2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義第01講平面向量的概念、線性運(yùn)算及其坐標(biāo)運(yùn)算(學(xué)生版+解析)

第01講平面向量的概念、線性運(yùn)算及其坐標(biāo)運(yùn)算（5類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第3題,5分平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示向量垂直的坐標(biāo)表示2023年新I卷，第3題,5分平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示向量垂直的坐標(biāo)表示利用向量垂直求參數(shù)2022年新Ⅱ卷，第4題,5分平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示數(shù)量積及向量夾角的坐標(biāo)表示2021年新Ⅱ卷，第10題,5分坐標(biāo)計(jì)算向量的模數(shù)量積的坐標(biāo)表示逆用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值二倍角的余弦公式2020年新Ⅱ卷，第3題,5分向量加法的法則向量減法的法則無(wú)2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分【備考策略】1了解向量的實(shí)際背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的幾何表示2掌握向量的加、減運(yùn)算并理解其幾何意義3掌握向量的數(shù)乘運(yùn)算并理解其幾何意義以及兩個(gè)向量共線的含義4理解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義5會(huì)向量間的坐標(biāo)運(yùn)算【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)一般考查平面向量的基本概念、線性運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算，易理解，易得分，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)知識(shí)講解1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量平行．(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb1．平面向量加減法求解的關(guān)鍵是：對(duì)平面向量加法抓住“共起點(diǎn)”或“首尾相連”．對(duì)平面向量減法應(yīng)抓住“共起點(diǎn)，連兩終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)”，再觀察圖形對(duì)向量進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，即可快速得到結(jié)果．2．在一般向量的線性運(yùn)算中，只要把其中的向量當(dāng)作一個(gè)字母看待即可，其運(yùn)算方法類似于代數(shù)中合并同類項(xiàng)的運(yùn)算，在計(jì)算時(shí)可以進(jìn)行類比．3.向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.向量共線定理可以解決一些向量共線，點(diǎn)共線問題，也可由共線求參數(shù)；對(duì)于線段的定比分點(diǎn)問題，用向量共線定理求解則更加簡(jiǎn)潔．（1）若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1.（2）P為線段AB的中點(diǎn)?eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→)))．4.向量的坐標(biāo)運(yùn)算兩點(diǎn)間的向量坐標(biāo)公式：，，終點(diǎn)坐標(biāo)始點(diǎn)坐標(biāo)向量的加減法，，向量的數(shù)乘運(yùn)算，則：向量的模，則的模相反向量已知，則；已知單位向量向量的平行關(guān)系，，考點(diǎn)一、平面向量基本概念的綜合考查1．關(guān)于平面向量，下列說法正確的是（

）A．向量可以比較大小 B．向量的?？梢员容^大小C．速度是向量，位移是數(shù)量 D．零向量是沒有方向的2．下列結(jié)論正確的是：（

）A．若與都是單位向量，則．B．若與是平行向量，則．C．若用有向線段表示的向量與相等，則點(diǎn)M，N重合D．直角坐標(biāo)平面上的x軸、y軸都是向量3．（多選）下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（

）A．表示兩個(gè)相等向量的有向線段，若它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同；B．若，則，不是共線向量；C．若，則四邊形是平行四邊形；D．與同向，且，則1．下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小B．由于零向量的方向不確定，因此零向量不能與任意向量平行C．模為1的向量都是相等向量D．向量的?？梢员容^大小2．下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．對(duì)任意非零向量，是和它同向的一個(gè)單位向量 D．零向量沒有方向3．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．B．，是單位向量，則C．若，則D．兩個(gè)相同的向量的模相等4．（多選）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若與都是單位向量，則B．方向?yàn)槟掀?0°的向量與北偏東60°的向量是共線向量C．直角坐標(biāo)平面上的x軸、y軸都是向量D．若用有向線段表示的向量與不相等，則點(diǎn)M與N不重合考點(diǎn)二、相等向量及其應(yīng)用1．（23-24高三上·遼寧·階段練習(xí)）設(shè)，都是非零向量，下列四個(gè)條件中，能使一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2024高三·上?！ｎ}練習(xí)）已知向量，不共線，實(shí)數(shù)，滿足，則（

