高中數(shù)學(人教B版)選擇性必修二同步講義第4章第07講獨立性檢驗(學生版+解析)

第07講獨立性檢驗課程標準學習目標1.通過實例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義.2.通過實例，了解2×2列聯(lián)表獨立性檢驗及其應用.1.理解獨立性檢驗的基本概念、原理和步驟；2.學生應能夠運用所學的獨立性檢驗知識解決實際問題；3.通過學習獨立性檢驗，培養(yǎng)數(shù)據(jù)處理和分析的能力．知識點012×2列聯(lián)表1．2×2列聯(lián)表的概念：將隨機事件A，B的樣本數(shù)據(jù)整理成如下的表格Aeq\o(A,\s\up6(－))總計Baba＋beq\o(B,\s\up6(－))cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d上面這個表格中，核心的數(shù)據(jù)是中間的4個格子，所以這樣的表格通常稱為2×2列聯(lián)表2．列聯(lián)表的統(tǒng)計意義：記na＋b＋c＋d，則由上表可知：(1)事件A發(fā)生的概率可估計為P(A)eq\f(a＋c,n)；(2)事件B發(fā)生的概率可估計為P(B)eq\f(a＋b,n)；(3)事件AB發(fā)生的概率可估計為P(AB)eq\f(a,n).其他事件的概率類似可求．【解讀】(1)2×2列聯(lián)表主要用于研究兩個事件之間是相互獨立的還是存在某種關聯(lián)性，它適用于分析兩個事件之間的關系；(2)因為P(A)，P(B)，P(AB)都是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)得到的估計值，而估計是有誤差的，因此直接用P(AB)P(A)P(B)是否不成立來判斷A與B是否獨立是不合理的．【即學即練1】1.為調查乘客暈車情況，在某一次行程中，70名男乘客中有25名暈車，30名女乘客中有5名暈車．在檢驗這些乘客暈車是否與性別相關時，常采用的數(shù)據(jù)分析方法是()A．回歸分析 B．獨立性檢驗C．頻率分布直方圖 D．用樣本估計總體2．下表是一個2×2列聯(lián)表：y1y2總計x1a2173x222527總計b46100則表中a、b處的值分別為()A．94，96 B．52，70C．52，54 D．54，52知識點02獨立性檢驗1．χ2(讀作“卡方”)統(tǒng)計量：是統(tǒng)計中一個非常有用的統(tǒng)計量，它的表達式是χ2eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).2．獨立性檢驗：任意給定一個α(稱為顯著性水平，通常取為0.05，0.01等)，可以找到滿足條件P(χ2≥k)α的數(shù)k(稱為顯著性水平α對應的分位數(shù)).χ2是一個隨機變量，其分布能夠求出，上面的概率是可以計算的．因此，如果根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出χ2的值后，發(fā)現(xiàn)χ2≥k不成立，就稱在犯錯誤的概率不超過α的前提下，可以認為A與B不獨立(也稱為A與B有關)；或說有1－α的把握認為A與B有關．若χ2<k不成立，就稱不能得到前述結論．這一過程通常稱為獨立性檢驗．【解讀】A與B獨立時，也稱為A與B無關．當χ2<k不成立時，一般不直接說A與B無關．也就是說，獨立性檢驗通常得到的結果，或者是有1－α的把握認為A與B有關，或者沒有1－α的把握認為A與B有關．【即學即練2】已知P(χ2≥6.635)0.01，P(χ2≥10.828)0.001.在檢驗喜歡某項體育運動與性別是否有關的過程中，某研究員搜集數(shù)據(jù)并計算得到χ27.235，則根據(jù)小概率值α________的χ2獨立性檢驗，分析喜歡該項體育運動與性別有關．題型01利用列聯(lián)表分析兩變量的關系【典例1】在對人們飲食習慣的一次調查中，共調查了124人，其中六十歲以上的70人，六十歲以下的54人．六十歲以上的人中有43人的飲食以蔬菜為主，另外27人則以肉類為主；六十歲以下的人中有21人飲食以蔬菜為主，另外33人則以肉類為主．請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出飲食習慣與年齡的列聯(lián)表，并利用eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)判斷二者是否有關系．【變式1】假設有兩個分類變量X與Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為：y1y2x11018x2m26則當m取下面何值時，X與Y的關系最弱()A．8 B．9C．14 D．19【變式2】下面是2×2列聯(lián)表．ABB1B2總計A1332154A2a1346總計b34100(1)表中a，b處的值應為多少？(2)若用頻率估計概率，則P(A1)，P(B1)，P(A1B1)分別是多少？(3)表中的數(shù)據(jù)能說明A1與B1相互獨立嗎？【變式3】在一次對人們飲食習慣的調查中，共調查了124人，其中80歲以上的有70人，80歲以下的有54人.80歲以上的人中，有43人飲食以蔬菜為主，另外27人則以肉類為主；80歲以下的人中，有21人飲食以蔬菜為主，另外33人則以肉類為主．請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出飲食習慣與年齡的列聯(lián)表，并判斷二者是否有關系．題型022×2列聯(lián)表的性質及應用【典例2】（2025高三·全國·專題練習）下面是列聯(lián)表：合計2173222547合計46120則表中，的值分別為（

）A．94，72 B．52，70 C．52，74 D．74．52【變式1】（22-23高二下·寧夏固原·期中）下面是一個列聯(lián)表，則表中處的值分別為（

）總計257321總計49A．98，28 B．28，98 C．48，45 D．45，48【變式2】（24-25高三·上海·課堂例題）某村莊對該村內70名村民每年是否體檢的情況進行了調查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：每年體檢（人）每年未體檢（人）合計（人）老年人7年輕人6合計70已知抽取的村民中老年人、年輕人各25名，則對列聯(lián)表數(shù)據(jù)的分析錯誤的是（

）A． B． C． D．【變式3】（2024上·江西新余·高二統(tǒng)考期末）某地政府為解除空巢老人日常護理和社會照料的困境，大力培育發(fā)展養(yǎng)老護理服務市場．從年開始新建社區(qū)養(yǎng)老機構，下表為該地區(qū)近年新建社區(qū)養(yǎng)老機構的數(shù)量對照表．年份2017201820192020202120222023年份代碼1234567新建社區(qū)養(yǎng)老機構(1)若該地區(qū)參與社區(qū)養(yǎng)老的老人的年齡近似服從正態(tài)分布，其中年齡的有人，試估計該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人有多少？（結果按四舍五入取整數(shù)）(2)已知變量與之間的樣本相關系數(shù)，請求出關于的線性回歸方程，并據(jù)此估計年時，該地區(qū)新建社區(qū)養(yǎng)老機構的數(shù)量．（結果按四舍五入取整數(shù)）參考公式與數(shù)據(jù)：①，.；②若隨機變量，則，，；③，.【變式3】某高校有10000名學生，其中女生3000名，男生7000名．為調查愛好體育運動是否與性別有關，用分層抽樣的方法抽取120名學生，制成獨立性檢驗的2×2列聯(lián)表，如表，則a－b________．(用數(shù)字作答)男女合計愛好體育運動a9####不愛好體育運動28b####合計########120題型03卡方的計算【典例3】（23-24高二下·福建漳州·期中）為加強素質教育，使學生各方面全面發(fā)展，某學校對學生文化課與體育課的成績進行了調查統(tǒng)計，結果如下：附：，其中.體育課不及格體育課及格合計文化課及格57221278文化課不及格164359合計73264337在對體育課成績與文化課成績進行獨立性檢驗時，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得到的值為（

）A．38.214 B．1.255 C．0.0037 D．2.058【變式1】（24-25高三·上?！るS堂練習）研究兩個事件A、B之間的關系時，根據(jù)數(shù)據(jù)信息列出如下的列聯(lián)表，則以下計算公式中正確的是（

）BB總計AA總計nA． B．C． D．【變式2】（23-24高二下·廣東肇慶·期末）已知某獨立性檢驗中，由計算出，若將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)分別變成，計算出的，則（

