歷年全國各地中考數學壓軸題專題匯編-函數（100題）

近6年全國各地中考數學壓軸題專題匯編一一函數(100題)

1.(2014?甘肅中考真題)如圖，拋物線尸一9^9+口與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,拋物線的對稱軸

2

交x軸于點D,己知A(-1,0),C(0,2).

(1)求拋物線的表達式；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使APCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；

如果不存在，請說明理由；

(3)點E時線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F,當點E運動到什么位置時，四邊形

CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標.

1a

【答案】U)拋物線的解析式為：尸?七X2+±X+2

22

33535

(2)存在，P,(-,4),P2(-,-),P3(-,--)

22222

13

(3)當點E運動到(2,1)時，四邊形CDBF的面積最大，S四邊形CW的面枳破大二一.

2

【解析】

試題分析：(1)將點A、C的坐標分別代入可得二元一次方程組，解方程組即可得出m、n的值；

(2)根據二次函數的解析式可得對稱軸方程，由勾股定理求出CD的值，以點C為圓心，CD為半徑作弧交對稱軸于

P);以點D為圓心CD為半徑作圓交對稱軸于點P2,P3；作CH垂直于對稱軸與點H,由等腰三角形的性質及勾股定理

就可以求出結論；

(3)由二次函數的解析式可求出B點的坐標，從而可求出BC的解析式，從而可設設E點的坐標，進而可表示出F

的坐標，由四邊形CDBF的面積MSABCB+S△.+$位"可求出S與a的關系式，由二次函數的性質就可以求出結論.

試題解析：(1)???拋物線y=--x2+mx+n經過A(-1,0),C(0,2).

2

3

解得:陽=5,

77=2

17

???拋物線的解析式為：y=--X2+-X+2；

22

???拋物線的對稱軸是x=23.

2

3

.\0D=-.

2

VC(0,2),

/.0C=2.

在Rt^OCD中，由勾股定理，得

CD=—.

2

VACDP是以CD為腰的等腰三角形，

ACP1=CP2=CP3=CD.

作CH_Lx軸于H,

???HP尸HD=2,

ADPi=4.

3353

Ah(-,4),P2(-,-),P3(-,--

2222：

I.3

(3)當y=0時，0=-—x?+—x+2

22

Axi=-1,X2=4,

AB(4,0).

設直線BC的解析式為y=kx+b,由圖象，得

2=b

0=4Z”’

1

b=2

工直線BC的解析式為：y=--i-x+2.

2

Ii3

如圖2,過點C作CM_LEF于M,設E(a,--a+2),F(a,--a2+-a+2),

222

i3ii

EF=--a'+—a+2-(--a+2)="-a'+2a(0WxW4).

2222

VS四邊形a*二SaBai+SziciF+SaBEF=—BD*0C+—EF?CM+—EF?BN,

222

=-x—x2+—a(-—a2+2a)+—(4-a)(--a2+2a),

222222

=-a2+4a+—(0WxW4).

2

.??a=2時，S四邊形CDBF的面積最大=，，

考點：1、勾股定理；2、等腰三角形的性質；3、四邊形的面積；4、二次函數的最值

2.(2017?四川中考真題)如圖，已知二次函數尸ax2+bx+c(ar0)的圖象經過A(-1,0)、B(4,0)、C(0,2)

三點.

(1)求該二次函數的解析式；

(2)點D是該二次函數圖象上的一點，且滿足NDBA=NCAO(O是坐標原點)，求點D的坐標；

(3)點P是該二次函數圖象上位于一象限上的一動點，連接PA分別交BC,y軸與點E、F,若APEB、ACEF的

面積分別為Si、S2,求Sl?§2的最大值.

i38

【答案】(1)拋物線解析式為y二-5工2+耳/+2；(2)點D的坐標為(3,2)或(5-18)：(3)當l=g時，有

S1-S2有最大值，最大值為三.

【解析】

【分析】

(1)由A、B、C三點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

(2)當點D在x軸上方時，則可知當CD〃AB時，滿足條件，由對稱性可求得D點坐標；當點D在x軸下方時,

可證得BD〃AC,利用AC的解析式可求得直線BD的解析式,再聯立直線BD和拋物線的解析式可求得D點坐標；

(3)可設出P點坐標，表示出APAB、AAFO.ACOS,利用S|-S2=SgAB$AFO&BOC可表示成關于P點坐標的二

次函數，利用二次函數的性質可求得其最大值.

