2024年高考押題預(yù)測數(shù)學(xué)試題（新高考卷01新題型結(jié)構(gòu)） 含解析

2024年高考押題預(yù)測卷01【新高考卷】數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之積為，滿足（），則（

）A． B． C． D．3．某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前的廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后廢水中含有的污染物數(shù)量為，第n次改良工藝后廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型（，），其中為改良工藝前的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù)．假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過時(shí)符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．12 B．13 C．14 D．154．已知點(diǎn)在拋物線上，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)也在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)為，則線段的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．45．已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．6．設(shè)等差數(shù)列的公差為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件7．已知，則（

）A．B．C． D．8．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)有一極大值點(diǎn)為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知復(fù)數(shù)，則下列命題一定成立的有（

）A．若，則 B．若，則C． D．10．已知，下列結(jié)論正確的是（

）A．若的最小正周期為，則B．若的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱，則C．若在上恰有4個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍為D．存在，使得在上單調(diào)遞減11．六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為m，則（

）A．該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為 B．該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為C．該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為D．該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．的展開式中的系數(shù)為．13．已知高為2的圓錐內(nèi)接于球O，球O的體積為，設(shè)圓錐頂點(diǎn)為P，平面為經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的平面，且與直線所成角為，設(shè)平面截球O和圓錐所得的截面面積分別為，，則.14．已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線的傾斜角分別為，則；當(dāng)取最小值時(shí)，的面積為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）如圖，在平面四邊形ABCD中，，．

(1)若，，求的值；(2)若，，求四邊形ABCD的面積．16．（15分）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)在上的最大值和最小值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．17．（15分）2023年12月2日，中央廣播電視總臺甲辰龍年春晚的主標(biāo)識正式發(fā)布，中央廣播電視總臺《2024年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)》以“龍行龘龘，欣欣家國”為主題，創(chuàng)新“思想＋藝術(shù)＋技術(shù)”融合傳播，與全球華人相約除夕，共享一臺精彩紛呈、情真意切、熱氣騰騰的文化盛宴．為了解大家對“龘”這個(gè)字的認(rèn)知情況，某網(wǎng)站進(jìn)行了調(diào)查，并對每一類情況賦予相應(yīng)的認(rèn)知度分值，得到如下表格：認(rèn)知情況A類：不會(huì)讀不會(huì)寫B(tài)類：會(huì)讀不會(huì)寫C類：會(huì)讀且會(huì)寫但不理解D類：會(huì)讀、會(huì)寫且理解人數(shù)/萬人103055認(rèn)知度分值507090100(1)求參與調(diào)查的人員認(rèn)知度分值的平均數(shù)與方差；(2)為了幫助大家記住這個(gè)主題，該網(wǎng)站設(shè)計(jì)了一個(gè)有獎(jiǎng)游戲，參與者點(diǎn)擊游戲按鈕，“龍行龘龘，欣欣家國”這8個(gè)字將進(jìn)行隨機(jī)排列，若相同的字分別相鄰（即龘與龘相鄰，欣與欣相鄰），則這個(gè)參與者可以獲得獎(jiǎng)勵(lì)，已知每個(gè)參與者是否獲得獎(jiǎng)勵(lì)互不影響，若2人同時(shí)參與游戲，求恰好有1人獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率；(3)若從參與調(diào)查的人員中按照分層抽樣的方法抽取20人進(jìn)行座談，再從這20人中隨機(jī)選取3人贈(zèng)送小禮品，這3人中屬于D類的人數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．18．（17分）已知四棱柱如圖所示，底面為平行四邊形，其中點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)，且．(1)求證：平面平面；(2)已知點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)位置），且平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．19．（17分）類對地球形狀的認(rèn)識經(jīng)歷了漫長的歷程．古人認(rèn)為宇宙是“天圓地方”的，以后人們又認(rèn)為地球是個(gè)圓球.17世紀(jì)，牛頓等人根據(jù)力學(xué)原理提出地球是扁球的理論，這一理論直到1739年才為南美和北歐的弧度測量所證實(shí)．其實(shí)，之前中國就曾進(jìn)行了大規(guī)模的弧度測量，發(fā)現(xiàn)緯度越高，每度子午線弧長越長的事實(shí)，這同地球兩極略扁，赤道隆起的理論相符．地球的形狀類似于橢球體，橢球體的表面為橢球面，在空間直角坐標(biāo)系下，橢球面，這說明橢球完全包含在由平面所圍成的長方體內(nèi)，其中按其大小，分別稱為橢球的長半軸、中半軸和短半軸．某橢球面與坐標(biāo)面的截痕是橢圓.(1)已知橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為．過橢圓的左焦點(diǎn)作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)分別作橢圓的切線，兩切線交于點(diǎn)，求面積的最小值．(2)我國南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家祖暅于5世紀(jì)末提出了祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．祖暅原理用現(xiàn)代語言可描述為：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．當(dāng)時(shí)，橢球面圍成的橢球是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，類比計(jì)算球的體積的方法，運(yùn)用祖暅原理求該橢球的體積．2024年高考押題預(yù)測卷01【新高考卷】數(shù)學(xué)·全解全析一、單選題1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，得，即，，得，即，，所以.故選：B2．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之積為，滿足（），則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，即，所以，所以，顯然，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，所以，即，所以．故選：C．3．某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型（，），其中為改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù)．假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過時(shí)符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】D【詳解】由題意知，，當(dāng)時(shí)，，故，解得，所以．由，得，即，得，又，所以，故若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要15次．故選：D4．已知點(diǎn)在拋物線上，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)也在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)為，則線段的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，依題知是的中位線，可知，過向準(zhǔn)線做垂線，垂足分別為，同理是的中位線，，由拋物線定義知，故得，又，則點(diǎn)橫坐標(biāo)是，代入可得其縱坐標(biāo)為，故.故選：C．5．已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對，因?yàn)?，則，即函數(shù)在單調(diào)遞減，且時(shí)，，則，即，所以，因?yàn)榍?，所以，又，所?故選：B6．設(shè)等差數(shù)列的公差為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由等差數(shù)列的公差為，得，則，當(dāng)時(shí)，，而，則，因此，為遞增數(shù)列；當(dāng)為遞增數(shù)列時(shí)，則，即有，整理得，不能推出，所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A7．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：因?yàn)?，所以，兩式相加得：，即，化簡得，所以，故選：A8．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)有一極大值點(diǎn)為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題意，令，若恒成立，易知：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以是的極小值點(diǎn)，不合題意，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)．設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，則，結(jié)合三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知：，在、上，單調(diào)遞減，在、上，單調(diào)遞增，是的極大值點(diǎn)，符合題意，此時(shí)需，得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知復(fù)數(shù)，則下列命題一定成立的有（

