高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修一）第05講123充分條件必要條件

1.2.3充分條件、必要條件TOC\o"13"\h\u題型1充分條件、必要條件、充要條件的判斷 2◆類型1定義法 3◆類型2集合法 5◆類型3傳遞法 8題型2由充分、必要、充要條件求參數(shù) 10◆類型1與不等式結(jié)合 10◆類型2與一元二次方程結(jié)合 13◆類型3充要條件求參數(shù) 17題型3充要條件的證明 21知識(shí)點(diǎn)一.充分條件與必要條件“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題推出關(guān)系p?qp?q條件關(guān)系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件定理關(guān)系判定定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的充分條件性質(zhì)定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的必要條件一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)__充分_條件．?dāng)?shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)_必要_條件．注意：對(duì)于“p?q”，蘊(yùn)含以下多種解釋：“若p，則q”形式的命題為真命題；（2）由條件p可以得到結(jié)論q；（3）p是q的充分條件或q的充分條件是p；（4）只要有條件p，就一定有結(jié)論q，即p對(duì)于q是充分的；（5）q是p的必要條件或p的必要條件是q；（6）一旦q不成立，p一定也不成立，q成立對(duì)于p成立是必要的.顯然，p是q的充分條件與q是p的必要條件表述的是同一個(gè)邏輯關(guān)系，即p?q，只是說法不同而已.知識(shí)點(diǎn)二.充要條件一般地，如果p?q，且q?p，那么稱p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件，記作p?q.知識(shí)點(diǎn)三.充分條件、必要條件與充要條件如果p?q，則稱p是q的_充分條件_____，q是p的_必要條件_____.一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件；每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件；每一條數(shù)學(xué)定義都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充要條件p是q的充分不必要條件記作__p?q_____且_q?p__p是q的必要不充分條件記作__p?q____且__q?p___p是q的充分必要條件（簡(jiǎn)稱充要條件）記作__p?q___p是q的既不充分又不必要條件記作_p?q___且_q?p____題型1充分條件、必要條件、充要條件的判斷【方法總結(jié)】方法小結(jié)：判斷充分條件、必要條件及充要條件的三種方法(1)定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假．(2)集合法：即利用集合的包含關(guān)系判斷．(3)傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1?p2?…?pn，可得p1?pn；充要條件也有傳遞性．◆類型1定義法【例題11】（2022秋·安徽合肥·高一校考開學(xué)考試）已知a、b、c∈R，則“a<bA．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】B【分析】當(dāng)c=0【詳解】若a<b，當(dāng)c=0若ac2<bc故“a<b”是“故選：B【變式11】1.（2023秋·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期中）“3x?1為整數(shù)”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件必要條件的概念即得.【詳解】當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，3x當(dāng)3x?1為整數(shù)時(shí)，x不一定為整數(shù)，例如當(dāng)3x所以“3x?1為整數(shù)”是“故選：B.【變式11】2.（2023·高一單元測(cè)試）若a,b∈RA．a(chǎn)b>1且a+b>2 C．a(chǎn)+b>2且(a?1)(【答案】D【分析】對(duì)于選項(xiàng)A和B，可通過對(duì)a,b取特殊值進(jìn)行驗(yàn)證判斷，從而判斷出正誤；對(duì)于選項(xiàng)C，利用選項(xiàng)C中的條件，得出【詳解】對(duì)于A，當(dāng)a=12,b=4時(shí)，有對(duì)于B，當(dāng)a=?2,b=?3時(shí)，有ab>1且對(duì)于C，由(a?1)(b?1)>0，得到a>1且b>1或a<1且b綜上，可知符合條件的為選項(xiàng)D.故選：D.【變式11】3.（2023秋·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期末）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y，則“x+y=0A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】取特殊值可判斷充分性，根據(jù)x2+y【詳解】取x=?1,y=1，此時(shí)x+y=0，但當(dāng)x2+y2=0時(shí)，x=y故“x+y=0故選:B.