【詳解】

1

a=——

2

a-b+c=0

解：(1)由題意可得16。+4/?+。=0,解得，

2

c=2

c=2

13

拋物線解析式為y=—x2H—x+2；

22

(2)當點D在x軸上方時，過C作CD〃AB交拋物線于點D,如圖1,

,:A、B關于對稱軸對稱，C、D關于對稱軸對稱,

???四邊形ABDC為等腰梯形，

AZCAO=ZDBA,即點D滿足條件,

AD(3,2)；

當點D在x軸下方時，

VZDBA=ZCAO,

ABD//AC,

VC(0,2),

???可設直線AC解析式為丫=心+2,把A(-1,0)代入可求得k=2,

???直線AC解析式為y=2x+2,

???可設直線BD解析式為y=2x+m,把B(4,0)代入可求得m=-8,

???直線BD解析式為y=2x-8,

—Icx=4rx=_5

聯立直線BD和拋物線解析式可得41,33解得《八或〈1。，

y=--x~+—x+2[y=0[y=-18

AD(-5,-18)；

綜上可知滿足條件的點D的坐標為(3,2)或(-5,-18)；

(3)設尸，，-g/+g/+2)?.?AB=5,OC=2,

If123Qu5215「

**?SAPAB=——/H—/4~2x5=—tH---1+5

2122J44

OF1

,13~~"

2r+1，

—t+—1+2

22

...OF=-1(r-4),

??SA"O=JX1X--(f-4)=一/-4),且S"=1x2x4,

???當t=g時，有Si-S2有最大值，最大值為巧.

【點睛】

本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、平行線的判定和性質、三角形的面積、二次函數的性質、方程思想

僅分類討論思想等知識.在(1)中注意待定系數法的應用，在(2)中確定出D點的位置是解題的關鍵，在(3)

中用P點的坐標分別表示出兩個三角形的面積是解題的關鍵.本題考查知識點較多，綜合性較強，計算量大，難度

較大.

3.(2019?山西中考真題)綜合與探究

如圖，拋物線y二奴?+加+6經過點A(-2,0),B(4,0)兩點，與)'軸交于點C,點D是拋物線上一個動點，設點D

的橫坐標為m(lvwv4).連接AC,BC,DB,DC.

(1)求拋物線的函數表達式；

3

(2)ABCD的面積等于△AOC的面積的一時，求〃?的值：

4

⑶在⑵的條件下，若點M是工軸上的一個動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點M,使得以點B,

D,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)>=一:％2+,工+6；(2)3；(3)”|(8,0),加2(°，°)，詡3(e，°)，加4(-^,0).

【解析】

【分析】

(1)利用待定系數法進行求解即可；

3

(2)作直線DE_LX軸于點E,交BC于點G,作CF_LDE,垂足為F,先求出SaAc=6,再根據SABCD=-SAAOC,得

4

9.33

到S&BCD=],然后求出BC的解析式為y=-3*+6,則可得點G的坐標為(〃7,—5機+6),由此可得

乙乙Xr

八1

2

DG=--m+3m,再根據SABCD=SACDG+S4BDG=^,OG,8。，可得關于m的方程，解方程即可求得答案；

(3)存在，如下圖所示，以BD為邊或者以BD為對角線進行平行四邊形的構圖，以BD為邊時，有3種情況，由點

D的坐標可得點N點縱坐標為土:，然后分點N的縱坐標為與和點N的縱坐標為-"兩種情況分別求解；以BD

為對角線時，有1種情況，此時Ni點與N2點重合，根據平行四邊形的對邊平行且相等可求得BMi=NQ=4,繼而

求得OMi=8,由此即可求得答案.

【詳解】

(1)拋物線》=以2+加+。經過點A(-2,0),B(4,0),

4。一2b+6=0

???〈，

16a+4/?+6=0

3

a=—

解得彳4，

b=_

2

33

，拋物線的函數表達式為》=一^爐+51+6；

(2)作直線DE_LX軸于點E,交BC于點G,作CF_LDE,垂足為E

V點A的坐標為(?2,0),???OA=2,

由R=0,得y=6,???點C的坐標為(0,6),；.0C=6,

SAOAC=—OA-OC=-x2x6=6,

22

..3

?SABCD=—SAAOC?

4

.g3/9

??SABCD=_xo=—?

