函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的新定義綜合-2025年高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第01講函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的新定義綜合

（20類核心考點(diǎn)精講精練）

12.考情探究?

新定義”主要是指新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種。

在新高考數(shù)學(xué)科目的考察中，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分的新定義占據(jù)了舉足輕重的地位，該部分內(nèi)容主要檢驗(yàn)

學(xué)生對(duì)函數(shù)的基本概念、核心性質(zhì)及運(yùn)算技巧的掌握程度，同時(shí)也涵蓋了對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解、計(jì)算能力的

展現(xiàn)以及其在多種場(chǎng)景下的應(yīng)用。試題設(shè)計(jì)往往緊密貼合現(xiàn)實(shí)生活或科學(xué)情境，旨在評(píng)估學(xué)生運(yùn)用函數(shù)與

導(dǎo)數(shù)知識(shí)體系解決實(shí)際復(fù)雜問(wèn)題的能力。

新定義題型的特點(diǎn)是：通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)

題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移,

達(dá)到靈活解題的目的：遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義

的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決.

對(duì)于新定義的題目，一定要耐心理解定義，新的定義不但考查的是舊的知識(shí)點(diǎn)的延伸，更考查對(duì)于新

知識(shí)的獲取理解能力，抓住關(guān)鍵點(diǎn)。對(duì)于以函數(shù)為背景的新定義問(wèn)題的求解策略要緊扣新定義和用好函數(shù)

的性質(zhì)，分析新定義的特點(diǎn)，把心定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過(guò)程中；同時(shí)時(shí)要

善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的函數(shù)的性質(zhì)的一些因素

（1）可通過(guò)舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；

（2）可用自己的語(yǔ)言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說(shuō)明對(duì)此信息理解的較為透徹;

（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；

（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以

使用書上的概念.

為此，考生需對(duì)基礎(chǔ)函數(shù)的各種屬性、圖象特征、運(yùn)算規(guī)律有深入透徹的理解，并熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基

本定義、其蘊(yùn)含的幾何與物理意義以及多樣化的計(jì)算方法。進(jìn)一步地，針對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中

的典型應(yīng)用，如求解最優(yōu)化問(wèn)題、分析變化率趨勢(shì)、確定曲線在某點(diǎn)的切線方程等，考生應(yīng)具備扎實(shí)的分

析思路和有效的解決策略。

綜上所述，備考過(guò)程中，考生應(yīng)高度重視基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固與深化，同時(shí)加強(qiáng)針對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解題訓(xùn)練,

以提升自身的綜合應(yīng)用能力。

12?考點(diǎn)梳理?

1

考點(diǎn)1高斯取整函數(shù)

考點(diǎn)2二階行列式

考點(diǎn)3狄利克雷函數(shù)

考點(diǎn)4cgnx函數(shù)

考點(diǎn)5最大值最小值函敷

考點(diǎn)6歐拉函數(shù)

考點(diǎn)7黎曼函數(shù)

考點(diǎn)8曲率

考點(diǎn)9極值點(diǎn)與拐點(diǎn)

考點(diǎn)10洛必達(dá)法則

考點(diǎn)11不動(dòng)點(diǎn)與，合穩(wěn)定點(diǎn)

考點(diǎn)12可移例數(shù)點(diǎn)

考點(diǎn)13泰勒展開(kāi)

考點(diǎn)14麥克勞林展開(kāi)

考點(diǎn)15拉格朗日中值定理

考點(diǎn)16帕德近似

考點(diǎn)17萊布尼茨

考點(diǎn)18函數(shù)凹凸性

考點(diǎn)19切線問(wèn)題

考點(diǎn)20類型函數(shù)

考點(diǎn)一、高斯取整函數(shù)

典例引領(lǐng)

1.(2024?山東青島?三模)定義[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù).例如：==-2,則()

A.[x]+3=[x+y]B.VweZ,[x+n]=\x\+n

C./(x)=x-[x]是偶函數(shù)D./(x)=x-[x]是增函數(shù)

【答案】B

【分析】A選項(xiàng)，取特殊值，判斷出A選項(xiàng)的真假；B選項(xiàng)，設(shè)了=次+〃]表示不超過(guò)x+〃的最大整數(shù)，可

得歹與X,"的關(guān)系，可得[尤]+〃=>,判斷出B選項(xiàng)的真假；C選項(xiàng)，取特殊值，利用偶函數(shù)定義驗(yàn)證，判斷

出C的真假；D中，取特殊值，判斷出函數(shù)不是增函數(shù)，判斷出D的真假.