）A．4 B． C．2 D．1．（2023·北京大興·三模）設(shè)，是非零向量，“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（5，6），則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為．考點(diǎn)三、平面向量線性運(yùn)算的綜合考查1．（廣東·高考真題）如圖所示，已知在中，是邊上的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．2．（海南·高考真題）在中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．3．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在梯形中，，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．1．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．（山東·高考真題）已知平行四邊形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)（如圖所示），設(shè)，，則等于（

）

A． B． C． D．3．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測(cè)）在中，，則（

）A． B．C． D．4．（2024·浙江紹興·二模）已知四邊形是平行四邊形，，，記，，則（

）A． B．C． D．考點(diǎn)四、平面向量共線定理與點(diǎn)共線問題1．（2022·四川綿陽(yáng)·二模）已知平面向量a，b不共線，，，則（）A．A，B，D三點(diǎn)共線 B．A，B，C三點(diǎn)共線C．B，C，D三點(diǎn)共線 D．A，C，D三點(diǎn)共線2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，是平面上兩個(gè)不共線的單位向量，且，，，則（

）A．、、三點(diǎn)共線 B．、、三點(diǎn)共線C．、、三點(diǎn)共線 D．、、三點(diǎn)共線3．（2024·貴州黔東南·二模）已知向量三點(diǎn)共線，則.1．已知為不共線向量，，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線2．（2024·遼寧·二模）（多選）的重心為點(diǎn)，點(diǎn)O，P是所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．C． D．點(diǎn)在的內(nèi)部考點(diǎn)五、平行向量（共線向量）求參數(shù)1．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知，且，則的值為．15．2．（2024·浙江杭州·三模）已知不共線的平面向量，滿足，則正數(shù)（

）A．1 B． C． D．23．（23-24高一下·廣東河源·期中）已知是兩個(gè)不共線的向量，，若與是共線向量，則.4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，若，則．1．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．2 D．12．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知平面向量，不共線，，，且，則（

）A． B．0 C．1 D．3．（2024·江蘇·二模）已知非零向量，，若，則（

）A． B． C． D．一、單選題1．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．（22-23高一下·貴州遵義·階段練習(xí)）在四邊形中，若，則（

）A．四邊形是平行四邊形 B．四邊形是矩形C．四邊形是菱形 D．四邊形是正方形3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)分別為的三邊的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．4．（2021·全國(guó)·二模）已知向量和不共線，向量，，，若??三點(diǎn)共線，則（

）A．3 B．2 C．1 D．5．（2024·陜西西安·一模）已知點(diǎn)是的重心，則（

）A． B．C． D．6．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，，，則與向量同方向的單位向量為（

）A． B．C． D．7．（22-23高一下·江西九江·期中）設(shè)為兩個(gè)非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題8．（22-23高一下·吉林四平·階段練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．零向量與任一向量平行 B．方向相反的兩個(gè)非零向量不一定共線C．單位向量是模為的向量 D．方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等三、填空題9．（22-23高三上·福建廈門·開學(xué)考試）寫出一個(gè)與向量共線的向量.10．（2024·陜西西安·一模）已知平面向量，若與共線，則實(shí)數(shù)．一、單選題1．給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量.②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.③（為實(shí)數(shù)），則必為零.④為實(shí)數(shù)，若，則與共線.其中正確的命題的個(gè)數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．42．已知，，則與共線的單位向量是（）A． B．或C． D．或3．（2022·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若、，則與共線的單位向量為（

）A． B．或C．或 D．4．下列命題中正確的是（

）A．若，則B．C．若，則與的方向相反D．若，則5．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是邊的中點(diǎn)，在上，且，則（