42

設直線BC的函數表達式為丁=履+〃，

4Z+〃=0

由B,C兩點的坐標得《,,解得＜

yz=6

n=6

3

???直線BC的函數表達式為y=--x+6,

3

：?點G的坐標為(m,一1m+6),

2

333Q

:、DG=——w24-—7W+6-(——機+6)=——nr+3m，

4224

?:點B的坐標為(4,0),???OB=4,

VSABCD=SACDG+S&BDG=-DGCF+-DGBE=-DG(CF+BE)=LDGBO,

2222

[33

SABCD=—(—+3ni)x4=—m~+6m,

242

?32(9

22

解得叫=1(舍)，nt,=3,

：?m的值為3；

y

1

AI°\X

(3)存在，如下圖所示，以BD為邊或者以BD為對角線進行平行四邊形的構圖,

以BD為邊時，有3種情況，

???D點坐標為(3,?),???點N點縱坐標為±岸，

當點N的縱坐標為號時，如點N2,

4

33IS

此時—A2H—x+6=—?解得：％=-1,X,=3(舍)，

424

^V2(—1,-^-),M2(0,0)；

當點N的縱坐標為一叵時，如點N3,N4,

4

2

此時一一A+-x+6=-i-,解得：x=1-V14,x2=1+>/14

424」二

???乂(1+而—%(1-714,-^),

A(V14,0),M4(-V14,0)；

以BD為對角線時，有I種情況，此時N1點與Nz點重合，

1,二)，D(3,：),

44

/.N|D=4,

.?.BM)=N|D=4,

.*.OMi=OB+BMi=8,

.*.Mi(8,0),

綜上，點M的坐標為：必(8,0),M2(0,0),M3(V14,0),M4(-714,0).

本題考查的是二次函數的綜合題，涉及了待定系數法、三角形的面積、解一元二次方程、平行四邊形的性質等知識，

運用了數形結合思想、分類討論思想等數學思想，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關犍.

4.(2018?四川中考真題)如圖，拋物線y=；x2+bx+c與直線產;x+3交于A,B兩點，交x軸于C、D兩點，連

接AC、BC,已知A(0,3),C(-3,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線對稱軸1上找一點M,使IMB-MDI的值最大，并求出這個最大值；

(3)點P為y軸右側拋物線上一動點，連接PA,過點P作PQ_LPA交y軸于點Q,問:是否存在點P使得以A,P,Q

為頂點的三角形與AABC相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)拋物線的解析式是y=gx2+|^+3；(2)IMB-MDI取最大值為&；(3)存在點P(1,6).

【解析】

分析：(1)根據待定系數法，可得函數解析式；

(2)根據對稱性，可得MC=MD,根據解方程組，可得B點坐標，根據兩邊之差小于第三邊，可得B,C,M共線，根

據勾股定理，可得答案；

(3)根據等腰直角三角形的判定，可得NBCE,NAC0,根據相似三角形的判定與性質，可得關于x的方程，根據

解方程，可得x,根據自變量與函數值的對應關系，可得答案.

詳解：(1)將A(0,3),C(-3,0)代入函數解析式，得

c=3

b——

9解得彳2,

——3Z?+c=0

[2c=3

拋物線的解析式是尸?x?+：x+3；

22

(2)由拋物線的對稱性可知，點D與點C關于對稱軸對稱,

，對1上任意一點有MD=MC,

y=,x+3

聯立方程組〈

15)

y=-x2+—x+3

22

x=()fx=-4

解得<”(不符合題意，舍)，〈,，

U=3[y=\

AB(-4,1),

當點B,C,M共線時，取最大值，即為BC的長,

過點B作BE_Lx軸于點E,

BC=7BE2+CE2=V2?

IMB-Ml)|取最大值為J5；

(3)存在點P使得以A,P,Q為頂點的三角形與aABC相似,

在RtZXBEC中，VBE=CE=1,

/.ZBCE=45°,

在RtZXACO中，

VA0=C0=3,

AZAC0=45°,

AZACB=180°-45°-45°=90°,

過點P作PQJ_y軸于Q點,ZPQA=90°,

設P點坐標為(X,-X2+-X+3)(X>0)

22

①當NPAQ=NBAC時，△PAQs/\CAB,

VZPGA=ZACB=90°,ZPAQ=ZCAB,

/.APGA^ABCA,

.BCACPGBC1

??---=----,即nn----=----=-9

PGAGADAC3

x_1

/.~\~25_―3，

-X+-X+3

22

解得x1=LX2=0(舍去)，

???P點的縱坐標為1Xl2+-X1+3=6,

22

AP（1,6）,

②當NPAQ=NABC時，△PAQs^CBA,

VZPGA=ZACB=90°,NPAQ二NABC,

AAPGA^AACB,

.BCAC

??,

AGPG

PGAC

即an——=—=3,

AGPG

---------------------=3

???12,5,…，

—x4—x+3—3

22

13

解得x1=-7（舍去），x2=0（舍去）

,此時無符合條件的點P,

綜上所述，存在點P（L6）.