）A．若，則 B．若，則C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算及性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】設(shè)，則.對于A：，若，則，所以，即，故A一定成立；對于B：，若，則①，，同理，若，則需滿足且，與①式不同，故B不一定成立；選項(xiàng)C：，，所以，故C一定成立；選項(xiàng)D：②，，與②式不同，故D不一定成立.故選：AC10．已知，下列結(jié)論正確的是（

）A．若的最小正周期為，則B．若的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱，則C．若在上恰有4個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍為D．存在，使得在上單調(diào)遞減【答案】ABC【詳解】由，對于A，若的最小正周期為，則，故A正確；對于B，若的圖象向左平移個(gè)單位長度后得，其圖象關(guān)于縱軸對稱，則有，顯然，故B正確；對于C，，根據(jù)題意有，故C正確；對于D，，顯然，，即該區(qū)間為包含的連續(xù)區(qū)間，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知：該區(qū)間不可能單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11．六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為m，則（

）

A．該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為 B．該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為C．該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為 D．該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為【答案】ACD【詳解】

對A：由題知，各側(cè)面均為邊長為的正三角形，故該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積，故A正確；對B：連接，則，底面，故該正八面體結(jié)構(gòu)的體積，故B錯(cuò)誤；對C：底面中心到各頂點(diǎn)的距離相等，故為外接球球心，外接球半徑，故該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積，故C正確；對D：該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球半徑，故內(nèi)切球的表面積，故D正確；故選：ACD．第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．的展開式中的系數(shù)為．【答案】【詳解】二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此展開式中含的項(xiàng)為，故所求系數(shù)為.故答案為：24.13．已知高為2的圓錐內(nèi)接于球O，球O的體積為，設(shè)圓錐頂點(diǎn)為P，平面為經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的平面，且與直線所成角為，設(shè)平面截球O和圓錐所得的截面面積分別為，，則.【答案】【詳解】令球半徑為，則，解得，由平面與直線成角，得平面截球所得小圓半徑，因此，由球的內(nèi)接圓錐高為2，得球心到此圓錐底面距離，則圓錐底面圓半徑，令平面截圓錐所得截面為等腰，線段為圓錐底面圓的弦，點(diǎn)為弦中點(diǎn)，如圖，依題意，，，，顯然，于是，所以.故答案為：14．已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線的傾斜角分別為，則；當(dāng)取最小值時(shí)，的面積為．【答案】【詳解】設(shè)，則，可得，又因?yàn)榉謩e為雙曲線的左右頂點(diǎn)，可得，所以；又由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，解得，所以，所以，所以的面積為.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．如圖，在平面四邊形ABCD中，，．