）A． B．C． D．6．（2023·湖北武漢·三模）如圖，在中，M為線段的中點(diǎn)，G為線段上一點(diǎn)，，過點(diǎn)G的直線分別交直線，于P，Q兩點(diǎn)，，，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．9二、填空題7．（2024·青海西寧·二模）若向量不共線，且，則的值為．8．（2022·廣西柳州·三模）已知平面向量，，若，則.9．（2024·山西·三模）如圖，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B，點(diǎn)T在x軸上，若，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是．10．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)兩個(gè)向量和＝，其中為實(shí)數(shù).若，則的取值范圍是.一、單選題1．（四川·高考真題）如圖，正六邊形中，（

）A． B． C． D．2．（安徽·高考真題）若，,則（）A．（1，1） B．（－1，－1） C．（3，7） D．（-3,-7）3．（遼寧·高考真題）已知點(diǎn)則與同方向的單位向量為A． B． C． D．4．（山東·高考真題）如下圖，是線段的中點(diǎn)，設(shè)向量，，那么能夠表示為（

）A． B．C． D．5．（全國(guó)·高考真題）在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B．C． D．6．（福建·高考真題）設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則等于A． B． C． D．7．（山東·高考真題）已知向量與且則一定共線的三點(diǎn)是（

）A．A，C，D三點(diǎn) B．A，B，C三點(diǎn)C．A，B，D三點(diǎn) D．B，C，D三點(diǎn)8．（廣東·高考真題）已知平面向量，，且，則等于（

）A．（-2，-4） B．（-3，-6） C．（-5，-10） D．（-4，-8）9．（海南·高考真題）平面向量，共線的充要條件是（

）A．，方向相同 B．，兩向量中至少有一個(gè)為零向量C．， D．存在不全為零的實(shí)數(shù)，，二、填空題10．（全國(guó)·高考真題）已知向量，且，則___________.11．（上?！じ呖颊骖}）已知點(diǎn)和向量，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．12．（全國(guó)·高考真題）設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)．13．（全國(guó)·高考真題）已知向量，，．若，則．14．（浙江·高考真題）已知，若平面內(nèi)三點(diǎn)A（1，），B（2，），C（3，）共線，則．15．（陜西·高考真題）已知向量（2，﹣1），（﹣1，m），（﹣1，2），若（）∥，則m＝______第01講平面向量的概念、線性運(yùn)算及其坐標(biāo)運(yùn)算（5類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第3題,5分平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示向量垂直的坐標(biāo)表示2023年新I卷，第3題,5分平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示向量垂直的坐標(biāo)表示利用向量垂直求參數(shù)2022年新Ⅱ卷，第4題,5分平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示數(shù)量積及向量夾角的坐標(biāo)表示2021年新Ⅱ卷，第10題,5分坐標(biāo)計(jì)算向量的模數(shù)量積的坐標(biāo)表示逆用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值二倍角的余弦公式2020年新Ⅱ卷，第3題,5分向量加法的法則向量減法的法則無(wú)2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分【備考策略】1了解向量的實(shí)際背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的幾何表示2掌握向量的加、減運(yùn)算并理解其幾何意義3掌握向量的數(shù)乘運(yùn)算并理解其幾何意義以及兩個(gè)向量共線的含義4理解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義5會(huì)向量間的坐標(biāo)運(yùn)算【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)一般考查平面向量的基本概念、線性運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算，易理解，易得分，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)知識(shí)講解1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量平行．(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb1．平面向量加減法求解的關(guān)鍵是：對(duì)平面向量加法抓住“共起點(diǎn)”或“首尾相連”．對(duì)平面向量減法應(yīng)抓住“共起點(diǎn)，連兩終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)”，再觀察圖形對(duì)向量進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，即可快速得到結(jié)果．2．在一般向量的線性運(yùn)算中，只要把其中的向量當(dāng)作一個(gè)字母看待即可，其運(yùn)算方法類似于代數(shù)中合并同類項(xiàng)的運(yùn)算，在計(jì)算時(shí)可以進(jìn)行類比．3.向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.向量共線定理可以解決一些向量共線，點(diǎn)共線問題，也可由共線求參數(shù)；對(duì)于線段的定比分點(diǎn)問題，用向量共線定理求解則更加簡(jiǎn)潔．（1）若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1.（2）P為線段AB的中點(diǎn)?eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→)))．4.向量的坐標(biāo)運(yùn)算兩點(diǎn)間的向量坐標(biāo)公式：，，終點(diǎn)坐標(biāo)始點(diǎn)坐標(biāo)向量的加減法，，向量的數(shù)乘運(yùn)算，則：向量的模，則的模相反向量已知，則；已知單位向量向量的平行關(guān)系，，考點(diǎn)一、平面向量基本概念的綜合考查1．關(guān)于平面向量，下列說法正確的是（