點睛：本題考查了二次函數綜合題，解（1）的關鍵是利用待定系數法求函數解析式；解（2）的關鍵是利用兩邊只

差小于第三邊得出M,B,C共線；解（3）的關鍵是利用相似三角形的判定與性質得出關于x的方程，要分類討論，

以防遺漏.

5.（2019?遼寧中考真題）某商場銷售一種商品的進價為每件30元，銷售過程中發(fā)現月銷售量），（件）與銷售單價*

（元）之間的關系如圖所示.

（1）根據圖象直接寫出y與X之間的函數關系式.

（2）設這種商品月利潤為W（元），求W與x之間的函數關系式.

（3）這種商品的銷售單價定為多少元時，月利潤最大？最大月利潤是多少?

-x+180(40<x<60)-X2+210X-5400(40<x<60)

【答案】⑴尸〈⑵W=<°;（3）這種商品的銷售單

-3x+300(60<x<90)-3x2+390x-9000(60<x<90)

價定為65元時，月利潤最大，最大月利潤是3675.

【解析】

【分析】

（1）當40<x<60時，設y與x之間的函數關系戈為y=kx+b,當60<x<90時，設y與x之間的函數關系式為y=mx+n,

解方程組即可得到結論；

(2)當40WXW60時，當60VXW90時，根據題意即可得到函數解析式；

22

(3)當40WXW60時，W=-x+21Ox-5400,得到當x=60時，Wwx=-60+210x60-5400=3600,當60<xW90時,

22

W=-3x+390x-9000,得至lj當x=65時，WfflX=-3x65+390x65-9000=3675,于是得到結論.

【詳解】

解.：（1）當40WxW60時，設y與x之間的函數關系式為5=丘+匕,

40Z+b=140

將(40,140),(60,120)代入得?

60k+b=\20

k=-l

解得：

力二180

???y與x之間的函數關系式為y=-x+180；

當60VxW90時，設y與x之間的函數關系式為）=的+〃,

90m+u=30

將(90,30),(60,120)代入得，

60/n+H=120

m=-3

解得：

n=300

/.y=-3A+3OO；

-x+180(40<x<60)

綜上所述,y=\

-3x+300(60<x<90)

(2)當40—0時，W=(A-30)y=(x-30)(-x+180)=-r+21(k-5400,

當60VxW90時，W=(x-30)(-3x+300)=-+390x-9000,

-X2+210X-5400(40<x<60)

綜上所述,

-3x2+390x-9000(60<x<90)

(3)當40WxW60時，W=-^+21Ox-5400.

210

":-1VO,對稱軸x=-----=105,

-2

???當40WxW60時，W隨x的增大而增大，

，當x=6)時,卬取大=-602+210X60-5400=3600,

當604W90時，W=-3r+39(比-9000,

390

■:-3<0,對稱軸x=-----=65,

—6

V60<x<90,

:.當x=65時，W奴大=-3X652+390X65-9000=3675,

V3675>3600,

.?.當％=65時，W姑大=3675,

答：這種商品的銷售單價定為65元時，月利潤最大，最大月利潤是3675.

【點睛】

本題考查了把實際問題轉化為二次函數，再利用二次函數的性質進行實際應用.根據題意分情況建立二次函數的模

型是解題的關鍵.

6.（2019?河南中考真題）如圖，拋物線y=ar2+gx+c交x軸于A,B兩點，交y軸于點C.直線y=-gx-2

經過點A,C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線，交直線AC于點M,設點P的橫坐標為m.

①當APCM是直角三角形時，求點P的坐標；

②作點B關于點C的對稱點8,則平面內存在直線1,使點M,B,8到該直線的距離都相等.當點P在y軸右

側的拋物線上，且與點B不重合時，請直接寫出直線/：y=丘+6的解析式.（k,b可用含m的式子表示）

備用圖

【答案】⑴/+2+呆一2⑵①（一2,-2）或（6』。）’②直線I的解析式為產一黑“一2’尸黑尸2

或y=%_3m_2.