(1)若，，求的值；(2)若，，求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，，，則，，在中，由正弦定理得，.（2）在和中，由余弦定理得，，得，又，得，則，，四邊形ABCD的面積.16．已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)在上的最大值和最小值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】(1)最大值為，最小值為；(2)答案見解析.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，得或，由于，所以當(dāng)，，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)，，在單調(diào)遞增，所以在時(shí)取到極小值，且，又因?yàn)?，，綜上，函數(shù)在上的最大值為，最小值為.（2）因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，令，則，所以當(dāng)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)，，在單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.17．2023年12月2日，中央廣播電視總臺甲辰龍年春晚的主標(biāo)識正式發(fā)布，中央廣播電視總臺《2024年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)》以“龍行龘龘，欣欣家國”為主題，創(chuàng)新“思想＋藝術(shù)＋技術(shù)”融合傳播，與全球華人相約除夕，共享一臺精彩紛呈、情真意切、熱氣騰騰的文化盛宴．為了解大家對“龘”這個(gè)字的認(rèn)知情況，某網(wǎng)站進(jìn)行了調(diào)查，并對每一類情況賦予相應(yīng)的認(rèn)知度分值，得到如下表格：認(rèn)知情況A類：不會(huì)讀不會(huì)寫B(tài)類：會(huì)讀不會(huì)寫C類：會(huì)讀且會(huì)寫但不理解D類：會(huì)讀、會(huì)寫且理解人數(shù)/萬人103055認(rèn)知度分值507090100(1)求參與調(diào)查的人員認(rèn)知度分值的平均數(shù)與方差；(2)為了幫助大家記住這個(gè)主題，該網(wǎng)站設(shè)計(jì)了一個(gè)有獎(jiǎng)游戲，參與者點(diǎn)擊游戲按鈕，“龍行龘龘，欣欣家國”這8個(gè)字將進(jìn)行隨機(jī)排列，若相同的字分別相鄰（即龘與龘相鄰，欣與欣相鄰），則這個(gè)參與者可以獲得獎(jiǎng)勵(lì)，已知每個(gè)參與者是否獲得獎(jiǎng)勵(lì)互不影響，若2人同時(shí)參與游戲，求恰好有1人獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率；(3)若從參與調(diào)查的人員中按照分層抽樣的方法抽取20人進(jìn)行座談，再從這20人中隨機(jī)選取3人贈(zèng)送小禮品，這3人中屬于D類的人數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)71，209(2)(3)分布列見解析，【詳解】（1）參與調(diào)查的人員認(rèn)知度分值的平均數(shù)為，

方差為．（2）將這8個(gè)字隨機(jī)排列，不同的排列方法有種，

相同的字分別相鄰的不同情況有種，故參與者可以獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率．

若2人同時(shí)參與游戲，則恰好有1人獲獎(jiǎng)的概率為．（3）根據(jù)分層抽樣的規(guī)則可知，A類抽取4人，B類抽取12人，C類抽取2人，D類抽取2人，則X的所有可能取值為0，1，2，則，，，

∴X的分布列為X012P∴X的數(shù)學(xué)期望為．18．已知四棱柱如圖所示，底面為平行四邊形，其中點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)，且．(1)求證：平面平面；(2)已知點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)位置），且平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）不妨設(shè)，因?yàn)槠矫嫫矫?，故，在中，，由余弦定理，，得，故，則，因?yàn)槠矫?，所以平面，而平面，所以平面平面；?）由（1）知，兩兩垂直，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系，則，故，，所以，設(shè)，則，即，所以；設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，因?yàn)檩S平面，則可取為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得，故．19．人類對地球形狀的認(rèn)識經(jīng)歷了漫長的歷程．古人認(rèn)為宇宙是“天圓地方”的，以后人們又認(rèn)為地球是個(gè)圓球.17世紀(jì)，牛頓等人根據(jù)力學(xué)原理提出地球是扁球的理論，這一理論直到1739年才為南美和北歐的弧度測量所證實(shí)