）A．向量可以比較大小 B．向量的?？梢员容^大小C．速度是向量，位移是數(shù)量 D．零向量是沒有方向的【答案】B【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念直接判斷即可.【詳解】向量不可以比較大小，但向量的模是數(shù)量，可以比較大小，A錯(cuò)誤，B正確；速度和位移都有方向和大小，是向量，C錯(cuò)誤；零向量方向任意，D錯(cuò)誤.故選：B2．下列結(jié)論正確的是：（

）A．若與都是單位向量，則．B．若與是平行向量，則．C．若用有向線段表示的向量與相等，則點(diǎn)M，N重合D．直角坐標(biāo)平面上的x軸、y軸都是向量【答案】C【分析】根據(jù)題意，由平面向量的相關(guān)定義，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A、B，只有當(dāng)與的方向相同且模長(zhǎng)相等時(shí)才有，故A、B均錯(cuò)誤；對(duì)于C，若向量，又因?yàn)锳是公共點(diǎn)，所以M與N重合，故正確；對(duì)于D，因?yàn)檩S與軸只有方向沒有大小，所以都不是向量，故D錯(cuò)誤；故選：C.3．（多選）下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（

）A．表示兩個(gè)相等向量的有向線段，若它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同；B．若，則，不是共線向量；C．若，則四邊形是平行四邊形；D．與同向，且，則【答案】BCD【分析】根據(jù)平面向量的表示，共線向量的定義，以及向量的性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)A：表示兩個(gè)相等向量的有向線段，若它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同，故A正確；對(duì)B：若，也有可能，長(zhǎng)度不等，但方向相同或相反，即共線，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：若，則，可以方向不同，所以四邊形不一定是平行四邊形，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：因?yàn)橄蛄渴羌扔写笮∮钟蟹较虻牧?，所以任何兩個(gè)向量都不能比較大小，故D錯(cuò)誤.故選：BCD.1．下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小B．由于零向量的方向不確定，因此零向量不能與任意向量平行C．模為1的向量都是相等向量D．向量的?？梢员容^大小【答案】D【分析】由向量的相關(guān)概念逐一判斷即可.【詳解】向量是有大小又有方向的矢量，不能比較大小，故A錯(cuò)；由于零向量的方向不確定，故規(guī)定零向量與任意向量平行，故B錯(cuò)；長(zhǎng)度相等、方向相同的向量稱為相等向量，模長(zhǎng)為1的向量只規(guī)定了長(zhǎng)度相等，方向不一等相同，故C錯(cuò)；向量的模長(zhǎng)是一個(gè)數(shù)量，因此可以比較大小，故D正確.故選：D.2．下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．對(duì)任意非零向量，是和它同向的一個(gè)單位向量 D．零向量沒有方向【答案】C【分析】結(jié)合共線向量、單位向量、零向量的定義逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，任意向量都與共線，則不一定共線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，向量不能比較大小，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，對(duì)任意非零向量，是和它同向的一個(gè)單位向量，C正確；對(duì)于D，零向量有方向，其方向是任意的，D錯(cuò)誤.故選：C3．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．B．，是單位向量，則C．若，則D．兩個(gè)相同的向量的模相等【答案】C【分析】由向量的模、單位向量等概念對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，是單位向量，則，故B正確；對(duì)于C，若，則不能比較大小，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，兩個(gè)相同的向量的模相等，故D正確.故選：C.4．（多選）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若與都是單位向量，則B．方向?yàn)槟掀?0°的向量與北偏東60°的向量是共線向量C．直角坐標(biāo)平面上的x軸、y軸都是向量D．若用有向線段表示的向量與不相等，則點(diǎn)M與N不重合【答案】AC【分析】根據(jù)題意，由平面向量的相關(guān)定義，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榕c的方向可能不同，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)檫@兩個(gè)向量的方向是相反的，所以是共線向量，故正確；對(duì)于C，因?yàn)閤軸、y軸只有方向沒有大小，所以都不是向量，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，假設(shè)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合，則向量，與已知矛盾，所以假設(shè)不成立，即點(diǎn)M與N不重合，故正確；故選：AC考點(diǎn)二、相等向量及其應(yīng)用1．