）A． B． C． D．【變式3】（23-24高二下·甘肅白銀·期末）有甲、乙兩種過濾水中重金屬的設備，為了檢驗使用這兩種設備與過濾后水中重金屬含量的關系，各過濾了15瓶受重金屬污染的相同水體，調查得出以下數(shù)據(jù)：重金屬含量高重金屬含量低設備甲69設備乙114根據(jù)以上數(shù)據(jù)，則（

）A． B． C． D．【變式4】（23-24高二上·江西九江·期末）假設有兩個變量和，它們的取值分別為和，其列聯(lián)表為（

）根據(jù)以下選項中的數(shù)據(jù)計算的值，其中最大的一組為（

）A．B．C．D．題型04由χ2進行獨立性檢驗【典例4】（2025高三·全國·專題練習）為了判斷高三年級學生是否選修文科與性別的關系，現(xiàn)隨機抽取70名學生，得到如下列聯(lián)表：理科文科男1310女7200.050.0253.8415.024根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到．則認為選修文科與性別有關系出錯的可能性不大于．【變式1】（24-25高三·上?！ふn堂例題）在獨立性檢驗中，為了調查變量與變量的關系，經(jīng)過計算得到，表示的意義是（填序號）．①有的把握認為變量與變量沒有關系；②有的把握認為變量與變量有關系；③有的把握認為變量與變量有關系；④有的把握認為變量與變量沒有關系．【變式2】（23-24高二下·遼寧葫蘆島·期末）一部年代創(chuàng)業(yè)劇《乘風踏浪》，讓遼寧葫蘆島成為許多人心馳神往的旅游度假目的地.為了更好地了解游客需求，優(yōu)化自身服務，提高游客滿意度，隨機對1200位游客進行了滿意度調查，結果如下表：男性女性合計滿意58005401100不滿意4080100合計8008001200根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到（精確到0.001）；依據(jù)數(shù)據(jù)可作出的判斷是.附：.0.10.050.012.7063.8416.635【變式3】（24-25高三上·上?！卧獪y試）某市政府調查市民收入增減與旅游需求的關系時，采用獨立性檢驗法抽查了7000人，計算發(fā)現(xiàn)，根據(jù)這一數(shù)據(jù)，市政府斷言市民收入增減與旅游需求有關的可信度是%．參考數(shù)據(jù)：P0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【變式4】（2024高三·全國·專題練習）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4080對照組1090能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？附，0.0700.0100.001k3.8416.63510.828題型05利用獨立性檢驗思想解決實際問題【典例5】（2025高三·全國·專題練習）2022年北京冬奧組委發(fā)布的《北京2022年冬奧會和冬殘奧會經(jīng)濟遺產報告（2022）》顯示，北京冬奧會已簽約45家贊助企業(yè)，冬奧會贊助成為一項跨度時間較長的營銷方式.為了解該45家贊助企業(yè)每天銷售額與每天線上銷售時間之間的相關關系，某平臺對45家贊助企業(yè)進行跟蹤調查，其中每天線上銷售時間不少于8小時的企業(yè)有20家，余下的企業(yè)中，每天的銷售額不足30萬元的企業(yè)占，統(tǒng)計后得到如下列聯(lián)表：銷售額不少于30萬元銷售額不足30萬元合計線上銷售時間不少于8小時1720線上銷售時間不足8小時合計45請完成上面的列聯(lián)表，并依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時間有關？附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，其中.【變式1】（2025高三·全國·專題練習）為研究某種疫苗的效果，現(xiàn)對名志愿者進行了實驗，得到如下數(shù)據(jù)：未感染病毒感染病毒合計接種疫苗401050未接種疫苗50合計40根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析疫苗是否有效？參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：．【變式2】（2024·河南信陽·二模）某社區(qū)對安全衛(wèi)生進行問卷調查，請居民對社區(qū)安全衛(wèi)生服務給出評價（問卷中設置僅有滿意、不滿意）.現(xiàn)隨機抽取了90名居民，調查情況如下表：男居民女居民合計滿意2580不滿意a2a合計90(1)利用分層抽樣的方法從對安全衛(wèi)生服務評價為不滿意的居民中隨機抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求這2人中男、女居民各有1人的概率；(2)試通過計算判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的情況下認為男居民與女居民對社區(qū)安全衛(wèi)生服務的評價有差異?附：．【變式3】（24-25高三上·湖南·期中）電動車的安全問題越來越引起廣大消費者的關注，目前電動車的電池有石墨烯電池與鉛酸電池兩種.某公司為了了解消費者對兩種電池的電動車的偏好，在社會上隨機調查了700名市民，其中被調查的女性市民中偏好鉛酸電池電動車的占，得到以下的2－2列聯(lián)表：偏好石墨烯電池電動車偏好鉛酸電池電動車合計男性市民200100女性市民合計700(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率的獨立性檢驗，能否認為市民對這兩種電池的電動車的偏好與性別有關；(2)采用分層抽樣的方法從偏好石墨烯電池電動車的市民中隨機抽取7人，再從這7名市民中抽取2人進行座談，求在有女性市民參加座談的條件下，恰有一名女性市民參加座談的概率；(3)用頻率估計概率，在所有參加調查的市民中按男性和女性進行分層抽樣，隨機抽取5名市民，再從這5名市民中隨機抽取2人進行座談，記2名參加座談的市民中來自偏好石墨烯電池電動車的男性市民的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.1000.0700.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828題型06獨立性檢驗中的參數(shù)與最值問題【典例6】（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）為了更好地開展多媒體化教學，杭州市某小學對“文理學科教師與喜歡用平板教學”是否有關做了一次研究調查，其中被調查的文科、理科教師人數(shù)相同，理科教師喜歡用平板教學的人數(shù)占理科教師總人數(shù)的80%，文科教師喜歡用平板教學的人數(shù)占文科教師總人數(shù)的40%，若有95%的把握認為是否喜歡用平板教學和文理學科有關，則調查人數(shù)中理科教師人數(shù)最少可能是（

）附：，其中．0.050.0103.8416.635A．8 B．12 C．15 D．20【變式1】（23-24高二下·浙江·期中）為了考查一種新疫苗預防某X疾病的效果，研究人員對一地區(qū)某種動物進行試驗，從該試驗群中隨機進行了抽查，已知抽查的接種疫苗的動物數(shù)量是沒接種疫苗的2倍，接種且發(fā)病占接種的，沒接種且發(fā)病的占沒接種的，若本次抽查得出“在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為接種該疫苗與預防某X疾病有關”的結論，則被抽查的沒接種動物至少有（

）只0.100.050.010.0050.0012.7063.8415.6357.87910.828A．35 B．36 C．37 D．38【變式2】（23-24高二下·吉林長春·期中）2020年2月，全國掀起了“停課不停學”的熱潮，各地教師通過網(wǎng)絡直播?微課推送等多種方式來指導學生線上學習.為了調查學生對網(wǎng)絡課程的熱愛程度，研究人員隨機調查了相同數(shù)量的男?女學生，發(fā)現(xiàn)有80%的男生喜歡網(wǎng)絡課程，有40%的女生不喜歡網(wǎng)絡課程，在犯錯誤的概率大于0.001且不超過0.01的前提下認為是否喜歡網(wǎng)絡課程與性別有關，則被調查的男?女學生總數(shù)量可能為（）附：，其中.0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828A．130 B．190 C．240 D．270【變式3】（23-24高二下·廣東中山·期末）某市舉行了首屆閱讀大會，為調查市民對閱讀大會的滿意度，相關部門隨機抽取男女市民各50名，每位市民對大會給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：滿意不滿意男市民女市民當，時，若在的情況下，我們沒有充分的證據(jù)推斷男、女市民對大會的評價有差異，則的最小值為．附：，其中．一、單選題1．（23-24高二下·陜西咸陽·階段練習）下列關于獨立性檢驗的說法正確的是（

