數(shù)理統(tǒng)計課件：三大分布和分位數(shù)

三大分布和分位數(shù)記做

ξ

所服從的分布稱為自由度為

n

的χ2分布.其中

n為獨立隨機變量的個數(shù).1定義2.2.1(χ

2分布)：設X1，X2，…，Xn

獨立同分布，

且都服從標準正態(tài)分布N(0,1)，令則稱隨機變量ξ

是自由度為n的χ2變量.2.2.1

χ

2分布來定義.其中伽瑪函數(shù)通過積分設隨機變量，則ξ

的密度函數(shù)為2定理2.2.1(χ

2分布的密度函數(shù))

的聯(lián)合密度函數(shù)為的分布函數(shù)為當x>0時，證明：作球坐標變換

令令當x>0時，當x≤0時，因此，ξ

的密度函數(shù)為特別，當n=2時，其密度函數(shù)為是數(shù)學期望為2的指數(shù)分布.下圖畫出了n=1,4,10,20幾種不同自由度的χ2分布的密度函數(shù)的圖形.說明1.χ2(n)的密度函數(shù)的支撐集(使密度函數(shù)為正的自變量的集合)是(0,+∞)；

2.當自由度n

越大，χ2(n)的密度函數(shù)的曲線越趨于對稱，且

根據(jù)中心極限定理趨于正態(tài)分布；3.當自由度n

越小，χ2(n)的密度函數(shù)的曲線越不對稱.性質(zhì)1:

設

，則

3χ2分布的性質(zhì)E(ξ)=n,D(ξ)=2n.(2)ξ

的數(shù)學期望和方差分別為(1)ξ

的特征函數(shù)為證明：(1)由特征函數(shù)定義，得其中

X1，X2，…，Xn獨立同分布，且X1~N(0,1)，則(2)法一：定義法法二：特征函數(shù)法由于因此χ2分布的可加性(再生性)證明：由χ2分布的定義知：其中，Ui~N(0,1),i=1,2,…,n1，且相互獨立Vj~N(0,1)

,

j=1,2

,…,n2，且相互獨立又由于X1,X2相互獨立，得Ui

與Vj獨立同分布，均服從N(0,1)因此性質(zhì)2(可加性)：設且X1與X2相互獨立，則法一：定義法法二：特征函數(shù)法由性質(zhì)1，得X1，X2的特征函數(shù)分別為因為，X1,X2相互獨立，因此，X1＋X2的特征函數(shù)是由特征函數(shù)和分布函數(shù)相互唯一確定，得X1＋X2也服從卡方分布，自由度為n1+n2推廣例2.2.1設總體X~N(0,1),X1,X2,…,X6為來自總體X的樣本,記X1+X2

+X3~N(0,3),X4+X5

+X6~N(0,3)

由于X1,X2,…,X6獨立同分布，且都服從N(0,1)，因此因此c=1/3.解：試確定常數(shù)c，使cY

服從χ2分布.相互獨立其中α>0為形狀參數(shù),λ>0為尺度參數(shù)，則稱X服從參數(shù)為(α,λ)的伽瑪(Gamma)分布，記作X~

Ga(α,λ).伽瑪(Gamma)分布Ga(α

,λ)如果

X的密度函數(shù)是是數(shù)學期望為1/λ的指數(shù)分布.1.當α=1時，Ga(1,λ)

的密度函數(shù)為說明2.如果α=n/2，λ=1/2，其中n為自然數(shù)，則有是自由度n的χ2分布.記做T～t(n).其分布稱為自由度為n的t分布.t分布又稱學生氏(student)分布.為自由度為n的t變量.2.2.2

t分布1定義2.2.2(t分布)設隨機變量X～N(0,1),Y～χ2(n)，且X與Y相互獨立，則稱隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為2定理2.2.2設隨機變量T~t

(n)，則T的密度函數(shù)為證明：則令該變換的雅可比行列式為因此，(T,U)的聯(lián)合密度函數(shù)為T的密度函數(shù)為：下圖畫出了n=2,5兩種不同自由度的t分布的密度函數(shù)的圖形.3t分布的性質(zhì)性質(zhì)1：

t分布的密度函數(shù)關于y軸對稱，且性質(zhì)2：

t分布的密度函數(shù)曲線形狀是中間高，兩邊低，左右對稱，與標準正態(tài)分布的密度函數(shù)圖像類似，且

t(2)與N(0,1)的密度函數(shù)曲線的對比對于較小的n，t分布與N(0,1)分布相差很大.

t

分布與標準正態(tài)分布的一個重要區(qū)別是:在尾部t分布比標準正態(tài)分布有更大的概率.

t(20)與N(0,1)的密度函數(shù)曲線的對比當n充分大時，t

分布近似N(0,1)分布.特別地設T~t(n)