（23-24高三上·遼寧·階段練習(xí)）設(shè)，都是非零向量，下列四個(gè)條件中，能使一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)非零向量的方向是否相同分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)椋释?對(duì)于A:，方向相反,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B:，得出,不能得出方向，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C:,方向向相同,則成立，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D:,不能確定的方向，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C．2．（2024高三·上?！ｎ}練習(xí)）已知向量，不共線，實(shí)數(shù)，滿足，則（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【分析】由已知結(jié)合平面向量基本定理可求，，進(jìn)而求出答案.【詳解】由，不共線，實(shí)數(shù)，滿足，得，解得，，所以.故選：A1．（2023·北京大興·三模）設(shè)，是非零向量，“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)向量相等、單位向量判斷條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要性定義即知答案.【詳解】由表示單位向量相等，則同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出，由表示同向且模相等，則，所以“”是“”的必要而不充分條件.故選：B2．已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（5，6），則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【答案】（1，5）【分析】設(shè)出點(diǎn)D，利用向量的坐標(biāo)的求法求出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，再利用向量相等的坐標(biāo)關(guān)系列出方程組，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】設(shè)D（x，y）則在平行四邊形ABCD中∵又∵∴解得故答案為：（1，5）【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)的求法；相等向量的坐標(biāo)相同．考點(diǎn)三、平面向量線性運(yùn)算的綜合考查1．（廣東·高考真題）如圖所示，已知在中，是邊上的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意得，再由，即可得到答案.【詳解】由于是邊上的中點(diǎn)，則..故選：B.2．（海南·高考真題）在中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則算出即可.【詳解】故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是向量的加減法，較簡(jiǎn)單.3．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在梯形中，，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】依題意可得．故選：D4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由的坐標(biāo)得出，設(shè)點(diǎn)，得出，根據(jù)列出方程組求解即可．【詳解】因?yàn)?，，所以，設(shè)，則，又，所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：B．1．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意得，，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為.故選：A.2．（山東·高考真題）已知平行四邊形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)（如圖所示），設(shè)，，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的線性運(yùn)算，即可得到答案；【詳解】連結(jié)，則為的中位線，，

故選：A3．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測(cè)）在中，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】運(yùn)用平面向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算即可.【詳解】如圖，因?yàn)?，所以，又，所以，所?故選：D.4．（2024·浙江紹興·二模）已知四邊形是平行四邊形，，，記，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量的線性運(yùn)算求解即得.【詳解】在中，，，，，所以.

