數(shù)學(xué)游戲與數(shù)學(xué)文化課件 -一筆畫

想一想，畫一畫：

對(duì)于下面的圖形，你能一筆畫出來嗎？試試看第一組：

如果一個(gè)圖形可以用筆不離紙且每條線都畫到并不準(zhǔn)重復(fù)，則這個(gè)圖形就叫做一筆畫圖形.一筆畫一、哥尼斯堡七橋問題

故事發(fā)生在18世紀(jì)的東普魯士哥尼斯堡城.流經(jīng)那里的一條河中有兩個(gè)小島，還有七座橋把這兩個(gè)小島與河岸聯(lián)系起來.那里風(fēng)景優(yōu)美，游人眾多.在這美麗的地方，人們議論著一個(gè)有趣的問題：

一個(gè)游人怎樣才能不重復(fù)地一次走遍七座橋，最后又回到出發(fā)點(diǎn)呢？問題提出后，很多人對(duì)此感興趣，紛紛進(jìn)行計(jì)算試驗(yàn)，但在相當(dāng)長的時(shí)間里，始終未能解決。而利用普通數(shù)學(xué)知識(shí)，每座橋均走一次，那這七座橋所有的走法一共有5040種，而這么多情況，要一一試驗(yàn)，這將會(huì)是很大的工作量。因而形成了著名的“哥尼斯堡七橋問題”。

直到1836年，瑞士著名的數(shù)學(xué)家歐拉才解決了這個(gè)問題。當(dāng)時(shí)有人請(qǐng)教了正在俄羅斯的圣彼得堡科學(xué)院任職的歐拉，歐拉親自觀察了哥尼斯堡七橋后，認(rèn)真思考走法。歐拉認(rèn)為：人們關(guān)心的只是一次不重復(fù)地走遍這七座橋，而并不關(guān)心橋的長短和島的大小，因此，島和岸都可以看作一個(gè)點(diǎn)，而橋則可以看成是連接這些點(diǎn)的一條線.這樣，此問題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)幾何圖形能否一筆畫出的問題了.什么叫一筆畫？是否所有的圖都可以一筆畫出呢？所謂圖的一筆畫，指的就是：從圖的一點(diǎn)出發(fā)，筆不離紙，遍歷每條邊恰好一次，即每條邊都只畫一次，不準(zhǔn)重復(fù).

二、圖與一筆畫定理能一筆畫出的圖首先必須是連通圖什么樣的連通圖可以一筆畫出？

1736年，歐拉在圣彼得堡科學(xué)院作了一次學(xué)術(shù)報(bào)告。在報(bào)告中，他給出并證明了哥尼斯堡七橋問題的結(jié)論。后來他又給出了鑒別任一圖形能否一筆畫出的準(zhǔn)則，即歐拉定理。由此開創(chuàng)了數(shù)學(xué)新分支-----圖論，他也成為圖論的奠基人。他解決問題的思想方法，為后來的數(shù)學(xué)新分支——拓?fù)鋵W(xué)的建立也奠定了基礎(chǔ)。

圖論以圖為研究對(duì)象。圖論中的圖指由點(diǎn)和線段（或?。┙M成的圖形。作為一個(gè)圖，其圖形還必須滿足以下條件：（1）每條邊都有兩個(gè)端點(diǎn)（可以重合）作為結(jié)點(diǎn)；（2）各條邊之間互不相交。

圖形中的點(diǎn)叫圖的結(jié)點(diǎn)，線段（或弧）叫做圖的邊。

一個(gè)圖完全由它的結(jié)點(diǎn)和邊的個(gè)數(shù)以及它們相互連結(jié)的情況來確定，而與邊的曲直長短無關(guān)。

在一個(gè)圖G中，若從頂點(diǎn)vi到頂點(diǎn)vj有路徑相連，則稱vi和vj是連通的。如果圖中任意兩點(diǎn)都是連通的（任何兩點(diǎn)間都有線連接），那么圖被稱作連通圖。否則稱為不連通的。圖的連通性是圖的基本性質(zhì)。

圖中與一個(gè)結(jié)點(diǎn)相連結(jié)的邊的條數(shù)稱為這個(gè)結(jié)點(diǎn)的度數(shù)。度數(shù)為偶數(shù)的結(jié)點(diǎn)叫做偶結(jié)點(diǎn)。度數(shù)為奇數(shù)的結(jié)點(diǎn)叫做奇結(jié)點(diǎn)。圖論的基本概念