2

【詳解】A選項(xiàng)，取x=l.l,y=1.9,則[x]+3=l+l=2,[x+y]=3,顯然印+aR[x+y],所以A不正

確；

B選項(xiàng)，設(shè)夕=[x+〃]表示不超過(guò)x+〃的最大整數(shù)，所以y<x+〃，

所以y-"Wx,所以[幻“-〃，所以[無(wú)]+〃“，即[x+〃]4y,

所以[x+〃]=y,所以口+附]=印+",故B正確；

C選項(xiàng)，/(x)=x-[x],因?yàn)椤?.1)=0.1-0=0.1〃一0.1)=-0.1-(一1)=0.9,

所以/(0.1)2/(-0.1),所以“X)不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)〃0.1)=0.1/(1.1)=0.1,所以〃0.1)=/(1.1),所以“X)不是增函數(shù),故D錯(cuò)誤.

故選：B.

2.(2024?河南新鄉(xiāng)?二模)函數(shù)/(力=[司被稱為取整函數(shù)，也稱高斯函數(shù)，其中國(guó)表示不大于實(shí)數(shù)X的最

大整數(shù).若V加e(O,+s),滿足[行+卜卜之堂，則尤的取值范圍是()

m

A.[-1,2]B.(-1,2)C.[-2,2)D.(-2,2]

【答案】C

【分析】根據(jù)基本不等式求解最值，即可根據(jù)一元二次不等式求解-2W[x]41,即可根據(jù)取整函數(shù)的定義求

解.

【詳解】Vme(0,+a))Z^=OT+l>2,當(dāng)且僅當(dāng)加=1時(shí)取等號(hào)，

mm

由[尤|2+國(guó)V可得[x]2+[小2n(卜]+2)(卜卜1)v0,

m

所以-2W[x]41,故-2Vx<2,

故選：C

3.(2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有"數(shù)學(xué)王子"的稱號(hào)，用

其名字命名的“高斯函數(shù)"定義為：對(duì)于任意實(shí)數(shù)X,記區(qū)表示不超過(guò)X的最大整數(shù)，則'=卜]稱為"高斯函

數(shù)”.例如：>=[-3.5]=-4,y=[2.1]=2.

⑴設(shè)/(x)=[x]+x+J-[2x],xeR,求證：：是/'(x)的一個(gè)周期，且〃x)=0恒成立；

⑵已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=3+上+―~^+…+丁/("N*),設(shè)

nn+1n+2n+2nx'

e

a=J，+—+7(?N*).

\_an2J

2

①求證：n<—<n+l;

an

②求，+;+—的值.

_"1"202024_

3

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；

⑵①證明見(jiàn)解析；②88.

【分析】⑴根據(jù)新定義的理解，計(jì)算可得(x+￡|=/(x),結(jié)合當(dāng)xe時(shí)/(x)=0即可求解；

(2)①：記.=3+±+；+…+「「貝利用放縮法可證得

nn+1n+2n+n-ln+1n

ii222

----7<an2<~f進(jìn)而----?！?+?！?<—，即可證明；②：由①知一二"，由(1)可得b=G,則

w+1nn+\n

4n+i-y/n<—^-T=<Jn-y/n-1,令S=1+3+…+J—,結(jié)合裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得88<S<89,即可求解.

2AMAb262024

【詳解】(1)+*+；+卜+1]-[2x+l]=x+1+[x]+l-[2x]-l=：/(x).

故是〃x)的一個(gè)周期.

當(dāng)工￡0,；1時(shí)<X+^-G[0,1),2xe[0,l),故/(x)=0+0—0=0.

由于周期為:，故對(duì)任意XER,都有/(%)=0.

/、1111

(2)(T)記Q〃i=-rH—5-----1—:-------1-----1—；----------.

J"1n*12n2+ln2+2n2+n-l

111

aa

%2=--+--------7+???+2、，則n=+nl-

n+nn+n+\n+2n

1〃111

?.----—-----=--------1---n-------'-----1---；-----

?n+1n+n“+川n+十n+.

1111

H---;-----+…+--------

1+2n+?-1

111n1

…+m，<1.

n

11

,.----------------------------------------1----------------\~|----------------

巾〃+]n2+2w+102+2/+1/+21+1/+2/+[

〃個(gè)

111

<Cl2-—；------1n------------112-------

nn+nn+n+\n+2n

111n+\11

----------1-----------P???H--------------------——.1

n2+n+〃n2+nn2+nn???7<ani<

v----------------v----------------'n+1

2

?〃anl+an2<一，/.n<——<n+\

?^+1,“n

22

②由①知"<一<〃+l,貝I]—=〃.