故選：A考點(diǎn)四、平面向量共線定理與點(diǎn)共線問題1．（2022·四川綿陽(yáng)·二模）已知平面向量a，b不共線，，，則（）A．A，B，D三點(diǎn)共線 B．A，B，C三點(diǎn)共線C．B，C，D三點(diǎn)共線 D．A，C，D三點(diǎn)共線【答案】D【分析】根據(jù)平面向量共線的定義一一判斷求解.【詳解】對(duì)A，與不共線，A錯(cuò)誤；對(duì)B，則與不共線，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，則與不共線，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，即，又線段AC與CD有公共點(diǎn)C，所以A，C，D三點(diǎn)共線，D正確.故選：D.2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，是平面上兩個(gè)不共線的單位向量，且，，，則（

）A．、、三點(diǎn)共線 B．、、三點(diǎn)共線C．、、三點(diǎn)共線 D．、、三點(diǎn)共線【答案】C【分析】根據(jù)向量共線則判斷即可.【詳解】對(duì)A，因?yàn)椋?，不存在?shí)數(shù)使得，故、、三點(diǎn)不共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)?，，不存在?shí)數(shù)使得，故、、三點(diǎn)不共線，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)?，，則，故、、三點(diǎn)共線，故C正確；對(duì)D，因?yàn)?，，不存在?shí)數(shù)使得，故、、三點(diǎn)不共線，故D錯(cuò)誤.故選：C3．（2024·貴州黔東南·二模）已知向量三點(diǎn)共線，則.【答案】/【分析】由點(diǎn)共線可得，再利用兩角和的正切公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以，可得故答案為：1．已知為不共線向量，，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線【答案】A【分析】運(yùn)用向量的加法運(yùn)算，求得，從而得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋匀c(diǎn)共線，故選：A．2．（2024·遼寧·二模）（多選）的重心為點(diǎn)，點(diǎn)O，P是所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．C． D．點(diǎn)在的內(nèi)部【答案】AC【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，向量共線的判定及向量的線性運(yùn)算即可判斷．【詳解】，因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，所以，所以，所以三點(diǎn)共線，故A正確，B錯(cuò)誤；，因?yàn)?，所以，即，故C正確；因?yàn)?，所以點(diǎn)的位置隨著點(diǎn)位置的變化而變化，故點(diǎn)不一定在的內(nèi)部，故D錯(cuò)誤；故選：AC．考點(diǎn)五、平行向量（共線向量）求參數(shù)1．（2024·上海·高考真題）已知，且，則的值為．【答案】15【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.【詳解】，，解得．故答案為：15．2．（2024·浙江杭州·三模）已知不共線的平面向量，滿足，則正數(shù)（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】思路一：根據(jù)向量共線的判定條件即可解出.思路二：由共線向量基本定理即可得解.【詳解】方法一：由已知有，，解得.方法二：設(shè)，由題意，解得.故選：B.3．（23-24高一下·廣東河源·期中）已知是兩個(gè)不共線的向量，，若與是共線向量，則.【答案】【分析】根據(jù)向量共線可設(shè)，進(jìn)而對(duì)比系數(shù)列式求解即可.【詳解】因?yàn)槭莾蓚€(gè)不共線的向量，，若與是共線向量，設(shè)，則，則，解得.故答案為：.4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，若，則．【答案】【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，及向量平行的坐標(biāo)表示進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由題意得，．又，所以，解得．故答案為：.1．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．2 D．1【答案】D【分析】利用向量平行得到方程，求出答案.【詳解】，故，解得.故選：D2．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知平面向量，不共線，，，且，則（