4

【解析】

【分析】

（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點A,C的坐標，根據點A,C的坐標，利用待定系數法可求出二次

函數解析式；

（2）①由PMJ_x軸可得出NPMCR90。，分NMPC=90。及/PCM=90。兩種情況考慮：⑴當NMPC=90。時，PC〃x

軸，利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點P的坐標；（ii）當NPCM=90。時，設PC與x軸交于點D,易證

△AOC-ACOD,利用相似三角形的性質可求出點D的坐標，根據點C,D的坐標，利用待定系數法可求出直線PC

的解析式，聯立直線PC和拋物線的解析式成方程組，通過解方程組可求出點P的坐標.綜上，此問得解；

②利用二次函數圖象上點的坐標特征及一次函數圖象上點的坐標特征可得出點B,M的坐標，結合點C的坐標可得

出點W的坐標，根據點M,B,B，的坐標，利用待定系數法可分別求出直線BM,B，M和BB，的解析式，利用平行

線的性質可求出直線1的解析式.

【詳解】

解：（1）當x=0時，y=-^x-2=-2,

.??點C的坐標為（0,-2）；

當y=0時，一gx-2=0,

解得：尸一4,

???點A的坐標為(-4,0).

將A(-4,0),C(0,—2)代入ynor?+]X+c,得:

1

16〃-2+c=0a=—

,解得：4,

c=-2

「?拋物線的解析式為y=%+^x-2.

(2)①軸,

/.NPMCH90°，

???分兩種情況考慮，如圖1所示.

(i)當NMPC=90'時，PC〃不軸,

???點P的縱坐標為-2.

當y=-2時，-X2+-X-2=-2,

42

解得：玉二-2,七=0,

二?點P的坐標為(-2,-2)；

(ii)當NPCM=90°時，設PC與x軸交于點D.

???NQAC+NOG4=90'，NOC4+NOCO=90。,

...ZOAC=ZOCD.

又???NAOC=NCO￡>=90°，

...AAOC?AC。。,

經.生，即空二

OC0A24

...OD=1,

點D的坐標為(1,0).

設直線PC的解析式為)，=kx+b(kw0),

將C(0,-2),0(1,0)代入產奴也，得:

b=-2k=2

解得:

k+b=Ob=-2

「?直線PC的解析式為y=2x-2.

y=2x-2

聯立直線PC和拋物線的解析式成方程組，得:11

y=—x~2-\--x-2。

42

%二0x=6

解得：\2

）二一2%=10

點P的坐標為（6/0）.

綜上所述：當△PCM是直角三角形時，點P的坐標為（-2,-2）或（6,10）.

②當y=0時，^x2+^x-2=0,

解得：xi=-4,X2=2,

???點B的坐標為（2,0）.

???點C的坐標為（0,-2）,點B,B，關于點C對稱，

???點B，的坐標為（-2,-4）.

?1點P的橫坐標為m（m>0且m#2）,

:.點M的坐標為（八一；加一2）,

+4w?+4—tn+45m+4

利用待定系數法可求出：直線BM的解析式為y=----x+--，直線B，M的解析式為y=——x

2m一4m-22ni+4tn+2

直線BB，的解析式為y=x-2.

分三種情況考慮，如圖2所示:

6+4

當直線1〃BM且過點C時，直線1的解析式為y=——-X-2,

2m-4

—vn+4

當直線1〃B，M且過點C時，直線1的解析式為y=-_-JC-2,

2/n+4

（11、3

當直線1〃BB，且過線段CM的中點N時，直線1的解析式為y=x--m-2,

4J4

?n+4-m+43

綜上所述：直線1的解析式為），=一；^--x-2,y=-~;■工一？或y=

2m-42m+44

【點睛】

本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、待定系數法二次函數解析式、二次函數圖象上點的坐標特征、待定系數

法求一次函數解析式、相似三角形的判定與性質以及平行線的性質，解題的關鍵是：(1)根據點的坐標，利用待定

系數法求出二次函數解析式；⑵①分NMPC=90。及NPCM=90。兩種情況求出點P的坐標；②利用待定系數法及平

行線的性質，求出直線1的解析式.

7.(2015?廣西中考真題)(2015崇左)如圖，在平面直角坐標系中，點M的坐標是(5,4),OM與)，軸相切于

點C,與*軸相交于4、B兩點.