4

由(1)知：對(duì)任意XER,都有[X]+X+'2=I2、】，

i］「iiir2

Aoiii

令S=]+/+…+—，

。2。2024

c

,.?一>亞—1+6-行+…+J2025-,2024=J2025—1=44；

2

C111OQ

—<—+亞—&+省—后+…+J2024—J2023=—+-2024—1<—+」2025—1二—.

22222

?..F1111QQ

:88<S<89,/.■—+?—H----H——=88.

_。1”202024_

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

學(xué)生在理解相關(guān)新概念、新法則(公式)之后，運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)，結(jié)合已掌握的技能，通過(guò)推理、運(yùn)算等解決

問(wèn)題.在新環(huán)境下研究''舊〃性質(zhì).主要是將新性質(zhì)應(yīng)用在''舊〃性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì)，落腳點(diǎn)仍然

是數(shù)列求通項(xiàng)或求和.

即時(shí)檢測(cè)

■____________

「13國(guó)_1

1.(2024?全國(guó)?一模)數(shù)學(xué)上,常用[可表示不大于x的最大整數(shù).已知函數(shù)了=1Ht，則下列正確的是().

剩_1剩_1

A.函數(shù)y=在定義域上是奇函數(shù)B.函數(shù)>的零點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)

3W+1-3W+1

2國(guó)_1&[司_i

C.函數(shù)了=好1在定義域上的值域是(-1,1)D.不等式丫=；040解集是(-8,0]

【答案】B

o[x]_1

【分析】設(shè)/(%)=茜彳，A選項(xiàng)，注意到/(1.5)力-/(-1.5),可判斷選項(xiàng)正誤；B選項(xiàng)，等價(jià)于判斷方程

3㈤一1=0根的個(gè)數(shù)；

1QM_1

C選項(xiàng)，通過(guò)分析方程上=:1根的存在性可判斷選項(xiàng)正誤；D選項(xiàng)，等價(jià)于解不等式3國(guó)-1?0.

33兇+1—

鼻國(guó)_1Q_11&-2_1A

【詳解】設(shè)/=A選項(xiàng)，/(1.5)=1-4=4，/(-1,5)=^-^=--,

'、'3㈤+13+127v'3-2+15

因則/'(無(wú))不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

「1乖]_1

B選項(xiàng)，令〃％)=0=33=ln[x]=0nxe[0,l),即函數(shù)>=加一^的零點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，故B正確；

5

C選項(xiàng)，若/(x)=2,則心l=Ln3國(guó)=2,

')33W+13

但3㈤e/=｛x|x=3'，，eZ｝,則2e/,即函數(shù)y=1Hm在定義域上的值域不是(—1,1),故C錯(cuò)誤.

D選項(xiàng)，V0n3“V1=>[x]W0nxe(-8,1),故D錯(cuò)誤.

故選：B

2.(2024?河南開(kāi)封?二模)(多選)高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一.用其名字命名的高斯

取整函數(shù)為7'3=3,團(tuán)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[-3.5]=-4,[2『=2.下列命題中正確的有()

A.BxeR,/(%)=xT

B.VxeR,〃eZ,/(%+?)=/(X)+M

C.V尤,y>0,/(lgx)+/(lgj；)=/(1g(xy))

D.3?eN-,/(lgl)+/(lg2)+/(lg3)+--+/^gn)=92

【答案】BD

【分析】根據(jù)給定的定義，結(jié)合存在量詞命題、全稱量詞命題的真假判斷方法逐項(xiàng)分析即得.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)xeZ時(shí)，f(x)=x,當(dāng)尤eZ時(shí)，/(x)eZ,而x-1eZ,

因此/(X)HXT,A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,VxGR,nGZ,令/(%)=加，則加Wx〈冽+1,m+n<x+n<m+n+\,

因止匕/(%+〃)=加+〃=/(%)+〃，B正確；

對(duì)于C,取x=；,y=2,0<lg2<l,貝1]/(坨5=-1,/(映2)=0,/(lg(1x2))=/(0)=0,

顯然/(炫；)+〃電2)3/(聯(lián)42)),C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,〃cN*,當(dāng)時(shí)，f(1g?)=0,當(dāng)10V〃V99時(shí)，/(Ign)=1,而/'(IglOO)=2,

因此/(lg1)+/(lg2)+/(lg3)+-+/(lg99)+/(lg100)=92,此時(shí)〃=100,D正確.

故選：BD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷全稱量詞命題為真、存在量詞命題為假必須推理論證；判斷全稱量詞命題為假、

存在量詞命題為真只需舉例說(shuō)明.