【變式11】4.（2021秋·高一課時(shí)練習(xí)）王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今，“青海長(zhǎng)云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān).黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，其中最后一句“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念判斷即可.【詳解】根據(jù)詩意，作者想表達(dá)的思想感情是“返回家鄉(xiāng)”就一定要“攻破樓蘭”，但是并沒有表明“攻破樓蘭”后就會(huì)“返回家鄉(xiāng)”，所以“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的必要不充分條件.故選：B.【變式11】5.（2022秋·江蘇泰州·高一?？茧A段練習(xí)）《左傳》有記載：“皮之不存，毛將焉附？”則“有毛”是“有皮”的（

）條件A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)已知條件分析“有毛”和“有皮”的互相推出情況，由此判斷屬于何種條件.【詳解】根據(jù)條件可知：“有毛”則一定“有皮”，但是“有皮”不一定“有毛”，即“有毛”可以推出“有皮”，但是“有皮”不一定能推出“有毛”，所以“有毛”是“有皮”的充分不必要條件，故選：A.◆類型2集合法【例題12】（2021·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合A={x|x滿足條件p}，（1）如果A?（2）如果B?（3）如果A=試舉例說明.【答案】（1）充分條件；（2）必要條件；（3）充要條件.【分析】（1）利用集合間的關(guān)系結(jié)合充分條件的定義推導(dǎo)；（2）利用集合間的關(guān)系結(jié)合必要條件的定義推導(dǎo)；（3）由（1）（2）可得.【詳解】（1）若A?B，則有即p?q，所以p是q的充分條件.如A={A?B，x>1（2）若B?A，則有即q?p，所以p是q的必要條件.如A={x|x>0是x（3）若A=B，則A?B，x>1是x【變式12】1.（2020秋·江蘇蘇州·高一吳江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）條件p:x>2，條件q:xA．必要非充分條件 B．充分非必要條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】A【解析】根據(jù)集合xx>2與集合xx>3的關(guān)系，直接判斷出【詳解】因?yàn)閤x>2所以p是q的必要非充分條件，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷，難度較易.若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合B的形式出現(xiàn)，即A=xpx,B=xqx，若AB，則p是【變式12】2.（2022秋·高一單元測(cè)試）設(shè)p：x>2或x<23；q：x>2或xA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】分別寫出?p【詳解】根據(jù)題意可得?p:23≤x易知23,2是?1,2的真子集，所以因此，?p是?故選：A【變式12】3.（2020秋·上海嘉定·高一統(tǒng)考期末）已知條件甲“|x|=1”，條件乙“A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】B【分析】由|x|=1?x=±1【詳解】由題意，|x|=1?x=±1又條件乙為“x=1所以甲是乙的必要非充分條件.故選：B.◆類型3傳遞法【例題13】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知p是r的充分不必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，現(xiàn)有下列命題：①s是q的充要條件；②p是q的充分不必要條件；③r是q的必要不充分條件；④r是s的充分不必要條件.正確的命題序號(hào)是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④【答案】B【分析】根據(jù)條件及充分條件和必要條件的的確定p,【詳解】因?yàn)閜是r的的充分不必要條件，所以p?r，r推不出因?yàn)閝是r的的充分條件，所以q?因?yàn)閟是r的必要條件，所以r?因?yàn)閝是s的必要條件，所以s?因?yàn)閝?r，r?s，所以q?s，又因?yàn)閜?r，r?s，q推不出p，故p是q的充分不必要條件，②正確；因?yàn)閞?s，s?q，所以r?因?yàn)閟?q，q?r，所以所以r是s的充要條件，命題④錯(cuò)誤；故選：B.【變式13】1.（2021·高一課時(shí)練習(xí)）已知p，q都是r的必要條件，s是r的充分條件，則s是q的______條件，r是q的______條件，p是s的______條件．（填“充分”“必要”或“充要”）【答案】充分充分必要【分析】由題設(shè)，寫出p，q，r，s的推出關(guān)系，進(jìn)而判斷各條件間的充分、必要關(guān)系.【詳解】由題設(shè)，r?∴s?q，綜上，s是q的充分條件，r是q的充分條件，p是s的必要條件.故答案為：充分、充分、必要【變式13】2.（2022秋·陜西西安·高一?？茧A段練習(xí)）已知p是r的充分條件，而r是q的必要條件，同時(shí)又是s的充分條件，q是s的必要條件.試判斷：(1)s是p的什么條件?(2)p是q的什么條件?(3)其中有哪幾對(duì)條件互為充要條件?【答案】(1)必要條件(2)充分條件(3)q與s、s與r、q與r【分析】（1）推導(dǎo)出p?r，（2）由q?s?（3）由q?（1）解：由題意，q?r?又因?yàn)閜?r，則p?s，所以，（2）解：由（1）可知q?s?r，p?r，則（3）解：由（1）可知，q?s?r，則q與s、s與r、【變式13】3.（2021秋·高一課前預(yù)習(xí)）已知p，q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么：（1）s是q的什么條件？