一個(gè)圖可以一筆畫的充要條件是：這個(gè)圖是連通的，并且奇結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于0或2。歐拉一筆畫定理下列圖形能一筆畫出嗎？七橋問題有解嗎？一筆畫問題進(jìn)一步思考問題思考：（1）如果能一筆畫，什么時(shí)候可回到出發(fā)點(diǎn)，什么時(shí)候又不能？（2）對(duì)不能回到起點(diǎn)的一筆畫，應(yīng)把何處作為起點(diǎn)？何處作為終點(diǎn)？（3）若一個(gè)圖形不能一筆畫，那么至少需要幾筆畫成？試一試：下面的幾個(gè)圖形分別能用幾筆畫成？若能一筆畫能否回到起點(diǎn)？結(jié)論（1）凡是由偶結(jié)點(diǎn)組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時(shí)可以把任一偶結(jié)點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一定能以這個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)畫完此圖。（2）凡是只有兩個(gè)奇結(jié)點(diǎn)的連通圖（其余都為偶結(jié)點(diǎn)），一定可以一筆畫成。畫時(shí)必須把一個(gè)奇結(jié)點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)奇結(jié)點(diǎn)作終點(diǎn)。多筆畫定理與圖論的基本定理多筆畫定理有2n（n＞1）個(gè)奇結(jié)點(diǎn)的連通圖形，可以用n筆畫完，而且至少要n次畫完.握手定理設(shè)G=<V,E>為任意無向圖或有向圖，V={v1,v2,…,vn}，|E|=m，則所有頂點(diǎn)的度數(shù)和為2m。推論任何圖中，奇結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)。三、圖的應(yīng)用（1）例1、

右圖是某展覽館的平面圖.每個(gè)房間都有一扇門通往館外，每相鄰兩個(gè)房間之間各有一扇門相通.參觀者能不能一次無重復(fù)地穿過每一扇門？如不能，關(guān)閉哪一扇門后就能無重復(fù)地穿過每一扇門了？并問出、入口在哪里？練習(xí)下圖是蓬萊仙境區(qū)某處的地貌圖，小河上有15座橋.問能不能設(shè)計(jì)一條路線，一次不重復(fù)地走遍所有的橋？三、圖的應(yīng)用（2）中國郵遞員問題

一名郵遞員每次從郵局出發(fā)送信，要走遍他負(fù)責(zé)投遞的范圍內(nèi)的每條街道，完成任務(wù)后回到郵局。問他按怎樣的路線走，所走的路程最短？——此問題是我國數(shù)學(xué)家管梅谷先生（山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系教授）在1962年首次提出的，因此在國際上稱之為中國郵遞員問題．例2、

圖1、2表示街道圖，圖中A是郵局的位置，問郵遞員應(yīng)如何設(shè)計(jì)他的郵遞路線，才能使他所走的路程最短？

最優(yōu)投遞路線→重復(fù)的路線最短→所添弧線（虛線）的總長度最短

為保證總路程最短，連虛線的原則是：（1）連線（虛線）不能有重疊線段；（2）在每個(gè)圈上，連線長度之和不能超過圈長的一半。最短的一組連線稱為最優(yōu)解。

已知郵遞員要投遞的街道如圖所示，試求最優(yōu)郵路．練習(xí)計(jì)算最優(yōu)郵路方法總結(jié)方法1：找出所有奇結(jié)點(diǎn)，把奇結(jié)點(diǎn)兩兩配對(duì)，在一對(duì)奇結(jié)點(diǎn)之間連一條虛線當(dāng)做增添的重復(fù)邊，奇結(jié)點(diǎn)就變成了偶結(jié)點(diǎn)，原圖變成歐拉圖，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)連線原則1、2，不斷改進(jìn)，得到最優(yōu)。方法2：找出所有奇結(jié)點(diǎn)，在圖上添線段，使奇點(diǎn)變成偶點(diǎn)。得到所有不同的添法，計(jì)算每一種添法對(duì)應(yīng)的總路程，比較得出哪一種添法能使總路程最短，此即最優(yōu)。上面例題所用的求最優(yōu)郵路的方法叫“奇偶點(diǎn)圖上作業(yè)法”．練習(xí)

某郵遞員每天早晨去郵局取郵件，然后走遍他所投遞的街道社區(qū)，最后回家，問他按何路線投遞，可以使他走的路程最短？數(shù)學(xué)家歐拉簡(jiǎn)介

萊昂哈德?歐拉（LeonhardEuler公元1707-1783年）瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家。他被一些數(shù)學(xué)史學(xué)者稱為歷史上最偉大的兩位數(shù)學(xué)家之一（另一位是卡爾?弗里德里克?高斯。）。