3.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))(多選)函數(shù)>=國(guó)是取整函數(shù)，也被稱為高斯函數(shù)，其中[可表示不超過(guò)X的最

大整數(shù)，例如：[3.9]=3,卜2』=-3.若在函數(shù)/(x)的定義域內(nèi)，均滿足在區(qū)間&,%+J上，是

一個(gè)常數(shù)，則稱也｝為“X)的取整數(shù)列，稱｛叫為“X)的區(qū)間數(shù)列.下列說(shuō)法正確的是()

A./(x)=log?尤(x21)的區(qū)間數(shù)列的通項(xiàng)a?=2"

B./(尤)=log2x(x>1)的取整數(shù)列的通項(xiàng)bn=n-l

C.7?(力=1082(33力(21)的取整數(shù)列的通項(xiàng)“2"+5

D.若〃x)=log2x(l4x<2"),則數(shù)列(q用一為)｝的前〃項(xiàng)和S“=(〃-2)2"+2

6

【答案】BD

【分析】由在[2"i,2")上，得到%=2"'可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)6“=卜⑴]=〃-1,可判定B正確；結(jié)合

[/(%)]=[log2(33x)]=[log2^+log233]>[log2x]+[log233],可判定c錯(cuò)誤；得到，(。用-%)=(〃-l)2"T,

利用乘公比錯(cuò)位相減法求和，可判定D正確.

【詳解】對(duì)于A中，因?yàn)樵赱1,2)上，0<log2x<1,[log2x]=0,所以g=1,電=2；

在[2,4)上,l<log2x<2,[log2x]=l,所以出=2,%=4,

在[2"T,2")上，?-l<log2x<?,[log2x]=?-l,所以%=2"，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B中，由選項(xiàng)A知，bn=[/(x)]=[log2x]=n-l,所以B正確.

對(duì)于C中，因?yàn)閇/(x)]=[log2(33切=[log2X+log233]邛og2x]+[log233]=[log2x]+5,

所以”2"+4,所以c錯(cuò)誤；

對(duì)于D中，由選項(xiàng)A知,可得6"(%+「％)=("-D(2"-2"T)=R_

貝IK=0+lx2i+2x22+3x23+.-+("-l)x2"T,

=0+lx22+2x23+3x24+??-+(?-2)x2,,-'+(w-1)2",

兩式相減S“=_(2i+22+...+2"T)+(〃_l)2"=_^^+(bl)2"=2-2"+(〃-l)2"=2+("-2)2",所以

D正確.

故選：BD.

考點(diǎn)二、二階行列式

典例引領(lǐng)

abxx—a

1.（2024?福建寧德?模擬預(yù)測(cè)）定義=ad-bc若關(guān)于X的不等式c>2在R上恒成立，則實(shí)數(shù)

ca2x

。的取值范圍為（）

3D.2

A.B.C.—,+oo

2

【答案】C

abxx—a

【詳解】由,=ad-bc可得2x>2等價(jià)于/-2(x_)>2,即2“>*+2x+2,

ca

3

因?yàn)椤?2+2x+2=—（x—I）?+3W3,所以24>3,所以Q>萬(wàn),

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為

故選：C.

7

即時(shí)檢測(cè)

I____________________

abab“、

1.(2023?河南?三模)我們稱,為"二階行列式"，規(guī)定其運(yùn)算為=ad-bc.已知函數(shù)/x的定義

caca

/\xf(y)

域?yàn)?-叫o)U(o,+s),且/x#0,若對(duì)定義域內(nèi)的任意x，y都有［：=0,則()

yf(x)

A./(1)=1B./(x)是偶函數(shù)C.7(x)是周期函數(shù)D.7(x)沒(méi)有極值點(diǎn)

【答案】D

【分析】經(jīng)行列式運(yùn)算后，得到關(guān)系式必'(x)-0(y)=O,將N替換為1代入，進(jìn)而得到函數(shù)/(X)的解析式,

逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】由于ab，=泅一歷，貝|xf［(y)：=0,

cdyf(x)

即為：3(“一.1/3)=0(*),

將》替換為1代入(*)式，得獷(力-/(1)=0,且xe(-*0)。(0,+<?),

得：〃x)=—,

對(duì)于A,取/(x)=--,顯然滿足(*)式，止匕時(shí)=故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,/(x)定義域?yàn)?-*0)U(0,+⑹，

則/(f)=幽=一幽=一〃村成立，

-XX

所以/(無(wú))是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,假設(shè)非零常數(shù)T為函數(shù)/(x)的周期，即/(x+T)=〃x),