(1)則點A、B、C的坐標分別是4,8__)；

(2)設經過A、3兩點的拋物線解析式為y=!(x-5)2+A,它的頂點為凡求證：直線必與。M相切；

(3)在拋物線的對稱軸上，是否存在點尸，且點尸在x軸的上方，使APBC是等腰三角形.如果存在，請求出點P

的坐標；如果不存在，請說明理由.

【答案】(1)4(2,0),8(8,0),C(0,4)；(2)證明見試題解析；(3)P(5,4),或(5,肝),或(5,4+J為).

【解析】

試題分析：(1)連接MC,則MC垂直于y軸，MA=MC=5,MD=4,由勾股定理可計算AD和DB；

(2)把A、或B或C的坐標代入y=」(簧一；5”#廢，確定二次函數表達式y(tǒng)=」(出一國2-日，連接MA,根據勾股

44旬

定理計算AF,由勾股定理逆定理判斷MA_LAF,從而說明FA是切線；

(3)設P(x,4),當C為頂點時，在RsCMPi中用x表示CP”根據=BC?列方程求解；當B為頂點時,

在RSBDP2中用x表示CPz,根據。鳥2=8。2列方程求解；當P是頂點時，易知P和M重合.

試題解析：(1)連接MC,則MC垂直于y軸，MA=MC=5,MD=4,在RsAMD中，AD二屈尸二麗'二3,同

理在RQBMD中，BD=3,AA(2,0),B18,0),C(0,4)；

(2)把A(2,0)y=—(^*-3)^-Ifft,解得,，y=N(&一與)&i逑，；?F(5,),連接MA,則MF=4+?=

4qq司日司

豁：___________21^625

——，AF=JAD2+FD2=—?：?FA1+AD2=MF2=-----,:.MA_LAF,:.FA與。M相切；

硼硼16

(3)設P(x,4),BC2=80.當C為頂點時，在RsCMPi中，C/；2=25+(x-4)2,/.25+(x-4)2=80,

x二4±序，點P在x軸上方，故X=4+A，所以(4+病，4)；

當B為頂點時，在RQBDP2中，Cg2=9+(x-4)2,.\9+(X-4)2=80,x二4±J亓，點P在x軸上方，故

X=4+M，所以(4+6，4)；

當P是頂點時，P和M重合，P3(5,4).

綜上當P(4+J為，4)、(4+J亓，4)或(5,4)時APBC是等腰三角形.

考點：二次函數綜合題.

8.(2019?天津中考真題)己知拋物線y=f-bx+c(b,c?為常數，b>0)經過點4—1,0),點M(機,0)是x軸

正半軸上的動點.

(I)當b=2時，求拋物線的頂點坐標；

(II)點在拋物線上，當4V/=4。，加=5時，求〃的值：

(ID)點0S+g,)b)在拋物線上，當近AM+2QM的最小值為史也時，求人的值.

【答案】(I)(D；(H)/?=3>/2-1；UII)b=4.

【解析】

【分析】

(I)把b=2和點4(-1,0)代入拋物線的解析式，求Hlc的值，進行配方即可得出頂點坐標

(II)根據點A(-1,0)和)點。(小丁力在拋物線上和b>0得出點一人一1)在第四象限，且在拋物線對稱軸

工二鄉(xiāng)的右側.過點。作軸，垂足為E,則點ES,O),再根據D、E兩點坐標得出^ADE為等腰直角三

角形，得出AQ=&AE，再根據已知條件4M=4。，6=5,從而求出b的值

(HI)根據點QS+于%)在拋物線上得出點。(6+萬,一；一［)在第四象限，且在直線x=b的右側;取點N(0,l),

過點。作直線AN的垂線，垂足為G,或與入軸相交于點M，得出當AM二GM,此時&AM+2QM的值

最??；過點。作。軸于點H,則點〃S+g,0).再根據Q"=M”得出m與b的關系，然后根據兩點間

的距離公式和

應AM+2QM的最小值為電2,列出關于b的方成即可

【詳解】

解：(I)???拋物線y=f一區(qū)+c經過點4-1,0),

???l+b+c=O.即。=一6-1.

當b=2時，y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

，拋物線的頂點坐標為(1,-4).

(II)由(I)知，拋物線的解析式為y二d一法一力一］.

???點。S,%)在拋物線y=f一版一人一1上，

2

:.yD=b-bb-b-\=-b-\.