）A． B．0 C．1 D．【答案】A【分析】依題意可得，根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，即，又，不共線，所以，解得.故選：A3．（2024·江蘇·二模）已知非零向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用兩個(gè)向量平行的性質(zhì)可得，化簡(jiǎn)可得，利用齊次式即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋瑸榉橇阆蛄?，所以，即因?yàn)椋?，則，即，即，由于，所以兩邊同除，可得：，解得：tanα=13或所以.故選：D一、單選題1．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)向量的概念逐一判斷.【詳解】對(duì)于A：若，則只是大小相同，并不能說方向相同，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：向量不能比較大小，只能相同，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，則方向相同，C正確；對(duì)于D：若，如果為零向量，則不能推出平行，D錯(cuò)誤.故選：C.2．（22-23高一下·貴州遵義·階段練習(xí)）在四邊形中，若，則（

）A．四邊形是平行四邊形 B．四邊形是矩形C．四邊形是菱形 D．四邊形是正方形【答案】A【分析】由推出，再根據(jù)向量相等的定義得且，從而可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，即，故且，故四邊形一定是平行四邊形，不一定是菱形、正方形和矩形，故A正確；BCD不正確.故選：A.3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)分別為的三邊的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】，

故選：A.

4．（2021·全國(guó)·二模）已知向量和不共線，向量，，，若??三點(diǎn)共線，則（

）A．3 B．2 C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)A、B、D共線的條件得到，進(jìn)而得到，根據(jù)平面向量基本定理中的分解唯一性，得到關(guān)于的方程組，求解即得.【詳解】因?yàn)??三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使得，，所以，∴，解得.故選：A.5．（2024·陜西西安·一模）已知點(diǎn)是的重心，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為D，連接，點(diǎn)是的重心，則P在上，且，由此可知A，B，C錯(cuò)誤，D正確，故選：D6．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，，，則與向量同方向的單位向量為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由單位向量的定義、向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算以及向量模的坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】由題意，所以，從而與向量同方向的單位向量為.故選：A.7．（22-23高一下·江西九江·期中）設(shè)為兩個(gè)非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合共線向量的定義分析判斷【詳解】因?yàn)?，所以同向共線，所以，因?yàn)椋酝蚬簿€，此時(shí)不一定成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A二、多選題8．（22-23高一下·吉林四平·階段練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．零向量與任一向量平行 B．方向相反的兩個(gè)非零向量不一定共線C．單位向量是模為的向量 D．方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等【答案】ACD【分析】根據(jù)零向量的定義與性質(zhì)，判斷出A項(xiàng)的正誤；根據(jù)共線向量與相等向量的定義，判斷出B、D兩項(xiàng)的正誤；根據(jù)單位向量的定義，判斷出C項(xiàng)的正誤．【詳解】解：對(duì)于A，零向量的方向是任意的，零向量與任一向量平行，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B，根據(jù)共線向量的定義，可知方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)單位向量的定義，可知C項(xiàng)正確；對(duì)于D，方向相同且模相等的兩個(gè)向量相等，因此方向相反的兩個(gè)非零向量一定不相等，D項(xiàng)正確．故選：ACD．三、填空題9．（22-23高三上·福建廈門·開學(xué)考試）寫出一個(gè)與向量共線的向量.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)共線向量定理求解即可【詳解】與向量共線的向量為.取，可得出一個(gè)與向量共線的向量為（答案不唯一，滿足即可）.故答案為：（答案不唯一）10．（2024·陜西西安·一模）已知平面向量，若與共線，則實(shí)數(shù)．【答案】2【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示可得答案.【詳解】，若與共線，則，解得.故答案為：.一、單選題1．給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量.②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.③（為實(shí)數(shù)），則必為零.④為實(shí)數(shù)，若，則與共線.其中正確的命題的個(gè)數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)向量終點(diǎn)相同，起點(diǎn)若不在一條直線上，則也不共線，命題錯(cuò)誤；由于兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小，因此命題是正確的；若（為實(shí)數(shù)），則也可以零，因此命題也是錯(cuò)誤的；若為0，盡管有，則與也不一定共線，即命題也是錯(cuò)誤的，應(yīng)選答案A．2．已知，，則與共線的單位向量是（）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】利用求得與共線的單位向量【詳解】，故與共線的單位向量為，即或，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查單位向量的知識(shí)，考查共線向量的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.3．（2022·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若、，則與共線的單位向量為（