則〃x+7)=粵=皿=〃尤)，其中/⑴二0,

即得x+T=x,7=0,這與假設(shè)T為非零常數(shù)矛盾，

所以/(無(wú))不是周期函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由于/(x)=—,則/“)=-除，顯然/'(x)=0沒(méi)有實(shí)數(shù)解,

所以/(x)沒(méi)有極值點(diǎn)，故D正確；

故選：D.

bab

2.(22-23高一下?江西萍鄉(xiāng)?期中)把符號(hào)/稱為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為=ad-bc已

aca

/、cos0l-2sin^|

知函數(shù)〃。)=.

cos。|

8

(1)若2=g,6eR,求/(。)的值域；

x2-1

(2)函數(shù)g(x)=1,若對(duì)VJeR,都有g(shù)(x)-l2”6)恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

17TI

_'3'

【答案】⑴-3,--

(2)-1<2<1

【分析】(1)根據(jù)新定義運(yùn)算、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二次函數(shù)的性質(zhì)求得/(e)的值域.

(2)先求得g(x)的最小值，由此轉(zhuǎn)化不等式g(x)-12/(0),利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確

答案.

【詳解】(1)/(6?)=cos2^+22sin6i-2,%

則/(夕)=1一sin20+sin0—2=—sin20+sin0-\,

>=一/+苫-1的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x=；,

_3

因?yàn)閟in?！闧一1,1],所以/（。）=一siYe+sine—le-3,

4

⑵g（上告+1=2-￡,

VXG[-1,1],.-.X2G[0,1],令yf+i,貝/￡[1,2],

函數(shù)g(x)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2」，

函數(shù)歹=1+2在作［1,2］上單調(diào)遞增，故當(dāng);1時(shí)，幾畝=1，

即函數(shù)g(x)的最小值為1,

2

由題知，（g（x）T）1m"⑹，即〃。）=COS8+24sin8-2W0對(duì)于\/夕￡R恒成立,

即5也2。一2人由6+120對(duì)于\/。€口恒成立,

令〃=sin9,貝!］記力(")="2-2%"+1,ue［-1,1］,故只要〃(“心”20,

①當(dāng)4V-1時(shí)，A(M)m,n=A(-l)=2+2A>0,解得彳2-1,.?<=-1,

2

②當(dāng)一1<彳<1時(shí)，/；(w)min=7!(2)=1-2>0,解得一14X41,.-.-1<2<1,

③當(dāng)時(shí)，/!(M)min=A(l)=2-2A>0,解得2W1,...2=1.

綜合①②③得，T4X41.

【點(diǎn)睛】二次函數(shù)在閉區(qū)間上取得最值時(shí)的X,只能是其圖像的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)或給定區(qū)間的端點(diǎn).因此，影

響二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三個(gè)因素:拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸以及給定區(qū)間的位置.在這三大

因素中，最容易確定的是拋物線的開(kāi)口方向(與二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)有關(guān))，而關(guān)于對(duì)稱軸與給定區(qū)間的位置

關(guān)系的討論是解決二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題的關(guān)鍵.

9

考點(diǎn)三、狄利克雷函數(shù)

典例引領(lǐng)

1.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷(Dirichlet)是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，下列關(guān)于狄利克雷

X為有理數(shù)

函數(shù)。(x)=：器的結(jié)論正確的是()

為無(wú)理數(shù)

A.D(￡>(x))有零點(diǎn)B.。(無(wú))是單調(diào)函數(shù)

C.￡>(x)是奇函數(shù)D.。⑴是周期函數(shù)

【答案】D

【詳解】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的性質(zhì)即可由。。)=0或。(x)=l均為有理數(shù)求解A,根據(jù)

。⑴=〃2)=1,￡)(&)=0即可判斷單調(diào)性求解B,根據(jù)x和一尤同為有理數(shù)或同為無(wú)理數(shù)，即可求解C,根據(jù)

x和x+T同為有理數(shù)或同為無(wú)理數(shù)即可求解D.

【分析】對(duì)于A,因?yàn)椤?x)=0或。(x)=l均為有理數(shù)，

所以。(D(x))=l>0,故以。⑴)沒(méi)有零點(diǎn),A錯(cuò)誤,

對(duì)于B,因?yàn)椤?1)=。⑵=1,。(收)=0,所以次2)=。⑴>￡)(血)，

故D(x)不是單調(diào)函數(shù)，B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,因?yàn)閤和f同為有理數(shù)或同為無(wú)理數(shù)，所以。(-x)=O(x),

故。(x)是偶函數(shù)，C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,設(shè)7為任意非零有理數(shù)，則x和x+T同為有理數(shù)或同為無(wú)理數(shù)，

所以。(x+T)=O(x),故。(x)是周期函數(shù)(以任意非零有理數(shù)為周期)，D正確，

故選：D.