）A．獨立性檢驗是對兩個變量是否具有線性相關關系的一種檢驗B．獨立性檢驗可以確定兩個變量之間是否具有某種關系C．利用獨立性檢驗推斷吸煙與患肺病的關聯(lián)中，若有的把握認為吸煙與患肺病有關系時，我們則可以說在100個吸煙的人中，有99人患肺病D．在一個列聯(lián)表中，由計算得的值，則的值越大，判斷兩個變量間有關聯(lián)的把握就越大2．（23-24高二·全國·單元測試）假設有兩個分類變量與的列聯(lián)表如下表：對于以下數(shù)據(jù)，對同一樣本能說明與有關系的可能性最大的一組為（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，3．（23-24高二下·福建寧德·階段練習）利用獨立性檢驗的方法調查高中生性別與愛好某項運動是否有關，通過隨機調查200名高中生是否愛好某項運動，利用2×2列聯(lián)表，由計算可得，參照下表：得到的正確結論是（

）參考數(shù)據(jù)：臨界值表0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”B．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”C．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”D．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”4．（23-24高二下·福建龍巖·階段練習）假設有兩個分類變量與，它們的可能取值分別為和，其列聯(lián)表為：則當取下面何值時，與的關系最弱（）101826A．8 B．9 C．14 D．195．（21-22高二上·全國·課后作業(yè)）有甲、乙兩個班級進行數(shù)學考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10b乙班c30總計105已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是（）A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為70C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能認為“成績與班級有關系”D．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關系”6．（21-22高二上·全國·課后作業(yè)）兩個分類變量X和Y，值域分別為和，其樣本頻數(shù)分別是，，.若X與Y有關系的可信程度不小于，則c等于（）A．3 B．7 C．5 D．67．（24-25高三·上?！ふn堂例題）為了調查各參賽人員對主辦方的滿意程度，研究人員隨機抽取了700名參賽運動員進行調查，所得數(shù)據(jù)如下表所示，現(xiàn)有如下說法：①在參與調查的700名運動員中任取1人，抽到對主辦方表示滿意的男性運動員的概率為；②在犯錯誤的概率不超過的前提下可以認為“是否對主辦方表示滿意與運動員的性別有關”；③沒有的把握認為“是否對主辦方表示滿意與運動員的性別有關”；則正確命題的個數(shù)為（

）男性運動員（人）女性運動員（人）對主辦方表示滿意200220對主辦方表示不滿意7030注：0.8000.0700.0100.0012.7063.8416.63510.828A．0 B．1 C．2 D．38．（23-24高二下·河南鄭州·期末）某校乒乓球社團為了解喜歡乒乓球運動是否與性別有關，隨機抽取了若干人進行調查.已知抽查的男生?女生人數(shù)均為，其中男生喜愛乒乓球運動的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜愛乒乓球運動的人數(shù)占女生人數(shù)的.若本次調查得出“有的把握認為喜愛乒乓球運動與性別有關”的結論，則的最小值為（

）附：參考公式及數(shù)據(jù)：.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．20 B．21 C．22 D．23二、多選題9．（23-24高二下·吉林白山·期末）暑假結束后，為了解假期中學生鍛煉身體情況，學生處對所有在校學生做問卷調查，并隨機抽取了180人的調查問卷，其中男生比女生少20人，并將調查結果繪制得到等高堆積條形圖．已知，其中，，在被調查者中，下列說法正確的是（

）A．男生中不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多B．男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人多8人C．經(jīng)常鍛煉者中男生的頻率是不經(jīng)常鍛煉者中男全的頻率的1.6倍左右D．在犯錯誤的概率不大于0.01的條件下，可以認為假期是否經(jīng)常鍛煉與性別有關10．（23-24高二下·重慶·期末）為考察某種藥物預防疾病的效果，進行動物實驗，得到如下藥物結果與動物實驗的數(shù)據(jù)：患病未患病服用藥1045沒服用藥2030由上述數(shù)據(jù)得出下列結論，其中正確的是（

）附：；0.050.0250.0100.0053.8415.0246.6357.879A．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷服用藥物是有效的，此推斷犯錯誤的概率不超過0.025B．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷服用藥物是有效的，此推斷犯錯誤的概率不超過0.01C．該藥物的預防有效率超過D．若將所有試驗數(shù)據(jù)都擴大到原來的10倍，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷服用藥物是有效的，此推斷犯錯誤的概率不超過0.00511．（24-25高三上·廣東深圳·階段練習）某中學為更好地開展素質教育，現(xiàn)對外出研學課程是否和性別有關做了一項調查，其中被調查的男生和女生人數(shù)相同，且男生中選修外出研學課程的人數(shù)占男生總人數(shù)的，女生中選修外出研學課程的人數(shù)占女生總人數(shù)的．如果依據(jù)的獨立性檢驗認為選修外出研學課程與性別有關，但依據(jù)的獨立性檢驗認為選修外出研學課程與性別無關，則調查人數(shù)中男生可能有（

）附：，其中.A．170人 B．225人C．300人 D．375人三、填空題12．（24-25高三·上?！るS堂練習）隨著工業(yè)化以及城市車輛的增加，城市的空氣污染越來越嚴重，空氣質量指數(shù)API一直居高不下，對人體的呼吸系統(tǒng)造成了的嚴重的影響．現(xiàn)調查了某市700名居民的工作場所和呼吸系統(tǒng)健康狀況，得到列聯(lián)表如下，則．（結果精確到0.001）室外工作室內工作總計有呼吸系統(tǒng)疾病170無呼吸系統(tǒng)疾病100總計20013．（23-24高二下·河南信陽·期末）為了研究高三學生的性別和身高是否大于170cm的關聯(lián)性，調查了高三學生200名，得到如下列聯(lián)表：性別身高合計低于170cm不低于170cm女8020100男3070100合計11090200根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，計算得；依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認為“高三學生的性別和身高有關聯(lián)”.附：臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82814．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習）有甲、乙兩個班級共計105人進行數(shù)學考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10b乙班c30附:其中.0.100.050.0250.0100.00050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是①列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35；②列聯(lián)表中c的值為20，b的值為45；③根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，能認為“成績與班級有關系”；④根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關系”.四、解答題15．（24-25高三·上?！ふn堂例題）為了調查商戶每天銷售額與每天線上銷售時間之間的相關關系，隨機選取45家商戶進行跟蹤調查，其中每日線上銷售時間不少于6小時的商戶有19家，余下的商戶中，每天的銷售額不足3萬元的占，統(tǒng)計后得到如下列聯(lián)表：銷售額不少于3萬元（戶）銷售額不足3萬元（戶）合計線上銷售時間不少于6小時419線上銷售時間不足6小時合計45請完成上面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為“商戶每天銷售額與商戶每天線上銷售時間有關．”參考公式：，其中.0.700.400.250.150.0100.050.0250.0100.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.63516．（23-24高二下·青海西寧·期末）某學校高三年級有學生1000人，經(jīng)調查，其中770人經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為A類同學），另外270人不經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為B類同學）.現(xiàn)用按比例分配的分層抽樣方法（按A類?B類分兩層）從該年級的學生中共抽查100人，如果以身高達到作為達標的標準，對抽取的100人，得到以下列聯(lián)表（單位：人）：身高達標身高不達標總計經(jīng)常參加體育鍛煉40不經(jīng)常參加體育鍛煉15總計100(1)完成上表；(2)依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為經(jīng)常參加體育鍛煉與身高達標有關系？注：.附表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82817．（24-25高三上·上?！て谥校W校為了解學生對“公序良俗”的認知情況，設計了一份調查表，題目分為必答題和選答題．其中必答題是①、②、③共三道題，選答題為④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道題，被調查者在選答題中自主選擇其中道題目回答即可．現(xiàn)從④、⑥、⑧、⑩四個題目中至少選答一道的學生中隨機抽取名學生進行調查，他們選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計如表：選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)1道2道3道4道人數(shù)(1)現(xiàn)規(guī)定：同時選答④、⑥、⑧、⑩的學生為“公序良俗”達人．學校還調查了這位學生的性別情況，研究男女生中“公序良俗”達人的大概比例，得到的數(shù)據(jù)如下表：性別“公序良俗”達人非“公序良俗”達人總計男性女性總計請完成上述列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析“公序良俗”達人與性別是否有關．(2)從這名學生中任選名，記表示這名學生選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布和數(shù)學期望．參考公式：，其中．附表見上圖．18．（23-24高三下·湖南長沙·期中）新型冠狀病毒疫情已經(jīng)嚴重影響了我們正常的學習、工作和生活.某市為了遏制病毒的傳播，利用各種宣傳工具向市民宣傳防治病毒傳播的科學知識.某校為了解學生對新型冠狀病毒的防護認識，對該校學生開展防疫知識有獎競賽活動，并從女生和男生中各隨機抽取30人，統(tǒng)計答題成績分別制成如下頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖.規(guī)定：成績在80分及以上的同學成為“防疫標兵”.