歐拉是科學(xué)史上最多產(chǎn)的一位杰出的科學(xué)家，他從19歲開始發(fā)表論文，直到76歲，他一生共寫下了886本書籍和論文，其中在世時(shí)發(fā)表了700多篇論文。其中分析、代數(shù)、數(shù)論占40%，幾何占18%，物理和力學(xué)占28%，天文學(xué)占11%，彈道學(xué)、航海學(xué)、建筑學(xué)等占3%，圣彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。在他雙目失明后的17年間，也沒有停止對(duì)數(shù)學(xué)的研究，口述了好幾本書和400余篇的論文。有許多公式、定理、解法、函數(shù)、方程、常數(shù)等是以歐拉名字命名的。歐拉寫的數(shù)學(xué)教材在當(dāng)時(shí)一直被當(dāng)作標(biāo)準(zhǔn)教程。19世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家高斯曾說過“研究歐拉的著作永遠(yuǎn)是了解數(shù)學(xué)的好方法”。歐拉的貢獻(xiàn)從初等幾何的歐拉線多面體的歐拉定理立體解析幾何的歐拉變換公式四次方程的歐拉解法數(shù)論中的歐拉函數(shù)微分方程的歐拉方程級(jí)數(shù)論的歐拉常數(shù)變分學(xué)的歐拉方程復(fù)變函數(shù)的歐拉公式......歐拉的貢獻(xiàn)幾乎每一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字：歐拉在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)多得不勝枚舉:

"分析學(xué)的化身"。“拓?fù)鋵W(xué)的鼻祖”“圖論的奠基人”歐拉創(chuàng)立了一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支──變分法第一個(gè)使用“函數(shù)”一詞來描述包含各種參數(shù)的表達(dá)式的人;最先把對(duì)數(shù)定義為乘方的逆運(yùn)算；他使三角學(xué)成為一門系統(tǒng)的科學(xué)，首先用比值來給出三角函數(shù)的定義,對(duì)整個(gè)三角學(xué)作了分析性的研究。發(fā)現(xiàn)最優(yōu)美的數(shù)學(xué)公式歐拉的貢獻(xiàn)多面體的歐拉定理

定理：簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E間有關(guān)系

V+F-E=2

這個(gè)公式叫歐拉公式。

V-E+F被稱為歐拉示性數(shù)，成為拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)概念。2302012正二十面體2301220正十二面體21286正八面體21268正六面體2644正四面體V+F-E棱數(shù)E面數(shù)F頂點(diǎn)數(shù)V正多面體

歐拉還是數(shù)學(xué)符號(hào)發(fā)明者，歐拉創(chuàng)設(shè)了許多數(shù)學(xué)符號(hào)，至今沿用。例如π（1736年）e（1748年）i（1777年）sin和cos（1748年）tg（1753年）△x（1755年）Σ（1755年）f(x)（1734年)歐拉的貢獻(xiàn)

歐拉研究了天文學(xué)，并與達(dá)朗貝爾及拉格朗日一起成為天體力學(xué)的創(chuàng)立者。歐拉研究了流體的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，建立了理想流體運(yùn)動(dòng)的基本微分方程，成為流體力學(xué)的創(chuàng)始人。

歐拉把自己所建立的理想流體運(yùn)動(dòng)的基本方程用于人體血液的流動(dòng)，從而在生物學(xué)上添上了他的貢獻(xiàn)，又以流體力學(xué)、潮汐理論為基礎(chǔ)，豐富和發(fā)展了船舶設(shè)計(jì)制造及航海理論。歐拉的貢獻(xiàn)歐拉1707年出生在瑞士的巴塞爾城。13歲進(jìn)巴塞爾大學(xué)讀書，15歲大學(xué)畢業(yè),16歲獲得碩士學(xué)位。19歲時(shí)寫了一篇關(guān)于船桅的論文，獲得巴黎科學(xué)院的獎(jiǎng)金。1727年5月17日歐拉來到了俄國圣彼得堡科學(xué)院從事研究工作。1733年，年僅26歲的歐拉擔(dān)任了圣彼得堡科學(xué)院數(shù)學(xué)教授。1735年，歐拉三天解決了一個(gè)天文學(xué)的難題（計(jì)算慧星軌道）。但這一年過度的工作使他得了眼病，不幸右眼失明。1741年歐拉應(yīng)普魯士彼德烈大帝的邀請(qǐng)，到柏林擔(dān)任科學(xué)院物理數(shù)學(xué)所所長。1766年，在沙皇喀德林二世的誠懇敦聘下重回圣彼得堡。不料沒有多久，左眼視力衰退，最后完全失明。

歐拉的生平1771年圣彼得堡的大火災(zāi)殃及歐拉住宅，帶病而失明的64歲的歐拉被圍困在大火中，雖然他被別人從火海中救了出來，但他的書房和大量研究成果全部化為灰燼了。沉重的打擊，沒有使歐拉倒下，他要把損失奪回來。在他完全失明之前，還能朦朧地看見東西，他抓緊這最后的時(shí)刻，在一塊大黑板上疾書他發(fā)現(xiàn)的公式，然后口述其內(nèi)容，由他的學(xué)生特別是大兒子A·歐拉（數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家）筆錄。歐拉完全失明以后，仍然以驚人的毅力與黑暗搏斗，憑著記憶和心