數(shù)學期望為:當n>1時，

E(T)=0方差為:當n>2時

，D(T)=n/(n-2)性質(zhì)3：證明：因此性質(zhì)4：當n=1時，其密度函數(shù)為此時，t分布就是柯西分布，其數(shù)學期望不存在.例2.2.2設總體X與總體Y相互獨立，且X~N(0,16),Y~N(0,9),X1,X2,…,X9

與

Y1,Y2,…,Y16

分別是來自總體X與總體

Y的樣本，

求統(tǒng)計量所服從的分布.解：X1+X2

+…+X9~N(0,144)

且上述兩個隨機變量相互獨立，因此且上述兩個隨機變量相互獨立，因此根據(jù)t分布的定義得到其所服從的分布稱為F分布，記做為自由度為m和n的F變量.2.2.3

F分布1定義2.2.3(F分布)設隨機變量，且X與Y相互獨立，則稱隨機變量其中m稱為第一自由度，n稱為第二自由度.2定理2.2.3設隨機變量F~F(m,n)

，則F的密度函數(shù)為證明：(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為令則該變換的雅可比行列式為于是(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)為U的密度函數(shù)為因此F的密度函數(shù)為下圖畫出了幾種不同自由度的F

分布的密度函數(shù)的圖形.思考：峰值與多少接近，為什么？證明：根據(jù)F分布的定義設且X與Y相互獨立，則隨機變量性質(zhì)1：因此3F分布的性質(zhì)設隨機變量F~F(m,n)，則1/F~F(n,m).因為

T~t(n)

因此存在X~N(0,1),Y~χ2(n)，且X與Y相互獨立，使得

性質(zhì)2：證明：由于X2~χ2(1)，且X2與Y相互獨立，使得

特別地性質(zhì)3：設

X~F(m,n),則對r>0，有

練習：隨機變量X和Y都服從標準正態(tài)分布,則(1)X+Y服從正態(tài)分布(2)X2+Y2服從

2分布(3)X2和Y2都服從

2分布(4)X2/Y2服從F分布

三大分布的定義(構造性)及其性質(zhì)1

χ2分布，t分布，F(xiàn)分布奠定了后續(xù)正態(tài)分布統(tǒng)計推斷的基礎2三大分布小結(jié)2.2.4分位數(shù)定義2.2.4(分位數(shù))設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x),對于實數(shù)

，0<

<1，若x

滿足P{X>x

}=

，則稱x

為X的概率分布的上

分位數(shù)(或分位點)，簡稱

分位數(shù).若X的密度函數(shù)為f(x)，則xα滿足

x

上分位數(shù)x

是

的單調(diào)遞減函數(shù).一標準正態(tài)分布

設隨機變量X~N(0,1)，給定實數(shù)

(0<

<1),若u

滿足P{X>u

}=

，則稱

u

為標準正態(tài)分布N(0,1)的上

分位數(shù)(分位點).Φ(u

)=P{X≤u

}=1?P{X>u

}=1?

u

1?

性質(zhì)1：Φ(u

)=1?

證明：性質(zhì)2：u1?

=

?u

得?X~N(0,1)

P{X>?u

}=P{?X<u

}=1?P{?X≥u

}

=1?

P{X>u1?

}=1?

因此

u1?

=

?u

u

u1?

常用數(shù)字u0.05=

1.645u0.025=1.96證明：由

X~N(0,1)

-u

例2.2.3設隨機變量X~N(0,1)，求常數(shù)c,使其滿足P{|X|>c}=.解：由X~N(0,1)

c

=u

/2得

α=

P{|X|>c}=

P{X>c}+P{X<?c}=2P{X>c}因此P{X>c}=

/2即P{|X|>u

/2}=

，

P{|X|≤u

/2}=

1-

u

/2/2-u

/2/2區(qū)間估計假設檢驗二t分布設隨機變量X~t(n)，給定實數(shù)

(0<

<1)

，若t

(n)滿足P{X>t

(n)}=

，則稱t

(n)為自由度為n的t分布的上

分位數(shù)(分位點).性質(zhì)2：當n較大(n>45)時,t

(n)≈u

性質(zhì)1：t1?

(n)=?t

(n)t

(n)

t1?

(n)

例2.2.4求

t0.025(200).解：根據(jù)u0.025=1.96

及

t

(n)≈u

得到

t0.025(200)≈u0.025=1.96

.t

/2

(n)

/2

/2-t

/2

(n)f(x)例2.2.5設隨機變量X~t(n)，求常數(shù)c,使其滿足P{|X|>c}=.解：由X~t(n)

得

α=

P{|X|>c}=

P{X>c}+P{X<?c}=2P{X>c}因此P{X>c}=

/2即P{|X|>t

/2(n)}=

，

P{|X|≤t

/2(n)}=

1-

區(qū)間估計假設檢驗三

2分布：設隨機變量X~

χ2(n)

，給定實數(shù)

(0<

<1)，若χ2α(n)滿足P{X>χ2α(n)}=

，則