名女生成績頻數(shù)分布表：成績頻數(shù)101064附：0.1000.0700.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成以下列聯(lián)表，并判斷是否有%的把握認為“防疫標兵”與性別有關；男生女生合計防疫標兵非防疫標兵合計(2)以樣本估計總體，以頻率估計概率，現(xiàn)從該校女生中隨機抽取人，其中“防疫標兵”的人數(shù)為，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望．19．（2024·吉林長春·一模）某醫(yī)學研究團隊經(jīng)過研究初步得出檢測某種疾病的患病與否和某項醫(yī)學指標有關，利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值，將該指標大于的人判定為陽性（患?。?，小于或等于的人判定為陰性（未患?。?此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率.(1)隨機抽取男女各700人進行檢驗，采用臨界值進行判定時，誤判共10人（漏診與誤診之和），其中2男8女，寫出列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為誤判與性別有關？(2)經(jīng)過大量調查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布表：指標[95，100]（100，105]（105，110]（110，115]（115，120]（120，125]（125，130]患病者頻率0.010.060.170.180.20.20.18指標[70，75]未患病者頻率0.190.20.20.180.170.050.01假設數(shù)據(jù)在組內均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.若漏診率和誤診率同時控制在以內（小于等于），求臨界值的范圍；(3)在（2）條件下，求出誤判率（漏診率與誤診率之和）最小時的臨界值及對應的誤診率和漏診率.附：0.1000.0700.0100.0012.7063.8416.63510.828第07講獨立性檢驗課程標準學習目標1.通過實例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義.2.通過實例，了解2×2列聯(lián)表獨立性檢驗及其應用.1.理解獨立性檢驗的基本概念、原理和步驟；2.學生應能夠運用所學的獨立性檢驗知識解決實際問題；3.通過學習獨立性檢驗，培養(yǎng)數(shù)據(jù)處理和分析的能力．知識點012×2列聯(lián)表1．2×2列聯(lián)表的概念：將隨機事件A，B的樣本數(shù)據(jù)整理成如下的表格Aeq\o(A,\s\up6(－))總計Baba＋beq\o(B,\s\up6(－))cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d上面這個表格中，核心的數(shù)據(jù)是中間的4個格子，所以這樣的表格通常稱為2×2列聯(lián)表2．列聯(lián)表的統(tǒng)計意義：記na＋b＋c＋d，則由上表可知：(1)事件A發(fā)生的概率可估計為P(A)eq\f(a＋c,n)；(2)事件B發(fā)生的概率可估計為P(B)eq\f(a＋b,n)；(3)事件AB發(fā)生的概率可估計為P(AB)eq\f(a,n).其他事件的概率類似可求．【解讀】(1)2×2列聯(lián)表主要用于研究兩個事件之間是相互獨立的還是存在某種關聯(lián)性，它適用于分析兩個事件之間的關系；(2)因為P(A)，P(B)，P(AB)都是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)得到的估計值，而估計是有誤差的，因此直接用P(AB)P(A)P(B)是否不成立來判斷A與B是否獨立是不合理的．【即學即練1】1.為調查乘客暈車情況，在某一次行程中，70名男乘客中有25名暈車，30名女乘客中有5名暈車．在檢驗這些乘客暈車是否與性別相關時，常采用的數(shù)據(jù)分析方法是()A．回歸分析 B．獨立性檢驗C．頻率分布直方圖 D．用樣本估計總體【答案】C【解析】根據(jù)題意，結合題目中的數(shù)據(jù)，可列2×2列聯(lián)表，求觀測值χ2，對照臨界值得出概率結論；這種數(shù)據(jù)分析的方法是獨立性檢驗．2．下表是一個2×2列聯(lián)表：y1y2總計x1a2173x222527總計b46100則表中a、b處的值分別為()A．94，96 B．52，70C．52，54 D．54，52【答案】D【解析】由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2173，,a＋2b，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a52，,b54.))知識點02獨立性檢驗1．χ2(讀作“卡方”)統(tǒng)計量：是統(tǒng)計中一個非常有用的統(tǒng)計量，它的表達式是χ2eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).2．獨立性檢驗：任意給定一個α(稱為顯著性水平，通常取為0.05，0.01等)，可以找到滿足條件P(χ2≥k)α的數(shù)k(稱為顯著性水平α對應的分位數(shù)).χ2是一個隨機變量，其分布能夠求出，上面的概率是可以計算的．因此，如果根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出χ2的值后，發(fā)現(xiàn)χ2≥k不成立，就稱在犯錯誤的概率不超過α的前提下，可以認為A與B不獨立(也稱為A與B有關)；或說有1－α的把握認為A與B有關．若χ2<k不成立，就稱不能得到前述結論．這一過程通常稱為獨立性檢驗．【解讀】A與B獨立時，也稱為A與B無關．當χ2<k不成立時，一般不直接說A與B無關．也就是說，獨立性檢驗通常得到的結果，或者是有1－α的把握認為A與B有關，或者沒有1－α的把握認為A與B有關．【即學即練2】已知P(χ2≥6.635)0.01，P(χ2≥10.828)0.001.在檢驗喜歡某項體育運動與性別是否有關的過程中，某研究員搜集數(shù)據(jù)并計算得到χ27.235，則根據(jù)小概率值α________的χ2獨立性檢驗，分析喜歡該項體育運動與性別有關．【答案】0.01【解析】因為6.635<7.235<10.828，所以根據(jù)小概率值α0.01的χ2獨立性檢驗，分析喜歡該項體育運動與性別有關．題型01利用列聯(lián)表分析兩變量的關系【典例1】在對人們飲食習慣的一次調查中，共調查了124人，其中六十歲以上的70人，六十歲以下的54人．六十歲以上的人中有43人的飲食以蔬菜為主，另外27人則以肉類為主；六十歲以下的人中有21人飲食以蔬菜為主，另外33人則以肉類為主．請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出飲食習慣與年齡的列聯(lián)表，并利用eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)判斷二者是否有關系．【解析】2×2列聯(lián)表如下：年齡在六十歲以上年齡在六十歲以下總計飲食以蔬菜為主432164飲食以肉類為主273380總計7054124將表中數(shù)據(jù)代入公式得eq\f(a,a＋b)eq\f(43,64)0.671875.eq\f(c,c＋d)eq\f(27,80)0.45.顯然二者數(shù)據(jù)具有較為明顯的差距，據(jù)此可以在某種程度上認為飲食習慣與年齡有關系．【變式1】假設有兩個分類變量X與Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為：y1y2x11018x2m26則當m取下面何值時，X與Y的關系最弱()A．8 B．9C．14 D．19【答案】D【解析】由10×2618m，解得m≈14.4，所以當m14時，X與Y的關系最弱．【變式2】下面是2×2列聯(lián)表．ABB1B2總計A1332154A2a1346總計b34100(1)表中a，b處的值應為多少？(2)若用頻率估計概率，則P(A1)，P(B1)，P(A1B1)分別是多少？(3)表中的數(shù)據(jù)能說明A1與B1相互獨立嗎？【解析】(1)a46－1333，b33＋a33＋3366.(2)P(A1)eq\f(54,100)，P(B1)eq\f(66,100)，P(A1B1)eq\f(33,100).(3)因為P(A1)·P(B1)eq\f(54,100)×eq\f(66,100)≈eq\f(33,100)P(A1B1)，所以表中的數(shù)據(jù)能說明A1與B1相互獨立．【變式3】在一次對人們飲食習慣的調查中，共調查了124人，其中80歲以上的有70人，80歲以下的有54人.80歲以上的人中，有43人飲食以蔬菜為主，另外27人則以肉類為主；80歲以下的人中，有21人飲食以蔬菜為主，另外33人則以肉類為主．請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出飲食習慣與年齡的列聯(lián)表，并判斷二者是否有關系．【解析】將數(shù)據(jù)整理成如下2×2列聯(lián)表．年齡飲食習慣以蔬菜為主以肉類為主總計80歲以上43277080歲以下213354總計6480124計算得eq\f(a,a＋b)eq\f(43,70)≈0.614，eq\f(c,c＋d)eq\f(21,54)≈0.389.顯然二者數(shù)據(jù)有較為明顯的差距，可以判斷年齡對飲食習慣有影響，據(jù)此可以在某種程度上認為飲食習慣與年齡有關系．題型022×2列聯(lián)表的性質及應用【典例2】（2025高三·全國·專題練習）下面是列聯(lián)表：合計2173222547合計46120則表中，的值分別為（