（2）r是q的什么條件？

（3）p是q的什么條件？【答案】（1）s是q的充要條件；（2）r是q的充要條件；（3）p是q的必要不充分條件．【分析】按p，q，r，s的關(guān)系畫出用“?”與“?”表示的關(guān)系圖，并根據(jù)推出符號(hào)的流向判斷關(guān)系．【詳解】解：p，q，r，s的關(guān)系如圖所示:（1）由關(guān)系圖，知q?s，且s?r?（2）因?yàn)閞?q，q?s?（3）由關(guān)系圖，知q?r?p，但p推不出q，所以題型2由充分、必要、充要條件求參數(shù)◆類型1與不等式結(jié)合【例題21】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知p:?2≤x≤10【答案】m|0<【分析】由題意可得x|1?m≤x≤1+m是【詳解】因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以x|1?m≤故有1?m≥?2解得m≤3又m>0，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為m【變式21】1.（2023秋·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）集合A=x|?1<(1)當(dāng)m=2時(shí)，求A(2)從下面條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍條件①：x∈B是條件②：A∪條件③：A∩注：答題時(shí)應(yīng)首先說明本人所選條件，若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)x(2)m【分析】（1）根據(jù)并集的定義求解；（2）根據(jù)相關(guān)的定義求解.【詳解】（1）當(dāng)m=2時(shí)，A則A∪（2）若選①，則有B?A，即若選②，則有B?若選③，則有B?【變式21】2.（2023·高一單元測(cè)試）已知全集U=R，集合A=x(1)當(dāng)m=4時(shí)，求A∪B(2)若“x∈A”是“【答案】(1)x|x(2)m【分析】（1）根據(jù)集合并集、交集、補(bǔ)集運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)充分不必要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系求解即可【詳解】（1）當(dāng)m=4時(shí)，集合A因?yàn)锽=x|所以A∪B（2）因?yàn)椤皒∈A”是“所以A是B的真子集，而A不為空集，所以m+1≤4，因此m【變式21】3.（2023秋·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）已知集合A=x(1)當(dāng)m=2時(shí)，求A(2)若______，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．請(qǐng)從①?x∈A且x?B【答案】(1)A(2)答案見解析【分析】（1）先求兩個(gè)集合，再求交集；（2）若選擇①，則A∩B=?，再分集合B若選擇②，則A?B，列式求【詳解】（1）當(dāng)m=2時(shí)，B=（2）若選擇條件①，由?x∈A且x當(dāng)B=?時(shí)，m?2≥2m當(dāng)B≠?時(shí)，m?2<2m?2≥2或2m≤1，即m≥4或m≤綜上所述：m的取值范圍為：m≥4或m若選擇條件②，由“x∈B”是“x∈即m?2≤12m◆類型2與一元二次方程結(jié)合【例題22】（2021秋·高一課時(shí)練習(xí)）方程x2?2x【答案】a≤1a【分析】由方程x2?2x+a=0有實(shí)根，可得判別式非負(fù)，從而可得到其充要條件，當(dāng)【詳解】解：因?yàn)榉匠蘹2所以Δ≥0，即(?2)2?4a反之，當(dāng)a≤1時(shí)，Δ≥0，則方程x所以a≤1是方程x當(dāng)a=1時(shí)，方程x2?2而當(dāng)方程x2?2x所以a=1是方程x故答案為：a≤1；a【變式22】1.（2022秋·遼寧本溪·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合A=(1)用列舉法表示集合A；(2)若x∈B是x∈【答案】(1)A(2)m【分析】（1）解方程后得集合A，（2）由推出關(guān)系得A?【詳解】（1）x2+3x+2=0?x+1x（2）若x∈B是x∈x2解得x=?1或x=?m，又A得m=2【變式22】2.（2020秋·湖南張家界·高一統(tǒng)考期中）已知集合A=xx2?4(1)命題P∶“?x∈B(2)若x∈A是【答案】(1)1或2(2){?23＜【分析】（1）根據(jù)題意轉(zhuǎn)換為B?A，然后根據(jù)B=（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為C?（1）A={1，3}，∵p為真命題∴又∵B=①若B=1，則2②若B={1，3}，則2a因此，a的值可能為1或2（2）∵x∈A是x因此集合C有四種情況①當(dāng)C=此時(shí)Δ=?m此時(shí)m=4②當(dāng)C=1，此時(shí)③當(dāng)C=3時(shí)，此時(shí)④當(dāng)C=?