）A． B．或C．或 D．【答案】C【分析】求出的坐標(biāo)，除以，再考慮方向可得．【詳解】由得，即，，，，，與同向的單位向量為，反向的單位向量為．故選：C．4．下列命題中正確的是（

）A．若，則B．C．若，則與的方向相反D．若，則【答案】B【分析】對(duì)于A：利用向量不能比較大小直接判斷；對(duì)于B：利用向量的線性運(yùn)算法則直接判斷；對(duì)于C：由，可以得到與的方向相同或與中有零向量.對(duì)于D：的方向不確定.即可判斷.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)橄蛄坎荒鼙容^大小，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B：.故B正確；對(duì)于C：若，則與的方向相同或與中有零向量.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，但的方向不確定.故D錯(cuò)誤.故選：B5．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是邊的中點(diǎn)，在上，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用平面向量加減法則，即可得到答案.【詳解】由題意有，所以．故選：A6．（2023·湖北武漢·三模）如圖，在中，M為線段的中點(diǎn)，G為線段上一點(diǎn)，，過點(diǎn)G的直線分別交直線，于P，Q兩點(diǎn)，，，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．9【答案】B【分析】先利用向量的線性運(yùn)算得到，再利用三點(diǎn)共線的充要條件，得到，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)镸為線段的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，又，，所以，又三點(diǎn)共線，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：B.二、填空題7．（2024·青海西寧·二模）若向量不共線，且，則的值為．【答案】1【分析】根據(jù)題意，可設(shè)為一組基向量，利用向量共線定理和向量基本定理運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椴还簿€，所以可設(shè)為一組基向量，因?yàn)?，所以，使得，所以，所以，消去，得．故答案為?.8．（2022·廣西柳州·三模）已知平面向量，，若，則.【答案】【分析】由向量平行可得，再由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示可得，最后應(yīng)用向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算求.【詳解】由題設(shè)，，即，則，所以，故.故答案為：.9．（2024·山西·三模）如圖，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B，點(diǎn)T在x軸上，若，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是．【答案】/【分析】設(shè)，計(jì)算出，，再設(shè)，根據(jù)中點(diǎn)公式得到的坐標(biāo)，將其代入三角函數(shù)解析式并結(jié)合二倍角的余弦公式得到，解出即可.【詳解】由題意設(shè)，則，，設(shè)，，因?yàn)椋詾榫€段的中點(diǎn)，所以，，又點(diǎn)在函數(shù)圖象上，所以，又，，所以即，所以（負(fù)舍），則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是.故答案為：.10．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)兩個(gè)向量和＝，其中為實(shí)數(shù).若，則的取值范圍是.【答案】【分析】由可得，且，整理得，結(jié)合三角函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)求出范圍，即可得范圍，同時(shí)將代換成關(guān)于表達(dá)式，即可求解.【詳解】∵2＝，，∴，且，∴，即，又∵，，∴，∴－2≤4m2－9m＋4≤2，解得≤m≤2，∴，又∵λ＝2m－2，∴，∴，∴的取值范圍是.故答案為：.一、單選題1．（四川·高考真題）如圖，正六邊形中，（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】將平移到，平移到，故，故選D.本題主要考查平面向量的基本概念及線性運(yùn)算考點(diǎn)：向量的加法.2．（安徽·高考真題）若，,則（）A．（1，1） B．（－1，－1） C．（3，7） D．（-3,-7）【答案】B【詳解】試題分析：因?yàn)橄蛄?，，所以．故選B．考點(diǎn)：向量減法的坐標(biāo)的運(yùn)算．3．（遼寧·高考真題）已知點(diǎn)則與同方向的單位向量為A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：,所以與同方向的單位向量為，故選A.考點(diǎn)：向量運(yùn)算及相關(guān)概念.4