）A．94，72 B．52，70 C．52，74 D．74．52【答案】D【分析】根據(jù)聯(lián)表計算求參即可.【詳解】因為．所以．又，所以．.【變式1】（22-23高二下·寧夏固原·期中）下面是一個列聯(lián)表，則表中處的值分別為（

）總計257321總計49A．98，28 B．28，98 C．48，45 D．45，48【答案】D【分析】根據(jù)列聯(lián)表求解.【詳解】解：由個列聯(lián)表知：，解得，【變式2】（24-25高三·上?！ふn堂例題）某村莊對該村內70名村民每年是否體檢的情況進行了調查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：每年體檢（人）每年未體檢（人）合計（人）老年人7年輕人6合計70已知抽取的村民中老年人、年輕人各25名，則對列聯(lián)表數(shù)據(jù)的分析錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意先得出的值，進而再得的值，進而可知的值.【詳解】因為抽取的村民中，老年人有25名，年輕人有25名，所以，所以，A、B對；所以，則對；則錯.故選：.【變式3】（2024上·江西新余·高二統(tǒng)考期末）某地政府為解除空巢老人日常護理和社會照料的困境，大力培育發(fā)展養(yǎng)老護理服務市場．從年開始新建社區(qū)養(yǎng)老機構，下表為該地區(qū)近年新建社區(qū)養(yǎng)老機構的數(shù)量對照表．年份2017201820192020202120222023年份代碼1234567新建社區(qū)養(yǎng)老機構(1)若該地區(qū)參與社區(qū)養(yǎng)老的老人的年齡近似服從正態(tài)分布，其中年齡的有人，試估計該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人有多少？（結果按四舍五入取整數(shù)）(2)已知變量與之間的樣本相關系數(shù)，請求出關于的線性回歸方程，并據(jù)此估計年時，該地區(qū)新建社區(qū)養(yǎng)老機構的數(shù)量．（結果按四舍五入取整數(shù)）參考公式與數(shù)據(jù)：①，.；②若隨機變量，則，，；③，.【答案】(1)約為人(2)回歸方程為；約為個.【分析】（1）利用原則求出的值，即可求得該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人人數(shù)為；（2）計算出的值，可求出的值，可求得的值，利用參考數(shù)據(jù)可求得的值，由此可得出回歸直線方程，然后將代入回歸直線方程可得結果.【詳解】（1）解：由題意可知，，，則，，所以，，所以，估計該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人人數(shù)為.（2）解：由表格中的數(shù)據(jù)可得，所以，，由已知條件可得，所以，，所以，，又因為，顯然，解得，則，所以，關于的回歸直線方程為，當時，.估計年時，該地區(qū)新建社區(qū)養(yǎng)老機構的數(shù)量約為個.【變式3】某高校有10000名學生，其中女生3000名，男生7000名．為調查愛好體育運動是否與性別有關，用分層抽樣的方法抽取120名學生，制成獨立性檢驗的2×2列聯(lián)表，如表，則a－b________．(用數(shù)字作答)男女合計愛好體育運動a9####不愛好體育運動28b####合計########120【答案】19【解析】根據(jù)分層抽樣原理，計算抽取男生120×eq\f(7000,10000)84(人)，女生120×eq\f(3000,10000)36(人)，所以a84－28580(人)，b36－927(人)，所以a－b580－2729(人).題型03卡方的計算【典例3】（23-24高二下·福建漳州·期中）為加強素質教育，使學生各方面全面發(fā)展，某學校對學生文化課與體育課的成績進行了調查統(tǒng)計，結果如下：附：，其中.體育課不及格體育課及格合計文化課及格57221278文化課不及格164359合計73264337在對體育課成績與文化課成績進行獨立性檢驗時，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得到的值為（

）A．38.214 B．1.255 C．0.0037 D．2.058【答案】C【分析】由卡方公式計算即可．【詳解】，【變式1】（24-25高三·上?！るS堂練習）研究兩個事件A、B之間的關系時，根據(jù)數(shù)據(jù)信息列出如下的列聯(lián)表，則以下計算公式中正確的是（

）BB總計AA總計nA． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)獨立性檢驗計算公式代入即可得到答案；【詳解】根據(jù)獨立性檢驗計算，.【變式2】（23-24高二下·廣東肇慶·期末）已知某獨立性檢驗中，由計算出，若將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)分別變成，計算出的，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)卡方公式代入計算可得.【詳解】因為，所以.【變式3】（23-24高二下·甘肅白銀·期末）有甲、乙兩種過濾水中重金屬的設備，為了檢驗使用這兩種設備與過濾后水中重金屬含量的關系，各過濾了15瓶受重金屬污染的相同水體，調查得出以下數(shù)據(jù)：重金屬含量高重金屬含量低設備甲69設備乙114根據(jù)以上數(shù)據(jù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先完成列聯(lián)表，然后根據(jù)公式求解即可.【詳解】由題意得到如下2×2列聯(lián)表：重金屬含量高重金屬含量低合計設備甲6915設備乙11415合計72330所以.【變式4】（23-24高二上·江西九江·期末）假設有兩個變量和，它們的取值分別為和，其列聯(lián)表為（