2.(23-24高三上?廣東惠州?階段練習(xí))(多選)狄利克雷函數(shù)是由著名德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷創(chuàng)造的，它是定

義在實(shí)數(shù)上、值域不連續(xù)的函數(shù)，它在數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程中有很重大的研究意義，例如對(duì)研究微積分就有很

重要的作用，其函數(shù)表達(dá)式為。X=:(其中0為有理數(shù)集，Qc為無(wú)理數(shù)集)，則關(guān)于狄利克雷函

〔0”0c

數(shù)說(shuō)法正確的是()

A.。(。偌))=1B.它是偶函數(shù)

C.它是周期函數(shù)，但不存在最小正周期D.它的值域?yàn)閇05

【答案】ABC

【分析】根據(jù)題意，由狄利克雷函數(shù)的性質(zhì)，逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椤?e)=0,則。(D(e))=O(0)=l,故A正確；

若xeQ,貝！J-xeQ,貝I]￡?(x)=。(-x)=1；若xwQ。，則-xe。。，貝I]Z>(x)==0,所以。(x)為偶函

數(shù)，故B正確;

10

設(shè)任意北eO/eQc，則D（/尤+幻\=I；1,XG；Q=0/（x\）,

[U,X￡\JQ

當(dāng)xeQ時(shí)，則Z＞（x+Tj=O,當(dāng)xe0c時(shí)，。（》+72）=0或1,

則。（x+G）HD（x）,即任意非零有理數(shù)均是。（x）的周期，任何無(wú)理數(shù)都不是。（力的周期，故C正確;

函數(shù)。⑺的值域?yàn)樗?｝,故D錯(cuò)誤；

故選：ABC

■即_時(shí)__檢__測(cè)___

1.（2024?廣東惠州?三模）（多選）德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet,1805-1859）,是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一.他

fl尤是有理數(shù)

提出了著名的狄利克雷函數(shù)：。（工）=；曰「工用帖，以下對(duì)。（x）的說(shuō)法正確的是（）

|0,x是無(wú)理數(shù)

A.D（D（x））=l

B.。⑺的值域?yàn)椋?,1｝

C.存在x是無(wú)理數(shù)，使得。（x+l）=D（x）+l

D.VxeR,總有。卜+1）=。（-1）

【答案】ABD

【分析】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的定義判斷選項(xiàng)A、B、C；分別對(duì)x是無(wú)理數(shù)和有理數(shù)進(jìn)行分類討論可判斷選項(xiàng)

D.

fl、是有理數(shù)

【詳解】由。（x）=jo,x是無(wú)理數(shù)，可得。⑺的值域?yàn)椋?1｝，

所以。（。（幻）=1,故選項(xiàng)A、B正確；

因?yàn)楫?dāng)尤是無(wú)理數(shù)時(shí)，。（無(wú)）=0且x+1是無(wú)理數(shù)，

所以。（x+l）=0,

所以。（x+l）wZ）（x）+l,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

當(dāng)x是無(wú)理數(shù)時(shí)，x+1,-》一1均為無(wú)理數(shù)，此時(shí)有。卜+1）=。（一工一1）=0,

當(dāng)x是有理數(shù)時(shí)，x+l,-x-l均為有理數(shù)，止匕時(shí)有。（x+l）=。（-x-l）=l

所以VxeR,總有。（x+l）=D（-x-l）,故選項(xiàng)D正確.

故選：ABD

2.（2024?重慶?一模）（多選）德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)

1,XGQ

了（“）0,xe%Q被稱為狄利克雷函數(shù)，其中R為實(shí)數(shù)集，Q為有理數(shù)集，則以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)“X）

的結(jié)論中，正確的是（）

11

A.函數(shù)/(x)為偶函數(shù)

B.函數(shù)/(x)的值域是[0,1]

C.對(duì)于任意的xeR,都有/(/(%))=1

D.在/'(x)圖象上不存在不同的三個(gè)點(diǎn)A,B,C,使得V/2C為等邊三角形

E.在/(只圖象存在不同的三個(gè)點(diǎn)4SC,使得V/3C為等邊三角形

【答案】ACE

【分析】選項(xiàng)A中注意“若xeQ,則-xeQ；則-xe4Q"即可；選項(xiàng)B中注意{0,1}N[0』；選

項(xiàng)C中，內(nèi)層函數(shù)f(x)=l或0,函數(shù)值都是有理數(shù)；選項(xiàng)DE取特殊情況判斷即可.