由b>0,得一6—1<。，

2

???點D(b-b-1)在第四象限，且在拋物線對稱軸x=2的右側.

2

如圖，過點。作OE_Lx軸，垂足為E,則點E(b,O).

AAE=b+\,DE=b+\.得AE=￡>E.

???在RtAAOE中，NAOE=NDAE=45’.

???AD=42AE-

由已知AAZ=AZ)，m=5

5-(-1)=V2(Z?+1).

(III)??,點QS+g,")在拋物線y=d-反一6-1上，

**?=(b+-b(b+-l=_g一擠.

1I%Q

可知點。仍十萬,-5-^)在第四象限，且在直線x=b的右側.

加

考慮到CAM+2QM=2(三AM+QM),可取點N(0,l),

如圖，過點。作直線AN的垂線，垂足為G,QG與x軸相交于點M，

有NGAM=45°，得

2

則此時點必滿足題意.

過點。作。〃，工軸于點”，則點H(b+；,O).

在RtAMQH中，可知ZQMH=NMQH=45°.

:,QH=MH,QM=42MH.

???點”(網0),

0—(————)=(/?+—)—/n.解得m=2-L.

24224

V>f2AM+2QM=過亞，

4

：?夜吟一》一㈠才+243+J)—4一|)］二孳?

242244

Z?=4.

【點睛】

本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求二次函數、勾股定理、等腰三角形的性

質與判定等知識，關鍵是明確題意，作出合適的輔助線，利用數形結合的思想和二次函數的性質解答.

9.(2016?山東中考真題)在平面直角坐標系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點A、C的坐標分別是

(0,4)、(-1,0),將此平行四邊形繞點O順時針旋轉90。，得到平行四邊形A，一。。.

⑴若拋物線過點GA、A，，求此拋物線的解析式；

⑵點M是第一象限內拋物線上的一動點，問：當點M在何處時，△AMK的面積最大？最大面積是多少？并求出

此時點M的坐標；

(3)若尸為拋物線上的一動點，N為x軸上的一動點，點。坐標為(1,0),當尸、N、R、。構成平行四邊形時，求

點尸的坐標，當這個平行四邊形為矩形時，求點N的坐標.

【答案】（1）y=-/+3x+4.；（2）x=2時，AAM/V的面積最大，最大值為8,

M(2,6).(3)Pi(0,4),P2(3,4),P3(上畫，-4),P4(上包，-4)；點N的坐標為：(0,0)或

22

(3,0).

【解析】

試題分析：（1）先由OA，=OA得到點A，的坐標，再用點C、A、A，的坐標即可求此拋物線的解析式；（2）連接AA，,

過點M作，交AA，于點N,把△AMA分割為△A，MN,△AMA，的面積=△AMA，的面積+△AMN

的面積=^OA，?MN,設點M的橫坐標為x,借助拋物線的解析式和AA，的解析式，建立MN的長關于x的函數關系

式，再據此建立△AMA，的面積關于x的二次函數關系式，再求△AMA，面積的最大值以及此時M的坐標；（3）在P、

N、B、Q這四個點中，B、Q這兩個點是固定點，因此可以考慮將BQ作為邊、將BQ作為對角線分別構造符合題

意的圖形，再求解.

試題解析：（1）???平行四邊形ABOC繞點O順時針旋轉90。，得到平行四邊形AB9C,點A的坐標是（0,4）,

???點A，的坐標為（4,0）,點B的坐標為（1,4）.

???拋物線過點C,A,A\設拋物線的函數解析式為y=ax?+bx+c（a/））,可得：

a-b+c=0a=-1

<c=4.解得：，b=3.，拋物線的函數解析式為y=-X2+3X+4.

16a+4b+c=0c=4

（2）連接AA，，設直線AA，的函數解析式為丫=1?+忱可得

{窗，解得:{::;

，直線AA，的函數解析式是y=-x+4.

設M(x,-x2+3x+4),

SAAMA=^X4X[-X2+3X+4-(-x+4)]=-2x2+8x=~2(x-2)2+8.

，x=2時，△AMA，的面積最大SAAMA，=8.

AM(2,6).

(3)設P點的坐標為(x,-x2+3x+4),蘭P、N、B、Q構成平行四邊形時，

①當BQ為邊時，PN〃BQ且PN=BQ,

VBQ=4,，-x?+3x+4=±4.

當一