）根據(jù)以下選項中的數(shù)據(jù)計算的值，其中最大的一組為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】計算出四個選項中，比較大小即可得解．【詳解】對于A，，對于B，，對于C，，對于D，，顯然最大，故C正確..題型04由χ2進行獨立性檢驗【典例4】（2025高三·全國·專題練習）為了判斷高三年級學生是否選修文科與性別的關系，現(xiàn)隨機抽取70名學生，得到如下列聯(lián)表：理科文科男1310女7200.050.0253.8415.024根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到．則認為選修文科與性別有關系出錯的可能性不大于．【答案】0.05【分析】根據(jù)觀測值以及獨立性檢驗的基本思想即可得出結果.【詳解】因為，這表明小概率事件發(fā)生．根據(jù)假設檢驗的基本原理，應該斷定“是否選修文科與性別之間有關系”不成立，并且這種判斷出錯的可能性不大于0.05．故答案為：0.05.【變式1】（24-25高三·上?！ふn堂例題）在獨立性檢驗中，為了調查變量與變量的關系，經(jīng)過計算得到，表示的意義是（填序號）．①有的把握認為變量與變量沒有關系；②有的把握認為變量與變量有關系；③有的把握認為變量與變量有關系；④有的把握認為變量與變量沒有關系．【答案】③④【分析】由獨立性檢驗中觀測值和臨界值的意義，即可得出正確的答案.【詳解】在獨立性檢驗中，由表示的意義是：有的把握認為變量與變量沒有關系，所以④正確；即有的把握認為變量與變量有關系，所以③正確.故答案為：③④【變式2】（23-24高二下·遼寧葫蘆島·期末）一部年代創(chuàng)業(yè)劇《乘風踏浪》，讓遼寧葫蘆島成為許多人心馳神往的旅游度假目的地.為了更好地了解游客需求，優(yōu)化自身服務，提高游客滿意度，隨機對1200位游客進行了滿意度調查，結果如下表：男性女性合計滿意58005401100不滿意4080100合計8008001200根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到（精確到0.001）；依據(jù)數(shù)據(jù)可作出的判斷是.附：.0.10.050.012.7063.8416.635【答案】滿意度與性別有關聯(lián)，推斷犯錯誤的概率不大于0.05（或：有的把握認為滿意度與性別有關）.【分析】代入的計算公式，再和臨界值比較，得到結論.【詳解】,所以滿意度與性別有關聯(lián)，推斷犯錯誤的概率不大于（或：有的把握認為滿意度與性別有關）故答案為：；滿意度與性別有關聯(lián)，推斷犯錯誤的概率不大于（或：有的把握認為滿意度與性別有關）【變式3】（24-25高三上·上海·單元測試）某市政府調查市民收入增減與旅游需求的關系時，采用獨立性檢驗法抽查了7000人，計算發(fā)現(xiàn)，根據(jù)這一數(shù)據(jù)，市政府斷言市民收入增減與旅游需求有關的可信度是%．參考數(shù)據(jù)：P0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】97.5【分析】根據(jù)獨立性檢驗知識，對照表格中的數(shù)據(jù)分析即可.【詳解】由，可知市政府斷言市民收入增減與旅游需求有關的可信度是97.5%，故答案為：97.5【變式4】（2024高三·全國·專題練習）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4080對照組1090能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？附，0.0700.0100.001k3.8416.63510.828【答案】答案見解析【分析】由所給數(shù)據(jù)結合公式求出的值，將其與臨界值比較大小可得答案.【詳解】由已知，，又，，所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異.題型05利用獨立性檢驗思想解決實際問題【典例5】（2025高三·全國·專題練習）2022年北京冬奧組委發(fā)布的《北京2022年冬奧會和冬殘奧會經(jīng)濟遺產報告（2022）》顯示，北京冬奧會已簽約45家贊助企業(yè)，冬奧會贊助成為一項跨度時間較長的營銷方式.為了解該45家贊助企業(yè)每天銷售額與每天線上銷售時間之間的相關關系，某平臺對45家贊助企業(yè)進行跟蹤調查，其中每天線上銷售時間不少于8小時的企業(yè)有20家，余下的企業(yè)中，每天的銷售額不足30萬元的企業(yè)占，統(tǒng)計后得到如下列聯(lián)表：銷售額不少于30萬元銷售額不足30萬元合計線上銷售時間不少于8小時1720線上銷售時間不足8小時合計45請完成上面的列聯(lián)表，并依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時間有關？附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，其中.【答案】列聯(lián)表見解析，有關【分析】由題意確定列聯(lián)表，求得，對比數(shù)據(jù)即可求解.【詳解】由題意分析可得，簽約企業(yè)共45家，線上銷售時間不少于8小時的企業(yè)有20家，那么線上銷售時間少于8小時的企業(yè)有25家，每天的銷售額不足30萬元的企業(yè)占，共有.完成列聯(lián)表如下：銷售額不少于30萬元銷售額不足30萬元合計線上銷售時間不少于8小時17320線上銷售時間不足8小時101525合計271845所以.對應的參數(shù)為6.635.而，所以可判斷贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時間有關.【變式1】（2025高三·全國·專題練習）為研究某種疫苗的效果，現(xiàn)對名志愿者進行了實驗，得到如下數(shù)據(jù)：未感染病毒感染病毒合計接種疫苗401050未接種疫苗50合計40根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析疫苗是否有效？參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：．【答案】疫苗有效，此推斷犯錯誤的概率不大于【分析】由列聯(lián)表計算公式算出隨機變量的值，根據(jù)參考數(shù)據(jù)判斷疫苗是否有效.【詳解】零假設為：接種疫苗與未接種疫苗與感染病毒無關，即疫苗無效．根據(jù)列聯(lián)表可得．因為當假設不成立時，，所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不不成立，即疫苗有效，此推斷犯錯誤的概率不大于．【變式2】（2024·河南信陽·二模）某社區(qū)對安全衛(wèi)生進行問卷調查，請居民對社區(qū)安全衛(wèi)生服務給出評價（問卷中設置僅有滿意、不滿意）.現(xiàn)隨機抽取了90名居民，調查情況如下表：男居民女居民合計滿意2580不滿意a2a合計90(1)利用分層抽樣的方法從對安全衛(wèi)生服務評價為不滿意的居民中隨機抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求這2人中男、女居民各有1人的概率；(2)試通過計算判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的情況下認為男居民與女居民對社區(qū)安全衛(wèi)生服務的評價有差異?附：．合計454590用分層抽樣抽取6人，則男居民應抽取2人，女居民應抽取4人，所以所抽取的2人中男、女居民各有1人的概率為；（2）由，所以在犯錯的概率不超過0.05的前提下，可以認為男居民與女居民對社區(qū)安全衛(wèi)生服務的評價有差異.【變式3】（24-25高三上·湖南·期中）電動車的安全問題越來越引起廣大消費者的關注，目前電動車的電池有石墨烯電池與鉛酸電池兩種.某公司為了了解消費者對兩種電池的電動車的偏好，在社會上隨機調查了700名市民，其中被調查的女性市民中偏好鉛酸電池電動車的占，得到以下的2－2列聯(lián)表：偏好石墨烯電池電動車偏好鉛酸電池電動車合計男性市民200100女性市民合計700(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率的獨立性檢驗，能否認為市民對這兩種電池的電動車的偏好與性別有關；(2)采用分層抽樣的方法從偏好石墨烯電池電動車的市民中隨機抽取7人，再從這7名市民中抽取2人進行座談，求在有女性市民參加座談的條件下，恰有一名女性市民參加座談的概率；(3)用頻率估計概率，在所有參加調查的市民中按男性和女性進行分層抽樣，隨機抽取5名市民，再從這5名市民中隨機抽取2人進行座談，記2名參加座談的市民中來自偏好石墨烯電池電動車的男性市民的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.1000.0700.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828合計280220700零假設：市民對這兩種電池的電動車的偏好與市民的性別無關，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可以求得，由于，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不不成立，即認為市民對這兩種電池的電動車的偏好與市民的性別有關.（2）因為偏好石墨烯電池電動車的市民中，男性市民與女性市民的比為，所以，，，故X的分布列如下：X012P.題型06獨立性檢驗中的參數(shù)與最值問題【典例6】（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）為了更好地開展多媒體化教學，杭州市某小學對“文理學科教師與喜歡用平板教學”是否有關做了一次研究調查，其中被調查的文科、理科教師人數(shù)相同，理科教師喜歡用平板教學的人數(shù)占理科教師總人數(shù)的80%，文科教師喜歡用平板教學的人數(shù)占文科教師總人數(shù)的40%，若有95%的把握認為是否喜歡用平板教學和文理學科有關，則調查人數(shù)中理科教師人數(shù)最少可能是（