1,XGQ

【詳解】由于〃X)=nAc，對(duì)于選項(xiàng)A,設(shè)任意xeQ,則-xeQ,/(-x)=l=/(x)；設(shè)任意尤e^Q,

則-xe為Q,/(-x)=0=/(x)

總之，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,f(-x)=/(久)恒成立，A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,7(尤)的值域?yàn)閧0,1},{0,1}*[0,1],B錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)C當(dāng)xeQ,則/(0印,/(/(%))=/(1)=1：當(dāng)xe率Q,則,/(x)=O/(/(x))=/(O)=l,C

正確；

對(duì)于選項(xiàng)DE,取“(0,1),C-，,0得到V/BC為等邊三角形，D錯(cuò)誤E正確.

故選：ACE.

考點(diǎn)四、sznx函數(shù)

典例引領(lǐng)

l,x>0

1.(2024?山東臨沂?一模)已知函數(shù)sgn(x)=<0,x=0,貝!!“sgn(e*-l)+sgn(-尤+1)=0"是"x>1"的()

-l,x<0

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】理解函數(shù)sgn(x)的性質(zhì)，舉反例說(shuō)明充分性不成立，再利用指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明必要性

成立，從而得解.

l,x>0

【詳解】因?yàn)閟gn(x)=<0,x=0,

—1,x<0

12

當(dāng)sgn(e*_l)+sgn(_x+l)=0時(shí)，取x=-g,則e*_]<0,_尤+]>0,

此時(shí)sgn(e=l)+sgn(f+l)=T+l=O,則x>l不成立，即充分性不成立；

當(dāng)x>l時(shí)，-x+l<0,所以sgn(e*-l)+sgn(-x+l)=l-l=O,即必要性成立,

所以"sgn(e*-1)+$811(-五+1)=0"是晨>1"的必要不充分條件.

故選：B.

即時(shí)檢測(cè)

■一

1.（2024?北京?模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)上的符號(hào)函數(shù)可以返回一個(gè)整型變量，用來(lái)指出參數(shù)的正負(fù)號(hào)，一般用sgn（x）

—1,x<0

來(lái)表示，其解析式為sgnx=<0,x=0.已知函數(shù)f（x）=2sinx-sgn（cosx）,給出下列結(jié)論：

l,x>0

①函數(shù)/（X）的最小正周期為兀；

②函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為-］+桁,；+加（左eZ）；

③函數(shù)/（x）的對(duì)稱中心為（析,0）（左￡Z）；

④在［-2兀,2兀］上函數(shù)g（x）=力⑺-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【答案】①④

【分析】作出函數(shù)/'（x）的圖象，通過(guò)圖象討論函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱中心和零點(diǎn)等問(wèn)題.

-2sinx,cosx<0

【詳解】函數(shù)/(x)=2sinx-sgn(cosx)=<0,cosx=0,畫出函數(shù)的部分圖象，如圖所示:

2sinx,cosx>0

/(%+兀)=2sin(x+兀)sgn(cos(r+兀)卜一2sinr?sgn(COST)卜2sinx-sgn^osr}/X)，

結(jié)合函數(shù)圖象可知，函數(shù)/（X）的最小正周期為兀，結(jié)論①正確；

由/停+析］=0,4eZ,結(jié)合函數(shù)圖象可知，函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為祈）（左ez）,結(jié)論

②錯(cuò)誤；

結(jié)合函數(shù)圖象可知，函數(shù)/（司的對(duì)稱中心為［g,。］（左eZ）,結(jié)論③錯(cuò)誤；

13

函數(shù)g(x)=獷(x)-1的零點(diǎn),即方程獷'(X)-1=0的根，x=0時(shí)方程不成立,

方程等價(jià)于fG)=

函數(shù)/(無(wú))與函數(shù)y的圖象在［-2兀,2可上有4個(gè)交點(diǎn)，

所以在［-2兀,2可上函數(shù)8(尤)=獷@)-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.結(jié)論④正確.

故答案為：①④

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由符號(hào)函數(shù)的定義，把/(x)表示為分段函數(shù)，作出函數(shù)圖象，函數(shù)解析式結(jié)合圖象,

解決函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱中心和零點(diǎn)等問(wèn)題.

考點(diǎn)五、最大值最小值函數(shù)

典例引領(lǐng)

1.(22-23高三上?階段練習(xí))已知max{a,6,c}表示a,b,c中的最大值，例如max{1,2,3}=3,若函數(shù)

/(x)=max1-x12+4,-x+2,x+3},則/(無(wú))的最小值為()

A.2.5B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)了=-/+4,y=-x+2,y=x+3的圖象，根據(jù)函數(shù)的新定義可

得〃x)的圖象，由圖象即可得最小值.

