又∵AE平面PAD，MN?平面PAD，∴MN∥平面PAD.(2)∵PA＝AD，E是PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.∵AE平面PAD，∴AE⊥CD.∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD.又∵AE∥MN，∴MN⊥平面PCD.∵M(jìn)N平面PMC，∴平面PMC⊥平面PCD.21．(12分)矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為CD的中點(diǎn)，如圖，沿AE將△DAE折起到△D1AE的位置，使平面D1AE⊥平面ABCE.(1)若F為線段D1A的中點(diǎn)，求證：EF∥平面D1(2)求證：BE⊥D1A證明：(1)如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則EG∥BC，F(xiàn)G∥D1B，且EG∩FG＝G，EG平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，D1B∩BC＝B，D1B平面D1BC，BC平面D1BC，∴平面EFG∥平面D1BC.∵EF平面EFG，∴EF∥平面D1BC.(2)易證BE⊥EA，因?yàn)槠矫鍰1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE.∴BE⊥平面D1AE.又D1A平面D1AE，∴BE⊥D122．(12分)如圖，三棱柱ABC—