）附：，其中．0.050.0103.8416.635A．8 B．12 C．15 D．20【答案】D【分析】利用獨立性檢驗列聯(lián)表及觀測值可解得答案．【詳解】由題意被調查的文理科教師人數(shù)相同，設理科教師的人數(shù)為，由題意可列出列聯(lián)表：理科教師文科教師合計喜歡用平板教學不喜歡用平板教學合計．由于有的把握認為是否喜歡用平板教學和文理學科有關，所以，解得，因為，故的可能取值為：12，13，14，15，16，17，18，19，即理科教師的人數(shù)可以是：12，13，14，15，16，17，18，19，且考慮到喜歡用平板的人數(shù)占理科教師總人數(shù)的，故人數(shù)為15人時，有實際意義．【變式1】（23-24高二下·浙江·期中）為了考查一種新疫苗預防某X疾病的效果，研究人員對一地區(qū)某種動物進行試驗，從該試驗群中隨機進行了抽查，已知抽查的接種疫苗的動物數(shù)量是沒接種疫苗的2倍，接種且發(fā)病占接種的，沒接種且發(fā)病的占沒接種的，若本次抽查得出“在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為接種該疫苗與預防某X疾病有關”的結論，則被抽查的沒接種動物至少有（

）只0.100.050.010.0050.0012.7063.8415.6357.87910.828A．35 B．36 C．37 D．38【答案】C【分析】根據(jù)題意列出二聯(lián)表，即可由卡方公式求解即可.【詳解】設沒接種只數(shù)為k，依題意，得2×2列聯(lián)表如下：發(fā)病沒發(fā)病合計接種2k沒接種k合計3k則的觀測值為：，因為本次調查得出“在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為喜愛足球與性別有關的結論，于是，即，即∴，∴．【變式2】（23-24高二下·吉林長春·期中）2020年2月，全國掀起了“停課不停學”的熱潮，各地教師通過網(wǎng)絡直播?微課推送等多種方式來指導學生線上學習.為了調查學生對網(wǎng)絡課程的熱愛程度，研究人員隨機調查了相同數(shù)量的男?女學生，發(fā)現(xiàn)有80%的男生喜歡網(wǎng)絡課程，有40%的女生不喜歡網(wǎng)絡課程，在犯錯誤的概率大于0.001且不超過0.01的前提下認為是否喜歡網(wǎng)絡課程與性別有關，則被調查的男?女學生總數(shù)量可能為（）附：，其中.0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828A．130 B．190 C．240 D．270【答案】C【分析】設男、女學生的人數(shù)都為，可得列聯(lián)表，由獨立性檢驗算出，結合觀測值和選項可得答案.【詳解】依題意，設男、女學生的人數(shù)都為，則男、女學生的總人數(shù)為，可得列聯(lián)表如下，喜歡網(wǎng)絡課程不喜歡網(wǎng)絡課程總計男生女生總計故，由題意可得，所以，結合選項可知，只有B符合題意..【變式3】（23-24高二下·廣東中山·期末）某市舉行了首屆閱讀大會，為調查市民對閱讀大會的滿意度，相關部門隨機抽取男女市民各50名，每位市民對大會給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：滿意不滿意男市民女市民當，時，若在的情況下，我們沒有充分的證據(jù)推斷男、女市民對大會的評價有差異，則的最小值為．附：，其中．【答案】21【分析】根據(jù)定義算出的表達式，由題意得，結合可得出的最小值.【詳解】由題意得，并令，即，近似解得，即，注意到，故的最小值為.故答案為：.一、單選題1．（23-24高二下·陜西咸陽·階段練習）下列關于獨立性檢驗的說法正確的是（

）A．獨立性檢驗是對兩個變量是否具有線性相關關系的一種檢驗B．獨立性檢驗可以確定兩個變量之間是否具有某種關系C．利用獨立性檢驗推斷吸煙與患肺病的關聯(lián)中，若有的把握認為吸煙與患肺病有關系時，我們則可以說在100個吸煙的人中，有99人患肺病D．在一個列聯(lián)表中，由計算得的值，則的值越大，判斷兩個變量間有關聯(lián)的把握就越大【答案】A【分析】根據(jù)獨立性檢驗的意義分別判斷各選項.【詳解】獨立性檢驗是通過卡方計算來判斷兩個變量存在關聯(lián)的可能性的一種方法，并非檢驗二者是否是線性相關，故A錯誤；獨立性檢驗并不能確定兩個變量相關，故B錯誤；是指“抽煙”和“患肺病”存在關聯(lián)的可能性大小，并非抽煙人中患肺病的發(fā)病率，故C錯誤；根據(jù)卡方計算的定義可知，在一個列聯(lián)表中，由計算得的值，則的值越大，判斷兩個變量間有關聯(lián)的把握就越大，對于D正確.故選:D.2．（23-24高二·全國·單元測試）假設有兩個分類變量與的列聯(lián)表如下表：對于以下數(shù)據(jù)，對同一樣本能說明與有關系的可能性最大的一組為（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】A【分析】計算每個選項中的，比較大小后可得出結論.【詳解】對于兩個分類變量與而言，的值越大，說明與有關系的可能性最大，對于A選項，，對于B選項，，對于C選項，，對于D選項，，顯然D中最大，.3．（23-24高二下·福建寧德·階段練習）利用獨立性檢驗的方法調查高中生性別與愛好某項運動是否有關，通過隨機調查200名高中生是否愛好某項運動，利用2×2列聯(lián)表，由計算可得，參照下表：得到的正確結論是（

）參考數(shù)據(jù)：臨界值表0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”B．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”C．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”D．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”【答案】C【分析】根據(jù)與臨界值比較即可求解.【詳解】因為，，所以有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”．故選:B．4．（23-24高二下·福建龍巖·階段練習）假設有兩個分類變量與，它們的可能取值分別為和，其列聯(lián)表為：則當取下面何值時，與的關系最弱（）101826A．8 B．9 C．14 D．19【答案】D【分析】利用分類變量的相關性進行計算求解.【詳解】在兩個分類變量的列聯(lián)表中，當?shù)闹翟叫r，認為兩個分類變量有關的可能性越?。?，得，解得，所以當時，與的關系最弱，故A，B，D均不符合題意.．5．（21-22高二上·全國·課后作業(yè)）有甲、乙兩個班級進行數(shù)學考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10b乙班c30總計105已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是（）A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為70C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能認為“成績與班級有關系”D．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關系”【答案】D【分析】根據(jù)卡方的計算即可與臨界值比較求解.【詳解】由題意知，105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，故成績優(yōu)秀的學生數(shù)是，成績非優(yōu)秀的學生數(shù)是，所以，故二聯(lián)表為優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班104555乙班203070總計3075105選項A、B錯誤．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到χ2，因此有95%的把握認為“成績與班級有關系”，選項C正確．6．（21-22高二上·全國·課后作業(yè)）兩個分類變量X和Y，值域分別為和，其樣本頻數(shù)分別是，，.若X與Y有關系的可信程度不小于，則c等于（）A．3 B．7 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)列聯(lián)表，以及獨立檢驗隨機變量的臨界值參考表,計算對應的值，驗證時，是否恰好滿足即可.【詳解】根據(jù)隨機變量的列聯(lián)表，總計102131cd35總計66以及獨立檢驗隨機變量的臨界值參考表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828故的觀測值當時，，當時，，當時，，當時，，故只有A選項對應的X與Y有關系的可信程度不小于..7．（24-25高三·上海·課堂例題）為了調查各參賽人員對主辦方的滿意程度，研究人員隨機抽取了700名參賽運動員進行調查，所得數(shù)據(jù)如下表所示，現(xiàn)有如下說法：①在參與調查的700名運動員中任取1人，抽到對主辦方表示滿意的男性運動員的概率為；②在犯錯誤的概率不超過的前提下可以認為“是否對主辦方表示滿意與運動員的性別有關”；③沒有的把握認為“是否對主辦方表示滿意與運動員的性別有關”；則正確命題的個數(shù)為（