【詳解】如圖：在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)了=-Y+4,y=-x+2,y=x+3的圖象，

因?yàn)?(x)=max{-x2+4,T+2,x+3},所以f(x)的圖象如圖實(shí)線所示：

y=-x2+4y=—x2+4y/5-1s/S+5

由可得/(-1,3),由可得8，-

y=-x+2(x<0)y=x+3(x>0)22~

由圖知/(x)在(-8,T)上單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，在［。，無(wú)二)上單調(diào)遞減，在［三二,+8)上單

14

調(diào)遞增,

所以當(dāng)x=-l時(shí)，y=-(-l)2+4=3,

當(dāng)X=^■時(shí)，y=^b_l+3=3,

2,22

所以/（X）的最小值為3,

故選：B.

（、\a,a>b（、\b,a>b

2-（2。24?廣東韶關(guān)?二模）定義max,,*a，<6，min{S}=的“對(duì)于任意實(shí)數(shù)x>?！薄?則

A.啦B.V2C.V3D.%

【答案】A

【分析】設(shè)max{2x,3y,*+_}=Af,則3Af22x+@+3y+己嚴(yán)構(gòu)造函數(shù)/(x)=x+?(x>0),利用導(dǎo)數(shù)求出

函數(shù)/（X）的最小值進(jìn)而得3屈23,化簡(jiǎn)即可求解.

23

【詳解】設(shè)max{2x,3y,*+—}=%則〃22x,M±3y,〃N*+今，

得3M2+*+3*於=2'+）3『+（木，

設(shè)/（x）=x+r（x>0）,則/口）=1_彳=^￡,

XXX

令…）<0=0<⑸八%）>0=%>⑸

所以函數(shù)/（幻在（0即）上單調(diào)遞減，在（次,+oc）上單調(diào)遞增，

故/(x)1ml=f雨=亞+,即/(X)-2

得“2x)23,/(31)2,

VV

所以*+春冊(cè)丁6

3M+3y+=/(2x)+/(3y)N9工,

23

得”之l=蚯，即min{max{2x,3>=出".

2y

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是由

3M>2x+-^+3y+-^=2x+I3y+構(gòu)造函數(shù)/(%)=%+(■(%>0),利用導(dǎo)數(shù)求得M2次即為題意所求.

15

即時(shí)校L

L（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)max｛x,y,z｝為x,y,z中最大的數(shù).已知正實(shí)數(shù)應(yīng)6,記M,

則”的最小值為（）

A.1B.72C.2D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)定義可知，M>2b,M>-^,再由基本不等式可得當(dāng)a=[6=1時(shí)，”取得

y/ab4

最小值2.

【詳解】由M=max,8a,26,-^得M>lb,M,

[y/abJ7ab

j4Q+b

所以Af+M2+26,即因?yàn)锳/2匚,所以一尸二；

7ab7ab

由基本不等式可得4a+b>2〃而=,所以一幣=24,

7ab

所以71/224，M>2,

當(dāng)M=—，即。=』,6=1時(shí)，M取得最小值2.

y/ab4

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)定義得出"28°,M>2b,再結(jié)合基本不等式

7ab

求得M22.

2.（2024?湖北?一模）記器奇｛“X）｝，鬻串/（0｝分別表示函數(shù)/（X）在[見(jiàn)”上的最大值和最小值.則

【答案】2

【分析】根據(jù)題意，由卜+〃-2時(shí)=|（?-1）2+加-1|,設(shè)〃為變量，可通過(guò)分類討論求出潞刈機(jī)+〃-2向:,

再求出當(dāng)加4-3,3]時(shí)的最小值；或由|（6-1尸+機(jī)-1|在〃?0,9]時(shí)?的最大值只可能在〃=0或〃=1或〃=9

處取得，結(jié)合圖象可得原式的最小值.

【詳解】由1,+”-2占卜卜6-1）2+根-1],設(shè)〃為變量，

max\\m+n-27n>=max-lj+m-l>,

ne[0,9](II)ne[0,9]

令/=|(五一1『+加一”，當(dāng)〃=0時(shí)，，=|加I，當(dāng)〃=]時(shí)，t=|m-l|,當(dāng)〃=9時(shí)，t=\m+3\,

最大值只可能在〃=0或〃=1或胃=9處取得，

16

所以1=|（6-1）2+加-的最大值為max{|〃Ll|M+3]},

所以*ax』加+"—2而]加+3,2

〃巨o,9]（II）[-m+l,