時(shí)，∴Δ=m綜上所述，m的取值范圍{?23＜【變式22】3.（2021秋·江西贛州·高一上猶中學(xué)?？贾軠y(cè)）已知集合A(1)若m=0,寫出A(2)若“x∈A”是【答案】(1)?,(2)m【分析】（1）先利用一元二次方程化簡(jiǎn)集合A，B，再利用集合的并集運(yùn)算求解，進(jìn)而得到子集；（2）由題意得到B?A，分B中沒有元素即B=?，B【詳解】（1）A=若m=0，則B=x所以A∪B子集為（2）若“x∈A”是①若B中沒有元素即B=?則Δ=4m+12?4m②若B中只有一個(gè)元素，則Δ=0，此時(shí)m=?2則B=x|③若B中有兩個(gè)元素，則Δ>0，此時(shí)m>?2因?yàn)锳中也有兩個(gè)元素，且B?A，則必有由韋達(dá)定理得?6×1=m2?3綜上所述，當(dāng)m≤?2時(shí)，B所以實(shí)數(shù)m的取值范圍：m|【變式22】4.（2023春·江西新余·高一新余市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知p：關(guān)于x的方程x2?2ax+a(1)若命題?p是真命題，求實(shí)數(shù)a(2)若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)a>2(2)m≤?1【分析】（1）由命題?p是真命題，可得命題p是假命題，再借助Δ<0，求出a（2）由p是q的必要不充分條件，可得出兩個(gè)集合的包含關(guān)系，由此列出不等式求解作答.【詳解】（1）因?yàn)槊}?p是真命題，則命題p是假命題，即關(guān)于x的方程x因此Δ=4a2?4(所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>2（2）由（1）知，命題p是真命題，即p:因?yàn)槊}p是命題q的必要不充分條件，則{a|m因此m+3≤2，解得m所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤?1◆類型3充要條件求參數(shù)【例題23】（2022秋·廣東東莞·高一?？茧A段練習(xí)）方程x2+kxA．k=3 B．k=0 C．k=1【答案】D【分析】先利用判別式求得k的取值范圍，然后結(jié)合充要條件的知識(shí)求得k的值.【詳解】方程x2+kx解得k≤?22或方程x2+2x解得k≤1綜上所述，k≤?2若方程x2+kx+2=0與則x12+由于k?2≠0，所以x所以1+k當(dāng)k=?3時(shí)，兩個(gè)方程分別為x2?3方程x2?3x方程x2+2x即方程x2+kx綜上所述，方程x2+kx+2=0與故選：D【變式23】1.（2023秋·云南大理·高一統(tǒng)考期末）若“不等式x?m<1成立”的充要條件為“x【答案】1【分析】解不等式x?m<1【詳解】解不等式x?m<1因?yàn)椤安坏仁絰?m<1成立”的充要條件為“x<2”，所以所以，m=1故答案為：1.【變式23】2.（2022秋·貴州安順·高一?？茧A段練習(xí)）已知P={(1)是否存在實(shí)數(shù)m，使x∈P是(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使x∈P是【答案】(1)不存在，理由見解析.(2)(?∞,0]【分析】（1）x∈P是x∈（2）x∈P是x∈【詳解】（1）若x∈P是x即1?m故實(shí)數(shù)m不存在.（2）若x∈P是x當(dāng)S≠?時(shí)，有1?m≥1當(dāng)S=?時(shí)，1?m>1+綜上：m≤0故m的取值范圍為(?∞,0].【變式23】3.（2020秋·湖南郴州·高一校考階段練習(xí)）設(shè)集合A=xx(1)用列舉法表示集合A；(2)若x∈B是x∈【答案】(1)?1,?2(2)2【分析】（1）直接解方程即可；（2）根據(jù)條件得A=B，可得?2是方程x2【詳解】（1）集合A=即A=（2）由已知A=?1,?2，若x∈B是x∈∴?m∴m【變式23】4.（2022秋·四川眉山·高一校考階段練習(xí)）已知集合A={x|0≤x≤4}，B=x(1)當(dāng)橫線部分內(nèi)容為“充要條件”時(shí)，若問題中的a存在，求出a的取值范圍，若問題中的a不存在，請(qǐng)說明理由？(2)請(qǐng)?jiān)冖俪浞植槐匾獥l件②必要不充分條件這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的問題中橫線部分．若問題中的a存在，求出a的取值范圍，若問題中的a不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)不存在滿足條件的a，理由見解析(2)若選①，問題中的a存在，且a的取值集合M=aa≥3，若選②，問題中的a存在，且【分析】（1）轉(zhuǎn)化為A=（2）若選①，根據(jù)A是B的真子集列式可求出結(jié)果；若選②，根據(jù)B是A的真子集列式可求出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)橫線部分內(nèi)容為“充要條件”時(shí)，則A=B，則1?a∴不存在滿足條件的a.（2）若選①，則A是B的真子集，則1?a≤0且1+a≥4（兩等號(hào)不同時(shí)?。?，且∴問題中的a存在，且a的取值集合M=選②，則B是A的真子集，當(dāng)B=?時(shí)，1?a>1+a，即a<0當(dāng)B≠?時(shí)，1?a≤1+a，即a≥0，由B是A的真子集，得1?綜上所述：a≤1所以問題中的a存在，且a的取值集合M={題型3充要條件的證明【方法總結(jié)】從條件到結(jié)論是充分性，從結(jié)論到條件