）男性運動員（人）女性運動員（人）對主辦方表示滿意200220對主辦方表示不滿意7030注：0.8000.0700.0100.0012.7063.8416.63510.828A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】命題①，根據(jù)條件，利用古典概率公式，求出概率，即可判斷命題①的正誤；根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出，即可判斷出命題②和③的正誤，即可求解.【詳解】因為對主辦方表示滿意的男性運動員的人數(shù)為，所以在參與調查的700名運動員中任取1人，抽到對主辦方表示滿意的男性運動員的概率為，所以命題①錯誤，又因為，所以命題②錯誤，命題③正確，.8．（23-24高二下·河南鄭州·期末）某校乒乓球社團為了解喜歡乒乓球運動是否與性別有關，隨機抽取了若干人進行調查.已知抽查的男生?女生人數(shù)均為，其中男生喜愛乒乓球運動的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜愛乒乓球運動的人數(shù)占女生人數(shù)的.若本次調查得出“有的把握認為喜愛乒乓球運動與性別有關”的結論，則的最小值為（

）附：參考公式及數(shù)據(jù)：.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．20 B．21 C．22 D．23【答案】A【分析】依題意，作出列聯(lián)表，計算的值，依題意，須使的值不小于小概率對應的，求解不等式即得.【詳解】依題意，作出列聯(lián)表：男生女生合計喜愛乒乓球運動不喜愛乒乓球運動合計則，因本次調查得出“有的把握認為喜愛乒乓球運動與性別有關”的結論，故得，解得，因，故的最小值為23..二、多選題9．（23-24高二下·吉林白山·期末）暑假結束后，為了解假期中學生鍛煉身體情況，學生處對所有在校學生做問卷調查，并隨機抽取了180人的調查問卷，其中男生比女生少20人，并將調查結果繪制得到等高堆積條形圖．已知，其中，，在被調查者中，下列說法正確的是（

）A．男生中不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多B．男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人多8人C．經(jīng)常鍛煉者中男生的頻率是不經(jīng)常鍛煉者中男全的頻率的1.6倍左右D．在犯錯誤的概率不大于0.01的條件下，可以認為假期是否經(jīng)常鍛煉與性別有關【答案】CCD【分析】根據(jù)男生比女生少20人，建立等式求出男生、女生的人數(shù)，建立列聯(lián)表，利用列聯(lián)表中的信息解決ABC，利用獨立性檢驗來解決D選項．【詳解】解：設男生人數(shù)為，則女生人數(shù)為，由題得，解得，即在被調查者中，男?女生人數(shù)為80，100，可得到如下列聯(lián)表，性別鍛煉情況合計經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉男483280女4080100合計8892180由表可知，A顯然錯誤，男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多B正確；在經(jīng)常鍛煉者中是男生的頻率為，在不經(jīng)常鍛煉者中是男生的頻率為C正確；零假設：假期是否經(jīng)常鍛煉與性別無關，則，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不不成立，即認為假期是否經(jīng)常鍛煉與性別有關，此推斷犯錯誤概率不大于0.01，D正確，CD．10．（23-24高二下·重慶·期末）為考察某種藥物預防疾病的效果，進行動物實驗，得到如下藥物結果與動物實驗的數(shù)據(jù)：患病未患病服用藥1045沒服用藥2030由上述數(shù)據(jù)得出下列結論，其中正確的是（

）附：；0.050.0250.0100.0053.8415.0246.6357.879A．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷服用藥物是有效的，此推斷犯錯誤的概率不超過0.025B．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷服用藥物是有效的，此推斷犯錯誤的概率不超過0.01C．該藥物的預防有效率超過D．若將所有試驗數(shù)據(jù)都擴大到原來的10倍，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷服用藥物是有效的，此推斷犯錯誤的概率不超過0.005【答案】AD【分析】根據(jù)題意計算出的值，逐項分析即可.【詳解】根據(jù)列聯(lián)表患病未患病合計服用藥104555沒服用藥203070合計3075105計算，對于A，因為，所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷服用藥物是有效的，此推斷犯錯誤的概率不超過0.025，A正確；對于B，因為根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷服用藥物是無效的，此推斷犯錯誤的概率不超過0.01，B錯誤；對于C，可推斷該藥物的預防有效率超過，C錯誤；對于D，若將所有試驗數(shù)據(jù)都擴大到原來的10倍，則根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷服用藥物是有效的，此推斷犯錯誤的概率不超過0.005，D正確；D.11．（24-25高三上·廣東深圳·階段練習）某中學為更好地開展素質教育，現(xiàn)對外出研學課程是否和性別有關做了一項調查，其中被調查的男生和女生人數(shù)相同，且男生中選修外出研學課程的人數(shù)占男生總人數(shù)的，女生中選修外出研學課程的人數(shù)占女生總人數(shù)的．如果依據(jù)的獨立性檢驗認為選修外出研學課程與性別有關，但依據(jù)的獨立性檢驗認為選修外出研學課程與性別無關，則調查人數(shù)中男生可能有（

）附：，其中.A．170人 B．225人C．300人 D．375人【答案】CC【分析】設男生人數(shù)為，根據(jù)題意用表示出女生人數(shù)、男生中“選修外出研學課程”人數(shù)、女生中“選修外出研學課程”人數(shù)，進而表示出表格中其它人數(shù)，利用公式計算出，由得到的范圍，進而得到男生人數(shù)的范圍，選出符合題意的選項.【詳解】設男生人數(shù)為，根據(jù)題意可得列聯(lián)表如下：男生女生合計選修外出研學課程不選修外出研學課程合計則，依據(jù)依據(jù)的獨立性檢驗認為選修外出研學課程與性別有關，但依據(jù)的獨立性檢驗認為選修外出研學課程與性別無關，則，解得，則．C．三、填空題12．（24-25高三·上?！るS堂練習）隨著工業(yè)化以及城市車輛的增加，城市的空氣污染越來越嚴重，空氣質量指數(shù)API一直居高不下，對人體的呼吸系統(tǒng)造成了的嚴重的影響．現(xiàn)調查了某市700名居民的工作場所和呼吸系統(tǒng)健康狀況，得到列聯(lián)表如下，則．（結果精確到0.001）室外工作室內工作總計有呼吸系統(tǒng)疾病170無呼吸系統(tǒng)疾病100總計200【答案】3.968【分析】由題意，根據(jù)列聯(lián)表中所給數(shù)據(jù)補全列表，將數(shù)據(jù)代入公式得，計算即可得到答案.【詳解】補全列聯(lián)表室外工作室內工作總計有呼吸系統(tǒng)疾病170200370無呼吸系統(tǒng)疾病70100170總計200300700.故答案為：3.968.13．（23-24高二下·河南信陽·期末）為了研究高三學生的性別和身高是否大于170cm的關聯(lián)性，調查了高三學生200名，得到如下列聯(lián)表：性別身高合計低于170cm不低于170cm女8020100男3070100合計11090200根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，計算得；依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認為“高三學生的性別和身高有關聯(lián)”.附：臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82814．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習）有甲、乙兩個班級共計105人進行數(shù)學考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10b乙班c30附:其中.0.100.050.0250.0100.00050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是①列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35；②列聯(lián)表中c的值為20，b的值為45；③根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，能認為“成績與班級有關系”；④根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關系”.【答案】②③【分析】由成績優(yōu)秀的概率，可求的成績優(yōu)秀的人數(shù)，進而求出非優(yōu)秀人數(shù)，得到的值，計算的觀測值，對照題目中的表格，即可得到結論.【詳解】由題意，在全部的105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，所以成績優(yōu)秀的人數(shù)為人，非優(yōu)秀的人數(shù)為人，所以，故①錯誤，②正確；則，若按的可靠性要求，能認為“成績與班級有關系”，故③正確，④錯誤.故答案為：②③.【點睛】關鍵點睛：熟練掌握的計算方法是本題解決的關鍵.四、解